Guía de Trabajo n 3 Taller PSU Refuerzo Contenido y Aprendizaje

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1 Colegio Antil Mawida Departamento de Matemática Profesora: Nathalie Sepúlveda Guía de Trabajo n 3 Taller PSU Refuerzo Contenido y Aprendizaje N Fecha Tiempo 2 Horas Nombre del/la alumno/a Unidad Nº Núcleos temáticos de la Guía Objetivos de la Guía Aprendizaje Esperado Cero (restitución de aprendizajes) Números Conocer, comprender y aplicar conceptos asociados a razones y proporciones. Conocen, comprenden y aplican conceptos asociados a razones y proporciones. Instrucciones 1. Desarrollo individual de los ejercicios propuestos. 2. Tiempo 50 minutos para resolución. 3. Entrega de alternativas.. Revisión de dudas o ejercicios más complejos. RAZONES y PROPORCIONES RAZÓN es el cuociente entre dos cantidades. Se escribe b a o a: b. Y se lee a es a b ; a se denomina antecedente; b se denomina consecuente. PROPORCIÓN es la igualdad de dos razones. Se escribe a y b x ó x: a = y : b Y se lee x es a a como y es a b ; x y b se denominan extremos; a e y se denominan medios. TEOREMA FUNDAMENTAL En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. (x : a = y : b) (x b = y a) OBSERVACIÓN: Si x: a = y : b, entonces existe una constante k, denominada constante de proporcionalidad, tal que: x = ka, y = kb ; k 0

2 PROPORCIONALIDAD DIRECTA Dos variables, x e y, son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valores correspondientes es constante. OBSERVACIONES: En una proporción directa, si una cantidad aumenta (disminuye) n veces, la otra aumenta (disminuye) el mismo número de veces. El gráfico de una proporcionalidad directa corresponde a una línea recta que pasa por el origen. PROPORCIONALIDAD INVERSA Dos variables, x e y, son inversamente proporcionales si el producto entre sus valores correspondientes es constante x 1 y 1 = x 2 y 2 = x 3 y 3 =...= x n y n = k k : constante OBSERVACIONES: En una proporcionalidad inversa, si una cantidad aumenta (o disminuye) n veces, la otra disminuye (o aumenta) el mismo número de veces. El gráfico de una proporcionalidad inversa corresponde a una hipérbola equilátera EJEMPLOS 1) Dada la siguiente tabla: A B 3 x 1,5 Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?: A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III I. A y B son directamente proporcionales. II. El valor de x es 2. III. La constante de proporcionalidad inversa es 30. 2) 2 electricistas hacen un trabajo en 6 días, trabajando 8 horas diarias. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. electricistas harán el trabajo en 3 días, trabajando 8 horas diarias. II. Los electricistas y las horas son directamente proporcionales. III. La constante de proporcionalidad es 3.

3 A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III 3) En una quinta hay naranjos, manzanos y duraznos que suman en total 300 árboles. Si hay 120 naranjos y la razón entre los duraznos y manzanos es 7: 3, entonces cuántos duraznos hay en la quinta? A) 5 B) 77 C) 8 D) 126 E) 210 ) y es inversamente proporcional al cuadrado de x, cuando y = 16, x = 1. Si x = 8, entonces y = A) 1 2 B) 1 C) 2 D) E) 9 5) Se desea cortar un alambre de 720 mm en tres trozos de modo que la razón de sus longitudes sea 8: 6:. Cuánto mide cada trozo de alambre, de acuerdo al orden de las razones dadas? A) 180 mm 120 mm 90 mm B) 20 mm 180 mm 120 mm C) 320 mm 20 mm 160 mm D) 510 mm 120 mm 90 mm E) Ninguna de las medidas anteriores PORCENTAJES El porcentaje es un caso particular de proporcionalidad directa en que uno de los términos de la proporción es 100: P: Es el porcentaje C: Es la cantidad total Q: Es la cantidad parcial Porcentaje expresado en fracción: P P% de C = C 100 OPERACIONES CON TANTOS POR CIENTOS i) Dos o más tantos por cientos de una misma cantidad se pueden sumar o restar a% de C b% de C = (a b)% de C

4 ii) El tanto por ciento del tanto por ciento de una cantidad es igual al producto de los tantos por cientos INTERÉS SIMPLE El a% del b% de C = a 100 b 100 C C F i C 1 n 100 C: Cantidad n: período i: tasa de interés simple OBSERVACIÓN: Un capital está sometido a un régimen de interés simple cuando, al finalizar el periodo mínimo de depósito, los intereses son retirados. En este caso el capital permanece inalterable. INTERÉS COMPUESTO C F i C n : Cantidad Final C: Cantidad Inicial n: Período i: Tasa de interés compuesto OBSERVACIÓN: Un capital está sometido a un régimen de interés compuesto cuando, al finalizar el periodo mínimo de depósito, los intereses no se retiran y se añaden al capital para producir nuevos intereses. EJEMPLOS: 1) En un supermercado hay supervisores, cajeros y reponedores. Si el 60% de los trabajadores son reponedores, 18 son supervisores y éstos son un tercio de los cajeros, cuál es el total de trabajadores? A) 108 B) 72 C) 180 D) 90 E) 5 2) Una persona deposita $1.000 y en tres años gana $157,5. Calcular el interés simple anual. A) 5% B) 5,25% C) 5,5% D) 5,75% E) 15,75%

5 EJERCICIOS 1) Un par de zapatos más dos pantalones valen $ en una tienda. Se ofrece una oferta, al comprar dos o más pares de zapatos del mismo precio se descuenta un 10% en cada par y por tres o más pantalones del mismo precio un 15% en cada pantalón. Juan paga por tres pantalones $ y luego, compra dos pares de zapatos. Cuánto pagó Juan por los dos pares de zapatos? A) $ B) $ C) $ D) $ E) $ ) Un vendedor recibe $ de sueldo, al mes, más un 8% de las ventas por comisión. Cuánto debe vender para ganar $ en el mes? A) $ B) $ C) $ D) $ E) $ ) Con 5 vasos de 250 cc cada uno, se llena un jarro. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Si la capacidad de cada vaso fuera de 125 cc, se necesitarían 10 vasos para llenar el jarro. II) Si la capacidad de cada vaso aumentara en un 25%, se necesitarían vasos para llenar el jarro. III) Con 2 vasos de 250 cc se llena el 0% de la capacidad del jarro. A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III ) Se sabe que a es directamente proporcional al número b 1 y cuando a toma el valor 15, el valor de b es. Si a toma el valor 6, entonces el valor de b es: A) 10 B) 8 5 C) 5 8 D) 1 10 E) 15

6 5) En un mapa (a escala) se tiene que 2 cm en él corresponden a 25 km en la realidad. Si la distancia en el mapa entre dos ciudades es 5, cm, entonces la distancia real es A) 50 km B) 65 km C) 67,5 km D) 62,5 km E) ninguno de los valores anteriores. 6) Dos variables N y M son inversamente proporcionales entre sí. Para mantener el valor de la constante de proporcionalidad, si M aumenta al doble, entonces N A) aumenta al doble. B) disminuye a la mitad. C) aumenta en dos unidades. D) disminuye en dos unidades. E) se mantiene constante. 7) En la tabla adjunta z es directamente proporcional a y 1, según los datos registrados, el valor de c a, es: A) 256 B) 16 1 C) 16 D) 6 1 E) 6 z y 8 2 a B 8) Los cajones M y S pesan juntos K kilogramos. Si la razón entre los pesos de M y S es 3:, entonces S: K = A) : 7 B) : 3 C) 7: D) 3: 7 E) 3: 9) Un depósito contiene 20 litros que equivalen al 25% de su capacidad, entonces para que llegue al 30% de su capacidad hay que agregar A) litros. B) 2 litros. C) 0 litros. D) 60 litros. E) ninguno de los valores anteriores. 10) En una asignatura se toman tres pruebas con las ponderaciones 30%, 30% y 0%, respectivamente. Un alumno obtiene un 5,0 en la primera y un,0 en la segunda. Qué nota debe obtener en la tercera prueba para que su promedio final sea un 5,1? A) 5,0 B) 5,1 C) 5,2 D) 6,0 E) 6,3

7 P V 11) La ley combinada que rige el comportamiento ideal de un gas es = T constante, donde P es la presión del gas, V su volumen y T su temperatura absoluta. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) A volumen constante la presión es directamente proporcional a la temperatura II) A temperatura constante la presión es inversamente proporcional al volumen III) A presión constante el volumen es inversamente proporcional a la temperatura A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III 12) Una nutricionista mezcla tres tipos de jugos de fruta de modo que sus volúmenes están en la razón 1: 2:3. Si el volumen del segundo tipo es de litros, cuántos litros tiene la mezcla total? A) 6 litros B) 10 litros C) 12 litros D) 1 litros E) 16 litros 13) En un curso de 0 estudiantes, la razón entre mujeres y hombres es m: h. Cuál es la expresión que representa el número de mujeres? A) B) C) D) E) 0m m h 0(m h) m 0(m h) h 0h m h 0m h 1) El gráfico de la figura, representa a una proporcionalidad inversa entre las magnitudes m y t. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La constante de proporcionalidad es 36 II) El valor de t 1 es 9 III) El valor de m 1 es 36 A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas

8 15) A un evento asistieron 56 personas. Si había mujeres por cada 3 hombres, cuántas mujeres asistieron al evento? A) 8 B) 21 C) 2 D) 28 E) 32 16) Si h hombres pueden fabricar 50 artículos en un día, cuántos hombres se necesitan para fabricar x artículos en un día? hx A) 50 50x B) h x C) 50h h D) 50x E) Ninguno de los valores anteriores 17) En un balneario, hay residentes permanentes. En el mes de febrero, de cada seis personas solo una es residente permanente, cuántas personas hay en febrero? A) 16 B).000 C) D) E) ) Si el índice de crecimiento C de una población es inversamente proporcional al índice D de desempleo y en un instante en que C = 0,5 se tiene que D = 0,25, entonces entre ambos índices se cumple: A) D = 0,5C B) D = C 2 0, 5 C) D = C D) D = 0,125C E) D = 0,125 C 19) Para hacer arreglos en un edificio se contratará un cierto número de electricistas. Si se contratara 2 electricistas, ellos se demorarían 6 días, trabajando 8 horas diarias, cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) Si se contrataran electricistas, se demorarían 3 días, trabajando 8 horas diarias II) El número de electricistas y el número de días son variables directamente proporcionales III) La constante de proporcionalidad entre las variables es 3

9 A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III 20) Un trabajador hace un trabajo en 60 días, mientras que cinco trabajadores hacen el mismo trabajo en 12 días. Cuál de los siguientes gráficos representa mejor la relación trabajadores días 21) n y m son directamente proporcionales y su constante de proporcionalidad es 3. Cuál de las siguientes tablas representa dicha relación? 22) Según el grafico obreros versus el tiempo que demoran en construir una casa del tipo M se puede afirmar correctamente que: A) Dos trabajadores construyen una casa del tipo M en un año B) Tres trabajadores construyen una casa del tipo M en cinco meses C) b trabajadores construyen más casas del tipo M que c trabajadores en un año D) (c b) trabajadores construyen una casa del tipo M en ocho meses E) d trabajadores construyen dos casas del tipo M en un año

10 23) Entre tres hermanos compran un número de rifa que cuesta $ Juan aporta con $ 20, Luis con $ 360 y Rosa aporta el resto. El premio es de $ Deciden, en caso de ganarlo repartirlo en forma directamente proporcional al aporte de cada uno, Qué cantidad de dinero le correspondería a Rosa? A) $ B) $ C) $ D) $ E) $ ) En un colegio se necesita colocar en la cocina 70 m 2 de cerámica y 100 m 2 de piso flotante para la sala de computación. Si el metro cuadrado de cerámica cuesta $P y el metro cuadrado de piso flotante es un 75% más caro que la cerámica, entonces el costo total es de: A) $ 15 P B) $ 170 P C) $ 175 P D) $ 25 P E) $ 195 P 25) Si un capital C se invierte a una tasa anual de r por ciento de interés compuesto n veces al año, entonces la cantidad P en la cuenta al final de t años nt 1 está dada por: P C 1.Al invertir $ al 6% anual de interés 100n compuesto trimestralmente, al término de 1 año se tendrá, en pesos, una cantidad de: A) (1,06) B) (1,06) C) (1,18) D) (1,015) E) (1,015) 3 3