Matemáticas Financieras
MATEMÁTICAS FINANCIERAS 1 Sesión No. 1 Nombre: Fundamentos Matemáticos Contextualización Los fundamentos matemáticos son de vital importancia, en este tema se abordan y revisan algunos conceptos básicos tanto de la aritmética como del algebra que son esenciales para el aprendizaje de las matemáticas financieras. Las matemáticas financieras son fundamentales para tomar la mejor decisión en una organización, cuando se invierte dinero en proyectos o en inversiones.
MATEMÁTICAS FINANCIERAS 2 Introducción al Tema La matemática financiera es una parte de la matemática aplicada que estudia los modelos matemáticos relacionados con los cambios cuantitativos que se producen en sumas de dinero, llamada capitales. La importancia de la matemática financiera radica en su aplicación a las operaciones bancarias y bursátiles, en temas económicos y en muchas áreas de las finanzas, ya que le permiten al administrador financiero tomar decisiones de forma rápida y acertada. Las leyes de los exponentes son una serie de reglas que nos sirven para hallar el valor de una expresión.
MATEMÁTICAS FINANCIERAS 3 Explicación 1.1 Exponentes y sus leyes Las matemáticas financieras son una ciencia noble en sus operaciones en las que comúnmente empleamos la suma, resta, multiplicación y división. Junto con ellas aplicamos las operaciones con exponentes y logaritmos. Las operaciones con exponentes son una continuación de la multiplicación, que se simbolizan de la siguiente manera: a b Donde: a: recibe el nombre de base y puede ser un número, que es lo que normalmente nos ocupará, aunque también puede ser una letra. b: es la potencia a la cual debe elevarse la base, indica el número de veces que la base se debe multiplicar por sí misma. Leyes de exponentes Para poder realizar las operaciones con exponentes se han dictado algunas leyes que reciben el nombre de leyes de los exponentes; a continuación se presenta cada una:
MATEMÁTICAS FINANCIERAS 4 Recuerda estas leyes, porque serán importantes al momento de resolver operaciones con exponentes. En el caso del ejemplo: 4 2 4 4, el resultado sería: 4 2+4 = 4 6 ; se puede verificar el resultado realizando las operaciones por separado y, luego, en un solo paso. Observa a continuación el desarrollo de las operaciones: 1. 4 2 = 4 X 4 = 16; y 2. 4 4 = 4 X 4 X4 X 4 = 256; al multiplicar 16 X 256 se obtiene 4,096 3. Y se efectúa la operación 4 6 = 4 X 4 X 4 X 4 X4 X 4 = 4,096. La utilidad de estas leyes se pone de manifiesto cuando en lugar de números se trabajan con expresiones algebraicas como x 4 / x 2 ; en donde el resultado es x 2, sin importar el valor numérico que pueda tomar la variable x. En sentido estricto los exponentes negativos no existen porque estas operaciones son una extensión de la multiplicación; entonces, si se quiere resolver la operación 10-2. La forma de resolverlo es moviendo la base del numerador al denominador, o viceversa, y en ese momento cambiar el signo del exponente; una vez resuelto el problema del signo, la operación se realiza en la forma ya mencionada. Revisemos los siguientes ejemplos: Las últimas dos propiedades nos ayudarán a simplificar operaciones y resolverlas de manera adecuada, no son de uso común en matemáticas financieras pero cuando se presente la oportunidad sabrás qué hacer con ellas. 1.2 Exponentes: cero, negativos y fraccionarios Exponente cero: todo número elevado a la potencia 0 es igual a la unidad.
MATEMÁTICAS FINANCIERAS 5 Exponentes negativos: por ejemplo 7 2, se debe considerar lo antes mencionado: es imposible realizar la operación ya que la potencia indica el número de veces que hay que multiplicar la base por sí misma, por lo que el signo negativo no tendría un lugar en dónde colocarse. En términos matemáticos se dice que los exponentes negativos no existen. Sin embargo, si realizamos la operación en la calculadora el resultado que arrojará será 0.0204081, pero, cómo es que se tiene tal resultado? Para esclarecerlo debemos hacer uso de la tercera propiedad de los exponentes que dice: para eliminar el signo negativo de un exponente se debe trabajar con el reciproco de ese número, es decir, se debe cambiar de posición la base del numerador al denominador, o viceversa, según se requiera. En el ejemplo 7 2 recíproco1, o sea, es necesario transformar la expresión por medio de su y resolver la operación de la siguiente forma: =0.0204081, observa que el resultado es el mismo que obtuvimos en la calculadora. Ahora practiquemos lo que hemos visto hasta el momento con los siguientes ejercicios:
MATEMÁTICAS FINANCIERAS 6 Los exponentes negativos son una extensión de la división de potencias donde si en el numerador como denominador se encuentran las mismas bases elevadas a una potencia, y la potencia del denominador es mayor al del numerador al momento de realizarlas se tiene una base con potencia negativa. EJEMPLOS: Desarrollando el proceso Desarrollando el proceso Exponentes fraccionarios: las operaciones están definidas por pares, es decir, la suma con la resta, la multiplicación con la división y, elevar al cuadrado con la obtención de la raíz cuadrada. Ejemplo 9 1/2, se dice que la base 9 esta elevada a la potencia ½ que es igual a 0.5. La potencia o exponente fraccionario m/n indica, en forma general, lo siguiente: m: número de veces al que hay elevar la base n: raíz que se debe obtener de esa base El término 9 1/2 indica que se debe elevar el 9 a la potencia 1 y, también, se le debe sacar la raíz cuadrada. Como 9 a la 1 es igual a 9 y la raíz cuadrada de 9 es 3, entonces el resultado de 9 1/2 = 3. Ejemplo: 8 2/3 donde se indica que hay que elevar el número 8 al cuadrado y, de manera simultánea obtener la raíz cúbica. Otra forma de representar la operación sería 3 8 2, y para resolverla empezaremos por buscar un número que multiplicado 3 veces por sí mismo dé 8. En este caso la respuesta es 2, lo que significa que la raíz cúbica de 8 es 2. Ahora elevaremos este número al cuadrado (2 2 ) que nos de como resultado 4. Así, tenemos que 3 8 2 es igual a 4.
MATEMÁTICAS FINANCIERAS 7 Conclusión Las leyes de los exponentes o reglas de los exponentes son vitales para las matemáticas financieras, estos nos ayudan a llegar a un resultado cuando se trata de coeficientes y exponentes, un coeficiente es un número que antecede a una letra llamada literal. El coeficiente y el exponente son los únicos que pueden variar para llevarse acabo las operaciones de leyes de exponentes. Como pudiste revisar, durante esta sesión hay diferentes tipos de exponentes, un logaritmo es un exponente. Si comprendiste esta sesión dedicado a los exponentes, la siguiente sesión te resultara más sencilla.
MATEMÁTICAS FINANCIERAS 8 Para aprender más Para ampliar sobre el tema, puedes revisar los siguientes libros: Ávalos, M. (2003). Matemáticas Financieras. México: ECAFSA. Díaz, A. (1999). Matemáticas Financieras. México: McGraw Hill.
MATEMÁTICAS FINANCIERAS 9 Actividad de Aprendizaje Con la finalidad de reforzar los conocimientos adquiridos a lo largo de esta sesión, tendrás que realizar la siguiente actividad. Instrucciones Resuelve las siguientes operaciones de acuerdo a las leyes de los exponentes. (350) x (5) -4 (-15) 2 x (3) -8 (24 3 ) 2 10-5 Los resultados ponlos en algún documento (Word, Excel, power point) y súbelo a la plataforma. Recuerda que esta actividad equivale al 5% de tu calificación final.
MATEMÁTICAS FINANCIERAS 10 Referencias Vidaurri, M. (2004). Matemáticas Financieras. México: Thomson.