ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO EL ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO SE OBTIENE GIRANDO UN RAYO ALREDEDOR DE SU ORIGEN. B O < A OA : LADO INICIAL OB : LADO FINAL O: VÉRTICE SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO < POSITIVO SENTIDO DE GIRO HORARIO α < NEGATIVO

SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR SISTEMA SEXAGESIMAL (SISTEMA INGLÉS GRADO : 1 MINUTO : 1 ' SEGUNDO : 1 " EQUIVALENCIAS 1 = 60 ' ' " 1 = 60 1 = 3600 " 1vuelta= 360

EJEMPLO Calcular la medida de un ángul en el sistema sexagesimal, sabiend que su númer de minuts sexagesimales más el dble de su númer de grads sexagesimales es igual a 155. SOLUCIÓN Sea S = númer de grads sexagesimales Entnces el númer de minuts sexagesimales = 60S Dat : 60S + 2S = 155 155 5(31 S = = 62 2(31 62S = 155 5 S = 2 5º 4º 60' El ángul mide : = = 2º30' 2 2

SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR SISTEMA RADIAL (SISTEMA CIRCULAR EN ESTE SISTEMA LA UNIDAD DE MEDIDA ES EL RADIÁN. UN RADIÁN ES LA MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL QUE SUBTIENDE EN CUALQUIER CIRCUNFERENCIA UN ARCO DE LONGITUD IGUAL AL RADIO. 1vuelta R. 1rad R = 2πrad ' '' 1rad = 57 17 45 R

RELACIÓN ENTRE LOS DOS SISTEMAS 180º = p Rad ESTA RELACIÓN SE USA PARA CONVERTIR DE UN SISTEMA A OTRO. EJEMPLOS EN EL SIGUIENTE CASO CONVERTIR A RADIANES 0 A = 54 O 54 πrad π 10 180 = 3 rad EN EL SIGUIENTE CASO CONVERTIR AL SISTEMA SEXAGESIMAL A 2 π rad 3... 2(180 3 = 120

FACTORES DE CONVERSIÓN DE GRADOS SEXAGESIMALES A RADIANES DE RADIANES A GRADOS SEXAGESIMALES πrad 180 π rad = 180

FÓRMULA DE CONVERSIÓN S 180 = R π S : NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES R : NÚMERO DE RADIANES

TEOREMA DE PITÁGORAS A CATETO HIPOTENUSA B CATETO C (CATETO + (CATETO = 2 (HIPOTENUSA 2 2 5 4 12 5 21 29 3 13 20

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS AGUDOS HIPOTENUSA CATETO ADYACENTE A CATETO OPUESTO A SENO senq= CatetOpuestaq Hiptenusa TANGENTE tan= SECANTE sec= CatetOpuesta CatetAdyacentea Hiptenusa CatetAdyacentea COSENO cs= CatetAdyacentea Hiptenusa COTANGENTE ct= COSECANTE csc = CatetAdyacentea CatetOpuesta Hiptenusa CatetOpuesta

EJEMPLO : sen = cs = EJEMPLO : H TEOREMA DE PITÁGORAS 12 2 2 2 H = 12 + 35 H = 1369 = 37 35 12 37 35 37 tan = ct = 12 35 35 12 sec = csc = Sabiend que es un ángul agud tal que sen=2/3... 37 35 37 12 3 2

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS sen= 1 csc cs= 1 sec tan = 1 ct sen csc= 1 cssec= 1 tanct = 1 EJEMPLOS 1 A sen36 1 = csc 36 B = sec17 cs17 C tan 49 ct 49 = 1 Dsen2 csc2 = 1 E cs 63 sec 1 F tan 2φct = 1 = = 63 2φ =

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS PROPIEDAD : LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO SON RESPECTIVAMENTE IGUALES A LAS CO-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE SU ÁNGULO COMPLEMENTARIO A LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SENO Y COSENO TANGENTE Y COTANGENTE ;SECANTE Y COSECANTE SE LES DENOMINA :CO-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS b φ c sen = cs φ cs = senφ ct = sec = tanφ cscφ a tan = ctφ csc = sec φ

EJEMPLOS Asen25 = B tan 43 = cs65 ct 47 Csec60 = csc30 Dsen= cs 20 O + 20 = 90 E tan 5α= ct α 5α+α= 90 Fsen π = 5 π π + = 5 2 cs =......... =70 α=15 π π 2 5 O 25 + 65 = 90 O 43 + 47 = 90 O 60 + 30 = 90 = 3π rad 10

TRIÁNGULOS NOTABLES 1 60 O 2 3 30 ( 1 45 1 2 45 ( 3 53 5 sen30 = 1 2 tan 60 = 3 4 37 ( sec 45 = 2 tan30 = 1 3 sen45 = 1 2 ct 37 = 4 3 3 3 x = 3 3 2 2 x 2 = 2

CALCULAR : ct 3 3 37 30 4 3 3 3 45 ( ( 4 8 ct = 3 3 4

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS CASO 1 : DATOS, HIPOTENUSA y ÁNGULO AGUDO Hsen H Hcs 5 62 5cs62 5sen62 CASO 2 : DATOS ; CATETO ADYACENTE Y ÁNGULO AGUDO Ltan Lsec 8secβ 8tanβ L β 8

CASO 3 : DATOS; CATETO OPUESTO y ÁNGULO AGUDO L EJEMPLO Lcsc Lct Calcular L en términs de m ; α y kcsc24 24 k ct 24 α m k L

SOLUCIÓN α m L mtanα L mtan m L mct mtan + α = ct L + mtanα = mct = α L = m(ct tan α

DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR Y F α F x F y X Fx Fy = Fcsα = Fsenα

A b C EJEMPLO 5m O 60 c 8m ÁREA DEL TRIÁNGULO a B S S S = = = ab senc 2 bc sena 2 ac senb 2 S = (5(8 sen60 2 (5(8 3 S = ( = 2 2 2 10 3m

ÁNGULOS VERTICALES Ls ánguls verticales sn ánguls aguds cntenids en un plan vertical y frmads pr ds líneas imaginarias llamadas hrizntal y visual α VISUAL VISUAL ÁNGULO DE ELEVACIÓN ÁNGULO DE DEPRESIÓN HORIZONTAL

EJEMPLO : Una persna bserva en un mism plan vertical ds vnis vland a una misma altura cn ánguls de elevación de 53 0 y 37 0 si la distancia entre ls vnis es de 70m A qué altura están ls vnis? SOLUCIÓN 70 4k 4k =H 53 3k O 37 + 16k/3 9k +70 = 16k/3 k = 30 H = 120

ÁNGULOS HORIZONTALES Ls ánguls hrizntales sn ánguls aguds cntenids en un plan hrizntal, se determinan tmand cm referencia ls punts cardinales nrte(n, sur(s, este(e y este(o. DIRECCIÓN La dirección de B respect de A es N30 E E60 N La dirección de C respect de A es S56 O O34 S N B O C 56 ( O 30 O E A RUMBO El rumb de Q respect de P 47 al este del nrte El rumb de M respect de P 27 al este del sur N Q O 47 ( P 27 E S S M

EJEMPLO : Un insect parte de un punt F y recrre 40 km en la dirección N53 0 O lueg recrre 40 2 km en la dirección SO, finalmente recrre 60 km hacia el este. A qué distancia se encuentra el insect de F? SOLUCIÓN N OBSERVA QUE EL TRIÁNGULO DE COLOR ROJO ES NOTABLE X = 20 45 40 2 O 45 24 16 40 32 53 37 40 20 12 60 S x F 16 E

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA MITAD DE UN ÁNGULO AGUDO (métd gráfic ( c 2 b 2 2 c + a tan = 2 b c + a = c b a

EJEMPLO : Sabiend que : tan 8=24/7, calcula tan2 3 4 5 4 25 4 SOLUCIÓN 25 24 8 7 5 24 tan 4= 25 + 7 tan 4= tan 4 = 24 32 3 4 3 tan 2 = 1 9 tan 2 = 3 2 (