8 Pág. Página 85 PRACTICA Desarrollos y áreas Haz corresponder cada figura con su desarrollo y calcula el área total: I II cm III cm IV cm 7 cm A B C D
8 Pág. I C Área de una cara: 6 h + 6 h + 9 h 6 9 7 h Área total 8 5,6 4, h 7 5, cm Área 6 5, 5, II B Área de una cara: cm Área total 4,8 + 48 7, Área triángulo 5, Área de los 8 triángulos 4, Área rectángulo 6 cm Área de los 4 rectángulos 4 4 (ver apartado anterior) III A Área de una cara heagonal: 4 a + 6 a + 4 a 6 4 4 a a,4 Área P a 4,46 4, Área de las dos caras heagonales 4,5 8,0 Área de una cara lateral 4 cm Área lateral 6 8 4 Área total 8,04 + 48,0 IV D Área de una base 7 49 cm Área de las dos bases 49 9 Área lateral 4 (7 ) 4 8 Área total 98 + 84
8 Pág. Calcula la superficie total de cada cuerpo: A B C D cm cm A Área lateral πrh π,5 5π Área bases (πr ) π,5,5π Área total 5π +,5π 7,5π 86, B Área lateral πrg π 5 5π Área base πr π 9π Área total 5π + 9π 4π 75, C Área de la base: a +,5 9 a +,5 a 9,5 6,75 a cm a 6,75, Área base P a 8,6, Área de una cara lateral: 5 h +,5 5 h +,5 h 5,5,75 Área lateral 6 7, 4, cm Área total,4 + 4, 66, h,75 4, Área 4,8 7, cm D Área 4πR 4π 6π,0 Dibuja el desarrollo plano y calcula el área total de los siguientes cuerpos geométricos. h cm, a) b) e) cm f) 9 cm 9 cm 5 m 0 cm cm c) 6 m g) 0 m 5 m 6 m 5 m cm 0 cm 6 m d) cm 0 cm h) 0 cm
8 Pág. 4 a) Área lateral (Perímetro base) altura 46 4 0 Área base 5 8 0 cm Área total 04 + 0 4 6 b) 6 Hallamos la altura de la base: 6 0 6 6 + 5 6 + 5 9 6 5, cm Área base 0, 6, Área lateral (Perímetro base) altura 9 4 Área total 48 + 6,5 4 c) 6 6 Área base 0 6 + 0, 6, 6 6 6 0 6 6 60 + 6,5 76,5 m 5 6 6 6 6 Área lateral 4 5 50 m Área total 50 + 76,5 66 m d) Hallamos e y (alturas de las caras laterales): + 5 44 + 5 0 4 y 9 0,9 cm y + y 40 y, Área de las caras laterales: A 0 0,9 54, ; A 4,8, Área de la base 0 4 40 cm Área total 40 + 54,5 +,6 96, cm
8 Pág. 5 e) Hallamos el valor de : 8 8 6 6 6 6 8 + 6 64 + 6 00 00 0 cm Área lateral (Perímetro base) altura 4 7 cm Área base 8 6 Área total 7 + 4 0 cm f) Área de una cara lateral (9 + 5) 9 cm Área lateral 4 9 6 5 5 5 9 9 Área base mayor 9 Área base menor 5 Área total 64 + 8 + 5 470 cm g) Área lateral π(r + r') g 5 0 π( + 0) 5 0π Área base menor π 0 00π Área base mayor π 44π Área total 0π + 00π + 44π 574π 80, h) Área lateral (π 0) 6 0π 5 π 6 π 0 0 0 Área lateral cono πrg π 0 5 50π Área círculo π 0 00π Área total 0π + 50π + 00π 570π 789,
8 Pág. 6 4 Dibuja los siguientes cuerpos geométricos y calcula su área. a) Prisma de altura y cuya base es un rombo de diagonales 8 y cm. b) Octaedro regular de arista. c) Pirámide heagonal regular de arista lateral y arista básica. d) Pirámide de altura y base cuadrada de lado 9 cm. e) Cilindro de altura 7 cm y cuya circunferencia básica mide 4. f) Tronco de cono generado al girar un trapecio rectángulo de bases 0 cm y cm y altura alrededor de esta. g) Casquete esférico de altura 7 cm de una esfera de radio cm. h) Esfera inscrita en un cilindro de altura m. a) d cm d Hallamos el lado del rombo: D D 6 + 9 6 + 8 7 7 0, Área lateral 4 (4 0,8) 08,7 cm Área base 8 0 Área total 08,7 + 08 54,7 cm b) Área de una cara: 8 h + 9 4 h + 8 h 9 h 4 8 4 h 4 5, Área 8 5,6 40, Área total 8 40,4, cm c) Área de una cara lateral: 8 h + 8 784 h + 64 h h 784 64 70 h 70 6, Área 6 6,8 4,6 Área lateral 6 4,64 87,8 6 9
8 Pág. 7 Área de la base: 6 a + 8 56 a + 64 a 56 64 9 a a 9,8 Área P a (6 6),86 665, Área total 87,84 + 665,8 95, cm d) Área de la base 9 Área de una cara lateral: 9 cm 9 cm 5 + 4,5 65 + 0,5 645,5 645,5 5,40 cm 4, Área 9 5,40 4,0 cm Área lateral 4 4,0 457,0 cm 9 cm Área total 8 + 457,0 58,0 cm e) πr 4 r 44 r cm π π 7 cm π 484 π Área base πr π ( ) 54, Área lateral (πr) h 44 7 74 Área total 748 + 54,4 056, f) 0 cm Área base menor π 0 00π g Área base mayor π 44π 45, cm Área lateral π(r + r') g g cm g 5 + 5 + 4 9 g 9 5,9 cm Área lateral π(0 + ) 5,9 7, Área total 7,4 + 4 + 45,6 8,50 cm
8 Pág. 8 g) h 7 cm casquete esférico R cm Área πrh π 7 68π 57, h) R R m R R m Área 4πR 4π ( ) 4π π,4 m 4 Página 86 Volúmenes 5 ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO 6 Calcula el volumen de estos cuerpos: A B C D cm cm E 9 m m m m F 0 cm 7 cm cm G 4 m 6 m m 5 m H 9 m m m m A V πr h π 4 6π 6,7 B V 4 4 6 9 C V A base h 4 6 cm D V πr h π 6 54π 69,5
8 Pág. 9 E La figura se puede descomponer en cuatro cubos de arista cm. Por tanto: V 4 0 F Área de la base: 0 cm 7 cm 7 + 5 49 + 5 49 5 4 4 4,90 cm Área base 0 4,90 4,50 cm V (Área de la base) h 4,50 59 cm G Área de la base: m + 7 44 49 95 5 m 95 9,7 m 4 m Área de la base 5 4 + 4 9,7 77,9 m V (Área de la base) h 77,9 6 4 446,4 m H Podemos descomponer la figura en cuatro cubos de arista cm. Tiene el mismo volumen que la figura E : V 0 7 Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos. a) Octaedro regular de arista. b) Pirámide heagonal regular cuya arista lateral mide 7 cm y la arista de la base 0 cm. c) Tronco de cono de radios cm y y altura 0 cm. d) Semiesfera de radio. e) Cilindro inscrito en un prisma recto de base cuadrada de lado 0 cm y altura. a) Podemos descomponerlo en dos pirámides cuadrangulares regulares de arista : h + 4 h 8 + 4 64 + 6 64 6 48 48 h + 6 h 48 6 h 5,6
8 Pág. 0 Volumen V (Área de la base) h 8 5,66 0,7 Volumen total V 0,75 4, b) Hallamos la altura de la pirámide, h: 7 cm 7 h + 0 89 h + 00 h h 89 00 89 h 89,7 0 cm Calculamos el área de la base: 0 a + 5 00 a + 5 a 00 5 75 a 75 8,6 a Área de la base P a 60 8,66 0 cm 59, Volumen (Área de la base) h 59,8,75 90,7 c) + 0 ( + 0) 6 6 + 40 6 + 0 cm 40 6 40 4 0 cm 0 40 60 cm 4 La altura del cono grande es 80 cm y la del cono pequeño es 60 cm. V cono grande π 6 80 0 480π V cono pequeño π 60 880π Volumen tronco cono V 0 480π 880π 9, d) 0 cm 0 cm 4 4 6 V ( πr ) π 5 50π 7 06 e) 0 cm r 0 cm r V πr h π 5 8 450π
8 Pág. 8 ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO 9 Calcula el volumen de estos cuerpos: m 6 m m 5 m 4 m 6 m m m m m Volumen cono V π 4π m Volumen cilindro V π π m Volumen semiesfera V 4 ( π ) 6π m Volumen total V + V + V 4π + π + 6π 64π 66,99 m r,5 m Volumen cilindro eterior V π 5 45π m 5 m Volumen cilindro interior V π,5 5,5π m R m Volumen total V V 45π,5π,75π 05,98 m 0 Cuál debe ser la altura de un cilindro cuya base mide para que su volumen sea l? πr r 4, π π h V πr h π,8 h 45,8 h V l dm 000 cm r 45,8 h 000 h 000 45,8,
8 Pág. Página 87 Coordenadas geográficas Dos ciudades tienen la misma longitud O, y sus latitudes son 45 7' N y 4 5' S. Cuál es la distancia entre ellas? R α β α 45 7' β 4 5' Tenemos que hallar la longitud del arco correspondiente a un ángulo de: α + β 45 7' + 4 5' 80 ' Distancia πr 80 ' π 6 70 80,0 8 89,0 km 60 60 Cuando en el huso 0 son las 7 a. m., qué hora es en el huso al E? Y en el huso? En el huso E son tres horas menos; es decir, las 4 a.m. En el huso son doce horas menos; es decir, las 7 p.m. La milla marina es la distancia entre dos puntos del ecuador cuya diferencia de longitudes es '. Calcula la longitud de una milla marina. ' grados; radio de la Tierra: R 6 70 km 60 πr Milla marina 60 πr π 6 70,85 km 60 600 600 4 Roma está en el huso E y Nueva York en el 5 O. Si un avión sale de Roma a las 9 a. m. y el vuelo dura 8 h, cuál será la hora local de llegada a Nueva York? 5 + 6 horas menos en Nueva York que en Roma. 9 a. m. + 8 7 h 5 p.m. hora de Roma 7 6 a.m. (es la hora local de llegada a Nueva York) Las de la mañana. 5 Un avión tiene que ir de A a B, dos lugares diametralmente opuestos en el paralelo 45. Puede hacerlo siguiendo el paralelo (APB) o siguiendo la ruta polar (ANB). Cuál es la más corta? A N B P S
8 Pág. Hallamos el radio del paralelo 45 : 45 R R + 6 70 Por tanto, la longitud del arco APB es: 4 504,7 km R R L APB π 4 504,7 π 4 504,7 4 4,4 km El radio de la Tierra es R 6 70 km. Para ir de A a B por la ruta ANB se abarca un ángulo de 45 + 45 90 sobre el meridiano. Por tanto, la longitud del arco ANB es: L ANB πr 90 πr πr π 6 70 0 000,9 km 60 4 La ruta más corta es la polar. R PIENSA Y RESUELVE 6 Un bidón de pintura de forma cilíndrica, de cm de altura y 0 cm de diámetro de la base, está lleno en sus tres cuartas partes. En su interior se ha caído un pincel de 40 cm de largo. Crees que se habrá sumergido totalmente en la pintura? cm d de 4 El pincel se encontrará sobre la diagonal de una sección rectangular del cilindro. 0 cm Veamos cuánto mide la diagonal del rectángulo 0 cm : d 4 + 0 476 8, < 40 cm El pincel, de 40 cm de largo, no quedará completamente sumergido en la pintura. 7 Calcula la longitud del mayor listón que cabe en cada una de estas cajas: cm
8 Pág. 4 4 + 4 6 + 6 5,6 cm y y 6 + 6 + 9 45 45 6,7 cm z z 5 + 5 + 5 75 8,6 8 Calcula la superficie del triángulo coloreado en la figura. Cada uno de los lados del triángulo es la diagonal de una de las caras del cubo. Por tanto, mide: 0 cm ; ;;;; ;;;; ;;;; ;; 0 cm La altura del triángulo es: 0 + 0 00 + 00 00 00 4, 0 cm ; ;;;; ;;;; ;;;; ;; 4, 4,4 h + 7,07 00 h + 50 h 50 h h 50, 4, El área del triángulo es: A 4,4,5 86, 9 Calcula la superficie del mayor tetraedro que cabe dentro de un cubo de 0 cm de arista. Las caras son triángulos como los del ejercicio anterior; por tanto, el área de una cara es: A 86, Como son cuatro triángulos iguales, el área del tetraedro será: A T 4 86,6 46,4 0 cm
8 Pág. 5 0 Se ha construido un tubo cilíndrico soldando, por los lados más cortos, un rectángulo de chapa de 0 cm de largo por de ancho. Cuál es el diámetro del tubo? Y su volumen? 0 cm r El perímetro de la base del cilindro es de 0 cm: πr 0 r 0 0, d π π Diámetro del tubo d r,8 6, Volumen V πr h π,8 5 476,9 cm Un dependiente envuelve una caja de zapatos de 0 cm de larga, de ancha y 0 cm de alta con un trozo de papel, de forma que un 5% del envoltorio queda solapado sobre sí mismo. Qué cantidad de papel ha utilizado? 0 cm 0 cm La superficie de la caja es: Área total (0 0 + 8 0 + 0 8) 040 cm Si ha solapado un 5% de todo el papel, entonces ha utilizado un 85% del papel para cubrir la caja, es decir: 85% del total 040 cm Total 040 : 0,85 400 cm Ha utilizado 040 cm 0,4 m de papel. Observa que al seccionar un cubo como indica la figura, se obtiene de la esquina cortada una pirámide triangular. cm Dibuja el desarrollo de dicha pirámide. Calcula su superficie lateral considerando la sección como base. Calcula su volumen (apóyala sobre uno de los triángulos rectángulos). Desarrollo: Superficie lateral (tomando la sección como base): T cm T A 5 7, T T cm T A 4 T A 4 5 0 cm Área lateral A + A + A 7,5 + 6 + 0,
8 Pág. 6 Volumen V (Área base) altura Si consideramos como base el triángulo. Por tanto: V 7,5 4 0 cm, la altura de la pirámide es Al introducir una piedra en un recipiente cilíndrico, de 0 cm de diámetro, la altura del agua que contiene sube. Cuál es el volumen de la piedra? El volumen de agua que ha subido es: V πr h π 0 5 500π 570 cm Por tanto, el volumen de la piedra es de 570 cm, aproimadamente. 4 Calcula el volumen de la mayor pirámide que cabe dentro de un ortoedro de m de ancho, 4 m de largo y 5 m de alto. cm Será una pirámide en la que la base y la altura coinciden con las del ortoedro. Por tanto, su volumen será: V ( 4 5) 0 m 5 Un estanque tiene como base una elipse de m de superficie y una profundidad de,5 m. Cuánto tardará en llenarse mediante una fuente que aporta litros de agua por segundo? Calculamos el volumen del estanque: V (Área de la base) h,5 8 m 8 000 dm 8 000 l Como la fuente aporta l/s, tardará: 8 000 Página 88 6 000 segundos 00 minutos h 40 min en llenarse. 6 Calcula el volumen de una habitación de,0 m de altura, cuya planta tiene la forma y dimensiones indicadas en la figura. 4 m m 4 m m,5 m m Hallamos el área de la base: Área rectángulo A 4 m Área semicírculo A π,5,5 m Área base A + A +,5 5,5 m m
8 Pág. 7 Por tanto, el volumen es: V (Área de la base) altura 5,5,0 5,7 m 7 Cuál es el peso de un contenedor de embalaje de 0,5 m 0,5 m,0 m, sabiendo que se ha construido con planchas de aglomerado que pesan a razón de kg/m? Hallamos la superficie del contenedor: S (0,5 ) + 4 (,0 0,5),9 m,0 m 0,5 m 0,5 m Por tanto, el contenedor pesa:,9 4,8 kg 8 Un bidón cilíndrico de 0 cm de diámetro pesa, vacío, 5 kg, y lleno de agua, 7,608 kg. Cuál es la altura del bidón? Peso del agua 7,608 5,608 kg Hay,608 litros de agua,608 dm 60 de agua. Volumen del agua: V 608 πr h h 9 Observa la figura y calcula: 8 m 608 π 5 cm de altura tiene el bidón. m 4 m 0 m a) El coste de la construcción del tejado, sabiendo que ha salido a 85 el metro cuadrado. b) El número de radiadores que se deben instalar en su interior, sabiendo que se necesita un radiador por cada 5 m. a) d + 8 9 + 64 7 d 7 8,54 m La superficie del tejado es: A T (0 8,54) 5,4 m Coste 5,4 85 4 554 b) Calculamos el volumen de la construcción: V T 5 0 4 + 5 0 800 + 675 475 m Número de radiadores 475 65 radiadores 5 5 m
8 Pág. 8 0 Una empresa de carburantes tiene cuatro tanques esféricos de 0 m de diámetro y seis tanques cilíndricos de 0 m de altura y 0 m de radio en la base. Para evitar la corrosión, se contrata a un equipo de operarios que cobra, por pintar los depósitos, /m. Calcula el coste total de la operación. Superficie esférica 4πr 4π 0 400π m Superficie cilíndrica πrh π 0 0 400π m Bases del cilindro (πr ) π 0 00π m Como hay 4 tanques esféricos y 6 cilíndricos, el área total es: A T 4 400π + 6 (400π + 00π) 5 00π 6 8 m El coste total es: 6 8 95 96 Se introduce una bola de piedra de cm de diámetro en un recipiente cúbico de cm de arista lleno de agua y después se retira. Calcula: a) La cantidad de agua que se ha derramado. b) La altura que alcanza el agua en el recipiente después de sacar la bola. a) Volumen de la bola V b 4 π 6 88π 904, cm El volumen que se ha derramado es el volumen de la bola; es decir, 904, cm. b) Volumen del recipiente V r 7 cm cm cm V 8,68 h h h Volumen de agua que queda después de sacar la bola: V V r V b 78 904, 8,6 8,68 44 5,7 cm es la altura que alcanza el agua después de sacar la bola. Calcula el volumen de los cuerpos de revolución que genera cada una de estas figuras planas al girar alrededor del eje indicado: A B 7 cm cm cm cm
8 Pág. 9 A cm cm cm Volumen del cilindro V π 4 6π cm Volumen del cono V π 9π cm Volumen total V + V 6π + 9π 45π 4, cm B Volumen del cilindro V π 7π cm cm cm cm 4 8π cm Volumen total V + V 7π + 8π 45π 4, cm Volumen de la semiesfera V ( π ) a) Qué vaso tiene mayor capacidad? b) Cuántos litros son 0 de estos vasos? a) Volumen del cilindro π,5 8 50π 57 cm Volumen del tronco de cono: 8 + cm cm 8 + (8 + ) 6 + 6 Volumen cono grande V G π 4 7π cm Volumen cono pequeño V P π 6 64π cm Volumen tronco de cono V T V G V P 7π 64π 59,09 cm El tronco de cono tiene mayor capacidad que el cilindro. b) Cuántos litros son 0 de estos vasos? Vaso cilíndrico 57 cm 0 570 cm,57 dm,57 l Vaso tronco de cono 59,09 cm 0 590,9 cm,5909 dm,5909 l
8 h ;;;; ;;;; 4 Seccionamos un cubo como indica la figura. Cuál es el volumen de las partes seccionadas?, ;;;; ;;;; Tomamos como base el triángulo rectángulo: Área base 5,5 6, El volumen de la parte seccionada será: V (Área base) h 6,5 5, Pág. 0 REFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA 5 Eplica por qué cada uno de los siguientes poliedros no es regular. Comprueba si se verifica el teorema de Euler en cada uno. A B C A No todas las caras son iguales. Hay cuadrados, rectángulos y polígonos de la forma. B En unos vértices concurren tres caras y en otros, cuatro. C En unos vértices concurren tres caras y en otros, seis. Veamos si se verifica el teorema de Euler en cada caso: A B C CARAS VÉRTICES ARISTAS C + V A 8 8 6 5 9 0 60 Sí se verifica el teorema de Euler en los tres casos. 6 Cuáles de estos desarrollos corresponden a un tetraedro regular? El primero y el segundo.
8 Pág. Página 89 7 Qué poliedro regular tiene por vértices los centros de las caras de un cubo? El octaedro (son poliedros duales). 8 Qué poliedro obtienes si tomas como vértices los centros de las caras de un octaedro regular? El cubo (son poliedros duales). 9 Por cuánto se multiplica la superficie de un cubo al aumentar al doble su arista? Y su volumen, por cuánto se multiplica? La superficie de un cubo de arista a es: S 6a Si tomamos una arista doble, a, entonces la superficie sería: S 6 (a) 6 4a 4 (6a ) 4 S La superficie se multiplica por 4. El volumen de un cubo de arista a es: V a Si tomamos una arista doble, a, entonces el volumen sería: V (a) 8a 8V El volumen se multiplica por 8. 40 La arista de un cubo mide. a) Cuál es la distancia entre los centros de dos caras opuestas? b) Cuál es la distancia entre los centros de dos caras contiguas? c) Cuál es la distancia máima entre dos vértices? a) d D d' b) cm (d') + 9 + 9 8 d d' 8 4, d' cm c) La diagonal del cubo: D 6 + 6 + 6 08 0,9 cm
8 Pág. PARA PROFUNDIZAR 4 ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO 4 Deseamos pintar con oro una cúpula de 5 m de altura y 8 m de radio de la base. Calcula cuánto cuesta a razón de 60 /m. Radio de la esfera correspondiente al casquete esférico: R r + h 8 + 5 64 + 5 8,9 m h 5 0 Superficie del casquete esférico: A πrh π 8,9 5 89π 79,46 m Coste 60 79,46 00 605,6 4 Un carpintero ha ido cortando un cubo de madera obteniendo, sucesivamente, las formas que ves en las ilustraciones. A B C D E Si el cubo original pesaba 4 kg, cuál es el peso de cada una de las figuras obtenidas en los pasos intermedios? a) Se ha eliminado del cubo Peso 7 4 kg 8 8 b) Se han eliminado del cubo inicial Peso 4 8 kg 8 4 4 c) En b) tenemos 6 del cuerpo. La parte de arriba son. 8 8 4 En c) se elimina de la parte de arriba, del total. 6 6 4 4 Hemos eliminado kg Peso 8 7 kg d) Se elimina de nuevo kg Peso 7 6 kg e) Hasta d) hemos eliminado 8 kg. Ahora eliminamos 8 kg más. Quedan, por tanto, 8 kg.
8 Pág. 44 Investiga. Cortes en el cubo. Para este ejercicio conviene que construyas un cubo de cartulina o que modeles unos cuantos de plastilina y ensayes con ellos distintos cortes con una cuchilla. a) Cómo cortar un cubo para conseguir un triángulo equilátero? Y para conseguir el mayor de todos ellos? b) Cómo cortar un cubo para conseguir los siguientes cuadriláteros? Un cuadrado. Un rectángulo. El mayor rectángulo. Un paralelogramo no rectángulo. Un rombo. Un trapecio. c) Puede conseguirse un pentágono cortando un cubo? Y un heágono? Y un heágono regular? a) TRIÁNGULO EQUILÁTERO EL TRIÁNGULO EQUILÁTERO MÁS GRANDE POSIBLE b) UN CUADRADO UN RECTÁNGULO EL MAYOR RECTÁNGULO UN PARALELOGRAMO NO RECTÁNGULO UN ROMBO UN TRAPECIO c) UN PENTÁGONO UN HEXÁGONO UN HEXÁGONO REGULAR