λ = es simple se tiene que ( )

Sección 6 Diagonalización 1- (enero 1-LE) Sea 1 1 = 1 1 a) Es diagonalizable la matriz? En caso afirmativo, calcula las matrices P y D tales que 1 P P = D b) Existe algún valor de a para el que ( 3, 6, a) sea un vector propio de la matriz? a) Primero calculamos los valores propios, que corresponden a las raíces del polinomio característico: 1 λ 1 p( λ) = λi = λ = ( λ)[ λ(1 λ) ] = ( λ)( λ)(1 + λ) 1 1 λ Luego los valores propios son λ = (doble) y λ = 1 (simple) * Como 1 λ = es simple se tiene que ( ) * hora calculamos dim S ( ) : 1 1 I = 1 1 dim S 1 = 1 Entonces, dim S() = nº col( I ) rg( I ) = 3 = 1 mult() y por tanto no es diagonalizable b) ( 3, 6, a) es un vector propio de si: 1 1 3 3 6 = λ 6, es decir, 1 1 a a 3= 3λ 6= 6λ λ = 1, a = 1 3+ a = aλ Por tanto ( 3, 6,1) es un vector propio asociado al valor propio λ = 1 95

- (junio 1-LE) Sea la matriz 1 a = 3 3 3 1 a) Para a =, es diagonalizable la matriz? En caso afirmativo, calcula la matriz diagonal D semejante a b) Existe algún valor de a para el que 4 sea un valor propio de la matriz? a) El polinomio característico de la matriz cuando a = es: 1 λ p( λ) = λi = 3 3 λ 3 = (1 λ)(3 λ)( λ) (3 λ) = 1 λ = (3 λ)((1 λ)( λ) ) = (3 λ)( λ 3 λ) = λ(3 λ)( λ 3) Los valores propios de, es decir, las raíces del polinomio característico son λ = y λ = 3 (doble) Como son reales, sólo tenemos que la dimensión del subespacio espectral asociado a λ = 3 coincide con su multiplicidad dim S(3) = 3 rg( 3 I) = 3 rg 3 3 = 3 1 = 1 1 Luego es diagonalizable y una matriz diagonal semejante a es: 3 D = 3 b) Si λ = 4 es un valor propio de la matriz, entonces es una raíz del polinomio característico: 1 4 a 4I = 3 3 4 3 = 6+ a 1 4 Luego λ = 4 es un valor propio de la matriz si a = 6 96

3- (febrero 9-LE) Sea la matriz 1 3 = 3 a, donde a R 3 1 a) Encuentra los valores de a para los cuales - es un valor propio de y halla su subespacio espectral asociado b) Calcula los valores de a para los cuales (1, 5, 1) es un vector propio del valor propio 4 c) Para a = 3, es diagonalizable? a) Calculamos las raíces del polinomio característico para la matriz : 1 λ 3 I a λ = 3 λ = ( λ)[(1 λ) 9] =, λ = 3 1 λ λ = (doble) 4 Por tanto, λ = es valor propio de la matriz para todo a El subespacio espectral S( ) son las soluciones del sistema: * Para 3 * Para 3 3 3 x 3 a y = 3 3 z a =, ( ) { } S( ) = x, y, x / x, y { } a, ( ) S( ) =, y, / y b) Si (1, 5, 1) es un vector propio asociado al valor propio λ = 4 se cumple que: 1 3 1 1 x = λx = 3 a 5 = 4 5, sistema incompatible cualquiera que sea a 3 1 1 1 c) Si a = 3 los valores propios de son λ = (doble) y 4 λ = ( ) 3 3 dim S( ) = 3 rango( + I) = 3 rango 3 3 = 3 3 Por tanto, para a = 3 la matriz diagonalizable dim S 4 = 1 97

4- (junio 9-LE) Sea a = 1 a a) Para qué valores de a es diagonalizable? b) Para a =, calcula una matriz diagonal semejante a a) Hallamos las raíces del polinomio característico: λ a I a a a λ λ = 1 = (1 λ)( λ + a)( λ a) = λ = a λ = a λ = 1 λ = λ (1 λ) (1 λ) = (1 λ)[ λ ] = Se tiene: si a = valores propios 1 y (doble) si a = 1 valores propios 1 (doble) y -1 si a = 1 valores propios 1 (doble) y -1 En cualquier otro caso ( a, a 1, a 1 ), se obtienen 3 raíces reales distintas por tanto es diagonalizable * a =, la dimensión del subespacio espectral S(1) es 1 Calculamos la dimensión del subespacio espectral S(), dim S() = 3 rg( I) = 3 rg 1 = Luego coincide con la multiplicidad del valor propio, por tanto es diagonalizable * a = 1, dim S( 1) = 1 y Por tanto, no es diagonalizable 1 1 dim S(1) = 3 rg( I) = 3 rg = 1 1 1 98

* a = 1, dim S( 1) = 1y Por tanto, es diagonalizable En resumen, es diagonalizable para a 1 1 1 dim S(1) = 3 rg( I) = 3 rg = 1 1 b) Si a =, por el apartado anterior, una matriz diagonal semejante a ella es: demás D= 1 P P -1 1 D = 1 1 1 1 = 1-1 1 - donde P es la matriz de -1-1 paso, formada por las vectores de la base de los subespacios espectrales S(1) y S() 6 5- (junio 8-LE) Sea la matriz = a 4 a M3, a a a a) Calcula los valores de a para los cuales es diagonalizable b) Para a = 4, es diagonalizable? En caso afirmativo, encuentra todas las matrices diagonales semejantes a a) Calculamos las raíces del polinomio característico: λ 6 ( ) ( )( ) ( ) ( ) λi = a λ 4 a = λ a λ a λ a 4 a = λ λ 4a a a λ λ = λ = 4a = a λ = 4a = a 99

* Si a < : λ = a y λ = a no son valores reales En consequencia no es diagonalizable * Si a = : λ = (doble) y λ = (simple) Luego es diagonalizable si y sólo si dim S ( ) = 6 dim S( ) = 3 rg( I) = 3 rg 4 = 3 = 1 Por tanto no es diagonalizable * Si a = 1: λ = (doble) y λ = (simple) Luego es diagonalizable si y sólo si dim S ( ) = dim S() 6 6 dim S( ) = 3 rg( I) = 3 rg 1 3 = 3 rg 1 3 = 3 1 = 1 1 1 3 Luego es diagonalizable * Si a > y a 1: existen tres valores propios reales y distintos Luego es diagonalizable En resumen, es diagonalizable si y sólo si a = 1 ó a > y a 1 b) El polinomio característico es λ 6 λi = 4 λ = ( λ)( 4 λ)( 4 λ) 4 4 λ Cuyas raíces son λ =, λ = 4, λ = 4 reales y distintas, luego es diagonalizable Todas las matrices diagonales semejantes a son: 4 4 4, 4,, 4, 4 4 4 4, 4 4 4 1

a 6- (febrero 5-LE) Sea la matriz = = 1 M3, a a a) Calcula los valores de a para los cuales es diagonalizable b) Para a = 1, calcula una matriz diagonal semejante a y una base de 3 formada por vectores propios de c) Calcula los valores de a para los cuales λ = 4 es un valor propio de ( a λ) a) p ( λ) = λi = 1 λ = ( a λ)( λ)( a λ) ( a λ) Raíces del polinomio característico: λ = a,, * Si a, 1, las raíces del polinomio característico son simples, luego diagonalizable * Si a =, las raíces del polinomio característico son λ = (triple) dim S( ) = 3 rg( 1I) = 3 rg 1 = 3 1 = Luego no diagonalizable * Si a = 1, las raíces del polinomio característico: λ = 1 (doble) y λ = (simple) dim S( ) = 3 rg( 1I) = 3 rg 1 1 = 3 1 = Luego diagonalizable a b) S () 1 son las soluciones del sistema () ( ) x 1 1 y =, es decir, z 3 { } {( ) } S 1 = x, y, z / x = y+ z = y+ z, y, z : y, z Luego una base de S () 1 es ( 1,1, ), (,,1) S ( ) son las soluciones del sistema 1 x 1 1 y =, es decir, 1 z 11

3 { } {( ) } ( ) ( ) S = x, y, z / x =, z = =, y, : y Por tanto, S ( ) = (,1,) Base de vectores propios de = ( 1,1, ), (,,1 ), (,1, ) Matriz Diagonal semejante a : 1 1 ó 1 ó 1 1 1 c) Opción 1 Si λ = 4 es un valor propio de, entonces ( a ) 4 4I = 1 4 = ( a 4)( 4)( a 4) = 4 ( a ) Luego a =,, 4 Opción Si λ = 4 es un valor propio de, entonces 4 es raíz del polinomio característico ( λ) p = λi (calculadas en el apartado a): λ = λ = 4 es un valor propio de si a =,, 4 a,, a Por tanto, 1

a 1 7- (junio 5-LE) Sea la matriz = 1 3 M3, a a) Calcula los valores de a para los cuales λ = 3es un valor propio de b) Calcula los valores de a para los cuales (,1,1 ) es un vector propio de c) Calcula los valores de a para los cuales es diagonalizable a) Calculamos los valores propios de ; es decir, las raíces del polinomio característico: λ a 1 λi = 1 λ 3 = λ λ λ+ 3 λ ( )( )( ) Raíces del polinomio característico λ = 3 (simple) y λ = (doble) Independientemente de los valores de a, λ = 3 es un valor propio de b) a 1 a+ 1 1 3 1 = = λ 1 Luego, λ = y a = 1 1 1 c) Raíces del polinomio característico λ = 3 (simple) y λ = (doble) dim S ( 3) = 1 a 1 dim S( ) = 3 rg I = 3 3 3 * Si 1 * Si 1 a =, ( ) dim S = dim S = 1 a, ( ) Por lo tanto es diagonalizable si a = 1 13

8- (enero 4-LE) a b 3 a) Sea la matriz = 1 a M3 1, ab, i) Calcula los valores de a y b para los cuales λ = 3 es un valor propio de ii) Calcula los valores de a y b para los cuales (,1,1 ) es un vector propio de iii) Para a =, es la matriz diagonalizable? En caso afirmativo, encuentra una matriz diagonal semejante a iv) Para a= b=, calcula todos los vectores propios asociados al valor propio λ = 3 b) Escribe, razonando la respuesta, una matriz no diagonal semejante a 1 a) i) λ= 3 es un valor propio de la matriz si y sólo si 3I = y 3 I = ( a 3)( a) Luego λ= 3 es un valor propio de, para a = 3 y b y para a = y b ii) (,1,1) es un vector propio de la matriz si y sólo a b 3 1 a 1 =λ 1 1 1 1 Luego λ = 3 a = b = 3 iii) Para calcular los valores propios de planteamos el polinomio característico: λ b 3 λi = 1 λ = λ(1 λ)( λ) 1 λ Los valores propios son λ =,1,, todos simples y reales, luego es diagonalizable 14

Una matriz diagonal semejante a es: 1 iv) El subespacio espectral asociado al valor propio es la solución del sistema de ecuaciones homogéneo cuya matriz de coeficientes es 3 I = 1 1 La solución es y, z = = Luego S () = {( x,,), x } y una base es: ( ) 1,, Por tanto, los vectores propios asociados al valor propio son los puntos de la forma ( x,,), x, menos el punto (,, ) 3 b) Por ejemplo, ya que sus valores propios son 3 y 1, reales y simples, 1 3 luego es diagonalizable, y por tanto semejante a 1 a b 9- (junio 4-LE) Sea la matriz = = a M3, ab, 1 a a) Calcula los valores de a y b para los cuales es diagonalizable b) Para a = y b =, calcula una matriz diagonal semejante a y una base de 3 formada por vectores propios de a λ b a) λi = a λ = ( a λ)( a λ)( a λ) 1 a λ Por tanto los valores propios de la matriz son: λ = a (doble) y λ = a (simple) Casos: 15

* Si a =, entonces el único valor propio es λ = (triple) Como b rg( I) = rg, 1 se tiene que dim S () = 3 rg( I) 3 = mult(), luego la matriz no es diagonalizable en este caso * Si a, los valores propios son λ = a (doble) y λ = a (simple) Luego será diagonalizable si dim S ( a) = = mult( a) Como tiene que rg( a I) =, si b, y rg( a I) = 1, si b = b rg( a I) = rg a, 1 se Luego dim S ( a) = 1, si b, y dim S ( a) =, si b = Es decir, dim S ( a) = = mult( a) para todo a y b= Entonces es diagonalizable si a y b = b) En este caso se cumple que a y b =, entonces, por el apartado anterior, la matriz es diagonalizable Como los valores propios son: λ = (doble) y λ = (simple), se tiene que una matriz diagonal semejante a es D = Para calcular una base formada por vectores propios calculamos el subespacio espectral asociado al valor propio, es decir, la solución del sistema de ecuaciones homogéneo cuya matriz de coeficientes es I = 4 La solución es 1 y = Luego S () {( x,, z), x, z } = y una base es: ( ) ( ) 1,,,,,1 16

El subespacio espectral asociado al valor propio - es la solución del sistema de ecuaciones homogéneo cuya matriz de coeficientes es solución es x, y 4 z (, 4,1 ) = = Luego S ( ) {(, 4 z, z): z } 4 + I = La 1 4 = y una base es: Por tanto, una base formada por vectores propios es: ( 1,, ),(,,1 )(,, 4,1 ) 17