.- ESTÁTC DE LOS FLUDOS. HDROSTÁTC..1.- Ecuación fundamental de la estática de fluidos. La estática de fluidos es la parte de la mecánica de fluidos que estudia los fluidos en equilibrio, o dicho de otra manera, los fluidos que están en reposo. Esta parte de la mecánica de fluidos abarca desde el cálculo de la presión que ejerce un determinado fluido sobre una superficie sumergida en el mismo hasta el cálculo del empuje que sufre un cuerpo cuando se sumerge en el interior del mismo, con las aplicaciones que esto tiene. Lo primero que haremos en este punto será deducir la ecuación fundamental de la estática de fluidos, para ello, consideraremos un paralelepípedo sumergido en un fluido determinado: Calcularemos la fuerza que sufre este cuerpo en la dirección del eje, para ello sunpondremos p, y, z, las presiones que ejerce que la presión en el centro del cubo viene dada por la epresión ( ) 0 0 0 el fluido sobre las caras perpendiculares al eje vendrán dadas por: pa = p 0 +, y0, z0 pb = p 0, y0, z0 Por lo tanto la fuerza en la dirección del eje vendrá dada por: F p p 0, y0, z0 p = + 0, y0, z 0 y z Si multiplicamos y dividimos la epresión por el volumen del cuerpo: p 0 +, y0, z0 p 0, y0, z0 F p = V
Esta epresión llevada al límite cuando el volumen tiende a cero, y por lo tanto, la presión calculada es la presión en dicho punto, teniendo en cuenta que la epresión anterior en el límite es la derivada parcial, nos queda que: dfp p = dv De la misma manera se obtienen las epresiones para los otros dos ejes, que nos ofrecen un resultado final, según el cual, la fuerza volúmica debida a la presión viene dada por: ur uur d F p f p = = p dv Pero un cuerpo sumergido en un fluido estará sometido a fuerzas debidas a la presión y cualquier otro tipo de fuerzas, por lo que podemos escribir: ur uur ur f + f = 0 f = p p Que es la ecuación fundamental de la estática de fluidos...- Solución de la ecuación fundamental de la estática de fluidos. En este apartado resolveremos la ecuación fundamenatal de la estática de fluidos para dos casos de especial relevancia, por un lado el caso de un fluido sometido al campo gravitatorio constante y por otro lado resolveremos dicha ecuación para el caso de la atmósfera considerando ésta como un fluido cuya densidad depende de la presión. En primer lugar resolveremos la ecuación para un fluido en el seno del campo gravitatorio constante, la fuerza que sufre una partícula de este fluido será: ur ur ur d F d F dm ur f = = = ρ g = ρgk$ dv dm dv l aplicar la ecuación fundamental, teniendo en cuenta solamente la componente z de esta ecuación, obtenemos lo siguiente: p p z ρg = dp = ρgdz p p0 = ρ g ( z0 z) z p 0 z0 Con lo cual obtenemos la epresión para la diferencia de presiones entre dos puntos en el seno de un fluido que se encuentran a diferente altura como: 0 0 ( ) p = p + ρg z z El otro caso en que vamos a resolver la ecuación funadamental de la estática de fluidos va a ser en el caso de que tengamos un gas, como la atmósfera cuya densidad varía con la presión, para ello consideraremos que la atmósfera se comporta como un gas ideal, por lo que podemos escribir la presión en función de la densidad de la siguiente manera:
pm pm = ρrt ρ = RT Siendo M la masa molecular del gas, R la constante de los gases y T la temperatura, suponiendo la temperatura constante y sustituyendo en la ecuación fundamental, teniendo en cuenta que estamos sometidos al campo gravitatorio terrestre que consideraremos constate: pm p p dp z gm RT z p 0 p z0 RT g = = dz p = p e gm z 0 RT 0 Que nos da la variación de la presión atmosférica en función de la altura..3.- Fuerzas sobre superficies planas sumergidas. Cuando tenemos una superficie plana sumergida, sobre ésta va a actuar una fuerza que será igual al producto del peso específico del fluido por la altura a la que esté el centro de gravedad de dicha superficie respecto del nivel de la superficie libre del fluido y por el área de la superficie que sufre la fuerza, matemáticamente: F = γ hcg Epresando el peso específico en kgf/m 3, el área en m y la altura a la que está el centro de masas en metros, obtendremos la fuerza en kilogramos fuerza. En cuanto al punto de aplicación de dicha fuerza, será el centro de presiones, para calcularlo, debemos recurrrir a la epresión que nos relaciona la coordenada y de dicho centro de presiones con la del centro de masas. Es conveniente no confundir las coordenadas h que indican el nivel de un punto respecto a la superficie libre de fluido con las coordenadas y que indican la distancia desde el punto de corte de la superficie libre del fluido con la linea que contiene a la superficie analizada, para ello, se presenta el siguiente esquema: ( z ) Hemos de tener en cuenta que el empuje es ejercido en el centro de presiones, que es perpendicular al mismo en dicho punto y que para obtener las coordenadas del centro de presiones usaremos la ecuación: ycp = ycg + y cg
la hora de realizar los problemas, con frecuencia será necesario conocer la posición del centro de gravedad de diversas figuras geométricas, así como su área y su momento de inercia, las más comunes a la hora de resolver problemas se muestran a continuación FGUR X Y Área Rectángulo b/ h/ B h bh 3 /1 Triángulo b/3 h/3 b h/ bh 3 /1 Trapecio h( a + b) 3( a + b) ( b) h a 3 + h ( a + 4ab + b ) 36 ( a + b) Círculo Es el centro de la circunferencia π d 4 π d 64 4 Superficie elíptica Es el centro de la elipse π bh 3 πbh 4
Superficie parabólica 3b/8 h/5 bh/3.4.- Fuerzas sobre superficies curvas. Componente horizontal y vertical Cuando la superficie sumergida no es plana, debemos calcular por separado las dos componentes de la fuerza sobre la superficie, que serán la componente horizontal de la fuerza y la componente vertical de la misma. La componente horizontal será igual a la fuerza que ejerce el fluido sobre una superficie vertical imaginaria que es la proyección vertical de la superficie curva. El punto de aplicación de la misma es el centro de presiones de dicha pared imaginaria La componente vertical será igual al peso (real o imaginario) de líquido que hay encima de la superficie, el punto de aplicación estará sobre la vertical de la correspondiente coordenada del centro de gravedad de dicha superficie..5.- Principio de rquímedes. Empuje. El principio de rquímedes nos proporciona la fuerza que sufre un cuerpo cuando se halla sumergido en un fluido, dicho principio dice la fuerza que sufre un cuerpo sumergido sumergido es vertical y hacia arriba y su valor es igual al peso del fluido que desaloja. Matemáticamente, podemos epresar el principio de rquímedes mediante la siguiente epresión: E = ρ gv fluido sumergido Donde ρ es la densidad del fluido en el que está sumergido el cuerpo, g la aceleración de la gravedad y V el volumen sumergido del cuerpo. Dicha fuerza se denomina empuje y está aplicada en el centro de presiones que se calcula como: r r rdv r E = dv
Ejemplo 4.- Determina las fuerzas y las ubicaciónes de las mismas, sabiendo que la superficie B es rectangular y de 1,0 metros de longitud y que de la superficie CD sabemos que es un triángulo de vértice C de medidas 1,80 1,0 m. Empezaremos determinando la fuerza sobre la compuerta B que está vertical, para ello usaremos la epresión que nos da la fuerza sobre una compuerta plana sumergida, según la cual: E = γ hcm En donde γ es el peso específico del fluido, en este caso, agua, que tiene un valor de 1000 kgf/m 3, h es la altura a la que se encuentra el centro de gravedad de la compuerta y el área de la misma. El centro de gravedad se encontrará en el centro geométrico de la compuerta, como se muestra en la siguiente figura: Teneiendo en cuenta todo lo que se epuso anteriormente, la fuerza que sufre la compuerta B será: E = γ hcm = 1000, ( 1, ) = 580 kgf. En cuanto al punto de aplicación de dicha fuerza, éste será el centro de empuje, que calcularemos a partir de la epresión: yce = ycg + ycg La y del centro de gravedad es la distancia que hay desde el punto de corte de la superficie libre del fluido con la pared que contiene a la compuerta y en este caso, como en cualquier caso en que tengamos una pared vertical coincide con la altura h a la que se encuentre el centro de gravedad, por lo tanto, tendrá un valor de, m, por otro lado el momento de inercia lo sacamos de la tabla, según la cual: =bh 3 /1=(1, 3 )/1=0.8 m 4. Sustituyendo en la epresión nos da un valor de:
0,8 y = CE y + CG,,35 ycg = +, ( 1, ) = m. Por lo tanto, el esquema que tenemos para la compuerta será el siguiente: Por tanto, la compuerta B sufrirá una fuerza de 580 kgf a una distancia de,35 m de la superficie libre del fluido. hora tenemos que hacer el mismo cálculo con la compuerta triangular, para ello, tendremos en cuenta que la altura a la que se encuentra el centro de gravedad de la compuerta está a 1/3 de la altura, ya que la compuerta sabemos que es triangular, por lo tanto: Por lo tanto el valor del empuje será: 1,80 1, 0 E = γ hcm = 1000 1,84 ( ) = 1987 m. El punto de aplicación será el centro de empujes que estará situado a una distancia y dada por : 0,583 y = CE y + CG, 61,8 y 1,80 1, 0 CG = + = m,61 ( ) Quedando el siguiente esquema para la compuerta:
Ejemplo 5.- Para el depósito de la figura: a) determina la fuerza que actúa sobre la superficie B de,40 m de anchura y sabiendo que la longitud total del depósito es de 4 m, b) la fuerza total sobre el fondo del depósito, c) compararla con el peso de agua que contiene el recipiente. a) Vamos a determinar en primer lugar la fuerza que sufre la parte plana B, la fuerza que sufre dicha superficie vendrá dada por: E = γ hcm La h hace referencia a la altura a la que se encuentra el centro de gravedad de la pared B respecto del nivel de la superficie libre del fluido, y vendrá dada por 3,60 m + 1,80/ m = 4,50 m. Sustituyendo en la epresión de la fuerza: E = γ hcm = 1000 4,50 (, 40 1,80) = 19440 kgf. El punto de aplicación de la fuerza de empuje será el centro de empujes, la altura del cual vendrá dado, debido a que es una pared vertical por la epresión: yce = ycg + ycg 1,17 y = CE y + CG 4, 50 4,56 ycg = + 4,50 (, 40 1,80) = m b) hora tenemos que determinar la fuerza total sobre el fondo del depósito, para ello, usaremos la misma epresión que en el caso anterior, teniendo en cuenta que el centro de gravedad del fondo del depósito se encuentra al nivel del fondo del depósito, ya que es una superficie horizontal, por lo tanto, nos quedará:
( ) E = γ h = 1000 3, 6 + 1,8 (, 4 4) = 51840 kgf CM La altura a la que se encuentre el centro de empujes, será, obviamente la misma a la que se encuentre el centro de gravedad, es decir al nivel del fondo del depósito, esto es un hecho general que se cumple para todas las superficies horizontales. Ejemplo 6.- Determina la fuerza que habrá que aplicar sobre la compuerta rectángular B, sabiendo que está articulada en y que en el recipiente de la derecha tenemos aceite de densidad relativa 0,750 y en el recipiente de la izquierda tenemos agua, determina de igual manera el punto de aplicación de dicha fuerza. La longitud de los depósitos es m. Sobre la compuerta actuarán dos fuerzas, por un lado la fuerza debida al agua que se encuentra en el recipiente de la izquierda, que calcularemos como: E = γ hcm La altura a la que se encuentra el centro de gravedad de la compuerta respecto del nivel del fluido será: E = γ hcm = 1000 4, 5 (1,80 ) = 1600 kgf El punto de aplicación de la misma vendrá dado por: yce = ycg + ycg Que sustituyendo los datos de los que disponemos nos da un valor de: 0,97 y = CE y + CG 4,50 4,505 y = + 4,50 ( 1,80) = CG
hora tenemos que calcular la fuerza que ejerce el aceite contenido en el depósito de la derecha, para ello, calculamos primero la fuerza teniendo en cuenta que la altura a la que está el centro de gravedad de la superficie respecto al nivel de la superficie libre de fluido es de 0,9 m, tendremos: E = γ hcm = 1000 0, 750 0,9 (1,80 ) = 430kgf. El punto de aplicación de esta fuerza será: 0,97 y = CE y + CG 0,9 1, ycg = + 0,9 ( 1,80) = m El esquema para la compuerta será: La fuerza que habrá que ejercer será la fuerza destinada a compensar las dos fuerzas que tenemos, es decir, la diferencia entre ellas por ser de sentido contrario, por lo tanto, tendremos que aplicar hacia la izquierda una fuerza de: F = 1600 430 = 13770 kgf Para determinar el punto de aplicación de dicha fuerza, tendremos que aplicar la ecuación de suma de momentos respecto del punto articulado de la compuerta, es decir:
M = 0 M = M + Sustituyendo las fuerzas y las distancias halladas anteriormente, tenemos: M = M 1600 0,905 = 430 1, + 13770 h h = 0,85 m + Es decir, que la fuerza ha de ser aplicada a 0,85 m del punto para que eista equilibrio rotacional, o lo que es lo mismo, para que no gire respecto del punto. Ejemplo 7.- La compuerta B tiene 1,80 metros de diámetro, y puede girar alrededor del punto C, estando el punto C 0,10 m por debajo del punto medio de la compuerta tal y como se muestra en la figura. Calcular la altura hasta la que puede ascender el agua para que haya equilibrio. Para que la compuerta no gire, debemos hacer que el empuje esté aplicado sobre el punto C o punto de giro, de tal manera, el momento será F 0=0 y por lo tanto no se provoca giro ninguno, esquemáticamente, la situación que debemos provocar es la siguiente: El punto de aplicación de la fuerza, vendrá dado por: yce = ycg + ycg En donde la altura del centro de gravedad de la compuerta será h+0,9 la altura del centro de empujes debe ser el punto C, por lo tanto valdrá h+0,9+0,1 m y para el cálculo del momento de inercia tendremos en cuenta que la compuerta es cirular, por lo tanto, usaremos la fórmula.
π d = 64 4 Por lo tanto obtenemos la siguiente ecuación. 0,515 yce = ycg + h + 0,9 + 0,1 = h + 0,9 + y h 0,9,54 CG yce = ycg + h + 0,1 = h + y h CG ( ) ( ) 0,515 0,9,54 h =,93m Por lo tanto, la latura a la que puede subir el auga por encima del punto superior de la compuerta es de,93 m. Ejemplo 8.- Determinar y ubicar las componentes de la fuerza que ejerce el agua por metro de longitud sobre la compuerta que se muestra en la figura, si el radio de la misma es de m: La fuerza horizontal será igual al valor que ejerce el agua sobre la proyección vertical de la superficie, es decir, sobre una pared vertical de m de altura, por lo tanto, la fuerza horizontal será: E = γ hcm = 1000 1 (1 ) = 000 kgf En donde hemos tenido en cuenta que el centro de gravedad de la pared vertical imaginaria está en su punto medio, y por lo tanto, a una altura de 1 m y que la longitud de la compuerta es 1 m, ya que, el problema nos dice que hagamos el cálculo por metro de longitud.
En cuanto al punto de aplicación de dicha fuerza, será el mismo que el que tendría la pared vertical imaginaria sobre la que calculamos el apartado anterior, es decir: 0,667 y = CE y + CG 1 1,33 y + 1 1 = CG La componente vertical de la fuerza será igual al peso del volumen de agua que eiste encima de la superficie, es decir: ( ) π R π FV = γ L = γ L = 1000 1 = 3141kgf 4 4 La componente vertical de la fuerza está sobre la vertical del centro de gravedad de la superficie, teniendo en cuenta lo que se epone en la tabla de los centros de gravedad: 4R CG = = 0,85 m. 3π El esquema de las fuerzas que actuan sobre la compuerta será el siguiente:
Ejemplo 9.- El cilindro de la figura tiene 1,5 metros de longitud y un peso de 500 kg, determina las reacciones en los puntos y B, sabiendo que la densidad relativa del aceite es de 0,750.
La reacción en será igual a la componente horizontal de la fuerza que ejerce el fluido sobre el cilindro, que como se hizo en el ejemplo anterior es igual a la fuerza que ejercería el fluido sobre la proyección vertical de la superficie, es decir, sobre una pared plana de m de altura: π R π R Fv 1 = γ L = γ L = 750 1,5 = 883kgf 4 4 La reacción vertical será igual a la fuerza vertical resultante que ejerce el aceite sobre el cilindro, esta fuerza será igual a la diferencia entre la fuerza vertical ascendente, debida al fluido que está por debajo de la mitad del cilindro y la fuerza vertical descendente, que será igual a la fuerza debida al aceite que está por encima de la mitad del cilindro. π R F γ L γ L γ R L 4 v = = [ cuadrado sector ] = = 41 kgf
F vtot = 883 41 = 64 kgf La reacción en B coincide con este último valor, es decir es la diferencia entre las fuerzas verticales y tendrá sentido opuesto al que tiene esta fuerza total, es decir, está dirigido hacia abajo. Ejemplo 10.- El cilindro representado en la figura tiene un peso de 50 kg y tiene una longitud de 1 m. Se vierte agua y aceite en las partes izquierda y derecha hasta unas alturas de 0,6 y 1, m respectivamente. Halla las componentes de la fuerza que mantiene al cilindro fijo en el punto B sabiendo que la densidad relativa del aceite es 0,89. Para determinar las reacciones que mantienen fijo al cilindro, tendremos que calcular las fuerzas que sufre el cilindro. Por un lado, tendremos la fuerza que ejerce el aceite situado en la parte izquierda del depósito, esta fuerza tendrá dos componentes, por un lado, una componente horizontal que será igual a la fuerza que ejercería el aceite del depósito sobre la proyección vertical de la superficie alcanzada por el fluido, esto es, sería la fuerza que ejerce el aceite sobre una pared de 0,6 m de altura, es decir: FH = γ hcg Tendremos en cuenta que la altura a la que se encuentra el centro de masas es justamente la mitad de la altura total de la pared, es decir, 0,3 m, por lo tanto la fuerza horizontal será igual a: F = γ h = 0,89 1000 0,3 1 0, 6 = 160, kgf. H CG ( ) Por otro lado, la componente vertical de la fuerza será igual al peso, real o imaginario que tiene encima la superficie:
FV = γ L El área que hay que calcular es 1, que es el área imaginaria de fluido que se encuentra encima de la supuerficie, para calcular 1 tendremos en cuenta las siguientes consideraciones: = + + 1 1 3 4 circunf ( rad ) R π R bh α 1 = 1 circunf 3 = 4 4 Tendremos en cuenta que la altura del triángulo h es 0,6 m, y la base la podemos hallar por Pitágoras, sabiendo que la hipotenusa es el radio de la circunferencia: b = 1, 0,6 = 1,039 m. Por otro lado, necesitamos saber cuánto vale el ángulo en radianes que en la figura se denota por α y que es necesario para calcular el área 3 correspondiente al sector circular: 1,039 tan β = = 60º α = 30º = π rad. 0,6 6 Ya contamos con todos los datos para poder calcular el área deseada:
( rad ) R π π R bh α π1, 1,039 0,6 1, 6 1 = = = 0,4 m. 4 4 Y a partir de aquí, ya podemos calcular la componente vertical de la fuerza como: F = γ L = 0,89 1000 0, 4 1 = 375, 58 kgf. V hora calcularemos la fuerza que ejerce el agua situada en el depósito de la derecha sobre el cilindro, sabemos que, al igual que en el caso anterior, vamos a tener dos componentes para la fuerza, una componente horizontal igual a la fuerza que ejercería el agua sobre la proyección vertical de la pared, es decir sobre una pared de 1, m de agua, ya que el agua llega justo hasta la mitad del cilindro: F = γ h = 1000 0, 6 1 1, = 70 kgf. H CG ( ) La componente vertical de la fuerza la calcularemos de igual manera que en el caso anterior, pero ahora, tendremos en cuenta que el agua situada sobre la superficie es la que corresponde a un área transversal determinado por un cuarto de circunferencia, por lo que la componente horizontal de la fuerza será igual a: π R π1, FV = γ L = γ L = 1000 1 = 1131kgf. 4 4 El esquema para la totalidad del cilindro será el siguiente.
La fuerza horizontal total será: tot F H = 70 160, = 559,8 kgf dirigida hacia la izquierda. La fuerza vertical total será: F = 1131+ 375,58 50 = 156, 58kgf hacia arriba. tot V En donde hemos tenido en cuenta 50 kgf hacia abajo correspondientes al peso del cilindro, por lo tanto las reacciones en el punto de apoyo serán iguales y de signo contrario a las fuerzas calculadas. Ejemplo 11.- Determina las componentes horizontal y vertical que ejerce el agua sobre la compuerta mostrada en la figura por metro de longitud: La componente horizontal es igual a la fuerza que ejercería el fluido sobre la proyección vertical de la superficie, es decir, la fuerza que ejercería el fluido sobre una pared vertical de 3 m de altura, es decir: FH = γ hcg = 1000 1, 5 (3 1) = 4500 kgf Por otro lado la componente vertical de la fuerza será totalmente hacia arriba y será igual al peso del fluido real o imaginario que se encuentra sobre la superficie, en esta caso:
( rad ) R bh FV = γ 1 L = γ [ sec tor ] L = γ α L El ángulo en radianes correspondiente al sector circular lo podemos sacar del triángulo que conforma el área, como se muestra en la figura: 3 tanα = α = 6,56º = 0, 46 rad. 6 Por otro lado la altura h del triángulo será de 3 m, la base del mismo la podemos hallar usando el teorema de Pitágoras: b = 6 3 = 5,19 La longitud L la tomaremos como 1, ya que el problema nos pide que hagamos el cálculo por metro de longitud., los resultados son los siguientes: ( ) α rad R bh 0, 46 6 3 5,19 FV γ 1 L γ [ sec tor ] L γ = = = L = 1000 1 = 495 kgf. Gráficamente:
Ejemplo 1.- Determinar en la presa de la figura que momento, si la longitud es de 1 m, respecto del punto (esquina inferior derecha de la presa) se genera debido a la acción de la fuerza que el agua ejerce sobre el hormigón. Para resolver el problema, debemos calcular las fuerzas horizontal y vertical que actúan sobre la presa de forma parabólica y su ubicación, para poder determinar el momento respecto a. La componente horizontal de la fuerza será la fuerza que ejerce el fluido sobre la proyección vertical de la superficie que sufre la fuerza, es decir la fuerza que ejerce el fluido sobre una pared de 3 m de altura, por lo tanto la componente horizontal de la fuerza vendrá dada por: FH = γ hcg = 1000 1, 5 (3 1) = 4500 kgf. Su ubicación la determinaremos usando la altura a la que se encuentra el centro de empuje de la superficie vertical imaginaria usada anteriormente, es decir.,5 y = CE y + CG 1,5 y = + 1,5 3 1 = m CG La fuerza vertical será igual al peso que hay encima de la presa parabólica, usando la tabla en al que se especifican las características geométricas de cada una de las superficies, llegamos a la conclusión de que el área del paraboloide será: ( )
bh 3 4 = = = 8 m 3 3 La fuerza vertical vendrá dada por: FV = γ L = 1000 8 1 = 8000 kgf. Su ubicación estará sobre la vertical del centro de gravedad de la superficie parabólica, que está a una distancia dada por la tabla en la que se describen las caracterísitcas geométricas de las distintas figuras: 3b 3 4 d cg = = = 1,5 m 8 8 El momento resultante respecto del punto será la suma de los momentos de cada una de las fuerzas, para calcular los momentos tendremos en cuenta que para calcularlos usaremos que un momento es fuerza por distancia, siendo la distancia la distancia que hay que recorrer para llevar la fuerza hasta el eje según el que está situado en el punto.
El momento resultante será: M = 8000 4,5 4500 = 7000 kgf m En sentido horario. Ejemplo 13.- Una piedra pesa 54 kg en el aire y 4 kg en el agua. Calcula el volumen y la densidad relativa de la piedra. En el aire, el peso de la piedra es mg, sin embargo, en el interior del agua, la piedra tendrá un peso que será igual a su peso aparente, o lo que es lo mismo a la diferencia entre su peso en el aire y su empuje. P = mg P = mg E = mg ρ gv ' líquido cuerpo El volumen del cuerpo no lo conocemos, por lo que debemos epresarlo en función de la densidad como: mcuerpo mcuerpo ρcuerpo = Vcuerpo = V ρ cuerpo La ecuación del peso aparente quedará como: m cuerpo ρ líquido P ' = mg ρlíquidog mg 1 = P ' ρcuerpo ρcuerpo hora, la masa la epresamos como el peso partido por la gravedad, lo cual, nos permite epresar la epresión anterior como: ρ líquido P ' = P 1 ρcuerpo Sustituyendo los valores que nos da el problema nos queda. ρ líquido ρlíquido ρlíquido 4 = 54 1 0,44 = 1 = 0,56 ρcuerpo ρcuerpo ρcuerpo Lo que debemos hallar es la densidad relativa de la piedra que es precisamente la inversa de la cantidad anterior: ρ = 1,8 r cuerpo
Por otra parte, si queremos hallar el volumen de la piedra, no tenemos más que sustituir en la epresión en función de la densidad y ya podemos hallar el volumen teniendo en cuenta que la masa es igual al peso partido por la gravedad. P mcuerpo g 54 V = cuerpo 0,03 ρ = ρ = 1800 = m 3. cuerpo cuerpo Ejemplo 14.- Un objeto prismático de 0040 cm se sumerge en agua a una profundidad de 50 cm dando un peso de 5 kg. Determina cuánto pesa en el aire y cuál es su densidad relativa. Debemos calcular cuánto pesa en el aire, para ello, tenemos en cuenta que el peso en el aire es igual a la masa por la gravedad y que si no disponemos del dato de la masa debemos usar la densidad del cuerpo. demás, tenemos el peso aparente del cuerpo (5 kg, es el peso que tiene sumergido), por lo que podemos usar la siguiente epresión siguiente que dedujimos en el problema anterior. ρ líquido ρ líquido P ' = mg 1 ρcuerpovcuerpo 1 ρcuerpo ρcuerpo Sustituyendo los datos que nos da el problema ya podemos calcular la densidad del cuerpo como: 1000 5 = 0, 016ρcuerpo 1 31,5 = ρcuerpo 1000 ρcuerpo De donde sacamos la densidad del cuerpo como: ρ = 131, 5 kg/m 3 cuerpo Por otra parte, el problema también nos pide el peso del cuerpo en el aire, una vez hallada la densidad del cuerpo, el peso de dicho cuerpo en el aire, se obtiene inmediatamente como: P = mg = ρ V g = 131,5 0, 016 9,8 = 05,8 N cuerpo cuerpo Ejemplo 15.- Qué fracción de una pieza sólida de metal de densidad relativa 7,50 emerge cuando está sumergido en mercurio de densidad relativa 13,6? Vno suemrgido Para determinar la fracción de cuerpo que emerge debemos calcular la cantidad, V sumergido para ello procederemos igualando el peso del cuerpo con el empuje y dejando dicha cantidad en función de las densidades relativas del líquido y del cuerpo,es decir: mg = ρ gv m = ρ V líquido suemergido tot líquido suemergido ρlíquido V ρ + 1 = = ρ V ( ) ρ V = ρ V ρ V + V = ρ V cuerpo tot líquido suemergido cuerpo no suemrgido sumergido líquido suemergido V no suemrgido no suemrgido V sumergido cuerpo sumergido líquido ρ cuerpo 13,60 1 = 1 = 0,813 7,50 Es decir, que emerge el 81,3% del cuerpo. Ejemplo 16.- Calcula la profundidad a la que se sumergirá un tronco de madera de densidad relativa 0,45 cuando se sumerge en agua, sabiendo que el diámetro del tronco son,40 m y que la longitud del mismo es de 7 m. Sabemos que la densidad del tronco es menor que 0,5, por lo que el tronco estará sumergido en una proporción menor que el 50%, es decir, su línea de flotación está por debajo de su mitad.
Para resolver el problema debemos igualar el empuje con el peso del tronco, es decir: mg = ρ gv líquido suemergido El volumen sumergido del tronco será igual al área transvesal sumergida por la longitud del tronco. la vista de la figura, se comprueba que el área sumergida es igual al área del sector circular menos el área de los dos triángulos: = sumergida sector triángulo La base del triángulo la podemos sacar aplicando el teorema de Pitágoras: ( ) b = R R h = R R h + Rh = Rh h Por otro lado el ángulo central lo podemos sacar usando la siguiente relación trigonométrica: arccos R α = h R hora ya podemos calcular el empuje, partiendo de la epresión en la que se iguala el peso con el empuje: α ( rad ) R ρcuerpovtot = ρlíquidovsuemergido ρcuerpoπ R = ρlíquido b( R h) L R h arccos R R ρcuerpoπ ρ Sustituyendo los datos que nos da el problema tenemos: R = líquido b( R h) L, 40 h arccos, 40,40 0, 450π, 40 = 1 4,80 h h (, 40 h) 7 Esta es una ecuación no lineal, que no queda más remedio que resolver por tanteo, es decir, ir dando valores a h, hasta que obtengamos un valor que verifique la igualdad anterior. Este tipo de ecuaciones también se pueden resolver usando un sencillo programa informático que aproime las soluciones lo máimo posible. Usando el método de tanteo, se obtiene un valor para h de: h = 1,85 m.