ANÁLISIS VECTORIAL MAGNITUD FÍSICA Es todo aquello que se puede medir. CLASIFICACIÓN DE MAGNITUDES POR NATURALEZA MAGNITUD ESCALAR: Magnitud definida por completo mediante un número y la unidad de medida correspondiente. Son magnitudes escalares: temperatura, masa, área, volumen, energía, etc. MAGNITUD VECTORIAL: Es aquella magnitud que para estar completamente definida requiere de una orientación. Son magnitudes vectoriales: fuerza, desplazamiento, velocidad, aceleración, etc. VECTOR Es una flecha, ente matemático que gráficamente se representa por un segmento de recta orientado que sirve para representar las magnitudes vectoriales. Tienen módulo o tamaño que siempre es un número, dirección (que siempre es un ángulo medido a partir del eje + y en sentido antihorario) y sentido que lo indica la punta de la flecha o saeta. b) RESTA O DIFERENCIA DE VECTORES Es una operación que tiene por finalidad hallar un único vector denominado vector diferencia (D), el cual es igual a la resta de vectores. Sean A y B vectores D = A - B = A+ (- B ) MÉTODOS PARA CALCULAR LA RESULTANTE a) MÉTODO DEL TRIÁNGULO Se pone un vector a continuación de otro y el vector que cierra el triángulo es la resultante. b) MÉTODO DEL POLÍGONO Se utiliza para calcular la resultante de un conjunto de varios vectores coplanares. Es un método gráfico que consiste en trazar los vectores uno a continuación del otro manteniendo sus módulos, direcciones y sentidos. El vector resultante ( R) se traza uniendo el origen del primer vector con el etremo del último vector. +Y Línea de Acción Sean A; B y C vectores Sentido Dirección +X NOTACION FASORIAL.- Se denotan por un fasor: Construimos el polígono vectorial: β A = A < A = Módulo del vector A = Dirección del vector A Polo β OPERACIONES VECTORIALES a) SUMA O COMPOSICIÓN VECTORIAL O Es una operación que tiene por finalidad hallar un único vector denominado vector resultante ( R ), el cual es igual a la suma de todos los vectores. Sean A y B vectores R = A + B = B + A Sean A; B y C vectores R = A + B + C = C+ B + A Se llama polígono vectorial cerrado cuando los vectores son consecutivos, produciendo un vector resultante nulo (no necesitan resultante para cerrar). Un grupo de vectores que se cierran solos y en secuencia se anularán entre sí, se equilibrarán ya que su resultante será cero. 1
c) MÉTODO DEL PARALELOGRAMO Gráficamente se construye un paralelogramo trazando paralelas a los vectores. El vector resultante se traza uniendo el origen de los vectores con la intercepción de las paralelas. C. VECTORES PERPENDICULARES: Si = 90 (A B) Se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras Vector resultante: R = A + B R = 2 A + PROPIEDADES Cuando los dos vectores A y B son iguales en módulo: B 2 LEY DEL COSENO PARA LA SUMA Se utiliza para hallar el módulo de la resultante 2 2 R = A + B + 2ABCos Si = 60 R = 2 CASOS PARTICULARES A. RESULTANTE MÁXIMA Si = 0 (B) Se obtiene el máimo valor del módulo de la resultante Si = 120 R = 3 B. RESULTANTE MÍNIMA R MAX = A + B Si = 180 (B) Se obtiene el menor valor posible de la resultante COMENTARIOS: A. Si = 120 R = R MIN = A B R = 0 Entonces: R min R R ma Si A forma un cierto ángulo con B R min < R < R ma B. Si = 120 3 R 8 R = 7 2
LEY DE LOS SENOS El método de descomposición vectorial permite calcular el módulo y la dirección de la resultante de un conjunto de vectores. Pasos a seguir: 1 Se hallan las componentes rectangulares. 2 Se calcula la resultante en cada uno de los ejes coordenados (R R y ) 3 Se calcular el módulo de la resultante aplicando el teorema de Pitágoras y su dirección aplicando la función tangente. DIFERENCIA Y LEY DEL COSENO PARA LA RESTA La diferencia se obtiene uniendo las saetas de los vectores que se restan y la punta de la resultante se dirige del sustraendo al minuendo. = - R = Tg = R + 2 2 R y Si la dirección de R es horizontal R y = 0 Si la dirección de R es vertical R = 0 R R y D = 2 2 A + B 2ABCos Si la R = 0(nula) R = R y = 0 MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL Operar dos vectores se vuelve más sencillo si antes lo partimos (descomposición) en dos vectores, uno en el eje X y el otro en el eje Y. COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR Son vectores que resultan de proyectar un vector sobre dos (o tres) ejes perpendiculares entre sí: PROBLEMAS PROPUESTOS 1. En la lista siguiente Cuántas son magnitudes vectoriales? Energía / Velocidad / Desplazamiento / Aceleración / Fuerza a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 2. Hallar el vector resultante: 4 +Y A Componentes rectan- A y gulares del vector A a) 2 b) 4 c) 8 d) 10 e) 12 Se cumple que: +X A = A Cos 3. En el siguiente Heágono regular de lado igual a, hallar la resultante del sistema de vectores A y = A Sen a) 0 b) 1 c) d) 10 e) 20 3
4. Hallar el vector resultante: 9. Hallar la resultante de dos vectores cuyos módulos son 10 y 1. a) 4 b) 26 c) 1 2 d) 20 3 e) 30 10. Determinar el módulo del vector resultante: A = 48 u y B = 14 u a) 0 b) 2A c) -2C d) 3E e) G. Dado el siguiente conjunto de vectores, se pide encontrar la resultante en función de a y b a) 28 u b) 96 u c) 100 u d) 0 u e) 62 u 11. En la figura, calcular el módulo de la resultante. a) a + c b) 2( a + c) c) 3( a + c) d) 4( a + c) e) 2 a + 3 c 6. Hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados: A = y B = 3 a) 6 b)10 c)12 d)16 e)26 12. Determinar el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrados. 40 72 12 a) b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 7. Dados los vectores, hallar el módulo del vector resultante. 7 2 30 a) 2 7 b) 12 3 c) 12 d) 2 e) 16 13. Dado los vectores, hallar el módulo de la resultante siendo el lado del triángulo equilátero de cm. G: Baricentro 3 60 G a) 7 b) 10 c) 8 d) 19 e) 1 8. La máima resultante de dos vectores es 21 y su mínima es 3 Cuál será la resultante cuando los vectores forman 90? a) 10 b) 12 c) 14 d) 1 e) 18 a) cm b) 10 cm c) 1 cm d) 20 cm e) 0 14. La resultante de dos vectores A y B forma con ellos ángulos de y 30 respectivamente. Hallar el módulo del vector B, si A = 10. a) 8 b) 12 c) 16 d) 6 e) 10 4
1. Hallar el módulo de la diferencia de dos vectores si A = 10 B = 10 y = 60 = - 20. La resultante de los vectores mostrados en el siguiente sistema es cero. Luego se cumple: A=0 B a) b) 8 c) 10 d) 1 e) 20 16. Hallar: A - B B=2 a) 1 b) 2 c) 3 d) 3 e) 7 17. Hallar: 3 A + 2 B ; si: A = 2; B = 2 y Cos = 0,2 A=1 33 87 a) 4 b) 8 c) 12 d) 10 e) 64 a) = b) = 30 c) = d) = 60 e) = 21. Hallar el valor de A para que la resultante sea horizontal C=1 A 30 C = 70 B=2 a) 10 b) 1 c) 20 d) 2 e) 30 22. En el siguiente sistema de vectores determinar el módulo de la resultante. 18. Hallar el módulo del vector resultante. La figura es un paralelogramo. a) b) 10 c) 0 d) 1 e) 20 19. Hallar el módulo de la resultante del siguiente sistema de vectores. C= A= 7 1 B=10 a) 2u b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 23. Determinar la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo mostrado ( =1,41) 13 F 1 =10 F 2 =10 F 3 =10 a) 30 b) c) d) e) 60 a) 0 b) 1 c) 3 d) e) 8
TAREA DOMICILIARIA 1. Hallar el módulo del vector resultante: 7. Determinar el módulo del vector resultante: A = 30 u y B = 40 u u u u a) 0 u b) u c) 10 u d) 1 u e) 20 u 2. Si el lado del cuadrado mide 1 cm, hallar el módulo de la resultante a) 28 u b) 96 u c) 100 u d) 0 u e) 62 u A=2 B=2 8. Se tiene dos vectores a = N y b = 3N calcular: a - 2 b a) 2 b) 2 10 c) 4 d) 4 10 e) 8 3. La máima resultante de dos vectores es 7 y su mínima es 1 Cuál será la resultante cuando los vectores forman 90? a) 2 b) 3 c) 4 d) e) 6 63 10 a) 4 N b) N c) 6 N d) 7 N e) 8 N 9. Si a = c, determinar el módulo de la resultante 4. Dos vectores A y B cuyos módulos son de 6 y 10 unidades respectivamente tienen una resultante de 14 unidades. Hallar el ángulo que forman. a) 4º b) 37º c) 3º d) 60º e) 30º. Hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados: A = y B = 10 a) 30 b) c) d) e) 60 10. Hallar en función de A y B 72 12 a) 7 b) 7 c) 8 d) 10 e) 12 6. Dados los vectores, hallar el módulo del vector resultante. a) A + B/3 a 2a 6 60 12 a) 7 b) 10 c) 8 d) 19 e) 12 12 b) A - B/6 c) 2 A + B/3 d) 2 A - B/3 e) A + 3 B/7
11. Si la componente en el eje de las de F y la componente en el eje de las y de 2F son de igual valor, entonces se cumple que: a) Tg = 1/3 b) Tg = ½ c) Tg = 1/4 d) Tg = 1 e) Tg = 1/ 12. Qué valor debe tener el ángulo, para que la resultante sea vertical? a) 30 b) c) d) e) 60 13. Determinar el módulo de la resultante en el siguiente sistema 10 4 F A=0 y B=0 a) 0 b) 6 c) 7 d) 3 e) 37 14. En el sistema de vectores mostrado, el módulo de la resultante es: 2F 2 C=1 1. Qué ángulo forma la resultante con el eje de las? 60 a) 30 b) c) d) e) 60 16. En el sistema mostrado, determinar el módulo y la dirección del vector resultante. a) 0 y 30 b) 10 y c) 0 2 y d) 40 y 3 e) y 60 17. Qué ángulo forma la resultante con el eje de las abscisas? A=10 a) 30 b) c) d) e) 60 18. Determinar la relación entre M y N (M/N). Para que la resultante sea vertical 0 0 0 100 M y 0 C=1 N B=12 0 30 60 0 C=N a) 10 2 b) 8 2 c) 2 d) 6 e) 8 a) 1/3 b) 3 c) 3 d) 3/3 e) ½ 7
19. En el sistema de vectores mostrado, el módulo de la resultante es: 100 100 a) 20 10 b) 8 10 c) 10 d) 6 e) 8 20. La resultante de los vectores mostrados en el siguiente sistema es cero. Luego se cumple: A=20 2 B C = 40 a) = b) = 30 c) = d) = 60 e) = 21. En el sistema mostrado, hallar el módulo de la resultante. A= C=3 30 B=4 a) 0 b) 2 c) 3 d) 4 e) 8 22. Calcular el módulo de la resultante en el gráfico. a) 30 b)3 c)37 d) 40 e)4 23. Calcular el módulo de la resultante de los vectores mostrados. 8 a) 32 b) 22 c) 10 d) 2 e)