PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA

Transcripción

1 PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA CPR. JORGE JUAN Xuvia-Narón Se define la razón entre dos números, a, y, b, como el cociente entre ambos a b Se denomina proporción a una igualdad entre dos razones a b razón entre los números, a, y, b si, a b = c d a, b, c, y, d, forman una proporción c d razón entre los números, c, y, d Se llama constante de proporcionalidad de una proporción al cociente de cualquiera de las razones que la definen. Dos magnitudes pueden ser: Directamente proporcionales Si al multiplicar ó dividir una de ellas por un número la otra queda también multiplicada ó dividida por ese mismo número. Magnitud A a a a... m Magnitud B b b b... n Al formar razones con los valores correspondientes de dos magnitudes directamente proporcionales la constante de proporcionalidad es siempre la misma. a ' " a a... m k b b ' b" n Se deduce que dos pares de valores correspondientes de dos magnitudes directamente proporcionales forman una proporción numérica. Para hallar una cantidad desconocida que forma proporción numérica con otras cantidades conocidas, correspondientes a dos magnitudes directamente proporcionales se sigue uno de estos procedimientos: Regla de tres simple directa a b a b c. b x c x c x a Reducción a la unidad Consiste en determinar la cantidad de la magnitud, B, que le corresponde a la unidad de la magnitud, A. proporcionalidad numérica Departamento Matemáticas - CPR Jorge Juan Xuvia 183

2 Una máquina fabrica, 400, clavos en, 5 h. Cuánto tiempo necesita para fabricar, 1000, clavos?. Magnitud A (Nº de clavos) Magnitud B (tiempo, h) 5 t las magnitudes son directamente proporcionales pues a mayor número de clavos le corresponde mayor número de horas. se puede resolver el ejercicio siguiendo dos métodos: Método de las proporciones ó regla de tres 400 clavos se fabrican en 5 h 1000 clavos se fabrican en t h t= '5 400 h Método de reducción a la unidad 400 clavos se fabrican en 5 h clavo se fabrica en h clavos t h= = 12 5 h Una rueda de coche da, 4500, vueltas en, 9 m. Cuántas vueltas dará en, 24 h, y, 24 m?. Magnitud A (Nº vueltas) 4590 x Magnitud B (tiempo, m) las magnitudes son directamente proporcionales pues a mayor número de vueltas le corresponde un mayor tiempo. se puede resolver el ejercicio siguiendo dos métodos: método de las proporciones ó regla de tres 4590 vueltas da en 9 m x vueltas da en 1464 m x= vueltas 9 proporcionalidad numérica Departamento Matemáticas - CPR Jorge Juan Xuvia 184

3 Un automóvil gasta, 8 l, de gasolina cada, 100 km. Si le quedan, 7 l, en el depósito, cuántos, km, puede recorrer el vehículo?. Magnitud A (distancia, km) 100 x Magnitud B (volumen, l) 8 7 las magnitudes son directamente proporcionales pues a mayor número de litros le corresponde mayor número de kilómetros. se puede resolver el ejercicio siguiendo dos métodos: método de las proporciones ó regla de tres 100 km se recorren con 8 l x km se recorren con 7 l x= '5 km 8 método de reducción a la unidad 8 l se recorren 100 km l se recorren 12 5 km l x= = 87 5 km De los, 250, alumnos y alumnas que hay en un colegio, hoy han ido de excursión el, 30%. Cuántos alumnos han ido de excursión?. Magnitud A (Nº alumnos) Magnitud B (van de excursión) 30 x las magnitudes son directamente proporcionales pues a mayor número de alumnos le corresponde mayor número de alumnos que van a la excursión. método de las proporciones ó regla de tres De 100 alumnos van 30 alumnos de excursión 250 alumnos van x x= alumnos 100 directamente a través del, 30%, de alumnos. 30%= = 75 alumnos proporcionalidad numérica Departamento Matemáticas - CPR Jorge Juan Xuvia 185

4 Si dos magnitudes son directamente proporcionales tienen las siguientes propiedades: Si se suman ó restan cantidades de una magnitud y las correspondientes de la otra, las cantidades así obtenidas siguen siendo proporcionales a las dadas. Magnitud A a a a... Magnitud B b b b... se verifica a a ' a" a a ' a" k b b ' b" b b' b"... En toda proporción numérica, a c a b c d b d b d a c a b c d a b c d 1 1 b d b b d d b d En toda proporción numérica, a c a b c d b d b d a c a b c d a b c d 1 1 b d b b d d b d a c a b b d c d a c a b c d b d a b c d a b c d a b b a c b d c d d a b a b a b c d b d a b c d a b b c d c d a b c d b d c d d a c a c b d b d a c b d a c a c b d b d a c a c b d b d a c a c n n b d b d n n proporcionalidad numérica Departamento Matemáticas - CPR Jorge Juan Xuvia 186

5 a c e a c e k k b d f b d f a k a b. k b a c e c a c e k k c d. k a c e ( b d f ). k k b d f d b d f e k e f. k f a c e a. c. e k k b d f b. d. f 3 La proporcionalidad directa se expresa a menudo en forma de porcentaje ó tanto por ciento, %. El, %, de una cantidad indica que de cada, 100, partes de esa cantidad se ha tomado el tanto indicado en el porcentaje. Para hallar el, %, de una cantidad se multiplica esa cantidad por el, %, indicado y se divide por, 100. t t% de C=. C 100 En los problemas de porcentajes aparecen siempre tres cantidades relacionadas, el tanto por ciento, t%, la cantidad total, C, y la parte, A. Con ellas los ejercicios de porcentajes pueden ser: Hallar la parte, A, conocidos el porcentaje, t%, y el total, C De 100 se toma De C se toma x t 100 t C. t x C x 100 Luisa compra un coche por, 16000, y le hacen un descuento del, 12%. A qué cantidad equivale el descuento?. x= 12% de 16000= = 1920 De los, 4075, personas que asistieron a una exposición el, 52%, eran jóvenes menores de, 35, años. Cuántas personas menores de, 35, años asistieron?. x= 52% de 4075= =2119 personas asistieron El, 15%, de la plantilla de un equipo de futbol están lesionados. Si la plantilla tiene, 20, jugadores. Cuántos sufren lesiones?. 20 jugadores. 15%= = 3 jugadores proporcionalidad numérica Departamento Matemáticas - CPR Jorge Juan Xuvia 187

6 El, 20%, de las, 870, personas que viajan en un barco son miembros de la tripulación. Cuántos tripulantes tiene el barco?. 870 personas. 0,20%= = 174 tripulantes Una tarta pesa, 1200 g, y contiene un, 10%, de mantequilla. Cuántos, g, de mantequilla lleva la tarta? g. 10%= = 120 g de mantequilla Por haber ayudado a mi hermano en un trabajo, me da el, 25%, de los, 60, que ha cobrado. Cuánto dinero recibí? %= = 15 El, 95%, de las, 340, cabezas de un rebaño son ovejas, y el resto son cabras. Cuántas ovejas y cabras hay en el rebaño?. 340 cabezas. 95%= = 323 cabezas son ovejas = 17 cabezas son cabras En el aparcamiento de unos grandes almacenes hay, 280, coches, de los que el, 35%, son blancos. Cuántos coches blancos hay en el aparcamiento?. 280 coches. 35%= = 98 coches blancos Hallar el porcentaje, t%, conocidos el total, C, y la parte, A De C se toma A De 100 se toma x C A 100. A x 100 x C Luisa compra un coche por, 16000, y le hacen un descuento de, Qué porcentaje le descuentan?. de le descuentan 1920 de 100 le descuentan x x el porcentaje de descuento ha sido del, 12%. Un hotel tiene, 50, habitaciones y están ocupadas, 35. Cuál es el porcentaje de ocupación del hotel?. % habitaciones ocupadas= cantidadaafectada % cantidaddtotal 50 proporcionalidad numérica Departamento Matemáticas - CPR Jorge Juan Xuvia 188

7 Un comerciante adquirió para las ventas de temporada, 500, pantalones y ha vendido, 400. Qué porcentaje de pantalones ha vendido?. % pantalones vendidos= cantidadaafectada % cantidaddtotal 500 El profesor de matemáticas ha puesto, 25, problemas y se han hecho, 10. Qué `porcentaje de problemas se han resuelto?. % problemas resueltos= cantidadaafectada % cantidaddtotal 25 Un jugador de baloncesto ha conseguido, 45, canastas de, 60, lanzamientos. Cuál es el porcentaje de aciertos?. % aciertos= cantidadaafectada % cantidaddtotal 60 Hallar el total, C, conocidos el porcentaje, t%, y la parte, A De 100 se toma De x se toma A t 100 t 100. A x x A t Luisa compra un coche. Si le hacen un descuento del, 12%, se ahorra, Cuál es el precio del coche?. de 100 le descuentan 12 de x le descuentan x En un colegio de han apuntado, 60 alumnos al torneo de ajedrez, lo que supone el, 15%, del total de chichos y chicas. Cuántos alumnos hay en total?. 15%= Alumnos Alumnos torneo totales Alumnostotales alumnos 15 Un restaurante tiene reservadas, 12, mesas que son el, 75%, del total. Cuántas mesas dispone en total el restaurante?. 75%= Mesas Mesas reservadas totales Mesastotales mesas 75 proporcionalidad numérica Departamento Matemáticas - CPR Jorge Juan Xuvia 189

8 Julián ha leído, 80, páginas de una novela, lo que supone el, 25%, del total. Cuántas páginas tiene la novela?. 25%= Páginas Páginas leídas totales Páginastotales páginas 25 En una encuesta sobre salud de un total de, 400, personas encuestadas, 60, declaran padecer algún tipo de alergia. Cuál es el porcentaje de alérgicos?. Magnitud A (Nº personas) Magnitud B (son alérgicos) 60 x las magnitudes son directamente proporcionales pues a mayor número de personas le corresponde mayor número de alérgicos. método de las proporciones ó regla de tres De 400 personas son alérgicos personas son alérgicos x x= % directamente a través de la definición de porcentaje % alérgicos= cantidadaafectada % cantidaddtotal 400 Aumento porcentual Aumentar una cantidad un, t%, equivale a hallar el, (100+t)%, de esa cantidad. El precio del gasoil ha subido un, 9%. Si costaba, 0 99 /l, cuánto costará ahora?. al aumentar un, 9%, lo que antes valía, 100 cts de euro, ahora cuesta, 100+9= 109 cts. se escribe entonces antes valía 100 cts ahora vale 109 cts antes valía 99 cts ahora vale x cts x 107,91 cts 100 Disminución porcentual Disminuir una cantidad un, t%, equivale a hallar el, (100-t)%, de esa cantidad. Adela compra una falda de, 80, y le rebajan un, 10%. Cuánto le rebajan?. Cuánto paga? %= = 72 paga por la falda 80-72= 8 le rebajan proporcionalidad numérica Departamento Matemáticas - CPR Jorge Juan Xuvia 190

9 Una cámara de vídeo cuesta, 850, pero el vendedor hace una rebaja del, 20%. Cuánto cuesta ahora la cámara?. al disminuir un, 20%, lo que antes valía, 100, ahora cuesta, = 80. Se escribe entonces antes valía 100 ahora vale 80 antes valía 650 ahora vale x x Francisco compra un traje de, 150, que está rebajado un, 20%. Cuánto le cuesta el traje? %= = 120 cuesta el traje En un embalse había en primavera, 5000 m 3, de agua, pero durante el verano las reservas han disminuido en un, 80%. Cuántos, m 3, de agua quedan en el embalse? m 3. 20%= = 1000 m 3 de agua quedan Porcentajes encadenados Surgen cuando se aplican aumentos o disminuciones porcentuales sucesivamente. Equivalen a aplicar un único porcentaje que es producto de todos ellos. Los porcentajes encadenados, t 1, t 2, t 3,,t n, de una cantidad equivalen a hallar el, (t 1.t 2.t 3.t n )%, de esa cantidad. Un televisor que cuesta, 200, está rebajado un, 30%. Al ir a pagar en caja hacen el, 16%, de iva. Cuál es el precio final?. si al precio inicial, 100%, se rebaja un, 30%, el precio rebajado es, 70% del precio inicial. Al aplicar el IVA el precio inicial,100%, ha aumentado un, 16%, el precio final es, 116%, del precio inicial. por ello el precio final del televisor de, 200, es 116%.70%.200= = Reparto directamente proporcional Para repartir una cantidad, N, en partes directamente proporcionales a las cantidades, a, N b, y, c, cada parte se obtiene multiplicando la constante de proporcionalidad, a b c, por cada número, a, b, y, c. proporcionalidad numérica Departamento Matemáticas - CPR Jorge Juan Xuvia 191

10 Un agricultor quiere regar con, 300 m 3, de agua tres parcelas de forma directamente proporcional a sus superficies, que son, 2, 3, y, 5, hectáreas respectivamente. Cuántos, m 3, destina al riego de cada parcela?. Al hacer un reparto directamente proporcional, la cantidad de agua que recibe cada parcela y las dimensiones de las mismas mantienen una proporción directa parte1 parte2 parte además también existe proporcionalidad entre la cantidad total de agua y el número total de hectáreas de las parcelas parte1 parte2 parte , 90, y, 150 m 3 agua para cada parcela Inversamente proporcionales Si al multiplicar ó dividir una de ellas por un número la otra queda divida ó multiplicada por ese mismo número. Magnitud A a a a... m Magnitud B b b b... n los valores correspondientes de dos magnitudes inversamente proporcionales verifican a.b= a.b = a.b =...= m.n= k k constante ó razón de proporcionalidad inversa Si, x, e, y, son magnitudes inversamente proporcionales verifican x.y= k 1 x x : k k y 1 y lo que indica que las magnitudes, x, e, 1, son directamente proporcionales. y Se deduce que los valores de dos magnitudes inversamente proporcionales forman las proporciones numéricas a b a ' b' a" b" a"' b"' Para hallar una cantidad desconocida que forma proporción numérica con otras cantidades conocidas, correspondientes a dos magnitudes inversamente proporcionales se sigue uno de estos procedimientos: Regla de tres simple inversa a b a. b a. b c. x x c x c proporcionalidad numérica Departamento Matemáticas - CPR Jorge Juan Xuvia 192

11 Reducción a la unidad Consiste en determinar la cantidad de la magnitud, B, que le corresponde a la unidad de la magnitud, A. Un tren a una velocidad de, 90 km/h, tarda, 2 h, en realizar un trayecto. Cuánto tiempo tardará en hacer este trayecto si va a, 75 km/h?. Magnitud A (velocidad, km/h) Magnitud B (tiempo, h) las magnitudes son inversamente proporcionales pues a mayor velocidad le corresponde menor número de horas. se puede resolver el ejercicio siguiendo dos métodos: Método de las proporciones ó regla de tres 90 km/h tarda 2 h 75 km/h tarda t h t= '4 75 h Método de reducción a la unidad 90 km/h tarda 2 h km/h farda 180 h km /h tarda t= 180 2'4 75 h Si tres hombres necesitan, 24, días para hacer un trabajo. Cuántos días emplearán, 18, hombres para realizar el mismo trabajo?. 3 hombres. 24 días= 18 hombres. t días t= días Reparto inversamente proporcional Para repartir una cantidad, N, en partes inversamente proporcionales a las cantidades, a, b, y, c, cada parte se obtiene dividiendo respectivamente por las cantidades, a, b, y, c, la N constante de proporcionalidad, a b c proporcionalidad numérica Departamento Matemáticas - CPR Jorge Juan Xuvia 193

12 Repartir una cantidad, N, en partes inversamente proporcionales a las cantidades, a, b, y, c, equivale a repartirla en partes directamente proporcionales a las cantidades, 1 a, 1 b, y, 1 c. Tres camareros se reparten, 295, de propinas en partes inversamente proporcionales a los días que faltaron en el trimestre, que fueron, 2, 5, y, 7. Cuánto le corresponde a cada uno?. al hacer un reparto inversamente proporcional, la cantidad que recibe cada camarero y los números de días que faltaron mantienen una proporción inversa y sus productos son iguales a la constante de proporcionalidad 2.Cantidad 1= 5.Cantidad 2= 7.Cantidad 3= k Cantidad 1= 2 k Cantidad 2= 5 k Cantidad 3= 7 k además la suma de estas tres cantidades ha de ser igual a la cantidad a repartir k k k k. 295 k de donde Cantidad 1= Cantidad 2= Cantidad 3= Se llama razón, r, de dos segmentos, AB, y, CD, al número que resulta de dividir la longitud del segmento, AB, entre la longitud del segmento, CD AB r CD Los segmentos, AB, y, CD, son proporcionales a los segmentos, EF, y, GH, si la razón de los segmentos, AB, y, CD, es igual a la razón de los segmentos, EF, y, GH AB EF r CD GH El segmento que forma proporción con otros tres segmentos conocidos, se denomina cuarto segmento proporcional. Si tres rectas paralelas, a, b, y, c, cortan a otros dos rectas, r, y, s, los segmentos que determinan son proporcionales, tal y como indica el teorema de Tales. AB BC A' B ' B' C ' AB BC AC AB AC A' B' B ' C ' A' C ' A' B ' A' C ' r s A A a B B b C C c proporcionalidad numérica Departamento Matemáticas - CPR Jorge Juan Xuvia 194

13 Si dos rectas paralelas, a, y, b, cortan a otras dos rectas, r, y, s, se verifica AB AA' A' B' BB ' El teorema de Tales tiene las siguientes aplicaciones: Dividir segmentos en partes iguales Si dos rectas se cortan, al dividir una en partes iguales, si se trazan rectas paralelas por esas divisiones la otra recta queda dividida de la misma manera. Dividir segmentos en partes proporcionales Si dos rectas se cortan, al dividir una en partes proporcionales, si se trazan rectas paralelas por esas divisiones la otra recta queda dividida de la misma manera. Dos triángulos, ABC, y, A B C, se dicen semejantes si: Tienen sus ángulos iguales A= A B= B C= C Tienen sus lados proporcionales AB BC AC A' B' B' C ' A' C ' Se dice que dos triángulos, ABC, y, AFD, están en posición de Tales cuando tienen un ángulo en común, A, y los lados opuestos a este ángulo, FD, y, BC, son paralelos. Dos triángulos en posición de Tales son siempre semejantes. Se llaman criterios de semejanza de triángulos a las condiciones mínimas que han de cumplir estos triángulos para que sean semejantes. Estos criterios son: Primer criterio Dos triángulos son semejante si tienen sus lados proporcionales. AB BC AC A' B' B' C ' A' C ' Segundo criterio Dos triángulos son semejantes si dos ángulos son iguales. A= A B= B proporcionalidad numérica Departamento Matemáticas - CPR Jorge Juan Xuvia 195

14 Tercer criterio Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales. A= A AC AB A' C ' A' B ' Dos triángulos que cumplan cualquiera de estos criterios se pueden poner en posición de Tales y por lo tanto son semejantes. Se deduce que dos triángulos rectángulos son semejantes si se verifica alguna: Tienen un ángulo agudo igual Dos de sus lados son proporcionales Teniendo en cuenta la semejanza de triángulos se tienen las siguientes aplicaciones: Hallar la altura de un objeto mediante su sombra Se tiene en cuenta que la sombra de un objeto es perpendicular a dicho objeto. los triángulos, ABC, y, A B C, son semejantes porque: Los ángulos, A, y, A, son rectos, es decir, son iguales, A= A Los ángulos, B, y, B, son iguales, B= B, ya que los rayos de sol inciden sobre los dos objetos con la misma inclinación por el segundo criterio de semejanza los triángulos, ABC, y, A B C, son semejantes. Se verifica AC AB AC 6'3 1'5.6'3 AC 4'5m A' C ' A' B ' 1'5 2'1 2'1 Hallar la altura de un objeto mediante objetos intermedios Si se conoce la altura de un objeto intermedio paralelo a otro objeto, se puede hallar la altura de este último. los triángulos, ABC, y, A B C, son semejantes por ser triángulos rectángulos con un ángulo agudo común. Se verifica AC AB AC AC 25m A' C ' A' B proporcionalidad numérica Departamento Matemáticas - CPR Jorge Juan Xuvia 196

15 Sobre triángulos rectángulos La altura trazada sobre la hipotenusa divide a un triángulo rectángulo en otros dos triángulos rectángulos que son semejantes al primero. Teorema del cateto El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa y la proyección de este cateto sobre la hipotenusa. c 2 = m.a b 2 = n.a Por ser los triángulos semejantes se verifica c a m 2 c c m. a b a n 2 b b n. a Teorema de la altura El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos. h 2 = m.n m h h 2 h n m. n Hallar las medidas que faltan en el triángulo rectángulo. aplicando el teorema de Pitágoras a 2 = = 225 a= cm a partir del teorema del cateto 2 9 c 2 = m.a 9 2 = m.15 m= 5'4cm 15 b 2 = n.a 12 2 = n.15 n= '6cm a partir del teorema de la altura h 2 = m.n h 2 = h= 51'84 7'2cm proporcionalidad numérica Departamento Matemáticas - CPR Jorge Juan Xuvia 197