DP. - AS - 5119 2007 Matemáticas ISSN: 1988-379X SÓLO ENUNCIADOS. FUNCIONES LITERALES EN CONTEXTOS COTIDIANOS. 1.- LA AGRUPACIÓN PACIFISTA 1968 es el año de la fundación de una agrupación pacifista. Después de un estudio del número de sus miembros asociados [N(x)] con respecto a los años transcurridos x, se aprecia que se ajusta a la fórmula: N(x) = 50 ( 2x 3 15x 2 + 36x + 2) (b) Qué significado tiene el punto (0.6, 888.4)? (c) Para cuántos años tendría validez la función que determina la evolución del número de miembros; así pues, cuál se podría considerar el dominio? (d) * Cuántos fueron los socios fundadores? (e) Representa la función sólo en su dominio. (f)* En qué año se alcanza el máximo número de socios? (g)* En qué año se alcanza el mínimo número de socios? (h)* Cuál será el mayor número de socios que tendrá la agrupación? (i)* Cuál será el menor número de socios que tendrá la agrupación? (j) Cuántos socios tendrá al cabo de 1 año y seis meses? (k) Y al cabo de un año y 8 meses? (l) Cuánto tardará en alcanzar los 651 socios? (m) Comenta razonadamente si el número de socios está aumentando o disminuyendo al cabo de 3 meses. (n) Cuánto tiempo estimas que tardará en desaparecer dicha agrupación? (ñ) Si la agrupación pacifista llega a desaparecer, según el modelo funcional sugerido, volverá a resurgir? (o) Si la cuota de cada miembro es de 9 euros, cuántos euros se recolectarán en el séptimo mes? 2.- LANZANDO UNA BOLA DE ACERO Una bola de acero es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio de altura h metros con dependencia funcional, al cabo de x segundos, que viene dado por la fórmula: h = 80 + 64 x 16 x 2 (b) Qué significado tiene el punto (0.8, 120.96) en la gráfica? (c) * Qué altura tiene el edificio? (d) * En qué instante la bola alcanza su máxima altura? (e) Cuál es la máxima altura que alcanza la bola desde el suelo? (f) Cuánto subió la bola hasta que alcanza la máxima altura? (g) Cuánto tarda la bola en caer al suelo? (h) Cuánto tiempo tarda la bola en estar de nuevo a la misma altura desde la que fue arrojada? (i) A qué altura está la bola a los 4 segundos y medio? (j) A qué altura está la bola a los 10 segundos? (k) Al cabo de 2 segundos la bola... está subiendo o bajando? Explícalo razonadamente, aplicando conceptos teóricos. (l) * Cuál es el dominio de la función h = 80 + 64 x 16x 2? (m) Si lo hubieses hecho experimentalmente y fueses anotando la altura con respecto al tiempo, cuál sería verdaderamente la gráfica que obtendrías entre x = 2 y x = 15? Dibújala. (n) Cuál sería el dominio de esa función h(x) realizada experimentalmente entre x = 2 y x = 15? (ñ) A qué velocidad va la pelota cuando alcanza la máxima altura y va a empezar a caer? (o) Halla la velocidad media de la bola en el intervalo de tiempo comprendido entre t = 0 y t = 4. (p) ** Cómo podrías representar la velocidad que lleva la pelota en cada momento? www.aulamatematica.com 1
Abel Martín 3.- CULTIVANDO HORTALIZAS La producción total de cierta hortaliza en un invernadero, Q(x) en Kg, depende de la temperatura, x en ºC, según la expresión: Q(x) = (x + 1) 2 (32 x) (b) Qué significado tiene el punto (5, 972) de la gráfica? (c)* Calcula, razonadamente, cuál es la temperatura óptima a mantener en el invernadero. (d)* Qué producción de hortaliza se obtendría en ese momento? (e) Qué temperatura se puede considerar mortal para esa variedad de hortaliza? (f) Se mueren las plantas a partir de 0 ºC, al aplicarles más frío? (g) Cuándo tiene sentido esta función? Cuál es su dominio? (h) Comenta, razonadamente, si a 12 ºC la producción de hortalizas es creciente o decreciente. (i) En qué momentos la producción es creciente? (j) En qué intervalo la producción es decreciente? (k) Si le aplico frío, a partir de 0 ºC hay algún momento en el que no existe producción? (l) Cuándo hay una producción de 5.400 kilogramos? (m) Qué producción hay a 20 ºC? Y a 0 ºC? (n) En qué momento se producirán 120 kilogramos de hortaliza? (ñ) y 4352 kilogramos? 4.- EL PLAN DE INVERSIÓN Cierta entidad financiera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad mensual [R(x) en miles de euros] viene dada en función de la cantidad que se invierta, x en miles de euros, por medio de la expresión siguiente: R(x) = 0'001 x 2 + 0'5 x + 2' 5 (b) Qué significado tiene el punto (8, 6.436) de la gráfica? (c)* Deducir razonadamente qué cantidad de dinero le conviene invertir a un cliente en dicho plan. (d)* Qué rentabilidad obtendría en ese momento? (e) Existe algún tipo de regalo si suscribes este tipo plan de inversión? (f) En qué momento comienza a generar pérdidas la inversión? (g) Cuándo tiene sentido esta función? Cuál es su dominio? (h) Cuánto dinero tengo que invertir para tener unas pérdidas mensuales de 1000 euros? (i) Cuándo son crecientes las ganancias? (j) Cuánto tendré que invertir para obtener unas ganancias de 200 000 de euros? (k) Cuánto tendré que invertir para tener unas ganancias de 50 000 de euros? (l) Y para obtener unas ganancias superiores a 52 000 euros? (m) Cuándo obtengo una rentabilidad de 46231 euros. (n) Cuánto se prevé que ganaré un mes si invierto 100 000 euros? (ñ) Y cuánto se prevé que ganaré si invierto 10 000 000 euros? 5.- LA GRANJA DE FAISANES Una granja se dedica a la cría de faisanes. El beneficio que puede obtener semanalmente está relacionado con el número de aves criadas (representado por la variable x) a través de la siguiente expresión: B(x) = 6 000x 0.2x 3 1000 (b) Qué significado tiene el punto (23, 125566.6) de la gráfica? (c) Qué beneficios se obtendrán cuando se críen 48 faisanes? Y cuándo se críen 190? 2 FUNCIONES LITERALES EN CONTEXTOS COTIDIANOS
DP. - AS - 5119 2007 Matemáticas ISSN: 1988-379X (d) Si obtenemos un beneficio de 1000 Cuántos faisanes se habrán criado? (e) Para obtener beneficios superiores a las 1000 Cuántos faisanes hay que criar? (f) Cuánto le supone la inversión (sueldos, luz, teléfono,...) en la granja, semanalmente, sin tener en cuenta las aves que cría. (g) Si va aumentando el número de faisanes criados, cuando críe 49, los beneficios obtenidos estarán creciendo o disminuyendo? (h) Y si va aumentando el número de faisanes criados, cuando críe 154, los beneficios obtenidos estarán creciendo o disminuyendo? (i) Cuántos faisanes deben criarse por semana para obtener el mayor beneficio posible? (j) Cuál será el beneficio obtenido en ese momento? (k) Cuándo tendrá pérdidas? (l) En qué intervalo de número de faisanes el beneficio es creciente? (m) En qué intervalo de número de faisanes el beneficio es decreciente? (n) Cuál es el dominio de la función? 6.- LANZAMIENTO DE PIEDRA Se ha lanzado hacia arriba, verticalmente, una piedra desde un pequeño montículo. La altura e, expresada en metros sobre el nivel del mar, alcanzada al cabo de t segundos, viene dado por la fórmula: e = 32 + 20 t 2 t 2 (b) Qué significado tiene el punto (1.1, 51.58) en la gráfica? (c) * Halla la altura de la colina. (d) * En qué instante la piedra alcanza su máxima altura? Cuál es la máxima altura, con respecto al nivel del mar, que alcanza la piedra? (e) Cuánto subió el pedrusco hasta que alcanza la máxima altura? (f) Cuánto tarda el pedernal en caer al suelo? (g) Cuánto tiempo tarda el guijarro en estar de nuevo a la misma altura desde la que fue arrojada? (h) A qué altura, sobre el nivel del mar, está la piedra a los 2 segundos y medio? Y a los 11 segundos? (i) Al cabo de 1.9 segundos la piedra... está subiendo o bajando? Explícalo razonadamente, aplicando conceptos teóricos. (j) * Cuál es el dominio de la función e = 32 + 20 t 2 t 2? (k) Si lo hubieses hecho experimentalmente y fueses anotando la altura con respecto al tiempo, cuál sería verdaderamente la gráfica que obtendrías entre x = 2 y x = 18? Dibújala. (l) Cuál sería el dominio de esa función h(x) realizada experimentalmente entre x = 2 y x = 18? (m) A qué velocidad va la roca cuando alcanza la máxima altura y va a empezar a caer? (n) Halla la velocidad media de la piedra en el intervalo de tiempo comprendido entre t = 0 y t = 5. (ñ) ** Cómo podrías representar la velocidad que lleva la pelota en cada momento? (o) En algún momento la velocidad de la piedra ha sido de 15 m/sg? Si es así, a qué altura sucedió? 7. BENEFICIOS EN LA FÁBRICA 1 La función f (x) = ( x 2 + 100x 1600) representa el beneficio, expresado en miles de euros, que 90 obtiene una empresa por la fabricación de x unidades de un determinado producto. (b) Qué significado tiene el punto (27, 4.12222) de la gráfica? (c) Cuánto cuesta poner en marcha la empresa? (d) Cuál es el mayor beneficio posible? (e) Cuántas unidades hay que fabricar para obtener ese máximo beneficio? (f) Cuándo se obtiene un beneficio de 7 822 euros? www.aulamatematica.com 3
Abel Martín (g) Cuántas unidades hay que fabricar para que no se produzcan pérdidas? (h) Qué beneficio se produce cuando se fabrican 72 unidades? (i) Si obtenemos un beneficio de 100 000 euros Cuántos unidades se habrán fabricado? (j) Si va aumentando el número de unidades fabricadas, siempre aumentarán los beneficios? (k) Cuándo tendrá pérdidas? (l) En qué intervalo los beneficios son crecientes? (m) En qué intervalo de número de unidades los beneficios son decrecientes? (n) Cuál es el dominio de la función? (ñ) Cuando se fabrican 48 unidades, el beneficio... es creciente o decreciente? 8. REMODELANDO EL CLUB Un club deportivo cuenta con un número de socios que viene dado (en miles de personas) por la función: S(x) = 2x 3 15x 2 + 24x + 26 donde x indica el número de años desde la última remodelación. (a) Dibuja la gráfica de la función, señalando en los ejes lo que indica cada uno de ellos y colocando el valor (b) Qué significado tiene el punto (2.4, 24.849) de la gráfica? (c) * Cuántos socios tenía el club en la última remodelación? (d) Para cuántos años tendría validez la función que determina la evolución del número de miembros; así pues, cuál se podría considerar el dominio? (e) Representa la función sólo en su dominio. (f) Hállese el año en el que el club ha tenido el mayor número de socios? (g)* En qué año se alcanza el mínimo número de socios después de la última remodelación señalada? (h)* Cuál será el menor número de socios que tendrá el club? (i) Cuántos socios tendrá al cabo de 3 años después de la última remodelación? (j) Y al cabo de 2 años y 8 meses? (k) El cuarto año se remodeló de nuevo. Indíquese razonadamente si esta remodelación tuvo éxito o no. (l) Cuánto tardará en alcanzar los 39 070 socios? (m) Cuánto tiempo estimas que tardará en desaparecer dicha asociación? (ñ) Si la cuota de cada miembro es de 23.40 euros al mes, cuántos euros se ingresarán a comienzos del 5º año? Y cuántas pesetas? 9. LOS INICIOS DEL SIDA Algunos expertos estimaron, a comienzos de los años noventa, que el SIDA crecía a razón del 20% anual. Si suponemos que en esa fecha, en una determinada ciudad, la fórmula de crecimiento venía dada por se pide: E(t) = 1000 (1 + 0.2) t (a) Dibuja la gráfica de la función, señalando en los ejes lo que indica cada uno de ellos y colocando el valor (b) Qué significado tiene el punto (10.1, 6305.66) de la gráfica? (c) * Cuántos enfermos de SIDA había a comienzos de los años noventa en esa ciudad? (d) En que año se alcanzará el mayor número de enfermos en esa ciudad? Justifica la respuesta. (e) Cuántos enfermos habría a comienzos de 1993? (f) Y en el año 2000? (g) Cuánto tardará en duplicarse el número de afectados? (h) Y en cuadruplicarse? Y en quintuplicarse? (i) Cuál es el dominio de la función? 4 FUNCIONES LITERALES EN CONTEXTOS COTIDIANOS
DP. - AS - 5119 2007 Matemáticas ISSN: 1988-379X 10. LOS COSTES DE FABRICACIÓN El coste total de fabricación [C(q) expresado en dólares] de q unidades de cierto artículo es: C(q) = 3q 2 + 5q + 75 C ( q) Se define coste medio por unidad como el cociente q Se pide: (a) * Dibuja la gráfica de la nueva función coste medio por unidad, señalando en los ejes lo que indica cada uno de ellos y colocando el valor (b) Cuándo tiene sentido esta función? Cuál es su dominio? (c) Cuantas más unidades de dicho artículo se hagan, crees que disminuirá el precio unitario? (d)* En qué nivel de producción será menor el coste medio por unidad? (e) Cuántas unidades habrá que hacer para ponerlo a un coste unitario de 6 dólares? (f) Si se ha puesto a un precio de 4 dólares cuántas unidades se habrán fabricado? (g) Si he fabricado 2 artículos Cuál será el precio de cada uno? (h)* Tiene la función coste medio por unidad puntos de inflexión? Razona la respuesta. (i) Cuánto cuesta poner en marcha la fabricación de unidades? (j) Este problema tiene sentido en la vida real. (k) * Dibuja la gráfica de la función coste TOTAL de fabricación, señalando en los ejes lo que indica cada uno de ellos y colocando el valor (l) Cuánto costará hacer 100 unidades? (m) Por 10.000 dólares, cuántas unidades se podrán hacer? 1.- LA AGRUPACIÓN PACIFISTA 5000 2 500 0.5 2.- LANZANDO UNA BOLA DE ACERO 3.- CULTIVANDO HORTALIZAS 1000 31 5 1 4.- EL PLAN DE INVERSIÓN 5.- LA GRANJA DE FAISANES 100000 10 50 60 www.aulamatematica.com 5
Abel Martín 6.- LANZAMIENTO DE PIEDRA 20 2 7. BENEFICIOS EN LA FÁBRICA 8. REMODELANDO EL CLUB 9. LOS INICIOS DEL SIDA 10. LOS COSTES DE FABRICACIÓN 6 FUNCIONES LITERALES EN CONTEXTOS COTIDIANOS