Razones y Proporciones

Razones y Proporciones Razon: Una razón es el cuociente entre dos cantidades. Se escribe a b donde a se denomina antecedente y b se denomina consecuente. o a:b y se lee: a es a b en Proporción: Una proporción es la igualdad de dos razones. Se escribe x a = y b como y es a b; x y b se denominan extremos; a e y se denominan medios. Y se lee x es a a Teorema Fundamental: En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. (x : a = y : b) Observación: Si x : a = y : b, entonces existe una constante k, denominada constante de proporcionalidad, tal que: (x = ka,y = kb;k 0) Proporcionalidad directa: Dos variables, x e y, son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valores correspondientes es constante. x 1 y 1 = x y = x 3 y 3 = = x n y n = k Observación: En una proporción directa, si una cantidad aumenta (disminuye) n veces, la otra aumenta (disminuye) el mismo número de veces. El gráfico de una proporcionalidad directa corresponde a una línea recta que pasa por el origen. Definición: Dos variables, x e y, son inversamente proporcionales si el producto entre sus valores correspondientes es constante: (x 1 y 1 = x y = x 3 y 3 = = x n y n = k) Observacion: En una proporcionalidad inversa, si una cantidad aumenta (o disminuye) n veces, la otra disminuye (o aumenta) el mismo número de veces. El gráfico de una proporcionalidad inversa corresponde a una hipérbola equilátera. Ejercicios 1. Dada la siguiente tabla: A 10 15 0 B 3 x 1, 5 Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? a) Sólo I b) Sólo I y II c) Sólo I y III d) Sólo II y III I) A y B son directamente proporcionales. II) El valor de x es. III) La constante de proporcionalidad inversa es 30. e) I, II y III

. electricistas hacen un trabajo en 6 días, trabajando 8 horas diarias. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? a) Sólo I b) Sólo I y II c) Sólo I y III d) Sólo II y III I) 4 electricistas harán el trabajo en 3 días, trabajando 8 horas diarias II) Los electricistas y las horas son directamente proporcionales III) La constante de proporcionalidad es 3. e) I, II y III 3. En una quinta hay naranjos, manzanos y duraznos que suman en total 300 árboles. Si hay 10 naranjos y la razón entre los duraznos y manzanos es 7 : 3, entonces cuántos duraznos hay en la quinta? a) 54 b) 77 c) 84 d) 16 e) 10 4. y es inversamente proporcional al cuadrado de x, cuando y = 16, x = 1. Si x = 8, entonces y = a) 1 b) 1 4 c) d) 4 e) 9 5. Se sabe que a es directamente proporcional al número 1 b de b es 4. Si a toma el valor 6, entonces el valor de b es: y cuando a toma el valor 15, el valor a) 10 b) 8 5 c) 5 8 d) 1 10 e) 15 4

6. En un mapa (a escala) se tiene que cm en él corresponden a 5 km en la realidad. Si la distancia en el mapa entre dos ciudades es 5,4 cm, entonces la distancia real es: a) 50 km. b) 65 km. c) 67,5 km. d) 6,5 km. e) Ninguno de los valores anteriores. 7. Dos variables N y M son inversamente proporcionales entre sí. Para mantener el valor de la constante de proporcionalidad, si M aumenta al doble, entonces N a) Aumenta el doble. b) Disminuye a la mitad c) Aumenta en dos unidades. d) Disminuye en dos unidades. e) Se mantiene constante. 8. En la tabla adjunta z es directamente proporcional a 1 y, según los datos registrados, el valor de a c, es: a) 56 b) 16 c) 1 16 d) 64 e) 1 64 z y 8 a 4 1 16 1/4 b 9. Los cajones M y S pesan juntos K kilogramos. Si la razón entre los pesos de M y S es 3:4, entonces la razon S:K es a) 4:7 b) 4:3 c) 7:4 d) 3:7 e) 3:4

10. Una nutricionista mezcla tres tipos de jugos de fruta de modo que sus volúmenes están en la razón 1::3. Si el volumen del segundo tipo es de 4 litros, cuántos litros tiene la mezcla total? a) 6 litros. b) 10 litros. c) 1 litros. d) 14 litros. e) 16 litros. 11. A un evento asistieron 56 personas. Si había 4 mujeres por cada 3 hombres, cuántas mujeres asistieron al evento? a) 8 b) 1 c) 4 d) 8 e) 3 1. Si h hombres pueden fabricar 50 artículos en un día, cuántos hombres se necesitan para fabricar x artículos en un día? a) hx 50 b) 50x h x c) 50h d) h 50x e) Ninguno de los valores anteriores. 13. Las variables x, w, u, v son tales que: x es directamente proporcional a u, con constante de proporcionalidad, y w es inversamente proporcional a v, con constante de proporcionalidad 8. Cuáles de las siguientes relaciones entre dichas variables representan este hecho? a) x u = y w v=8 b) x u = y w +v = 8 c) x u = y w v = 8 d) x+u = y w v = 8 e) x+w = 10

14. Un trabajador X, trabajando solo se demora t días en hacer un jardín, otro trabajador Y se demora t + 15 días en hacer el mismo jardín, y si ambos trabajan juntos se demoran 10 días. Cuántos días se demorará Y trabajando solo? a) 30 b) 8 c) 5 d) 0 e) 15 15. Si el índice de crecimiento C de una población es inversamente proporcional al índice D de desempleo y en un instante en que C = 0,5 se tiene que D = 0,5, entonces entre ambos índices se cumple: a) D = 0,5 b) D = C c) D = 0,5 C d) D = 0,15C e) D = 0,15 C 16. Para hacer arreglos en un edificio se contratará un cierto número de electricistas. Si se contratara electricistas, ellos se demorarían 6 días, trabajando 8 horas diarias, cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? a) Sólo I I) Si se contrataran 4 electricistas, se demorarían 3 días, tr b) Sólo III bajando 8 horas diarias. c) Sólo I y II d) Solo II y III e) I, II y III II) El número de electricistas y el numero de días son variabl directamente proporcionales. III) La constante de proporcionalidad entre las variables es 3. 17. n y m son directamente proporcionales y su constante de proporcionalidad es 3. Cuál de las siguientes tablas representa dicha relación? m n 3 1 a) 6 9 3 c) e) m n 3 9 6 7 18 m n 3 6 6 1 9 18 b) d) m n 1 3 6 0,5 1 0, 5 m n 1 3 6 3 9

Porcentaje El tanto por ciento es un caso particular de proporcionalidad directa en que uno de los términos de la proporción es 100: Q C = P 100 Q = P 100 C Q = P %C P: es el tanto por ciento. C: es la cantidad de referencia. Q: es el porcentaje. El tanto por ciento P de una cantidad C expresado en fracción es P % de C= P 100 C Observación: Dos o mas tantos por cientos de una misma cantidad se pueden sumar o restar. a% de C ±b% de C = (a±b)% de C El tanto por ciento del tanto por ciento de una cantidad es igual al producto de los tantos por cientos. a% del b% de C = a 100 b 100 C Definición de interés simple: Una cantidad C crece a una tasa del i% por unidad de tiempo en un periodo de n unidades, en un régimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada unidad de tiempo es fijo. La cantidad final CF después de cumplido el periodo n está dada por la fórmula: [ C F = C 1+n i ] 100 Observación: Un capital está sometido a un régimen de interés simple cuando, al finalizar el periodo mínimo de depósito, los intereses son retirados. En este caso el capital permanece inalterable. Definición de interés compuesto: Una cantidad C crece a una tasa del i% por unidad de tiempo en un periodo de n unidades, en un régimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento en cada unidad de tiempo se agrega a C de modo que al final de cada unidad hay una nueva cantidad. La fórmula para calcular la cantidad final CF después de cumplido el periodo n es: [ C F = C 1+ i ] n 100 Observación: Un capital está sometido a un régimen de interés compuesto cuando, al finalizar el periodo mínimo de depósito, los intereses no se retiran y se añaden al capital para producir nuevos intereses.

Ejercicios 1. En un supermercado hay supervisores, cajeros y reponedores. Si el 60% de los trabajadores son reponedores, 18 son supervisores y éstos son un tercio de los cajeros, cuál es el total de trabajadores? a) 108 b) 7 c) 180 d) 90 e) 54. Una persona deposita $1.000 y en tres años gana $157, 5. Calcular el interés simple anual. a) 5% b) 5,5% c) 5.5% d) 5,75% e) 15,75% 3. Un par de zapatos más dos pantalones valen $70.000 en una tienda. Se ofrece una oferta, al comprar dos o más pares de zapatos del mismo precio se descuenta un 10% en cada par y por tres o más pantalones del mismo precio un 15% en cada pantalón. Juan paga por tres pantalones $38.50 y luego, compra dos pares de zapatos. Cuánto pagó Juan por los dos pares de zapatos? a) $45.000 b) $50.000 c) $57.150 d) $7.000 e) $81.900 4. Un vendedor recibe 15.000 de sueldo, al mes, más un 8% de las ventas por comisión. Cuánto debe vender para ganar 317.000 en el mes? a) $54.65 b) $53.000 c) $1.75.000 d) $1.81.500 e) $3.96.500

5. En una tienda un televisor de 9 pulgadas se ofrece con un 40% de descuento, si el precio normal es de $ 50000, entonces el precio a pagar es: a) $ 416667 b) $ 40000 c) $ 178571 d) $ 150000 e) $ 100000 6. Si un grupo de 8 albañiles levantan una pared en 8 horas, entonces en cuánto tiempo levantarán la misma pared 4 albañiles? a) 4 horas b) Las mismas 8 horas c) 1 horas d) El doble de las horas que demoraron el grupo de 8 albañiles e) El cuádruplo de las horas que demoraron el grupo de 8 albañiles 7. El 30% de 30 centésimos es igual a: a) 900 b) 90 c) 9 d) 0,9 e) 0,09 8. Si el diámetro de un círculo es incrementado en un 100%, entonces su área se incrementa en un: a) 100% b) 00% c) 300% d) 400% e) Otro porcentaje

Raíces Si n es un entero par positivo y a es un real no negativo, entonces n a es el único real b, no negativo, tal que b n = a n a = b b n = a, b 0 Si n es un entero impar positivo y a es un real cualquiera, entonces n a es el único real b, tal que b n = a n a = b b n = a, b R Observaciones 1. Si n es un entero par positivo y a es un real negativo, entonces n a No es real.. La expresion n a k, con a real no negativo, se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario n a k = a k n 3. a = a, para todo numero real. Propiedades Si n a y n b estan definidas en R se cumplen las siguientes propiedades: Multiplicación de raíces de igual índice n a n b = n a b División de raíces de igual índice n a n b = n a b, b 0 Potencia de una raíz n am = ( n a) m, a > 0 Raíz de una raíz n m a = n m a Amplificación y simplificación del orden de una raíz n a = m n a m, m Z +, a R +

Producto de raíces de distinto índice n a m b = m n a m b n, a,b R + Factor de una raíz como factor subradical Racionalización b n a = n b n a, b R + Consiste en eliminar las raices del denominador de una fracción. Básicamente se distinguen tres casos: 1. Que el denominador sea una raíz cuadrada: en este caso se multiplica numerador y denominador por la misma raíz. Ejemplo: 5 = 5 = 5. Que el denominador no sea una raíz cuadrada: en este caso se multiplica numerador y denominador por una raíz del mismo índice que el denominador, pero con un radicando elevado a un exponente que pueda eliminar raíz del denominador. Ejemplo: 5 3 = 5 3 3 3 = 5 3 4 3. Que el denominador sea un binomio con raíces cuadradas: en este caso debemos de multiplicar numerador y denominador por el conjugado. Ejemplo: 5 3 = (5+ 3) (5 3) (5+ 3) = 10+ 3 5 ( 3) = 10+ 3 5 3 = 10+ 3

Ejercicios 1. 5 1 7 =. 3. a) 16 3 b) 4 3 c) 3 d) 3 3 e) No se puede determinar. 6+ 14 5+ 1 16 + 8 4 5 = a) 61 0 b) 7 c) 151 0 6 4 + 5 d) 6 5+ 8+ 7 0 e) Ninguno de los valores anteriores. 3 a x+ 3 a x+1 = a) a 3x+3 6 b) a 3x+3 c) a 3x d) a x+3 e) a x+1 4. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) cuando la variable x toma los tres valores 0, 1 y 1? a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y III I) x = x II) x = x III) x = x e) Ninguna de ellas. 5. ( ) 3 ( +) 4 +( ) 4 ( +) 3 es un número: a) Racional positivo. b) Racional negativo. c) Irracional positivo. d) Irracional negativo. e) No real.

6. 3 = a) b) c) d) e) 1 3 4 3 6 8 6 7. Si = a, 3 = b y 5 = c, entonces cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) equivalentes a 60? a) Sólo I b) Sólo II I) bc c) Sólo III II) 4 a4 b c d) Sólo I y II III) a bc e) Sólo I y III 8. Al simplificar la expresión 7+ 14 7 resulta: a) 3 b) + 14 c) + d) 7+ e) 4 9. 1 + 8 3 = a) 3+ b) 15 c) 10+ 5 d) 0 5 e) Ninguno de los valores anteriores. 10. ( 50+ 51 4) : = a) 10 b) 10 c) 8 5 d) 3 e) 40

11. 55 +5 5 +5 5 +5 5 +5 5 3 55 +5 5 +5 5 +5 5 +5 5 = a) 5 b) 5 5 6 c) 1 d) 5 3 e) 5 3 1. Si + 3 3 = t, entonces el valor de t es: a) 3 b) 0 c) 3 d) e) 13. (0,5) 1 a = a) ( 1 b) ( 1 ) a ) 1 a c) ( 1 d) ( 1 e) ( 1 ) a )a ) a 14. Cuál(es) de los siguientes pares ordenados es(son) solución(es) de y = x +5+ x? a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I, II y III I) (,5) II) (, 5) III) (, 1) e) Ninguno de ellos. 15. Cuál(es) de los siguientes números es(son) irracional(es)? a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y III I) 8 II) 3+3 3 6 III) 4 e) Sólo II y III

16. 6 + 3 = a) 0 3 b) c) 6 9 d) 6 9 e) 6 3 17. Si 0 < x < 1 cuál de las siguientes opciones es verdadera? a) x > x b) 1 x < x c) 1 x > x d) x < 1 e) x < x 18. 3 7x 7 3 = a) 7 x 7 9 b) 3 3x 3 9 c) 3 x+3 d) 9 x+3 e) 3 x 3 19. Dados los números reales 3, 11 3, 7, 3, 4 1 3 al ordenarlos de menor a mayor, el término que queda en el centro es: a) 3 b) 3 c) 7 d) 11 3 e) 4 1 3 0. (5 3)( 3+5 ) = a) 5 5 b) 4 5 c) 7 d) 47 e) 0

1. El número 16 es igual a: a) 4 b) 3 c) ( ) 4 d) 14 e) Ninguno de los valores anteriores. ( ) 5 3. Si y = 3 + cuál es el valor de 15y +1? 5 a) 65 b) 64 c) 64 15 d) 34 15 4 e) 15 3. Si p = 3 5 y q = 5+3, entonces p q = a) 9+7 5 b) 8 5+1 c) 3 5+1 d) 7 5 9 e) Ninguno de los valores anteriores. 4. 3 a 6n 6 = a) a n 6 b) a n c) a 1 n d) a 1 n 6 e) a 6n 5. Para todo m > 0 la expresión 3 m 4 3 m m es igual a: a) m 8 b) m 7 c) m 5 5 d) m 7 6 e) m 7

6. Si p < 0, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? q a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y III e) Sólo II y III I) p + q = p + q II) p + q = p+q III) p + q > 0 7. a a = 4 a) a 4 b) a 3 c) a d) a a e) a 4 a 8. Para la expresión x 3 sea real, es necesario y suficiente que: a) x 3 b) x 3 c) x 3 d) x 3 e) x 3 9. De las afirmaciones siguientes, cuál(es) es(son) verdadera(s)? a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I, II y III I) a b = a b II) a +b = a+b III) a b = b a e) Ninguna de las anteriores. 30. 3( + 3 8) = a) 3 6 b) 3+ 6 c) 3 6 d) 3+ 6 e) 3

31. Determina el valor de a) 3 1 b) 15 1 c) 3 d) e) 75 5 15 5 5 3. Cuál es el resultado de ( 9)? a) 7 b) 5 c) 1 d) 1 e) 13 33. Cuál es el valor de (ax +1), cuando a = 3 y x = 4 1? a) 37 b) 36 c) 1 3+1 d) 4 36+1 e) 7 34. Al racionalizar 4 5 1 se obtiene: 5 5 4, para que su deno- a) 5+1 b) 5 1 c) 4( 5+1) d) 4( 5 1) 5+1 e) 4 35. Por cuál de los siguientes terminos se puede amplificar la fracción minador sea un número racional? a) b) c) d) e) 5 4 5 8 5 16 5 64 5 45

36. Si el volumen de un cubo se calcula como a 3 siendo a la arista, determine la longitud de la arista de un cubo cuyo volumen es 54 u 3. a) 3 3 u b) 3 u c) 54 u d) 9 u e) 18 u 37. El área de un circulo es π r, siendo r el radio y π una constante cuyo valor aproximaremos a 3, entonces cuál es el valor aproximado del área de un círculo si el radio es 3 3 cm? a) 3 4 cm b) 7 3 cm c) 9 3 cm d) 9 cm e) 54 cm 38. El valor de 0,0049 es: a) 0,007 b) 0,07 c) 0,0007 d) 0,00007 e) Ninguna de las anteriores. 39. La expresión ( ) 3 11 es igual a: 100 a) 10 11 b) 11 10 c) 1331 1000 d) 1000 1331 e) Ninguna de las anteriores. 40. Se puede determinar que el resultado de (a 1) 4 será un número par positivo si: (1) a es impar. () a 1 a) (1) por sí sola. b) () por sí sola. c) Ambas juntas (1) y (). d) Cada una por sí sola (1) ó (). e) Se requiere informacion adicional.