Teoría de la Empresa La Tecnología de Producción
La Empresa Qué es una Empresa? En la práctica, el concepto de empresa, y el papel que las empresa desempeñan en la economía, son extraordinariamente complejos. En esta introducción a la teoría de la empresa adoptaremos una visión simple de la actividad de las empresas: nos limitaremos a considerarlas como agentes económicos cuya actividad consiste en transformar bienes; es decir, producir ciertos bienes (outputs) utilizando otros bienes como inputs. Así, una empresa queda completamente caracterizada por su tecnología.
La Tecnología de Producción La tecnología de producción puede describirse mediante el conjunto de posibilidades de producción Y, un subconjunto de R l. Un plan de producción es un vector en R l en el que las coordenadas positivas son los outputs y las negativas son inputs. Ejemplo: Supongamos que hay 5 bienes (l=5). Si el plan de producción (-5, 2, -6, 3, 0) es factible, esto significa que la empresa puede producir 2 unidades del bien 2 y 3 unidades del bien 4 usando 5 unidades del bien 1 y 6 unidades del bien 3 como inputs. En este plan de producción el bien 5 ni aparece ni como input ni como output.
La Tecnología de Producción Para simplificar el problema, supondremos que la empresa produce un sólo output (Q) utilizando dos inputs (L y K) Así, una tecnología de producción se puede describir mediante una función de producción, F(L,K), que nos indica la cantidad máxima Q de output que se puede producir para cada vector de inputs (L,K) 0 El conjunto de posibilidades de producción Y se puede describir como los niveles de producción Q y combinaciones de factores (L,K) que satisfacen la desigualdad Q F(L,K). La ecuación Q = F(L,K) describe la frontera de posibilidades de producción.
Función de Producción Q = F(L,K) Q = producción L = trabajo K = capital F L = F / L > 0 (producto marginal del trabajo) F K = F / K > 0 (producto marginal del capital)
Ejemplo: Función de Producción Cantidad de trabajo Cantidad de capital 1 2 3 4 5 1 20 40 55 65 75 2 40 60 75 85 90 3 55 75 90 100 105 4 65 85 100 110 115 5 75 90 105 115 120
Isocuantas La función de producción describe también las combinaciones de factores que permiten obtener un mismo nivel de producto. Así, podríamos diferenciar entre - tecnologías intensivas en trabajo - tecnologías intensivas en capital.
5 4 K 75 Isocuantas Combinaciones de trabajo y capital que permiten producir 75 unidades de producto. 3 75 2 1 75 75 1 2 3 4 5 L
3 K Isocuantas 5 Isocuanta: curva que describe todas las combinaciones de trabajo 4 y capital que generan el mismo nivel de producción. 2 1 Q= 75 1 2 3 4 5 L
Mapas de Isocuantas 5 K 4 3 Isocuantas: describen las combinaciones de factores que permiten obtener 55, 75 y 90 unidades de producto. 2 Q 3 = 90 1 Q 1 = 1 2 3 4 5 Q 2 = 55 75 L
Mapas de Isocuantas Las isocuantas muestran la flexibilidad que tienen las empresas para sustituir un input por otro input manteniendo constante el nivel de producción. Esta información permite al productor responder a cambios en los precios de factores.
Factores Sustitutivos y Complementarios Imperfectos K 5 4 3 2 A 1 B La tasa a la que los factores pueden sustituirse varía a lo largo de la isocuanta 2 1 1 1 2/3 C 1 1/3 D 1 E 1 2 3 4 5 L
K 2 Factores Sustitutivos Perfectos Los factores pueden sustituirse a una tasa constante, cualquiera que sea la combinación de factores que se esté utilizando (veremos que la RMST es una constante). 1 Función de producción: F(L,K)= L + K. 0 Q 1 Q 2 Q 3 1 2 3 L
Factores Complementarios Perfectos K (Martillos) 4 3 Es imposible sustituir un factor de producción por otro: un carpintero sin martillo no produce, y viceversa 2 1 Función de producción: F(L,K) = min{l,k} 0 1 2 3 4 L (Carpinteros)
La producción con un factor variable Vamos a estudiar las curvas de producto. Para ello, supongamos que todos los factores menos uno son fijos, y consideremos cómo varía la producción con el factor variable: Q = F(L,K 0 ) = f(l)
Ejemplo numérico: producción con un factor variable Cantidad Cantidad Producción de trabajo (L) de capital (K) total (Q) 0 10 0 1 10 10 2 10 30 3 10 60 4 10 80 5 10 95 6 10 108 7 10 112 8 10 112 9 10 108 10 10 100 Suponemos que el capital es el input fijo y el trabajo el factor variable
Curva de producto total Q 112 Producto total 60 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 L
Producto medio Definimos el producto medio del trabajo (PMe L ) como la cantidad de output producida por cada unidad de trabajo PMe L = Q / L
Ejemplo numérico: producto medio Cantidad Cantidad Producción Producto de trabajo (L) de capital (K) total (Q) medio 0 10 0 0 1 10 10 10 2 10 30 15 3 10 60 20 4 10 80 20 5 10 95 19 6 10 108 18 7 10 112 16 8 10 112 14 9 10 108 12 10 10 100 10
Curvas de producto total y de producto medio Q 112 Producto total 60 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q/L L 30 Producto medio 20 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 L
Producto marginal El producto marginal del trabajo (PM L ) se define como la producción adicional obtenida cuando se incrementa la cantidad de trabajo en una unidad PM L = ΔQ ΔL
Ejemplo numérico: producto marginal Cantidad Cantidad Producción Producto Producto de trabajo (L) de capital (K) total (Q) medio marginal 0 10 0 0 --- 1 10 10 10 10 2 10 30 15 20 3 10 60 20 30 4 10 80 20 20 5 10 95 19 15 6 10 108 18 13 7 10 112 16 4 8 10 112 14 0 9 10 108 12-4 10 10 100 10-8
Curvas de producto total y de producto marginal Q 112 Producto total 60 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q/L L 30 Producto marginal 20 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 L
Q 112 Producto medio y producto marginal Q 112 D 60 B 60 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 L 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 L Q 112 60 C En B Q/L < dq/dl En C Q/L = dq/dl En D Q/L > dq/dl 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 L
Producto medio y producto marginal Q/L PM L A la izquierda de C: PM > PMe y PMe es creciente A la derecha de C: PM < PMe y PMe es decreciente En C: PM = PMe y PMe alcanza su máximo 30 Producto marginal 20 C Producto medio 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 L
Relación Marginal de Sustitución Técnica La Relación Marginal de Sustitución Técnica (RMST) indica las proporciones en las que puede sustituirse trabajo por capital de manera que la producción permanezca constante. Si la definimos como RMST = -F L /F K, indica el número de unidades adicionales de capital necesarias para mantener constante el nivel de producción cuando la cantidad del input trabajo disminuye en una unidad.
Relación Marginal de Sustitución Técnica K A 5 4 2 RMST = ΔΚ ΔL 3 1 B ΔL=1 ΔΚ= - 2 2 RMST = -(-2/1) = 2 1 1 2 3 4 5 L
Relación Marginal de Sustitución Técnica K A RMST = ΔΚ ΔL ΔK B La RMST es la pendiente de la recta que une A y B. ΔL L
Relación Marginal de Sustitución Técnica K RMST = lim -ΔΚ/ ΔL ΔL 0 C Cuando ΔL tiende a cero, RMST es la pendiente de la isocuanta en el punto C. L
Cálculo de la RMST Análogamente a lo que hacíamos con las funciones de utilidad, podemos calcular la RMST como un cociente de productos marginales utilizando el Teorema de la Función Implícita: donde Q 0 =F(L 0,,K 0 ). F(L,K)=Q 0 (*) Derivando totalmente la ecuación (*), tenemos F L dl +F K dk = 0. La derivada de la función que define la ecuación (*) es dk/dl= -F L /F K. Esta fórmula nos permite evaluar la RMST en cualquier punto de la isocuanta.
Ejemplo: Cobb-Douglas Sea Q = F(L,K) = L 3/4 K 1/4 Calcule la RMST Solución: F L = 3/4 (K / L) 1/4 F K = 1/4 (L / K) 3/4 RMST = -F L / F K = -3 K / L
Ejemplo: Sustitutivos Perfectos Sea Q = F(L,K) = L + 2K Calcule la RMST Solución: F L = 1 F K = 2 RMST = -F L / F K = -1/2 (constante)
Rendimientos a Escala Modificación de la escala: aumento de todos los factores en la misma proporción (ej. (L,K) (2L,2K)) Rendimientos a escala: tasa a la que aumenta la producción cuando se incrementa la escala.
Rendimientos a Escala Consideremos una modificacion de la escala: (L, K) (rl, rk), con r > 1. Decimos que Hay rendimientos crecientes de escala si F(rL, rk) > r F(L,K) Hay rendimientos constantes de escala si F(rL, rk) = r F(L,K) Hay rendimientos decrecientes de escala si F(rL, rk) < r F(L,K).
Ejemplo: Rendimientos Constantes a Escala K 6 Q=30 4 2 Q=20 Las isocuantas son equidistantes. Q=10 0 5 10 15 L
Ejemplo: Rendimientos Crecientes a Escala K 4 Las isocuantas están cada vez más cerca. 3.5 2 Q=20 Q=30 Q=10 0 5 8 10 L
Ejemplo: Rendimientos Decrecientes a Escala K 12 Las isocuantas están cada vez más lejos. Q=30 6 Q=20 2 Q=10 0 5 15 30 L
Ejemplo: Rendimientos a Escala Sea la función de producción Q = F(L,K) = L + K Diga cómo son los rendimientos de escala. Solución: Sea r > 1. Entonces F(rL,rK) = (rl) + (rk) = r (L+K) = r F(L,K) La función F presenta rendimientos constantes a escala.
Ejemplo: Rendimientos a Escala Sea la función de producción Q = F(L,K) = LK Diga cómo son los rendimientos de escala. Solución: Sea r > 1. Entonces F(rL,rK) = (rl)(rk) = r 2 (LK) = r 2 F(L,K) > r F(L,K). La función F presenta rendimientos crecientes a escala.
Ejemplo: Rendimientos a Escala Sea la función de producción Q = F(L,K) = L 1/5 K 4/5. Cómo son los rendimientos de escala? Solución: Sea r > 1. Entonces F(rL,rK) = (rl) 1/5 (rk) 4/5 = r (4/5+1/5) L 1/5 K 4/5 = r F(L,K). La función F presenta rendimientos constantes a escala.
Ejemplo: Rendimientos a Escala Sea la función de producción Q = F(L,K) =min{k,l}. Cómo son los rendimientos de escala? Solución: Sea r > 1. Entonces F(rL,rK) = min {rl,rk} = r min{l,k} = r F(L,K). La función F presenta rendimientos constantes a escala.
Ejemplo: Rendimientos a Escala Sea la función de producción Q = F(L,K 0 ) = f(l) = 4L 1/2. Cómo son los rendimientos de escala? Solución: Sea r > 1. Entonces f(rl) = 4 (rl) 1/2 = r 1/2 (4L 1/2 ) = r 1/2 f(l) < r f(l) La función f presenta rendimientos decrecientes a escala.
Transformaciones Monótonas Al contrario de lo que ocurría con las funciones de utilidad, las funciones de producción no son representaciones ordinales de la posibilidades de producción, sino representaciones cardinales. unque una función de producción G sea una transformación monótona de otra función de producción F, las tecnologías que representan son distintas.
Transformaciones Monótonas Por ejemplo, las funciones de producción F y G, definidas como F(L,K) = LK y G(L,K) = (LK) 1/2 representan tecnologías distintas. En particular, presentan rendimientos a escala distintos. Sea r > 1. Tenemos F(rL,rK) = r 2 LK = r 2 F(L,K) > rf(l,k) y G(rL,rK) = r(lk) 1/2 = rf(l,k). Por tanto, F presenta rendimientos crecientes a escala y G presenta rendimientos constantes a escala.
Transformaciones Monótonas Sin embargo, sigue siendo cierto que las transformaciones monótonas no modifican la RMST. Puede comprobarse que la RMST es la misma para las funciones de producción F y G descritas: MRTSF(L,K) = K/L; MRTSG(L,K) = (1/2)L (-1/2) K 1/2 /[(1/2)L (1/2) K (-1/2) ] = K/L.