PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA

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1 Veremos PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA TEMA 9. GRUPO: 2 A La razón de dos números. La proporción. Que es una magnitud y estudiaremos: Magnitudes Dependientes Relación directa: -Directamente proporcional Relación inversa: -Inversamente proporcional Porcentajes Independientes. Susana y Paula han hecho juntas un trabajo. Susana ha dedicado 2 horas y Paula 6. Qué relación hay entre las horas dedicadas al trabajo? Si calculamos el cociente o la razón de sus horas trabajadas podemos afirmar que Paula ha dedicado la mitad de horas que Susana al trabajo. horas Paula 6 = = horas Susana 2 2 Razón de dos números Es el cociente entre dos números. Sirve para comparar: indica el número de veces que una cantidad es mayor que otra. La razón no tiene unidades. Si tiene unidades hablamos de tasa. Una de las interpretaciones que dimos a una fracción fue la de cociente entre dos números enteros. Si a Susana le han pagado 50 euros Cuánto le pagarán a Paula? Pero antes de responder al cuánto qué considerarías justo? Que le pagaran en proporción o proporcionalmente: 6 x = x = Una proporción Es la igualdad entre dos razones = 2 50 En este ejemplo, coincide con el concepto de fracciones equivalentes. Y Cuándo no?

2 La razón entre la altura de Pedro y la de su hermana Ana es de 4/5. Cuánto mide Pedro si Ana mide 80cm? 4 x 4 = x = 80 = = 5 80 Magnitud Llamamos magnitud a todo aquello que se puede medir y expresar con números Pon ejemplos: X 36 Relación entre magnitudes No siempre es sencillo averiguar si existe relación entre dos magnitudes. Si hay relación, hablamos de magnitudes dependientes, y puede ser una relación directa o inversa. Pon ejemplos de: Magnitudes relacionadas entre sí. Magnitudes independientes entre sí Magnitudes independientes son aquellas entre las que no existe ninguna relación. Tipos de relación: Directa: Cuando el aumento o disminución de una magnitud se traduce en un aumento o disminución de la otra respectivamente. Inversa: Cuando el aumento de una magnitud se traduce en una disminución de la otra o viceversa.. Identifica las magnitudes. 2. Están relacionadas? 3. Con qué tipo de relación? La energía gastada por una bombilla y el tiempo que está encendida. El número de hermanos/as y la altura de una persona. La velocidad de un tren y el tiempo empleado en recorrer una determinada distancia. El número de estudiantes que van a una excursión y el dinero que tiene que poner cada uno para pagar el autobús. El número de personas que van al cine y el precio de la entrada. Los litros de aceite que compro y el dinero que me cuestan. El número de obreros y el tiempo empleado en descargar un camión. Si tengo 20 para comprar cuadernos, el número de cuadernos iguales que puedo comprar y su precio. El número de páginas de un libro y su precio. La distancia entre dos puntos de un plano y su distancia real. 2

3 Proporcionalidad Es un tipo de relación entre dos magnitudes. Cuando la relación es exacta, se llama proporción. Hay de dos tipos: Proporcionalidad directa Proporcionalidad inversa. Magnitudes directamente proporcionales Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida respectivamente por el mismo número. A B Reducción a la unidad Dicho de otra forma: Dos magnitudes serán directamente proporcionales cuando el cociente de las cantidades correspondientes a dichas magnitudes es constante. A esta constante se la llama razón o constante de proporcionalidad. Ejemplo: Relación entre el peso de un enfermo con la cantidad de medicamento que debe tomar. Peso(KG) Mg medicamento x y y r = = = = = x Ejercicios del libro: Proporcionalidad directa: Tablas Pág.43: Ej. 2,3. Pág.50: Ej. 5. Proporcionalidad directa : Problemas Pág.43: Problemas: 8,9,20. Magnitudes inversamente proporcionales Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda dividida o multiplicada respectivamente por el mismo número. A B Reducción a la unidad Dicho de otra manera: Dos magnitudes serán inversamente proporcionales cuando los productos de las cantidades correspondientes a dichas magnitudes es constante. A esta constante se la llama constante de proporcionalidad inversa. Relación entre el número de amigos y la aportación de cada uno para hacer un regalo de Nº amigos x aportación y k = = 2 50 = 4 25 = 5 20 = y x 3

4 Ejercicios del libro: Proporcionalidad inversa: tablas Pág.47: Ej. 37,38. Pág.50: Ej. 52. Pág.5: Ej. 60. Proporcionalidad inversa: problemas Pág.47: Problemas: 43,44,45, = 0,5 = 50% 2 25 = 0, 25 = 25% 4 FRACCIÓN NÚMERO DECIMAL PORCENTAJES 20 = 0, 20 = 20% 5 0 = 0, = 0% 0 0, 05 5% 20 = 0, 04 4% 25 = 0, 02 2% 50 = 0, 0 % = Porcentaje Una fracción la interpretamos como partes de una cantidad. Por ejemplo 3/5 podría representar que 3 de cada 5 familias tiene alguna mascota. Si se mantuviera la relación, de cada 0 familias cuantas esperaríamos que tuvieran mascota, y de cada.: = = 5 0 Podemos decir que 60 de cada familias tiene alguna mascota, es decir, el 60% de las familias tiene alguna mascota. Porcentaje Llamamos porcentaje o tanto por ciento a la cantidad de cada unidades. Lo expresamos con el símbolo % En el año 2009, el 25% de la población entre 8 y 24 años de Aragón abandonó los estudios sin terminar la ESO. Cómo lo interpretamos? Porcentaje usando el concepto de proporción: Nos preguntamos: Cuántos llevaríamos zapatillas si fuésemos en clase? Los porcentajes nos sirven para comparar al establecer una referencia común igual a. En nuestra clase 4 de cada 5 vamos con zapatillas. Qué tanto por ciento representamos? 4 x 4 80 = = 5 5 O bien : 4 = 80% 5 En qué curso han obtenido mejores resultados? Segundo A. Han aprobado todo 4 de 20 4 x 4 20 = = O bien : 4 = 20% 20 Segundo B: Han aprobado todo 6 de 24 6 x 6 25 = = = Obien : 6 = 25% 24 4

5 EN LA PRÁCTICA: P N = % Lo usamos para calcular qué tanto por ciento representa: Un número P de un número N Una cantidad P respecto a un total N Deduce el resultado anterior a partir del concepto de proporción: Nos planteamos el siguiente ejemplo: El precio de una camiseta es de 20 sin IVA. Si el IVA en la ropa es del 8%. Cuánto tendré que pagar de IVA? Usamos el concepto de proporción: 8 x 8 = x = 20 = 3,6 20 Vemos que para calcular el 8 % de 20 euros tenemos dos alternativas.. PARA CALCULAR EL TANTO POR CIENTO (%) DE UNA CANTIDAD (C). Podemos usar el concepto de proporción: % x % = x = C C Usamos el concepto de proporción: 8 x 8 = x = 20 = 3, PARA CALCULAR EL TANTO POR CIENTO(%) DE UNA CANTIDAD (C). Podemos expresar el % en forma de fracción o en forma decimal y multiplicar a la cantidad (C) por él: % C = Calculamos el 6% de 20dela forma : 6 x = 20 = 3, 2 Calcular el % de una cantidad. Página 45. Ejercicio: 2. Página 45. Problema 3,32,33. Pág. 50. Ejercicio: 48,49,50. Página 5. Ejercicio: 65. Seguimos con el ejemplo pero nos preguntamos por el precio final: El precio de una camiseta es de 20 sin IVA. Si el IVA en la ropa es del 8%. Cuánto pagaré por la camiseta? Cual será la respuesta con lo que ya sabemos? , 6 = = 20 + = 20 = 20,8 Directamente: 20,8 = 23, 6 Y usando proporciones? 8 x 8 = x = 20 = 23,6 20 5

6 Calcular el valor final conociendo:. el incremento porcentual (%) 2. la cantidad inicial INDICE DE VARIACIÓN VALOR FINAL = VALOR INICIAL INDICE DE VARIACIÓN Calcular el precio final de un televisor de 400 al que incrementamos el precio un 20%. % = + precio final = 400, 20 = x 20 = x = = 400, 20 = 480 Calcular el aumento porcentual de una cantidad. Página 45. Ejercicio: 29,30. Página 5. Ejercicio: 64. Página 50. Ejercicios: 53,54 Seguimos con el ejemplo pero nos preguntamos por el precio final: El precio de una camiseta es de 20. Si nos rebajan un 8%. Qué porcentaje pagaré? Cuánto pagaré por la camiseta? Cual será la respuesta con lo que ya sabemos? , 6 = = 20 = 20 = 20 0,82 Directamente: 20 0,82 = 6, 4 Y usando proporciones? 82 x 82 = x = 20 = 6, 4 20 Calcular el valor final conociendo:. la disminución porcentual (%) 2. la cantidad inicial INDICE DE VARIACIÓN % = VALOR FINAL = VALOR INICIAL INDICE DE VARIACIÓN Calcular el precio final Si me rebajan el 5% tendré que pagar el %. Por tanto: de un ordenador de = 600 = 600 0, = donde me rebajan un 5%. Usando proporciones x = x = 600 = , = 50 En una comunidad autónoma había parados. Han disminuido un 5%. Cuántos hay ahora? Directamente calculando el índice de variación: % 5 5 Índice de variación = IV = = = = 0, Número de parados actuales = , = 5943 Calcular la disminución porcentual de una cantidad. Página 45. Ejercicio: 26,27. Página 50. Ejercicio: 55. Página 5. Ejercicio: 63. Usando proporciones: x = x = =

7 Calculemos el porcentaje de descuento que nos hacen: He comprado a mi sobrino un cuento que costaba 4,9. Si he tenido que pagar 3,4. Qué porcentaje de descuento me han hecho? Con proporciones: 3, 4 4,9 x = 4,9,49 x = = 4,9,49 = = 0% 4,9 Directamente: 3,4 4,9,49 = = 4,9 4,9,49 = = 0% 4,9 Cálculo de descuentos: Para resolver este problemas nos preguntamos: cual sería el descuento si el valor inicial fuera de unidades?. Variación = Valor final Valor inicial Dividiendo la variación del valor inicial y multiplicando por : Valor Final Valor Inicial = Valor Inicial Explica el resultado partiendo del concepto de proporción Qué porcentaje de descuento nos han hecho? Página 45. Ejercicio: 34. Página 50. Ejercicio: 58. Problemas para aplicar lo visto hasta ahora: Página 50. Ej.57. Página 5. Ej.62,66,67,68,69. Repasa con la autoevaluación: Pag.52 FIN Buen Trabajo. 7