RAÍCES-PROPORCIONES-PORCENTAJES

Transcripción

1 1 RAÍCES-PROPORCIONES-PORCENTAJES 2014

2 Raíz de un número

3 Raíz de un número

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5 Propiedades de las raíces La raíz de un producto es igual al producto de las raíces. La raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces Al dividir el índice de la raíz y el exponente del radicando por un mismo número el valor de la raíz no varía.

6 Ejemplo:

7 Aplicando las propiedades anteriores, el producto y cociente de raíces se calculan de la siguiente forma: Si tienen el mismo índice: Ejemplo:

8 La potencia de una raíz es otra raíz que tiene por índice el mismo y por radicando la potencia del radicando. La raíz de una raíz es otra raíz que tiene por índice el producto de los índices y por radicando el mismo.

9 Radicales equivalentes Dos o más radicales se dicen equivalentes si las fracciones de los exponentes de las potencias asociadas son equivalentes. Dado un radical se pueden obtener infinitos radicales semejantes, multiplicando o dividiendo el exponente del radicando y el índice de la raíz por un mismo número. Si se multiplica se llama amplificar y si se divide se llama simplificar el radical. Radical irreducible, cuando la fracción de la potencia asociada es irreducible.

10 Introducción y Extracción de factores Para introducir un factor dentro de un radical se eleva el factor a la potencia que indica el índice y se escribe dentro. Si algún factor del radicando tiene por exponente un número mayor que el índice, se puede extraer fuera del radical dividiendo el exponente del radicando entre el índice. El cociente es el exponente del factor que sale fuera y el resto es el exponente del factor que queda dentro.

11 Ejemplos: Las propiedades de los radicales permiten introducir números en un radical. Así: El proceso contrario, es decir, sacar fuera del radical los factores que son raíces exactas, será:

12 EJERCICIOS 1. Escribe los siguientes radicales como potencia de exponente fraccionario: 2. Escribe las siguientes potencias como radicales: 3. Escribe un radical equivalente, amplificando el dado:

13 EJERCICIOS 4. Escribe un radical equivalente, simplificando el dado. 5. Introduce los factores dentro del radical: 6. Extrae los factores del radical:

14 7. Escribe con una sola raíz: EJERCICIOS 8. Escribe con una sola raíz: 9. Escribe con una sola raíz

15 10. Calcular la suma: EJERCICIOS 11. Multiplica los siguientes radicales

16 EJERCICIOS

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20 ESQUEMA RAZÓN PROPORCIÓN DIRECTA INVERSA COMPUESTA PORCENTAJE

21 LAS RAZONES Y PROPORCIONES Las razones y proporciones son una manera de encontrar relaciones entre cantidades que aumentan o disminuyen. Por ejemplo La cantidad de dinero que se paga por la compra de un kilo de manzanas irá aumentando o disminuyendo en la medida que aumente o disminuya la cantidad de kilos de manzanas a comprar.

22 EJEMPLO DE APLICACIÓN REAL En lenguaje de cartografía la razón se conoce como escala. Si un mapa está a escala 1:1000, Qué significa? Cualquier distancia (digamos 1cm) en el mapa, representa 1000 cm en la vida real es decir 10m.

23 QUÉ ES? :16 RAZÓN: Cociente entre 2 cantidades positivas. Se puede anotar: a b ó a: b Y se lee: a es a b. a (numerador) es el antecedente. b (denominador) es el consecuente.

24 QUÉ ES? :16 PROPORCIÓN: Igualdad entre 2 razones. a y d son los extremos. b y c son los medios. También se puede escribir: a b = c d a: b = c: d Y se lee: a es a b como c es a d.

25 :16

26 :16 TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES El producto de los medios es igual al producto de los extremos. a: b = c: d si y solo si ad = bc a b = c d ó si y solo si ad = bc

27 EJEMPLO: :16 Es la expresión 15: 18 = 20: 24 una proporción? RESPUESTA: = = 360

28 :16 PROPIEDADES Una proporción no se altera

29 :16 Alternar una proporción Si a b = c d se cumple: d b = c a Cambiando el orden de los extremos o de los medios

30 :16 Invertir una proporción Si a b = c d se cumple: b a = d c Cambiando el orden de los términos de cada razón

31 :16 Permutar una proporción Si a b = c d se cumple: c d = a b Cambiando el orden de las razones

32 :16 Componer una proporción a Si b = c d proporciones): se cumple (composición de a + b a = c + d c a + b b = c + d d

33 :16 PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES Si a b = c d proporciones): se cumple (descomposición de a b a = c d c a b b = c d d

34 :16 Componer y descomponer una proporción Si a b = c d descomponiendo a la vez): se cumple (componiendo y a + b a b = c + d c d

35 EJERCICIOS

36 Armar una proporción con cada una de los siguientes cuartetos de números.

37 Utilizar la proporción para verificar las propiedades en la columna izquierda del cuadro: En toda proporción, la suma o diferencia entre el antecedente y consecuente de la primera razón es a su consecuente, como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su consecuente.

38 En toda proporción, la suma o diferencia entre el antecedente y consecuente de la primera razón es a su antecedente, como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su antecedente.

39 En toda proporción, la suma entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a la diferencia entre los mismos, como la suma entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a la diferencia de los mismos.

40 Las propiedades de la proporciones se pueden utilizar para resolver SITUACIONES PROBLEMÁTICAS

41 Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones, calcular el valor de x:

42 Aplicar las propiedades de las proporciones para resolver las siguientes SITUACIONES PROBLEMÁTICAS:

43 :16 TIPOS DE PROPORCIONES

44 :16 PROPORCIONES DISCONTINUAS Aquella que tiene todos sus términos desiguales. Ejemplo: 21 3 = 49 7 Cuarta Proporcional: Cada uno de los términos de una proporción discontinua. 49 es la cuarta proporcional entre 21, 7 y 3. 3 es la cuarta proporcional entre 21, 7 y es la cuarta proporcional entre 3, 49 y es la cuarta proporcional entre 49, 3 y 7.

45 :16 PROPORCIONES CONTINUAS Tiene los dos medios o los dos extremos iguales. a b = b d ó a b = c a Ejemplo: 4 6 = 6 9 Tercera Proporcional Geométrica: Cada término no repetido de una proporción continua. 4 es una tercera proporcional entre 6 y 9. 9 es una tercera proporcional entre 6 y 4.

46 PROPORCIONES CONTINUAS :16 Ejemplo: 4 6 = 6 9 Media Proporcional Geométrica: Es el término que se repite en una proporción continua. 6 es la media proporcional geométrica entre 4 y 9.

47 SERIES PROPORCIONALES

48 :16 DEFINICIÓN a b = k, c d = k, e f = k, etc. Podemos escribir: a b = c d = e f = = k Esta igualdad de dos o más razones se llama serie de razones o proporciones.

49 Así se resuelve todo :16 En una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes como un antecedente cualquiera es a su consecuente. a b = c d = e f = k k = a + c + e b + d + f

50 PROPORCIONALIDAD

51 PROPORCIONALIDAD DIRECTA :16 x es directamente proporcional a y si al aumentar o disminuir x o y su complementario aumenta o disminuye de la misma manera. Se escribe: x y = k K= CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD

52 PROPORCIONALIDAD DIRECTA Dos o más cantidades a y b son directamente proporcionales cuando su cociente es constante.

53 OBSERVACIÓN Dos cantidades se dicen que son directamente proporcionales si y solo si al aumentar una de ellas la otra también aumenta. Dos cantidades se dicen que son directamente proporcionales si y solo si al disminuir una de ellas la otra también disminuye. Ejemplo: Mas horas de trabajo mas producción

54 :16 PROPORCIONALIDAD DIRECTA Una motocicleta tiene un rendimiento de 18,5[km/L]. Cuántos litros de bencina consumirá en 370[km]? Resolución: La relación de 18,5[km/L] indica que por cada 18,5[km] la moto consumirá 1[L] de bencina. El cociente entre estas cantidades permanece constante e igual a 18,5; por lo tanto hablamos de una proporcionalidad directa entre las variables kilómetros y litros.

55 EJEMPLO En una receta se incluyen tres huevos por cada 12 personas. Cuántos huevos se necesitarán si se desea preparar la receta para 20 personas? Se tiene: Huevos Personas 3 12 x 20 Formando la proporción 3 12 x 20 Multiplicando cruzado x Resolviendo para x, se tiene que: 5 x Por lo tanto, se necesitan 5 huevos para 20 personas

56 El dibujo está formado por cuadrados de distinta medida. Escribir la fórmula de la función que relaciona el lado del cuadrado con su perímetro:

57 La REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA permite plantear y resolver problemas entre cantidades directamente proporcionales. Por ejemplo: Si el precio de un pasaje de bus es de $650. Cuánto costarán 20 pasajes?

58 Ejercicio Un vehículo recorre 150m en 5 seg. Si no varía su velocidad, que distancia puede recorrer en un minuto y medio?

59 PROPORCIONALIDAD INVERSA :16 x es inversamente proporcional a y si al aumentar o disminuir x o y, su complementario disminuye o aumenta, en ese orden, en la misma medida.

60 PROPORCIONALIDAD INVERSA Dos o más cantidades son inversamente proporcionales si los productos que se obtienen al multiplicar los términos de cada una de las razones son constantes.

61 OBSERVACIÓN Dos cantidades se dicen que son inversamente proporcionales si y sólo si al aumentar una de ellas la otra disminuye. Dos cantidades se dicen que son inversamente proporcionales si y sólo si al disminuir una de ellas la otra aumenta. Ejemplo: El número de obreros y el tiempo para realizar una obra

62 :16 EJEMPLO PROPORCIONALIDAD INVERSA 36 jóvenes scouts tienen alimento para 15 días. Si faltan seis, para cuántos días más alcanzará el alimento si consumen diariamente la misma ración? El número de scouts y la cantidad de días están en proporcionalidad inversa, y tienen la característica de que una de ellas disminuye y la otra aumenta con respecto a la cantidad de alimento disponible.

63 EJEMPLO En una granja avícola hay 300 gallinas que se comen un camión de grano en 20 días. Si se compran 100 gallinas más En cuanto tiempo comerán la misma cantidad de grano? Se tiene: Gallinas Días x Formando la proporción x Multiplicando cruzado x x 15 Se invierte la segunda razón 300 x Resolviendo para x, se tiene que: Por lo tanto, en 15 días comerán la misma cantidad de granos

64 Ejercicio Para pintar una casa se necesitan 30 litros de pintura. Completar la tabla con la cantidad de latas necesarias según el contenido de cada una

65 Representar los datos de la tabla en un par de ejes cartesianos: La REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA permite plantear y resolver problemas entre cantidades directamente proporcionales. Por ejemplo: Con cinco impresoras funcionando se imprimen 25 páginas en total en un minuto. Cuánto tiempo demorarán tres impresoras en imprimir la misma cantidad de páginas?

66 EJEMPLO DE PROPORCIONALIDAD El número de leñadores y el número de árboles que pueden cortar es una proporción La velocidad de un avión y el tiempo que tarda en hacer un viaje es La cantidad de cigarrillos que fumo y lo que gasto fumando es El número de cuadernos que compro y lo que tengo que pagar es El número de pintores y el tiempo que tardan en pintar una casa es

67 Situación problemática: Tres personas A, B y C compraron un departamento en 40 cuotas. A pagó el 30% de las cuotas, B pagó el 25% y C el 45% de las cuotas. Cuando decidieron venderlo, obtuvieron $ De qué forma deben repartirse el dinero de la venta para que sea proporcional a las cuotas pagadas por cada uno?

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69 Situación problemática: La profesora repartió actividades de un cuadernillo de 60 páginas en forma inversamente proporcional al puntaje que habían obtenido Julieta, Germán y Ana en un trabajo. Si Julieta obtuvo 12 puntos; Germán 4 puntos y Ana obtuvo 6 puntos, Cuántas páginas de actividades le correspondió a cada uno?

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71 PORCENTAJES

72 Un tanto por ciento o porcentaje es la cantidad que hay en cada 100 unidades. Se expresa añadiendo a la cantidad el símbolo %

73 INTRODUCCIÓN Para calcular un porcentaje, se divide el entero en 100 partes iguales y se toma de ella la cantidad requerida. Si una cantidad se divide en 100 partes iguales y se toma 25 de ellas, se está considerando el 25% de la cantidad.

74 :16 DEFINICIÓN El porcentaje es un tipo de proporcionalidad directa. El a% significa dividir la cantidad en 100 partes y se toman a de ellas. a% = a 100 Y se lee «el a por ciento».

75 Como sabemos, cada porcentaje es equivalente a una fracción. Así, el 15% = Observa que el 100% = Y por lo mismo, el 15% = 0, Por tanto, existe una relación clara entre los porcentajes, las fracciones y los números decimales. Veámosla esquemáticamente: Porcentajes Fracciones Decimales Un porcentaje es equivalente a una fracción de denominador 100 y también al número decimal correspondiente.

76 El 85% de 500 = , Por tanto, para calcular el porcentaje de una cantidad se multiplica la cantidad por el número decimal equivalente al porcentaje.

77 :16 RELACIONES BÁSICAS Total 100% = Parte del Total a% Porcentaje de un número: Cuál es el a% de N? N 100% = x a% x = an 100

78 :16 RELACIONES BÁSICAS Un número, conocido un porcentaje de él: De qué número p es el q%? x 100% = p q% x = 100p q

79 :16 RELACIONES BÁSICAS Relación porcentual: Qué porcentaje es a de b? b 100% = a x x = 100a b %

80 RELACIONES BÁSICAS :16 Porcentajes sucesivos: Cálculo de porcentajes de porcentajes, Cuál es el a% del b% del c% del de N? x = a 100 b 100 c 100 N

81 Actividad 1. Qué es mayor: el 42 % de 58 o el 58% de 42? 2. Si al precio x se le recarga el 20 %, el nuevo precio es 3. El 35 % del precio y es

82 EJEMPLO Calcular el 32% de 459. La proporción que se debe formar es:

83 EJEMPLO Qué porcentaje es 142 de 568? La proporción que se debe formar es:

84 EJEMPLO De qué cantidad es 96 el 12%? La proporción que se debe formar es:

85 lidad+y+porcentajes WebC/eltanque/default.htm olo/web%20jclic2/matematicas/porcien/index.h tm