Organizadores del currículo Estructura conceptual (conceptos y procedimientos) Sistemas de Representación Historia Situaciones y contextos (Fenomenología) Sistemas de Representación 1
Sistemas de Representación Representación: cualquier modo en que se hace presente un objeto, concepto o idea. Las nociones matemáticas se hacen presentes mediante distintos tipos de símbolos, gráficos o signos; éstos constituyen las representaciones de los conceptos matemáticos. Diversidad de modos de representar conceptos matemáticos. Un mismo concepto matemático admite una diversidad de representaciones. Cada sistema de representación pone de manifiesto y destaca alguna peculiaridad del concepto que expresa; también permite entender y trabajar algunas de sus propiedades. Los sistemas de representación contribuyen a la Los sistemas de representación contribuyen a la comprensión de los conceptos matemáticos y constituyen un importante objeto de estudio en Educación Matemática. 2
Tratamos de dar respuesta a Qué representaciones hay asociadas al lt tema??o Có Cómo represento los elementos de un tema? Qué relaciones se pueden establecer entre esas representaciones? Continuamos con el ejemplo de los números naturales Sistemas de Representación de los úmeros aturales 3
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Sistema de umeración Egipcio () Sistemas Griegos de umeración Sistema Ático de numeración (; Base y base auxiliar 5) Sistema Jónico de numeración basado en el alfabeto 5
Sistema Romano de umeración (o posicional vs semiposicional) Romano Decimal I 1 V 5 X L 50 C 0 D 500 M 1.000 Sistema Chino de umeración (Híbrido) 7 000 9 00 5 0 6 4 = 79564 7x000 + 9x00 + 5x0 + 6x + 4 = 79564 6
Sistema POSICIOAL Babilónico (; Base 60; o incluye 0) Sistema Maya de umeración (; Base 20, Incluye 0) 7
Base 2 (Binario) 16 (Hexagesimal) Sistema Decimal de umeración 15º; 1654; 4 8
Base 2 (Binario) 16 (Hexagesimal) Sistema Decimal de umeración 15º; 1654; 4 Relaciones Aritméticas 16=4 2 ; 4=1+3 Factorización Teorema Fundamental Aritmética 4 = 2 2 Según se refiera a Cardinales Base 2 (Binario) 16 (Hexagesimal) Sistema Decimal de umeración 15º; 1654; 4 Ordinales Relaciones Aritméticas 16=4 2 ; 4=1+3 Factorización Teorema Fundamental Aritmética 4 = 2 2 9
Base 2 (Binario) 16 (Hexagesimal) Sistema Decimal de umeración Según se refiera a 15º; 1654; 4 Cardinales Reglas / Convenios Ordinales Grandes Billón, Trillón, Mega, Tera Pequeños y Medianos cuatro decimoquinto Relaciones Aritméticas 16=4 2 ; 4=1+3 Factorización Teorema Fundamental Aritmética 4 = 2 2 Base 2 (Binario) 16 (Hexagesimal) Sistema Decimal de umeración Según se refiera a 15º; 1654; 4 Cardinales Reglas / Convenios Ordinales Grandes Billón, Trillón, Mega, Tera Pequeños y Medianos cuatro decimoquinto Recta umérica Relaciones Aritméticas 16=4 2 ; 4=1+3 Factorización Teorema Fundamental Aritmética 4 = 2 2
úmeros que pueden ser construidos con regla y compás Los números naturales son fáciles de representar en una recta: - Se toma una semirrecta y un segmento unidad. - El extremo de la semirrecta se toma como origen (0). - Por reiteración de un segmento unidad se forman las representaciones de los restantes números. Base 2 (Binario) 16 (Hexagesimal) Sistema Decimal de umeración Según se refiera a 15º; 1654; 4 Cardinales Reglas / Convenios Ordinales Grandes Billón, Trillón, Mega, Tera Pequeños y Medianos cuatro decimoquinto Recta umérica Relaciones Aritméticas 16=4 2 ; 4=1+3 Factorización Teorema Fundamental Aritmética 4 = 2 2 11
Base 2 (Binario) 16 (Hexagesimal) Sistema Decimal de umeración Según se refiera a 15º; 1654; 4 Cardinales Reglas / Convenios Ordinales Grandes Billón, Trillón, Mega, Tera Pequeños y Medianos cuatro decimoquinto Recta umérica Relaciones Aritméticas 16=4 2 ; 4=1+3 Configuraciones Puntuales Factorización Teorema Fundamental Aritmética 4 = 2 2 úmeros Cuadrados úmeros Triangulares 12
Relaciones entre números triangulares y cuadrados úmeros poligonales 13
Base 2 (Binario) 16 (Hexagesimal) Sistema Decimal de umeración Según se refiera a 15º; 1654; 4 Cardinales Reglas / Convenios Ordinales Grandes Billón, Trillón, Mega, Tera Pequeños y Medianos cuatro decimoquinto Recta umérica Relaciones Aritméticas 16=4 2 ; 4=1+3 Configuraciones Puntuales Factorización Teorema Fundamental Aritmética 4 = 2 2 Base 2 (Binario) 16 (Hexagesimal) Sistema Decimal de umeración Según se refiera a 15º; 1654; 4 Cardinales Reglas / Convenios Ordinales Grandes Billón, Trillón, Mega, Tera Pequeños y Medianos cuatro decimoquinto Recta umérica Relaciones Aritméticas 16=4 2 ; 4=1+3 Configuraciones Puntuales Factorización Teorema Fundamental Aritmética 4 = 2 2 Tablas uméricas 14
Tabla-0 Relaciones numéricas Desde la forma al número 360; 360/45=8 720; 720/45= 16 80; 80/45=24 30 15
Desde la forma al número Hallar la razón entre la suma de los números en los vértices éti del cuadrado d y los números interiores sobre un cuadrado en la tabla. Se mantiene la relación si se cambia la posición del cuadrado? Qué sucede cuando hay un número central dentro del cuadrado? 14+26+45+33 = =24+25+34+35 28+49+57+36 = =37+38+47+48 56+78+96+74 = =66+75+77+86 32 16
Desde la Aritmética al Álgebra a-1 a a+1 a+ a+20 Desde el número a la forma Sumar: Senderos sobre la Tabla-0 Expresión Aritmética de una cadena: 4 + 2 + 2-2 + 3 + 1-1 + + 4 + 2 x - 2 + 2 x + 3-1 x + 1 17
Cadena simple Expresión Aritmética Reducida : 3 + 6 + + 3 x + 6 úmero de columnas k k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 k = 6 M m = 2 ó d u l o m m=3 18
Divisibilidad 19
Base 2 (Binario) 16 (Hexagesimal) Sistema Decimal de umeración Según se refiera a 15º; 1654; 4 Cardinales Reglas / Convenios Ordinales Grandes Billón, Trillón, Mega, Tera Pequeños y Medianos cuatro decimoquinto Recta umérica Relaciones Aritméticas 16=4 2 ; 4=1+3 Configuraciones Puntuales Factorización Teorema Fundamental Aritmética 4 = 2 2 Tablas uméricas Ábaco 20
Regletas Cuisenaire http://www.juntadeandalucia.es/averroes/vertie/createaching/tu CCI_WEBS/TCregletas_inf05/TCregletas0.htm http://www.regletasdigitales.com/ Material Sistema Decimal Unidad: Decena: Centena: Millar: Regletas Cuisenaire http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_154_g_3_t_1.html 21
SISTEMAS DE REPRESETACIÓ DE LOS ÚMEROS ATURALES Base 2 (Binario) 16 (Hexagesimal) * Relaciones Aritméticas Factorización Sistema Decimal de umeración Teorema Fundamental Aritmética Según se refiera a 15º; 1654; 4 * 16=4 2 ; 4=1+3 4 = 2 2 Cardinales Reglas / Convenios Ordinales * * Grandes Billón, Trillón, Mega, Tera Pequeños y Medianos cuatro decimoquinto * * * Ábaco Regletas Bloques Multibase Recta umérica Configuraciones Puntuales Tablas uméricas Anotaciones Generales Los sistemas de representación más habituales son el simbólico, numérico, gráfico, geométrico, tabular y verbal. Las nuevas tecnologías también permiten representar nociones matemáticas y jugar con esas representaciones. 22
Continuamos trabajando en cada tema Hasta ahora habéis identificado los elementos de los campos conceptual y procedimental de cada tema, y habéis descrito y relacionado esos elementos. Ahora queda pendiente: Analizar qué sistemas de representación son los que podéis usar para representar esos elementos conceptuales y procedimentales, y cómo se relacionan entre sí. 23