TEMA 7: CIRCUITOS DIGITALES 1. INTRODUCCIÓN. La utilización creciente de circuitos digitales ha dado lugar en los últimos tiempos a una revolución sin precedentes en el campo de la tecnología. Basta observar el interior de una simple calculadora de bolsillo para darnos cuenta de la gran cantidad de circuitos impresos que funcionan digitalmente y que constituyen su intrincada anatomía. A lo largo de esta unidad se analizan los sistemas de numeración que sirven de base al funcionamiento de los componentes electrónicos de los circuitos digitales y, tras una breve incursión en el álgebra de Boole, se aborda la manera de diseñar circuitos lógicos elementales que permiten controlar el funcionamiento de algunos dispositivos sencillos. No cabe duda de que la Electrónica digital se ha convertido en poco menos que imprescindible para nuestro actual estado de bienestar ; sin embargo, no conviene que una automatización excesiva prive al ser humano de su capacidad de elección consciente entre diversas alternativas posibles. Nuestro destino no es convertirnos en esclavos de la automatización. 2. SEÑALES Y TIPOS DE SEÑALES. Se denomina señal a la información que representa una determinada magnitud física (temperatura, presión, tensión, intensidad, etc.) y su evolución con el tiempo. Las señales se clasifican en: Señales analógicas, son aquellas que pueden tomar infinitos valores, es decir, la variable estudiada es una función continua del tiempo. V Señales digitales, son aquellas en las que la variable estudiada solo toma valores discretos. t 1
Las señales digitales presentan varias ventajas frente a las analógicas: Facilidad de transmisión. Facilidad de procesamiento y almacenamiento. Mayor inmunidad al ruido. Un circuito digital es aquel que comunica y procesa información de tipo digital. Estos se emplean en todo tipo de sistemas de control industrial, procesos de datos, y otros muchos equipos, como pueden ser los dispositivos de seguridad, equipos de navegación, electrodomésticos, etc. Los circuitos digitales se clasifican en: Circuitos combinacionales. Circuitos secuenciales. Ahora bien, estos circuitos requieren para su construcción una serie de elementos que materialicen los principios del álgebra de Boole, base matemática de la electrónica digital. Esta realización física la constituyen las denominadas puertas lógicas. 2
3. SISTEMAS DE NUMERACIÓN. Un número está constituido por una sucesión de dígitos situados ordenadamente de izquierda a derecha de un punto de referencia (como o punto). El número de dígitos situados a la izquierda de esta referencia es siempre finito, pudiendo ser infinito el de los situados a la derecha. Se denomina base de un sistema el número de posibles dígitos que se utilizan en dicho sistema de numeración. 2.1. SISTEMA DECIMAL. En el sistema de numeración empleado normalmente. En este sistema todos los números se representan con diez dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. El valor de cada uno de ellos depende de su posición respecto de la referencia. Así, en el número decimal 8347,32 el valor del digito 3 situado a la derecha de la coma es: 3 10-1 0,3, mientras que el 3 situado a la izquierda vale 3 10 2 300. En general, en un sistema de numeración de base b cada uno de los b dígitos posibles tiene un valor dado por la expresión: p i b i En la que p es el dígito, e i el número de orden de la posición que ocupa respecto de la referencia (negativo a la derecha y positivo a la izquierda). Para la primera posición a la izquierda de la referencia, i 0. Por tanto, en un sistema de base b un número N puede representarse mediante el siguiente desarrollo: N p n b n + p n-1 b n-1 + + p 1 b 1 + p 0 b 0 + p -1 b -1 + Por ejemplo: 85,47 8 10 1 + 5 10 0 + 4 10-1 + 7 10-2 Para los circuitos digitales el sistema de numeración más adecuado será aquel que precise del menor número de componentes básicos para su realización, ya que de esta manera el coste del circuito resulta mínimo. Por otra parte, como los componentes electrónicos (diodos, transistores, ) que intervienen en los circuitos digitales se caracterizan por presentar dos estados estables perfectamente diferenciados, resulta lógico que el sistema de numeración más idóneo para tales circuitos sea el binario. 3
2.2. SISTEMA BINARIO. Es el sistema que se utiliza en los circuitos digitales, donde solo existen dos dígitos posibles: el 0 y el 1. Esta unidad mínima de información se conoce con el nombre de bit, al conjunto de 8 bit se le denomina byte, en el caso de 1024 bits (kilobyte) y 1048576 bits (megabyte). Al expresar un número binario, el bit que está situado más a la izquierda (el de mayor peso) se denomina bit más significativo, mientras que el de más a la derecha se conoce como bit menos significativo. La cantidad que expresa un número binario se consigue multiplicando cada dígito por la potencia de dos (base) que corresponde a su posición respecto a la referencia. Ejemplo: 1100101,1101 (2) 1 2 6 + 1 2 5 + 0 2 4 + 0 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 1 2-1 + 1 2-2 + 0 2-3 + 1 2-4 64+32+0+0+4+0+1+0,5+0,25+0+0,0625 101,8125 (10) ACTIVIDAD 1 Pasar al sistema decimal los siguientes números binarios: 10011010,101 (2) 11001 (2) 110101 (2) 11010,101 (2) 1010111 (2) 101010,111 (2) 1000011111 (2) 11100010 (2) 11001,010111 (2) 4
Para realizar la operación inversa; es decir, para expresar un número decimal entero en el sistema binario, se procede de la siguiente manera: Se divide el número decimal por dos. El resto de esta operación es el bit menos significativo. El cociente de esta división se vuelve a dividir por dos. El nuevo resto constituye el siguiente dígito. Se continua el proceso hasta que el cociente obtenido resulte menor que dos. Este ultimo cociente es el digito más significativo Se escribe el dígito más significativo y a continuación todos los restos obtenidos hasta finalizar con el menos significativo (primer resto). Ejemplo: Expresar el número decimal 25 en su equivalente binario. De esta manera el resultado es: 25 (10) 11001 (2) Si el número decimal no es entero, sino que presenta una parte fraccionaria, se multiplica esta parte fraccionaria por dos; la parte fraccionaria del resultado se multiplicada nuevamente por dos, y así sucesivamente hasta que no se obtenga nueva fracción, o bien se consiga la precisión deseada. La sucesión de valores enteros generada de esta forma es el número binario equivalente a la parte fraccionaria del número decimal. 5
Ejemplo: Expresar el número decimal fraccionario 0,36 en su equivalente binario con seis dígitos de precisión. Solucion: 0,36 2 0,72 Primer dígito fraccionario: 0 0,72 2 1,44 Segundo dígito fraccionario: 1 0,44 2 0,88 Tercer dígito fraccionario: 0 0,88 2 1,76 Cuarto dígito fraccionario: 1 0,76 2 1,52 Quinto dígito fraccionario: 1 0,52 2 1,04 Sexto dígito fraccionario: 1 Por tanto, el resultado es: 0,36 (10) 0,010111 (2) ACTIVIDAD 2 Convierte en binario los siguientes números decimales: 87,525 (10) 42,875 (10) 325,26 (10) 238,500 (10) 183,125 (10) 277,125 (10) 629,750 (10) 305,625 (10) 2.3. CÓDIGOS BINARIOS. Ya se ha mencionado anteriormente que el sistema de numeración más adecuado para los circuitos digitales es el binario. Como la misión primordial de estos circuitos es el procesamiento de la información, esta ha de ser codificada de manera que exista una correspondencia biunívoca y sistemática entre el valor de la información que se procesa y una cierta combinación de dígitos. Esta correspondencia se conoce con el nombre de código. 6
Los códigos binarios más importantes son: CODIGO BINARIO NATURAL. Son los números en base diez expresados en base dos. CODIGO DECIMAL NATURAL (BCD natural). Se representa cada número con cuatro dígitos. 0 0000 1 0001 Ejemplos: 2 0010 23 10 (0010)(0011) BCD 3 0011 345 10 (0011)(0100)(0101) BCD 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 2.4. SISTEMA HEXADECIMAL. Es el sistema de base 16. Sirve para representar de forma simplificada números en binario. Se usa con gran frecuencia en los microprocesadores. Para su representación se utilizan los diez dígitos decimales y las letras del alfabeto de la A a la F. La equivalencia entre el sistema hexadecimal y el decimal es: Hex. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F Dec. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Para convertir un número hexadecimal en su equivalente decimal se opera igual que con el sistema binario salvo que ahora la base es 16. Para pasar del sistema decimal al hexadecimal se sigue también un procedimiento análogo al del sistema binario: es decir, se realizan sucesivas divisiones por 16, hasta que el último cociente sea menor que este número. Para obtener el resultado hexadecimal correcto se agrupan el último cociente y todos los demás restos. Ejemplos: Pasar el número 2EF a su equivalente en el sistema decimal. Convertir el número 751 10 en hexadecimal. 7
Para pasar de un número binario a hexadecimal, se hacen grupos de cuatro bits hacia la izquierda comenzando por la primera cifra situada a la izquierda de la coma. Si el último grupo está incompleto se añaden ceros por la izquierda. Cada uno de estos grupos se transforma en el correspondiente número decimal, y estos a continuación en hexadecimal. Así, el número binario 11110101101 se transforma en hexadecimal de la siguiente manera: 0111 1010 1101 Binario 7 10 13 Decimal 7 A D Hexadecimal 11110101101 (2) 7AD Para pasar un número del sistema hexadecimal al binario se sigue el procedimiento inverso. Así, el número hexadecimal 4DF se transforma en binario de la siguiente manera: 4 D F Hexadecimal 4 13 15 Decimal 0100 1101 1111 Binario 4DF 10011011111 (2) 8
3. ARITMÉTICA BINARIA. Análogamente a como se realizan las operaciones matemáticas que se llevan a cabo habitualmente con números decimales, es necesario en muchas ocasiones realizarlas también entre números binarios. Veamos cómo se realizan las dos operaciones binarias básicas: la suma y la resta. 3.1. SUMA BINARIA. Se realiza de forma análoga a como se hace con números decimales; para ello obsérvese el ejemplo en el que se compara esta operación aritmética para ambos sistemas numéricos. EJEMPLO.- SUMA DECIMAL Acarreo 1 1 1 1 Primer sumando 9 9 3, 1 2 5 Segundo sumando 2 0 4, 8 7 5 Suma 1 1 9 8, 0 0 0 SUMA BINARIA Acarreo 1 1 1 1 1 1 1 1 Primer sumando 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1, 0 0 1 Segundo sumando 1 1 0 0 1 1 0 0, 1 1 1 Suma 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0, 0 0 0 9
3.2. RESTA BINARIA. Respecto a la resta binaria se debe tener en cuenta que podría realizarse análogamente a como se hace con números decimales; sin embargo, esto conllevaría un circuito distinto para esta operación en los dispositivos reales, lo que supone un gran inconveniente. Por esta razón, habitualmente se realiza la operación de la resta mediante operaciones de suma, es decir, se debe sumar al minuendo el opuesto del sustraendo. Existen dos formas fundamentales de expresar el opuesto de un número binario: mediante complemento a dos y mediante complemento a uno. El complemento a dos de un número binario se obtiene intercambiando en el número binario original los ceros por unos para luego sumarle un 1 en el último dígito; de esta forma el complemento a dos de 1011,001 (11,125 10 ) sería 0100,111, que corresponde en número decimal a 4,875. Se cumple que el complemento a dos corresponde a dos elevado al número de bits enteros que el número original posea, menos el número decimal original (4,875 = 2 4 11,125). Esta característica servirá para realizar la operación de resta mediante aritmética de adición como se verá más adelante. El complemento a uno se halla intercambiando los unos por ceros en el número binario original, de tal forma que el complemento a uno de 1011,001 (11,125 10 ) es 0100,110 (4,75 10 ). La característica fundamental es que el complemento a uno de un número binario corresponde a dos elevado el número de dígitos enteros de dicha palabra, menos dos elevado al número de dígitos fraccionarios (con signo negativo) menos el número original (4,75 = 2 4 2-3 11,125). Mediante estos dos sistemas se puede obtener la resta de dos números binarios a partir de aritmética de adición. El más habitual es el complemento a dos, en el que la resta se consigue añadiendo al minuendo el complemento a dos del sustraendo, mientras que en la resta mediante suma por complemento a uno, se debe sumar al minuendo el complemento a uno del sustraendo y añadir a este valor el acarreo producido en la suma del bit de signo. En ambos casos, si el resultado de esta suma es negativo, el resultado final correcto será el complemento (a uno o a dos) de la suma hallada. El bit de signo es un bit añadido a la izquierda de cada número binario original que indica cuál es el número que actúa de sustraendo, de forma que se coloca un 0 para el minuendo o número positivo, y un 1 para el sustraendo o número negativo. Observando los ejemplos siguientes se entenderá mejor cómo se lleva a cabo la operación de resta binaria mediante la adición en complemento a uno y a dos. 10
RESTA BINARIA COMO ADICIÓN DE RESTA BINARIA COMO ADICIÓN DE COMPLEMENTO A UNO COMPLEMENTO A DOS Supongamos que queremos restar 13-5 Supongamos que queremos restar 13-5 Supongamos que queremos restar 7-9 Supongamos que queremos restar 7-9 11
4. ÁLGEBRA DE BOOLE. A principios del siglo XIX fue desarrollada el álgebra lógica, por George boole, para investigar las leyes fundamentales de aquellas operaciones por las que se rige el razonamiento humano, por lo que también se le conoce como álgebra de Boole. El álgebra de Boole opera con relaciones lógicas donde las variables, denominadas binarias, pueden tomar solamente dos valores distintos: verdadero o falso. Estos dos valores se representan simbólicamente con los signos 1 y 0 respectivamente y expresan, por tanto, estados y no cantidades; así, pueden simbolizar un interruptor abierto o cerrado (el circuito conduce o no conduce), encendido o apagado de una lámpara, que en un punto determinado del circuito haya o no haya tensión, En el álgebra de Boole aplicada a los circuitos digitales se pueden distinguir dos tipos de lógica: Lógica positiva. Al nivel de tensión más elevado se le asigna el estado 1, y al nivel más bajo el estado 0. Lógica negativa. La asignación se hace a la inversa, de manera que el estado 0 corresponde al nivel más elevado de tensión, y el estado 1 al más bajo. 4.1. FUNCIÓN LÓGICA. Se define como función lógica o Booleana a toda variable binaria cuyo valor depende de una expresión algebraica formada por otras variables binarias o booleanas relacionada mediante los signos + y. El signo + se debe entender como la conjunción o y el como la conjunción y. Ejemplo: S f (a,b) a + b 4.2. TABLA DE VERDAD. La tabla de verdad de una función es un cuadro formado por tantas columnas como variables contenga la función más la correspondiente a la de la función y por tantas filas como combinaciones sean posibles construir con dichas variables. Ejemplo: S f(a,b,c) a b c El número de columnas será 4 y el de filas a las combinaciones posibles que se obtiene de la siguiente manera: Filas 2 n 2 3 8, siendo n el número de variables. 12
a b c S a+b+c 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Podemos asemejarlo a un circuito en paralelo, donde a, b y c son interruptores y la función S es el receptor (por ejemplo una bombilla): 4.3. FUNCIONES BÁSICAS. Función igualdad. S a Función suma o función unión (OR). S a + b a b S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 13
Función producto o función intersección (AND). S a b a b S 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Función complemento o negación (NOT). S = a a S 0 1 1 0 4.4. POSTULADOS, PROPIEDADES Y LEYES MÁS IMPORTANTES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE. POSTULADOS. 1) a + 1 1 2) a + 0 a 3) a 1 a 4) a 0 0 5) a + a a 6) a a a 7) a + a = 1 8) a a = 0 9) a = a 10) S = a + b S = a + b S = a b S = a b 14
PROPIEDADES Y LEYES. 1) Propiedad conmutativa: a + b b + a a b b a 2) Propiedad asociativa: a + b + c a + (b + c) a b c a (b c) 3) Propiedad distributiva: a (b + c) a b + a c a + (b c) (a + b) (a + c) 4) Leyes de Morgan: a + b +... = a b... a b... = a + b +... 5) Ley de absorción: a (a + b) a a + (a b) a ( a b) = a b a + + 15
4.5. PUERTAS LÓGICAS. Una puerta lógica es un dispositivo electrónico integrado capaz de realizar una función básica, y que representaremos mediante un símbolo. Puerta AND. Esta puerta realiza la función básica de intersección o producto. En ella la salida toma el valor 1 sí, y solo sí, todas las variables de entrada toman el valor 1. S a b Puerta OR. Esta puerta realiza la función básica de unión o suma. En ella la salida toma el valor 1 sí, y solo sí al menos una de las variables de entrada toma el valor 1. S a + b + Puerta NOT. Esta puerta realiza la función básica de complemento o negacion. En ella la salida toma el valor 1 sí, y solo sí, la variable de entrada toma el valor 0. S = a Existen además otras puertas, llamadas puertas universales, cada una de las cuales permite reproducir todas las operaciones del álgebra de Boole. Estas puertas son: puerta NAND y puerta NOR. 16
Puerta NAND. La puerta NAND es una puerta AND seguida de una negación. Su Tabla de verdad y la representación simbólica, según la norma American Standard, son las siguientes: S = a b a b S 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Puerta NOR. La puerta NOR es una puerta OR seguida de una negación. Su Tabla de verdad y la representación simbólica, según la norma American Standard, son las siguientes: S = a + b a b S 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 Se puede comprobar la universalidad de esta puerta, por ejemplo, la función negación (NOT) se obtiene si unimos las dos entradas en una sola. S = a a S 0 1 1 0 17
Puerta OR - EXCLUSIVA. La puerta OR - EXCLUSIVA de dos variables a y b es aquella que toma el valor 1 cuando una de las variables toma el valor 1 y la otra el valor 0 o viceversa. S = a b = a b + a b a b S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Puerta NOR - EXCLUSIVA. La puerta NOR - EXCLUSIVA de dos variables a y b es aquella que toma el valor 1 cuando las dos variables son iguales S = a b a b S 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 18
5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS. Las funciones lógicas se pueden representar mediante: Diagramas de contactos, representan las funciones en términos de circuitos eléctricos provistos de contactos. Logigramas, representan las funciones mediante puertas lógicas. Ejemplo: S (a + b) c Diagrama de contactos Logigrama En general, una misma función lógica puede representarse mediante varias formulaciones matemáticas equivalentes. En cambio, la tabla de verdad es la misma en todos los casos. Lógicamente, siempre se debe utilizar la expresión matemática más sencilla; y no sólo para que su manejo matemático sea más simple, sino también porque su realización física por medio de circuitos será tanto más económica cuanto más sencilla sea. 19
6. FORMAS CANÓNICAS DE UNA FUNCIÓN. Entre las diversas representaciones matemáticas que puede tomar una función, existen dos especialmente interesantes que se denominan formas canónicas. Primera forma canónica de una función lógica o miniterms es una suma de productos lógicos en los que intervienen todas las variables de la función, ya sea de forma directo o de forma negada. Para obtenerla a partir de la tabla de la verdad, se tomarán aquellas filas en las que el valor de la función sea 1; cada termino será un producto de todas las variables que intervienen en la función, de forma directa (su valor en la tabla es 1) o de forma negada (su valor en la tabla es 0). Segunda forma canónica de una función lógica o maxterms es un producto de sumas en las que intervienen todas las variables de la función, ya sea de forma directo o de forma negada. Para obtenerla a partir de la tabla de la verdad, se tomarán aquellas filas en las que el valor de la función sea 0; cada termino será una suma de todas las variables que intervienen en la función, de forma directa (su valor en la tabla es 0) o de forma negada (su valor en la tabla es 1). Ejemplo: Obtener la primera y segunda forma canónica de la función a partir de su tabla de verdad. Fila a b c S 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 0 5 1 0 1 1 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 Primera forma canónica: S = a c + a c + a c Segunda forma canónica: S = ( a + b + c)( a + b + c ) ( a + b + c)( a + b + c)( a + b + c ) NOTA: las filas que aparecen en una forma canónica no aparecen en la otra. 20
7. REALIZACIÓN DE CUALQUIER TIPO DE FUNCIÓN A PARTIR DE PUERTAS BÁSICAS. La realización física de una función lógica se denomina implementar. La implementación de cualquier función es francamente simple, si bien, será necesario simplificar la función para utilizar el menor número de puertas lógicas. Ejemplo: S = a + c + a c ACTIVIDADES: Implementa las siguientes funciones: S = a + b + c d + a b + a c S = a b + a c + c A partir del siguiente logigrama obtén la función S. 21
Obtener la primera y segunda forma canónica de las funciones S 1, S 2, S 3 y S 4, cuyas tablas de verdad se representan más abajo. a b c S 1 a b c S 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 a b c d S 3 a b c d S 4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 22
8. IMPLEMENTACIÓN DE FUNCIONES CON UN SOLO TIPO DE PUERTAS. La utilización de distintos tipos de puertas conlleva la utilización de un elevado número de circuitos integrados, ya que en cada circuito integrado todas las puertas son del mismo tipo. Por ello es importante construir las funciones utilizando exclusivamente puertas universales, es decir, puertas NAND o puertas NOR. Así distinguimos: Lógica NAND NAND, el proceso a seguir para implementar una función solamente con puertas NAND. Lógica NOR NOR, el proceso a seguir para transformar cualquier tipo de función en una expresión algebraica tal que se pueda implementar con puertas NOR solamente. LÓGICA NAND NAND. a) En primer lugar debe aplicarse a la expresión en su conjunto una doble inversión. b) Si la función es un producto, las dos negaciones deben dejarse tal cual. Si es una suma, se elimina una de las inversiones aplicando la ley de Morgan. c) Se continúa invirtiendo doblemente los términos hasta que todas las sumas y productos se convierten en productos y productos negados. Ejemplos: S = a b S = a b S = a b S = a + b S = a + b S = a + b S = a b = a b + a b S = a b + a b = a a b 23
LÓGICA NOR NOR. a) En primer lugar debe aplicarse a la expresión en su conjunto una doble inversión. b) Si la función es una suma, las dos negaciones deben dejarse tal cual. Si es un producto, se elimina una de ellas mediante la aplicación de la ley de Morgan. c) Se continúa invirtiendo doblemente los términos hasta que todas las sumas y productos se convierten en sumas o sumas negadas. Ejemplos: S = a + b S = a + b S = a b S = a b = a + b S = a b = a b + a b S = a b + a b = a a b = a + b a + b = a + a + b = a + b + a + b EJERCICIOS: Implementa las siguientes funcione con puerta NAND y puertas NOR. S = a b + a b + a b S = a c + a c + a c 24
9. SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES. Como se ha dicho anteriormente, existen múltiples formas de expresar una misma función lógica por lo que se hace necesario elegir aquellas que fundamentalmente minimice el coste, y para ello se ha de tener en cuenta que lo que se pretende es obtener una expresión que tenga el menor número de términos con el menor número de variables en cada uno de ellos. Podemos simplificar funciones mediante el método matemático o por el método de Karnaugh (mapas de Karnaugh). 10.1 SIMPLIFICACIÓN POR EL MÉTODO MATEMÁTICO. En este método no existe ninguna regla fija que permita simplificar funciones de forma sistemática y consiste en reducir una función lógica recurriendo, en la medida de lo posible, a los postulados, las propiedades y leyes del álgebra de Boole. A modo de referencia analizaremos un ejemplo sencillo. Supongamos la siguiente función: ( b c ) S = a + c + Aplicando la propiedad distributiva queda: S = a + c b + c c Como, c c = 0 S = a + c b Aplicando la ley de Morgan queda: ( a b )( c + b ) = ( a b )( c b ) S = + Aplicando de nuevo la propiedad distributiva: ( a c ) + ( a b ) = ( a b ) + ( a b c ) S = Sacando factor común a, ( c ) a b : S = a 1+, como 1 + c = 1, nos queda: S = a b 25
10.2 SIMPLIFICACIÓN POR EL MÉTODO DE KARNAUGH (MAPA DE KARNAUGH). Es un método sencillo para simplificar funciones de hasta cuatro variables y aunque también es válido para cinco y seis su resolución es mucho más compleja. Ahora bien, para aplicar este método la función debe estar expresada como suma de productos (primera forma canónica) o producto de sumas (segunda forma canónica), por tanto, es necesario saber cómo convertir cualquier función lógica, sea cual sea la forma en que este expresada, en un producto de suma o suma de productos; nos centraremos en la primera forma canónica que es la que mas vamos a utilizar. Vamos a verlo con un ejemplo; supongamos la siguiente función: S a + c Se observa que en el primer término nos falta la variable b y c y en el segundo la variable a. Para introducirlas multiplicaremos por la variable más su complementada, es decir, estamos multiplicando por 1. ( b + b )( c + c ) + ( a a ) b c S = a + Operando obtenemos: S = ( a b + a b )( c + c ) + a c + a c = a c + a c + a c + a c + a c + a c Aquellos términos que se repitan se pueden eliminar dejando solo uno (quinto postulado), en nuestro ejemplo se repite a c, por tanto, eliminando uno queda: S = a c + a c + a c + a c + a c Ya hemos obtenido la primera forma canónica de nuestra función. Ejercicios. Pasa las siguientes funciones lógicas a la primera forma canónica: S = a b + a b + a c S = a + b + a c S = a b + c S = a b + c + a c 26
Si hubiéramos querido obtener un producto de sumas, es decir, la segunda forma canónica, sumaríamos a cada término las variables que le falten multiplicadas por su complementada, en definitiva le estaríamos sumando ceros. Supongamos la función: ( a + b)( a c) S = a + c = + ( a + b + c c )( a + b + c) = ( a + b + c)( a + b + c )( a + b + c)( a + b c) S = + Dejando solo uno de los términos que se repiten, nos queda: ( a + b + c)( a + b + c )( a + b c) S = + * Mapa de Karnaugh. Básicamente consiste en construir un cuadro con tantas celdillas como combinaciones permita el número de variables. En la parte superior e izquierda aparecen todas las combinaciones que se pueden conformar al asignar a cada variable los valores posibles. El orden de colocación de estas combinaciones ha de ser tal que entre adyacentes solo cambie el valor de una de las variables y solo una. Por último, en cada celdilla se incluye el valor de la función para la combinación de variables que la definen. Para el caso de una función de tres variables y una de cuatro variables los cuadros serían: 00 01 11 10 00 01 11 10 0 00 1 01 11 10 Si partimos de la primera forma canónica se ponen unos en las celdillas cuyas combinaciones aparecen en la función. Si por el contrario tenemos la segunda forma canónica pondríamos ceros para las combinaciones que aparecen en la función. A continuación agrupamos los unos o los ceros adyacentes en bloques de 2, 4, 8, 16,, puede observarse que son potencias de 2; no podrían agruparse 6 unos o 6 ceros aunque sean 27
adyacentes. Cada asociación debe contener el mayor número posible de celdillas, y el número de asociaciones debe ser mínimo. De cada asociación o grupo saldrá un término. Al realizar la minimización se debe tener en cuenta: Que puede ocurrir que existan varias asociaciones posibles de complejidad equivalente: en este caso, puede elegirse una cualquiera de ellas. Que puede suceder que quede algún uno o cero aislado: se considera como un grupo. El mismo uno o cero puede ser utilizado en varias agrupaciones diferentes, si esto resulta conveniente para el proceso. De cada grupo se toman las variables que tienen el mismo valor, asignándole la forma directa si es uno y la negada si es cero y como suma de productos, si partimos de la primera forma canónica o al contrario si partimos de la segunda forma canónica. Veamos algunos ejemplos de cómo formar los grupos: 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 Si tenemos cuatro variables: 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 1 0 0 1 00 1 0 0 1 00 1 0 0 1 01 1 1 1 1 01 0 0 0 0 01 1 1 0 0 11 1 0 0 1 11 0 0 0 0 11 0 0 0 0 10 1 0 0 1 10 1 0 0 1 10 0 0 0 1 28
ACTIVIDADES Dadas las tablas de verdad de las funciones S 1 y S 2, Hallar la función lógica en primera y segunda forma canónica. Realiza la minimización mediante Karnaugh y el logigrama correspondiente. Realiza el logigrama lógico de la función simplificada solo con puertas NAND y otro solo con puertas NOR. a b c d S 1 a b c d S 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 29
ACTIVIDADES DE SÍNTESIS Departamento de Tecnología 1) Enuncia las leyes de Morgan del álgebra de Boole, compruébalas utilizando tablas de verdad. 2) El número de entradas de una puerta lógica son: a) Dos. b) El número de salidas menos una. c) Siempre es un número par. d) Depende de la puerta lógica. 3) Dibuja los símbolos gráficos para las puertas lógicas. 4) Construye razonadamente una puerta logica AND de tres entradas a partir de puertas AND de dos entradas. 5) El funcionamiento de un montacargas está regulado mediante tres captadores situados debajo del mismo. Debe funcionar en vacío (ningún captador accionado) y con cargas entre 10 y 100 Kg (captadores A y B accionados), y debe estar parado para cargas menores de 10 Kg (captador A accionado) o superior a 100 Kg ( los tres captadores accionados). El captador A está accionado siempre que lo esté el B. Además, los captadores A y B están accionados cuando lo está el C. Se pide: a) Tabla de verdad. b) Función lógica del automatismo. c) Diagrama lógico del circuito. 6) En un circuito de conmutación, la correspondencia entre las tres señales de entrada y la señal de salida viene definida por la tabla de verdad adjunta: a b c S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Se pide: a) Expresar la función lógica mediante suma de productos canónicos y mediante producto de sumas canónicas. b) Realizar el logigrama con el menor número de puertas lógicas. 30