M703: Banda transportadora A) Presentación del problema La fotografía muestra una banda transportadora que se utiliza en un aeropuerto. Para trasladarse de una sala a otra en el aeropuerto las personas pueden subirse a la banda transportadora, caminar por la banda transportadora o caminar por el piso a un lado de la banda transportadora. La siguiente gráfica muestra el comportamiento de distancia-tiempo para una persona caminando por la banda transportadora y para una persona caminando por el piso al lado de la banda transportadora, las dos personas caminan con igual rapidez. Distancia desde el inicio de la banda transportadora Persona caminando en la banda transportadora Persona caminando por el piso tiempo B) Preguntas del problema Pregunta 1 Agrega una línea en la gráfica que represente el movimiento que tendría una persona que se traslada por la banda transportadora sin caminar.
C) Solución directa del problema La gráfica permite conocer para un tiempo dado: La distancia que se recorre la persona caminando por la banda transportadora. La distancia que se recorre la persona caminando por el piso. Queremos saber la distancia que recorre la persona parada en la banda transportadora Es necesario reconocer que: Distancia caminando por la banda transportadora Distancia caminando en el piso = + Distancia que recorre la banda transportadora O su equivalente: Velocidad de una persona caminando por la banda transportadora Velocidad de una persona caminando en el piso = + Velocidad de la banda transportadora Distancia que recorre la persona sobre la banda Distancia que recorre la persona caminando En la gráfica se observa que para un tiempo dado la distancia que recorre la banda es menor que la distancia que se recorre caminando, por lo tanto la razón de cambio de distancia es menor para la banda que la razón de cambio de la distancia para la persona caminando. La gráfica debe ir por debajo de esta última:
Distancia que recorre la persona sobre la banda Obsérvese que la suma de las dos distancias inferiores en la gráfica suma siempre la distancia de la persona caminando sobre la banda transportadora. Si se midieran las pendientes de las dos rectas inferiores su suma sería la el valor de la pendiente de la línea superior. D) Criterios de evaluación del problema según los estándares de PISA INTENCIÓN DE LA PREGUNTA: Evaluar la habilidad del alumno para analizar y comparar razones de cambio. El alumno debe interpretar la relación lineal del cambio de la distancia respecto al intervalo de tiempo a partir de la gráfica. Código 1: Dibuja la línea por debajo de la línea que representa el movimiento de la persona caminando por el piso y más cerca de la línea que representa el movimiento de la persona caminando por el piso (no se requiere procedimiento). El código 2 debe darse al alumno que hace la representación correcta. Código 0: Otras respuestas Código 9: Sin respuesta. E) Solución comentada del problema según el proceso de matematización en el marco PISA Identificación de un problema matemático. En la vida cotidiana con frecuencia nos vemos en la necesidad de interpretar gráfica y utilizar dicha para tomar decisiones. Cuando dos variables se relacionan mediante una función se puede estudiar el cambio relativo de una de las variables respecto de la otra; es decir, se pueden determinar y
analizar las razones de cambio del fenómeno. El problema es planteado en un escenario real; el aeropuerto y presenta las opciones disponibles para trasladarse de una sala a otra Para trasladarse de una sala a otra en el aeropuerto las personas pueden subirse a la banda transportadora, caminar por la banda transportadora o caminar por el piso a un lado de la banda transportadora. Algunas razones de cambio debido a su importancia se han identificado con nombres especiales como es el caso de la velocidad, que es la razón de cambio de la distancia en relación con el tiempo. Al estudiante le piden agregar una línea en la gráfica que represente el movimiento que tendría una persona que se traslada por la banda transportadora sin caminar. El problema pertenece al dominio de la Cambio y relación. Exige la comprensión de la velocidad como razón de cambio de distancia respecto al tiempo. Identificación de los elementos matemáticos asociados al problema, reorganización del problema en términos de las matemáticas identificadas. El elemento matemático fundamental es el concepto de velocidad o la interdependencia de la distancia y el tiempo. Otros elementos de importancia son el hecho de que los desplazamientos en la misma dirección suman sus magnitudes al igual que las velocidades. Hay tres opciones para ubicar a la línea que represente el movimiento de la persona caminando en la banda: la zona A, la zona B y la zona C. El alumno debe interpretar la relación entre las velocidades y las distancias que se recorren en un tiempo dado. Para que el estudiante pueda trazar una línea en la gráfica
que represente el movimiento que tendría una persona que se traslada por la banda transportadora sin caminar, es necesario que interprete la en la gráfica, establezca lo que significa en términos matemáticos, compare y pueda decidir dónde ubicar la línea que represente el movimiento que tendría la persona parada sobre la banda. Abstracción matemática progresiva de la realidad A partir de la que se proporciona en el problema: La siguiente gráfica muestra el comportamiento de distancia-tiempo para una persona caminando por la banda transportadora y para una persona caminando por el piso al lado de la banda transportadora, las dos personas caminan con igual rapidez el alumno debe establecer que: v T : velocidad de la persona caminando en la banda transportadora. v C: velocidad de la persona caminando en el piso. y requiere determinar dónde ubicar la recta distancia-tiempo para la banda transportadora. El estudiante debe saber que la ubicación de la recta depende de su pendiente o razón de cambio. v B : velocidad de la banda transportadora Entonces V T = V C + V B Para un tiempo dado: d T : es la distancia que recorre la persona caminando en la banda transportadora. d C: es la distancia que recorre la persona caminando en el piso. d B: es la distancia que recorre la persona parada en la banda transportadora. Para el alumno debe ser evidente que al ser d T la distancia que recorre la persona caminando sobre la banda transportadora, será la suma de las distancias que se recorren de manera independiente por la persona caminando y por la banda transportadora: d T = d C + d B El estudiante debe comprender lo que significa cada una de
las zonas en la gráfica. La zona A significa que en un tiempo dado d B es mayor que d C + d B, lo cual no tienen sentido por lo que descartamos la zona A. La zona B significa que d B es un valor entre d C y d T, como d T = d C + d B la recta distancia tiempo para la banda transportadora podría estar en esta zona. La zona C significa que d B es menor que d C, lo cual también puede ser posible. Para llegar a una conclusión si la línea debe ser colocada en la zona B o C tenemos que observar lo siguiente: Resolución del modelo matemático Si d b estuviera por encima de d c (en la zona B) la suma de estas de las distancias d b + d c superaría la distancia que recorre una persona caminando sobre una banda transportadora. Por ello la línea debe estar en la zona C, como se muestra gráficamente a continuación: El estudiante debe comparar la longitud de las líneas:
d B es menor que d C, por lo tanto la línea debe estar por debajo de d C : Volviendo al contexto del problema la solución se interpreta de la siguiente manera: Nótese que también debe cumplirse la siguiente relación: Pendiente de la Pendiente de la Pendiente de la línea que línea que línea que representa a la persona caminando en la banda = representa a la persona caminando en el piso + representa a la la banda transportadora transportadora Uso de la solución del modelo matemático como herramienta para interpretar el mundo real. Para llegar a la respuesta es necesario interpretar la relación entre razón de cambio y distancia para cada una de las rectas que se representan en la gráfica, entender el significado de razón de cambio y analizar la para establecer conclusiones. Vale la pena considerar otras alternativas. En la gráfica propuesta d c es mayor que d B por eso la línea que representa el movimiento de la persona parada en banda ha quedado por debajo de la gráfica que representa el movimiento de la persona caminando, pero si d c fuese
menor que d B la línea de la gráfica tendría que ubicarse entre las otras dos líneas. Algunas razones de cambio debido a su importancia se han identificado con nombres especiales, por ejemplo: la razón de cambio de una población respecto al tiempo se llama tasa de crecimiento; la razón de cambio de la temperatura de un líquido se llama velocidad de enfriamiento o calentamiento; la razón de cambio de la distancia en relación con el tiempo se llama velocidad; la razón de cambio de la velocidad respecto al tiempo se llama aceleración. Tal conocimiento prepara al alumno para entender una gran cantidad de situaciones que involucran velocidades relativas como movimiento dentro de fluidos en movimiento, como los problemas de navegación en aire y en mar, turbulencias atmosféricas. En física, además, se aplica en el estudio del efecto Doppler y la teoría de la relatividad. F) Comentarios al contexto y dominio del problema según el marco PISA. Contexto Público/Científico: El escenario del problema es un aeropuerto, el contexto es familiar al alumno que conoce un aeropuerto, museo o edificio público con banda transportadora. Dominio Cambio y Relación: en la gráfica se proporciona que permite comparar la velocidad de la persona caminando por el piso, la velocidad de la persona caminando por la banda y la velocidad de la persona parada sobre la banda. Siempre que dos variables (magnitudes) están conectadas mediante una relación funcional, se puede estudiar el cambio relativo de una de las variables respecto de la otra; es decir, se pueden determinar y analizar las razones de cambio del fenómeno.
PROCESOS G) G) COMENTARIOS A LOS PROCESOS MATEMÁTICOS DOMINANTES DEL PROBLEMA SEGÚN EL MARCO PISA. Se marcan en amarillo las áreas dominantes: MACRO-PROCESOS Pensamiento y razonamiento Argumentación Comunicación, utilización de operaciones y lenguaje técnico (formal y simbólico). Construcción de modelos Planteamiento y solución de problemas Representación Uso de herramientas de apoyo. Reproducción Conexión Reflexión El problema demanda muy poco en términos de construcción de modelos. Es en esencia reproductivo. El alumno tiene que comprender que dos velocidades aplicadas en la misma dirección se suman, o que dos desplazamientos combinados dan un desplazamiento total. El problema como representación gráfica es por supuesto más demandante pues el alumno tiene que conectar su conocimiento estándar de pendientes y distancias en el sistema cartesiano a una situación nueva y de ahí pasar a una reflexión sobre donde colocar la nueva línea. En términos de pensamiento y razonamiento el problema parece tener una naturaleza conectiva. Los conceptos comunes de velocidad y distancia se conectan con una situación real para esclarecer una representación gráfica correcta. H) Conexiones curriculares del reactivo PISA con el programa de la SEP. En el documento CurrMateSEPMaster obsérvense las siguientes conexiones curriculares. Para tener mayor detalle sobre los contenidos de cada conexión curricular véase Programa Mate SEP 1.1.6 Manejo de la Análisis de la Relaciones de proporcionalidad Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad directa del tipo valor faltante en diversos contextos, utilizando de manera flexible diversos procedimientos. 1.4.3 Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las literales Relación funcional Analizar en situaciones problemáticas la presencia de cantidades relacionadas y representar esta relación mediante una tabla y una expresión algebraica. En particular la expresión de la relación de proporcionalidad y = kx asociando los significados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación.
1.5.2 Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las literales Relación funcional Analizar los vínculos que existen entre varias representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas), que corresponden a la misma situación, e identificar las que son de proporcionalidad directa 2.3.3 Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las literales Relación funcional Reconocer situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología y otras disciplinas, la presencia de cantidades que varían una en función de la otra y representar esta relación mediante una tabla o una expresión de la forma: y = mx + b 2.4.5 Manejo de la Representación de la Gráficas Interpretar y utilizar dos o más gráficas que representan características de un fenómeno o situación para tener más completa y en su caso tomar decisiones. 3.1.6 Manejo de la Representación de la Gráficas Analizar la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal y relacionarla con la inclinación o pendiente de la recta que lo representa. 3.3.1 Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las literales Relación funcional Reconocer en diferentes situaciones y fenómenos de las distintas disciplinas, la presencia de cantidades que varían en función de otra y representar la regla que modela esta variación mediante una tabla o una expresión algebraica. 3.3.7 Manejo de la Representación de la Gráficas Interpretar y elaborar gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etc.