TEMA 2: EL INTERÉS SIMPLE 1.- CAPITALIZACIÓN SIMPLE 1.1.- CÁLCULO DEL INTERÉS: Recibe el nombre de capitalización simple la ley financiera según la cual los intereses de cada periodo de capitalización NO se agregan al capital inicial para hallar los intereses del periodo siguiente, sino que se calculan sobre el capital inicial C 0 Vamos a usar la siguiente nomenclatura: C 0 : Capital inicial I: los intereses del periodo I T : los intereses totales, siendo su valor la suma de los intereses de cada periodo i: tipo de interés anual en tanto por uno, que representa la cantidad de dinero que obtiene por cada euro invertido en un año C n : capital final o montante, que es la suma del capital inicial más los intereses totales. Vamos a comenzar aprendiendo a calcular los INTERESES TOTALES de una operación, cuyo capital es C 0, y está impuesta a un tipo de interés i durante n periodos: Intereses del primer periodo Intereses del segundo periodo. Intereses del periodo n.... EJEMPLO: Calcula el interés de 600 al 10% anual en 3 años: Intereses totales En definitiva podemos decir que: TOTAL INTERESES: 60+60+60 =180 Gestión Financiera 1 Reyes F.F.
1.2.- VARIABLES QUE INTERVIENEN EN CAPITALIZACIÓN SIMPLE, A PARTIR DE LA FÓRMULA DEL INTERÉS: CAPITAL TIEMPO TIPO DE INTERÉS 1.3.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FORMA DE OPERAR EN INTERÉS SIMPLE: En interés simple los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial, NO acumulándose al mismo para producir nuevos intereses: C 0 I 1 I 2 I n INTERESES TOTALES: I 1 + I 2 +. + I n 1 2 n-1 n 1.4.- EL MONTANTE: Definimos montante o capital final C n obtenido en una operación de capitalización a la suma del capital inicial más los intereses, por tanto: C 0 C n A la expresión (1+n.i) se le denomina FACTOR DE CAPITALIZACIÓN y como resultado de aplicar dicha expresión a un capital inicial, convierte a éste en un capital final. Gestión Financiera 2 Reyes F.F.
EJEMPLO: Cuál será el montante obtenido por un capital de 10.000 al 5% de interés simple durante 5 años?: Capital inicial Intereses A partir de la fórmula del montante también podemos calcular cualquiera de sus elementos tal y como se hizo a partir de la fórmula del interés total. Veamos cuál sería el valor del capital inicial, conocidos el montante, el tiempo y el tanto de colocación, para lo cual sólo hemos de despejar C 0: Que es lo mismo que: C 0 C n Pues bien a la expresión (1+n.i) -1 se le denomina FACTOR DE ACTUALIZACIÓN y como resultado de aplicar dicha expresión a un capital final, convierte a éste en un capital inicial o anterior. EJEMPLO: Sabemos que tras 5 años de colocación de un capital al 5% de interés simple, éste se convirtió en 12.500. Cuál fue el capital que se impuso? 2.- TANTOS EQUIVALENTES Hasta ahora hemos dado por hecho que los periodos de tiempo considerados eran años y que el tipo de interés era anual, pero lógicamente nos podemos encontrar con que el tiempo no se mida en años, sino en cualquier otra fracción del mismo (meses, semestres,..). Lo primero que debemos tener en cuenta para trabajar de esta forma es que el tiempo y el tanto deben estar referidos a periodos de tiempo homogéneos, si no es así, podemos hacer cualquiera de estas dos cosas: Gestión Financiera 3 Reyes F.F.
Transformar el tiempo en la unidad temporal que mida el tipo de interés. Transformar el tipo de interés en su equivalente de la unidad temporal en que estemos trabajando. Antes de seguir debes recordar, cuántos subperiodos (m) contiene el año de cada una de las posibles fracciones en que podemos dividirlo: PERIODO Son periodos de: Frecuencia de fraccionamiento m Año 1 Semestre 6 meses 2 Cuatrimestres 4 meses 3 Trimestres 3 meses 4 Bimestres 2 meses 6 Meses 30 días 12 Teniendo en cuenta este nuevo parámetro, debemos completar la nomenclatura vista anteriormente, de la siguiente forma: i: tanto anual i (m) : tanto fraccionado equivalente m:frecuencia de capitalización Semanas 7 días 52 Días 360/365 Llamaremos TANTOS EQUIVALENTES a aquellos que aplicados a un mismo capital inicial C 0 durante el mismo periodo de tiempo n producen los mismos intereses I o generan el mismo montante C n. Imaginemos que tenemos un capital C 0, en capitalización simple durante un periodo de tiempo a un tipo de interés anual i y queremos calcular el tanto equivalente i m, éste en una unidad temporal inferior. Pues teniendo en cuenta el concepto de tantos equivalentes, i e i m lo serán si sucede que los intereses o los montantes producidos por los mismos son iguales, nosotros vamos a aplicar igualdad de intereses que simplifica más la demostración: Si tenemos en cuenta el tiempo y el tanto en años: Si tenemos en cuenta el tiempo expresado en m fracciones de año Igualamos ambas expresiones y despejamos i en función de i m : Y también podemos decir: Gestión Financiera 4 Reyes F.F.
De lo que podemos deducir que: En capitalización simple los tantos equivalentes son, además, proporcionales cosa que, como ya veremos, no ocurre con los tantos equivalentes en capitalización compuesta. Así si el tanto anual de una operación fuera el 12%, podemos decir que su tanto equivalente: Mensual, será: 1% Semestral: 6% Bimensual 2% Y así sucesivamente. EJEMPLO: Calcular el interés que produjo un capital de 10.000 invertidos al 0,09 simple anual durante 13 cuatrimestres. Co = 10.000 i= 0,09 n= 13 cuatrimestres I:? Como vemos i y n están referidos a distintas unidades temporales, podemos resolver este problema de las siguientes formas: 1) Transformando n en la unidad temporal de i: 13 cuatrimestres son 13/3 =4,33333 años De forma que: 2) Transformando i en la unidad temporal de n: De forma que: Se puede decir por tanto que i (3) =0,03 trimestral es equivalente al i=0,09 anual pues aplicados al mismo capital inicial durante el mismo periodo de tiempo producen los mismos intereses. Gestión Financiera 5 Reyes F.F.
El tiempo y el tanto siempre deben estar referidos a la misma unidad temporal, cuando eso no sucede, podemos: Transformar n, en la unidad de tiempo a que se refiere i Transformar i, en la unidad de tiempo a que se refiere n TANTOS EQUIVALENTES, son aquellos aplicados al mismo capital inicial durante el mismo tiempo generan los mismos intereses o el mismo montante Siendo m el número de partes en que se divide el año 3.- AÑO CIVIL Y COMERCIAL Cuando el fraccionamiento del tiempo es diario, surge la siguiente cuestión: tomar el año civil (365 días) o el año comercial (360 días, con meses de 30 días cada uno)?. Así pues tendremos dos posibilidades para calcular los intereses: En ambos casos n está expresada en días Si se observan ambas expresiones, es fácil apreciar que 3.1.- RELACIÓN POR DIFERENCIA ENTRE INTERÉS COMERCIAL E INTERÉS CIVIL Hay pues dos posibles resultados: Gestión Financiera 6 Reyes F.F.
3.2.- RELACIÓN POR COCIENTE ENTRE INTERÉS COMERCIAL E INTERÉS CIVIL Por tanto, podemos decir: 4.- MÉTODOS DE CÁLCULO ABREVIADO Esta práctica es muy útil para el cálculo de intereses, cuando el tipo de interés que se aplica es constante y son muchos los capitales con los que trabajar, esto ocurre cuando se liquidan cuentas corrientes, por ejemplo. Supongamos que tenemos varios capitales: C 1, C 2,., C n, colocados a un mismo tanto unitario anual de interés simple i, durante n 1, n 2,., n n (meses, días, semanas,.) respectivamente y que deseamos saber el interés total que nos producen Para ello, tenemos que calcular el interés de cada uno de los capitales y sumarlos después, es decir: (1) 4.1.- MÉTODO DEL MULTIPLICADOR FIJO: Si al producto de capital por tiempo lo llamamos NÚMERO COMERCIAL (NC) Al cociente i/m lo llamamos lo llamamos MULTIPLICADOR FIJO (M) Podemos decir que: En definitiva que el interés total es el sumatorio de los números comerciales por el multiplicador fijo (M), siendo éste i/m Gestión Financiera 7 Reyes F.F.
4.1.- MÉTODO DEL DIVISOR FIJO: Si volvemos a la expresión (1), podemos decir: Si al producto de capital por tiempo lo llamamos NÚMERO COMERCIAL (NC) Al cociente m/i lo llamamos lo llamamos DIVISOR FIJO (D f ) En definitiva que el interés total es el sumatorio de los números comerciales divido entre el divisor fijo D f, siendo éste m/i EJEMPLO Calcula los intereses totales de 2.500, 1.500 y 3.000 durante 13, 25 y 56 días, a un interés simple del 5%. Teniendo en cuenta el año comercial C 0 n NC DIVISOR FIJO: 2.500 13 32.500 1.250 25 31.250 3.000 56 168.000 MULTIPLICADOR FIJO: TOTAL 231.750 5.- TANTO MEDIO DE COLOCACIÓN DE VARIOS CAPITALES Sean los capitales C 1, C 2,.., C t, invertidos a los tantos de interés simple anual i 1, i 2,, i t, durante n periodos. Llamamos TANTO MEDIO ( ) a aquel que aplicado sobre ese conjunto de capitales durante esos n periodos produce el mismo montante o el mismo interés. Si trasladamos este concepto teórico a una expresión matemática lo que debemos hacer es igualar los montantes o los intereses de ese conjunto de capitales y, puesto podemos elegir, vamos a hacer la demostración igualando los intereses que hace todo el proceso más simple. Gestión Financiera 8 Reyes F.F.
Dado que n está en todos los sumandos, podemos simplificar y queda: Que podemos expresar de la siguiente forma: O también: Ya podemos decir que: EJEMPLO Tengo unos ahorros colocados del siguiente modo: 2.000 al 7% anual simple en el Banco A 3.000 al 10% anual simple en el Banco B 500 al 6,5% anual simple en el Banco C Cuál es el tanto medio de interés que me producen mis ahorros si todas las inversiones están a un plazo de 1,5 años? Sería el tanto medio de colocación de los tres capitales Gestión Financiera 9 Reyes F.F.
6.- INTERÉS ANTICIPADO E INTERÉS VENCIDO. RELACIÓN Hasta ahora, sólo hemos visto operaciones a interés vencido, es decir, cuando el prestamista cedía un capital C 0 y en el momento n el prestatario devolvía C 0 más los intereses devengados, es decir C n Pero en algunas operaciones financieras el prestamista cobra los intereses por adelantado, es decir, en el momento en que se concierta la operación que ha de producirlos. Para ello aplica un tipo i a que se aplica sobre el nominal C n para obtener el efectivo C 0 de la operación. CON INTERÉS VENCIDO: Se presta C 0 y se devuelve C n Se puede ver fácilmente que la cantidad que se prestó fue: Podemos averigua el i a que equivale al interés vencido i y viceversa? Para que exista equivalencia deberá haber igualdad entre los C 0 en ambos casos, es decir entre (1) y (2) (1) CON INTERÉS ANTICIPADO: Se presta C n pero se entrega C 0 y me cobran intereses sobre C n Por tanto los intereses se calculan: De donde podemos deducir la cantidad que se prestó: (2) Si pasamos el 1 del segundo miembro al primero, en el primero queda 0 y también podemos simplificar dividiendo entre n, con lo cual nos queda: (3) De todo lo cual se puede deducir que: Cuando i a = i Y dado que C n > C 0 El I a > I Desde la expresión (3), podemos operar para obtener i a en función de i: Gestión Financiera 10 Reyes F.F.
EJEMPLO Vamos a comprobar todo lo dicho anteriormente. Qué tipo de interés anticipado i a equivale al 10% anual de interés vencido i, teniendo en cuenta que la operación dura 6 meses? Efectivamente, si tomamos como cantidad presta 10, en interés vencido, podremos comprobar: INTERÉS VENCIDO INTERÉS ANTICIPADO Si pretendemos prestar 10,5 al 9,52% anual de interés anticipado, Qué cantidad entregaremos? Sucedería lo mismo para 20 meses? Si presto 11,67 al i a anual del 9,52%, qué cantidad debo entregar? Esto sucede porque: Para cada interés vencido hay un anticipado equivalente en cada momento, de manera que no será equivalente en otro distinto PODEMOS CALCULAR EL MOMENTO DEL TIEMPO EN QUE OCURRE QUE ia Y i SON EQUIVALENTES? Si partimos de podemos despejar el tiempo: En nuestro ejemplo: años Es decir, 6 meses Gestión Financiera 11 Reyes F.F.