Álgebra Lineal Ma1010

Álgebra Lineal Ma1010 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Departamento de Matemáticas ITESM Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 1/77

En esta lectura veremos procedimientos sistemáticos para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Estos algoritmos trabajan directamente sobre la matriz aumentada del sistema llevándola a la matriz de un sistema triangular que es equivalente al sistema inicial. La equivalencia del sistema triangular final con el inicial se argumenta debido a que el algoritmo sólo utiliza los tres tipos de operaciones vistos en la lectura anterior y cuya aplicación individual siempre preserva la equivalencia. Los procedimientos que revisaremos son: el algoritmo de Eliminación, el algoritmo de y el método. Finalmente, se realizará una revisión sobre el trabajo computacional realizado por estas estrategias. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 2/77

Será importante que Usted Entienda los conceptos: matriz escalonada y escalonada reducida. Entienda y mecanice los procedimientos de Eliminación gaussiana, Eliminación de, y El método de. Conozca las diferencias en el proceder entre los algoritmos vistos. Comprenda las reglas para analizar las a un sistema de ecuaciones. Comprenda el concepto de complejidad de un algoritmo. Conozca las diferencias en los costos de cómputo de los algoritmos vistos. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 3/77

Forma escalonada por renglones Una matriz se dice matriz escalonada si cumple: Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 4/77

Forma escalonada por renglones Una matriz se dice matriz escalonada si cumple: 1. En caso de tener renglones de ceros, todos ellos están en la parte inferior de la matriz. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 4/77

Forma escalonada por renglones Una matriz se dice matriz escalonada si cumple: 1. En caso de tener renglones de ceros, todos ellos están en la parte inferior de la matriz. 2. El elemento delantero de cada renglón no cero (después del primer renglón) se encuentra a la derecha del elemento delantero del renglón anterior. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 4/77

Forma escalonada por renglones Una matriz se dice matriz escalonada si cumple: 1. En caso de tener renglones de ceros, todos ellos están en la parte inferior de la matriz. 2. El elemento delantero de cada renglón no cero (después del primer renglón) se encuentra a la derecha del elemento delantero del renglón anterior. Y se llama matriz escalonada reducida si es escalonada y además cumple: 3. El elemento delantero de cualquier renglón no cero es 1. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 4/77

Forma escalonada por renglones Una matriz se dice matriz escalonada si cumple: 1. En caso de tener renglones de ceros, todos ellos están en la parte inferior de la matriz. 2. El elemento delantero de cada renglón no cero (después del primer renglón) se encuentra a la derecha del elemento delantero del renglón anterior. Y se llama matriz escalonada reducida si es escalonada y además cumple: 3. El elemento delantero de cualquier renglón no cero es 1. 4. Todos los elementos arriba y abajo de un 1 delantero son cero. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 4/77

Ejemplo Indique porqué las siguientes matrices no son escalonadas: 2 3 1 0 0 0 0 0 1, 2 3 1 0 5 2 0 2 1, 2 3 1 0 0 2 0 3 2 0 0 0 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 5/77, 0 0 0 0 1 3 0 0 3, 0 0 3 0 1 3 5 1 3

Ejemplo Indique porqué las siguientes matrices no son escalonadas: 2 3 1 0 0 0 0 0 1, 2 3 1 0 5 2 0 2 1, 2 3 1 0 0 2 0 3 2 0 0 0 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 5/77, 0 0 0 0 1 3 0 0 3 Solución En el primer ejemplo, tiene un renglón de ceros y no aparece hasta el final; no se cumple la condición 1., 0 0 3 0 1 3 5 1 3

Ejemplo Indique porqué las siguientes matrices no son escalonadas: 2 3 1 0 0 0 0 0 1, 2 3 1 0 5 2 0 2 1, 2 3 1 0 0 2 0 3 2 0 0 0 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 5/77, 0 0 0 0 1 3 0 0 3, 0 0 3 0 1 3 5 1 3 Solución En el segundo ejemplo, cuando comparamos la posición del primer elemento no cero del segundo renglón (5) con la posición del primer elemento no cero del tercer renglón (2) vemos que el 2 no está a la derecha del 5; no se cumple la condición 2.

Ejemplo Indique porqué las siguientes matrices no son escalonadas: 2 3 1 0 0 0 0 0 1, 2 3 1 0 5 2 0 2 1, 2 3 1 0 0 2 0 3 2 0 0 0 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 5/77, 0 0 0 0 1 3 0 0 3 Solución En el tercer ejemplo, el renglón de cero aparece hasta abajo, pero cuando se comparan los elementos delanteros de los renglones 2 y 3 el inferior no está a la derecha del elemento delantero superior: se cumple la condición 1 pero no la 2., 0 0 3 0 1 3 5 1 3

Ejemplo Indique porqué las siguientes matrices no son escalonadas: 2 3 1 0 0 0 0 0 1, 2 3 1 0 5 2 0 2 1, 2 3 1 0 0 2 0 3 2 0 0 0 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 5/77, 0 0 0 0 1 3 0 0 3, 0 0 3 0 1 3 5 1 3 Solución En el cuarto ejemplo, falla de nuevo la condición 1.

Ejemplo Indique porqué las siguientes matrices no son escalonadas: 2 3 1 0 0 0 0 0 1, 2 3 1 0 5 2 0 2 1, 2 3 1 0 0 2 0 3 2 0 0 0 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 5/77, 0 0 0 0 1 3 0 0 3 Solución En el último ejemplo, recuerde sólo hay escalonada de derecha a izquierda; el elemento delantero del renglón 2 no está a la derecha de delantero del renglón 1, 0 0 3 0 1 3 5 1 3

Ejemplo Indique porqué las siguientes matrices sí son escalonadas: 2 3 1 0 5 2 0 0 1, 2 3 1 0 1 2 0 0 0 0 0 0, 0 2 3 0 0 3 0 0 0 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 6/77, 1 2 0 0 0 0 0 0 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Ejemplo Indique porqué las siguientes matrices sí son escalonadas: 2 3 1 0 5 2 0 0 1, 2 3 1 0 1 2 0 0 0 0 0 0, 0 2 3 0 0 3 0 0 0 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 6/77, 1 2 0 0 0 0 0 0 0 Solución Observe que las matrices listadas cumplen las condiciones 1 y 2, 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Ejemplo Indique porqué las siguientes matrices son escalonadas pero no reducidas: 1 3 1 0 1 0 0 0 2, 1 2 1 0 1 2 0 0 1, 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 7/77, 1 1 3 0 0 1 0 0 0, 0 1 3 0 0 1 0 0 0

Ejemplo Indique porqué las siguientes matrices son escalonadas pero no reducidas: 1 3 1 0 1 0 0 0 2, 1 2 1 0 1 2 0 0 1, 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 7/77, 1 1 3 0 0 1 0 0 0, 0 1 3 0 0 1 0 0 0 Solución En el primer ejemplo, está fallando la condición 3: el elemento delantero del renglón 3 debe ser 1.

Ejemplo Indique porqué las siguientes matrices son escalonadas pero no reducidas: 1 3 1 0 1 0 0 0 2, 1 2 1 0 1 2 0 0 1, 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 7/77, 1 1 3 0 0 1 0 0 0, 0 1 3 0 0 1 0 0 0 Solución En el segundo ejemplo, la condición 3 se cumple pero la condición 4 falla: arriba de los 1 delanteros debe haber sólo ceros.

Ejemplo Indique porqué las siguientes matrices son escalonadas pero no reducidas: 1 3 1 0 1 0 0 0 2, 1 2 1 0 1 2 0 0 1, 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 7/77, 1 1 3 0 0 1 0 0 0, 0 1 3 0 0 1 0 0 0 Solución En los ejemplos 3, 4 y 5, note que la condición 4 dice que todos los elementos superiores a los elementos delanteros deben ser cero. En estos ejemplos no se cumple tan condición

Ejemplo Verifique que las siguientes matrices sí son escalonadas reducidas: 1 0 0 0 1 0 0 0 1, 1 0 3 0 1 1 0 0 0 0 0 0, 0 1 0 0 0 1 0 0 0 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 8/77, 1 3 4 0 0 0 0 0 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Ejemplo Verifique que las siguientes matrices sí son escalonadas reducidas: 1 0 0 0 1 0 0 0 1, 1 0 3 0 1 1 0 0 0 0 0 0, 0 1 0 0 0 1 0 0 0 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 8/77, 1 3 4 0 0 0 0 0 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Solución Observe que en el ejemplo 2, el elemento (2,3) no es delantero por ello no se impone la condición que el elemento superior sea cero. La matriz es efectivamente escalonada reducida

s de una matriz Cuando una matriz está en su forma escalonada, los primeros elementos diferentes de cero de cada renglón reciben el nombre de elementos pivote o simplemente pivotes. Note que por ser el pivote el primer elemento no cero del renglón, no hay forma que un renglón tenga más de un pivote: puede no tener pivote en caso de que sea un renglón de ceros, pero no puede tener dos o más. Note también que por estar escalonada la matriz, no hay forma que dos pivotes queden en la misma columna: puede una columna no tener pivote, pero si tiene pivote no puede tener dos o más. De este hecho, concluimos que una matriz m n no puede tener mas de m pivotes porque tiene a los más uno por cada renglón. Y por otro lado, no puede tener más de n pivotes pues a lo más tiene un pivote por cada columna. Es decir, el número de pivotes debe ser menor o igual que el mínimo número entre m y n. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 9/77

Algoritmo de eliminación gaussiana El Algoritmo de Gauss o de Eliminación gaussiana consta de los siguientes pasos: Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 10/77

Algoritmo de eliminación gaussiana El Algoritmo de Gauss o de Eliminación gaussiana consta de los siguientes pasos: 1. Determine la primer columna (a la izquierda) no cero. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 10/77

Algoritmo de eliminación gaussiana El Algoritmo de Gauss o de Eliminación gaussiana consta de los siguientes pasos: 1. Determine la primer columna (a la izquierda) no cero. 2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercámbielo por un renglón que no tenga cero. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 10/77

Algoritmo de eliminación gaussiana El Algoritmo de Gauss o de Eliminación gaussiana consta de los siguientes pasos: 1. Determine la primer columna (a la izquierda) no cero. 2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercámbielo por un renglón que no tenga cero. 3. Obtenga ceros abajo del elemento delantero sumando múltiplos adecuados a los renglones debajo de él. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 10/77

Algoritmo de eliminación gaussiana El Algoritmo de Gauss o de Eliminación gaussiana consta de los siguientes pasos: 1. Determine la primer columna (a la izquierda) no cero. 2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercámbielo por un renglón que no tenga cero. 3. Obtenga ceros abajo del elemento delantero sumando múltiplos adecuados a los renglones debajo de él. 4. Cubra el renglón y la columna de trabajo y repita el proceso comenzando en el paso 1. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 10/77

Algoritmo de eliminación gaussiana El Algoritmo de Gauss o de Eliminación gaussiana consta de los siguientes pasos: 1. Determine la primer columna (a la izquierda) no cero. 2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercámbielo por un renglón que no tenga cero. 3. Obtenga ceros abajo del elemento delantero sumando múltiplos adecuados a los renglones debajo de él. 4. Cubra el renglón y la columna de trabajo y repita el proceso comenzando en el paso 1. 5. Comenzando con el último renglón no cero avance hacia arriba para que en cada renglón tenga un 1 delantero y arriba de él queden sólo ceros. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 10/77

Es importante observar que en el método de eliminación : Los pasos del 1 a 4 aplicados repetidamente escalonan la matriz; el paso 5 aplicado repetidamente reduce la matriz. En el paso 2, si el elemento no es cero no se realiza intercambio. En el paso 3, los elementos que se hacen cero son sólo los inferiores al pivote. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 11/77

Eliminación : ejemplo Ejemplo Aplique el algoritmo de Gauss a la matriz: 3 6 9 3 2 4 8 0 2 3 4 1 Solución El elemento (1,1) será usado como pivote para hacer ceros debajo de él; para ello debemos sumar múltiplos adecuados del renglón pivote a los renglones inferiores: Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 12/77

Eliminación : ejemplo Ejemplo Aplique el algoritmo de Gauss a la matriz: 3 6 9 3 2 4 8 0 2 3 4 1 Solución El elemento (1,1) será usado como pivote para hacer ceros debajo de él; para ello debemos sumar múltiplos adecuados del renglón pivote a los renglones inferiores: 3 6 9 3 2 4 8 0 2 3 4 1 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 12/77

Eliminación : ejemplo Ejemplo Aplique el algoritmo de Gauss a la matriz: 3 6 9 3 2 4 8 0 2 3 4 1 Solución El elemento (1,1) será usado como pivote para hacer ceros debajo de él; para ello debemos sumar múltiplos adecuados del renglón pivote a los renglones inferiores: 3 6 9 3 2 4 8 0 2 3 4 1 R 2 R 2 (2/3)R 1 R 3 R 3 ( 2/3)R 1 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 12/77

Eliminación : ejemplo Ejemplo Aplique el algoritmo de Gauss a la matriz: 3 6 9 3 2 4 8 0 2 3 4 1 Solución El elemento (1,1) será usado como pivote para hacer ceros debajo de él; para ello debemos sumar múltiplos adecuados del renglón pivote a los renglones inferiores: 3 6 9 3 2 4 8 0 2 3 4 1 R 2 R 2 (2/3)R 1 R 3 R 3 ( 2/3)R 1 Ej Cuál es mejor? (0.1) Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 12/77 3 6 9 3 0 0 2 2 0 1 2 1?

En vista que elemento (2,2) es cero debemos buscar en la parte inferior de la columna 2 un elemento diferente de cero y realizar un intercambio de renglones: 3 6 9 3 0 0 2 2 0 1 2 1 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 13/77

En vista que elemento (2,2) es cero debemos buscar en la parte inferior de la columna 2 un elemento diferente de cero y realizar un intercambio de renglones: 3 6 9 3 0 0 2 2 0 1 2 1 R 2 R 3 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 13/77

En vista que elemento (2,2) es cero debemos buscar en la parte inferior de la columna 2 un elemento diferente de cero y realizar un intercambio de renglones: 3 6 9 3 0 0 2 2 0 1 2 1 R 2 R 3 3 6 9 3 0 1 2 1 0 0 2 2 (0.2) Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 13/77

En vista que elemento (2,2) es cero debemos buscar en la parte inferior de la columna 2 un elemento diferente de cero y realizar un intercambio de renglones: 3 6 9 3 0 0 2 2 0 1 2 1 R 2 R 3 3 6 9 3 0 1 2 1 0 0 2 2 (0.2) El algortimo termina en sus pasos 1 al 4. Procede al paso 5. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 13/77

Hagamos 1 el elemento (3,3): 3 6 9 3 0 1 2 1 0 0 2 2 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 14/77

Hagamos 1 el elemento (3,3): 3 6 9 3 0 1 2 1 R 3 1/( 2)R 3 0 0 2 2 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 14/77

Hagamos 1 el elemento (3,3): 3 6 9 3 0 1 2 1 R 3 1/( 2)R 3 0 0 2 2 3 6 9 3 0 1 2 1 0 0 1 1 (0.3) Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 14/77

Debemos hacer cero por arriba del elemento pivote (3, 3): 3 6 9 3 0 1 2 1 0 0 1 1 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 15/77

Debemos hacer cero por arriba del elemento pivote (3, 3): 3 6 9 3 0 1 2 1 R 1 R 1 ( 9)R 3 R 2 R 2 ( 2)R 3 0 0 1 1 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 15/77

Debemos hacer cero por arriba del elemento pivote (3, 3): 3 6 9 3 3 6 0 12 0 1 2 1 R 1 R 1 ( 9)R 3 0 1 0 3 (0.4) R 2 R 2 ( 2)R 3 0 0 1 1 0 0 1 1 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 15/77

Procedamos con el siguiente elemento pivote (2, 2); el elemento ya es 1 y ahora debemos proceder a hacer cero por arriba de él: 3 6 0 12 0 1 0 3 0 0 1 1 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 16/77

Procedamos con el siguiente elemento pivote (2, 2); el elemento ya es 1 y ahora debemos proceder a hacer cero por arriba de él: 3 6 0 12 0 1 0 3 0 0 1 1 R 1 R 1 6R 2 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 16/77

Procedamos con el siguiente elemento pivote (2, 2); el elemento ya es 1 y ahora debemos proceder a hacer cero por arriba de él: 3 6 0 12 0 1 0 3 0 0 1 1 R 1 R 1 6R 2 3 0 0 6 0 1 0 3 0 0 1 1 (0.5) Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 16/77

El algoritmo concluye haciendo 1 el pivote del primer renglón: 3 0 0 6 0 1 0 3 0 0 1 1 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 17/77

El algoritmo concluye haciendo 1 el pivote del primer renglón: 3 0 0 6 0 1 0 3 R 1 1/3R 1 0 0 1 1 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 17/77

El algoritmo concluye haciendo 1 el pivote del primer renglón: 3 0 0 6 1 0 0 2 0 1 0 3 R 1 1/3R 1 0 1 0 3 (0.6) 0 0 1 1 0 0 1 1 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 17/77

de los conjuntos solución Una vez escalonando o reduciendo la matriz aumentada de un sistema, hay que saber con precisión qué se puede decir sobre el conjunto de. Sólo hay tres posibles resultados en el análisis: El sistema no tiene solución: sistema inconsistente. El sistema tiene una única solución. El sistema tiene infinitas. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 18/77

Regla de Inconsistencia El sistema es inconsistente si aparece un pivote en la columna de términos constantes. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 19/77

Regla de Inconsistencia El sistema es inconsistente si aparece un pivote en la columna de términos constantes. Ejemplo Son inconsistentes los sistemas cuya matriz aumentada se convierte mediante operaciones elementales en: Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 19/77

Regla de Inconsistencia El sistema es inconsistente si aparece un pivote en la columna de términos constantes. Ejemplo Son inconsistentes los sistemas cuya matriz aumentada se convierte mediante operaciones elementales en: 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 19/77

Regla de Inconsistencia El sistema es inconsistente si aparece un pivote en la columna de términos constantes. Ejemplo Son inconsistentes los sistemas cuya matriz aumentada se convierte mediante operaciones elementales en: 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 19/77

Regla de Inconsistencia El sistema es inconsistente si aparece un pivote en la columna de términos constantes. Ejemplo Son inconsistentes los sistemas cuya matriz aumentada se convierte mediante operaciones elementales en: [ ] 1 1 1 2 0 0 0 3 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 19/77

Regla de Consistencia Es consistente cualquier sistema en cuya matriz escalonada no aparece ningún pivote en la columna de términos constantes. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 20/77

Regla de Consistencia Es consistente cualquier sistema en cuya matriz escalonada no aparece ningún pivote en la columna de términos constantes. Ejemplo Son consistentes los sistemas cuya matriz aumentada se convierte mediante operaciones elementales en: Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 20/77

Regla de Consistencia Es consistente cualquier sistema en cuya matriz escalonada no aparece ningún pivote en la columna de términos constantes. Ejemplo Son consistentes los sistemas cuya matriz aumentada se convierte mediante operaciones elementales en: 1 1 1 3 0 2 2 2 0 0 3 1 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 20/77

Regla de Consistencia Es consistente cualquier sistema en cuya matriz escalonada no aparece ningún pivote en la columna de términos constantes. Ejemplo Son consistentes los sistemas cuya matriz aumentada se convierte mediante operaciones elementales en: 1 0 3 1 0 1 2 1 0 0 1 1 0 0 0 0 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 20/77

Regla de Consistencia Es consistente cualquier sistema en cuya matriz escalonada no aparece ningún pivote en la columna de términos constantes. Ejemplo Son consistentes los sistemas cuya matriz aumentada se convierte mediante operaciones elementales en: [ ] 1 1 1 2 0 1 1 1 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 20/77

Regla de la Solución Única Siendo un sistema consistente, el sistema tiene solución única si en la matriz escalonada la columna de cada variable hay un pivote. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 21/77

Regla de la Solución Única Siendo un sistema consistente, el sistema tiene solución única si en la matriz escalonada la columna de cada variable hay un pivote. Ejemplo Tienen solución única lo sistemas cuya matriz aumentada se convierte mediante operaciones elementales en: Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 21/77

Regla de la Solución Única Siendo un sistema consistente, el sistema tiene solución única si en la matriz escalonada la columna de cada variable hay un pivote. Ejemplo Tienen solución única lo sistemas cuya matriz aumentada se convierte mediante operaciones elementales en: 1 1 1 3 0 2 2 2 0 0 3 1 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 21/77

Regla de la Solución Única Siendo un sistema consistente, el sistema tiene solución única si en la matriz escalonada la columna de cada variable hay un pivote. Ejemplo Tienen solución única lo sistemas cuya matriz aumentada se convierte mediante operaciones elementales en: 1 0 3 1 0 1 2 1 0 0 1 1 0 0 0 0 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 21/77

Regla para Soluciones Infinitas Si un sistema es consistente, el sistema tiene infinitas si en la matriz escalonada hay una columna de una variable sin pivote. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 22/77

Regla para Soluciones Infinitas Si un sistema es consistente, el sistema tiene infinitas si en la matriz escalonada hay una columna de una variable sin pivote. Ejemplo Tienen infinitas lo sistemas cuya matriz aumentada se convierte mediante operaciones elementales en: Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 22/77

Regla para Soluciones Infinitas Si un sistema es consistente, el sistema tiene infinitas si en la matriz escalonada hay una columna de una variable sin pivote. Ejemplo Tienen infinitas lo sistemas cuya matriz aumentada se convierte mediante operaciones elementales en: [ 1 1 1 3 0 2 2 2 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 22/77 ]

Regla para Soluciones Infinitas Si un sistema es consistente, el sistema tiene infinitas si en la matriz escalonada hay una columna de una variable sin pivote. Ejemplo Tienen infinitas lo sistemas cuya matriz aumentada se convierte mediante operaciones elementales en: 1 1 1 3 0 2 2 2 0 0 0 0 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 22/77

Regla para Soluciones Infinitas Si un sistema es consistente, el sistema tiene infinitas si en la matriz escalonada hay una columna de una variable sin pivote. Ejemplo Tienen infinitas lo sistemas cuya matriz aumentada se convierte mediante operaciones elementales en: 1 0 3 1 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 22/77

Nota Importante Observe que los renglones de ceros no dan en general información sobre cómo es el conjunto solución. 1 1 2 0 0 1 3 0 1 6 2 0, 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 4 0 1 2 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 4 0 1 2 1 0 0 0 0,, 1 0 1 4 0 1 2 1 0 0 1 1 1 0 1 4 0 1 2 1 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 23/77

A B C D E Ejemplo Se tiene un sistema de ecuaciones que tiene una matriz aumentada 8 5 y al reducirla tiene un total de 5 pivotes, entonces.. es inconsistente. hay infinitas. tiene solución única. si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no, única. si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no, infinitas. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 24/77

A B C D E Ejemplo Se tiene un sistema de ecuaciones que tiene una matriz aumentada 8 5 y al reducirla tiene un total de 5 pivotes, entonces.. Solución es inconsistente. hay infinitas. tiene solución única. si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no, única. si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no, infinitas. Puesto que la matriz escalonada de tiene 5 pivotes y la matriz tiene 5 columnas, entonces toda columna tiene pivote. En particular, la última columna tendrá pivote. Como la matriz es aumentada, entonces la columna correspondiente a las constantes tendrá pivote. Por lo tanto, el sistema original será inconsistente. La opción que describe la situación es A Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 24/77

A B C D E Ejemplo Se tiene un sistema de ecuaciones que tiene una matriz aumentada 5 5 y al reducirla tiene un total de 4 pivotes, entonces.. es inconsistente. tiene solución única. hay infinitas. si en la última columna hay pivote, inconsistente. Si no, única. si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no, infinitas. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 25/77

A B C D E Ejemplo Se tiene un sistema de ecuaciones que tiene una matriz aumentada 5 5 y al reducirla tiene un total de 4 pivotes, entonces.. Solución es inconsistente. tiene solución única. hay infinitas. si en la última columna hay pivote, inconsistente. Si no, única. si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no, infinitas. Puesto que la matriz reducida es 5 5 y tiene 4 pivotes, la última columna tiene la posibilidad de tener pivote. En cuyo caso, el sistema será inconsistente. También se tiene la posibilidad de que la última columna no tenga pivote. En cuyo caso, el sistema será consistente y los cuatro pivotes estarán en las primeras columnas. Y por tanto, en este caso la columna de cada variable tendrá pivote y por consiguiente cada variable será fija. Y por lo tanto, en este caso habrá solución única. La respuesta que describe mejor la situación es la D Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 25/77

A B C D E Ejemplo Se tiene un sistema homogéneo de ecuaciones que tiene una matriz aumentada 5 6 y al reducirla tiene un total de 5 pivotes, entonces.. tiene solución única. si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no única. es inconsistente. hay infinitas. si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no infinitas. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 26/77

A B C D E Ejemplo Se tiene un sistema homogéneo de ecuaciones que tiene una matriz aumentada 5 6 y al reducirla tiene un total de 5 pivotes, entonces.. Solución tiene solución única. si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no única. es inconsistente. hay infinitas. si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no infinitas. Puesto que el sistema es homogéneo, en la columna de las constantes habrá sólo ceros. Por la naturaleza de las operaciones elementales, en la matriz reducida sólo habrá ceros en tal columna. Por tanto, no habrá pivotes en la columna de las constantes. Por tanto, el sistema será consistente y los 5 pivotes estarán en las primeras columnas y por tanto, en la columna de cada variable habrá pivote. Por tanto, el sistema será consistente con solución única Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 26/77

Fórmula para todas las Veamos ahora una estrategia para obtener la fórmula de donde se obtienen todas las a un sistemas de ecuaciones lineales cuando el sistema tiene infinitas. Ilustraremos esto mediante un par de ejemplos. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 27/77

Ejemplo Manejando el orden x, y, z, w escriba en forma vectorial la solución general al sistema: 4w +2x+6y +2z = 2 w +3x+9y +4z = 14 4w +3x+9y +3z = 3 3w+4x+12y +4z = 11 Reporte las coordenadas del vector que multiplica a la variable libre en la solución resultante. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 28/77

Solución (Y método general) Paso 1: Apliquemos Gauss a la matriz aumentada Formamos la matriz aumentada con el orden que sugiere el problema (x, y, z, w): 2 6 2 4 2 3 9 4 1 14 3 9 3 4 3 4 12 4 3 11 1 3 0 0 3 0 0 1 0 2 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 Al aplicar las reglas de análisis, observamos que el sistema es consistente (al no haber pivote en la columna de las constantes) y con infinitas (al ser y una variable libre, recuerde que las variables fijas son aquellas en cuya columna hay pivote) Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 29/77

Paso 2: Convierta cada renglón no cero en ecuación El renglón 1 de la reducida que: El renglón 2 queda: y el renglón 3 queda: x+3y = 3 z = 2 w = 3 Paso 3: De cada ecuación, despeje la variable delantera. x+3y = 3 x = 3 3y z = 2 z = 2 w = 3 w = 3 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 30/77

Paso 4: Se complementan las ecuaciones introduciendo ecuaciones donde cada variable libre es igual a sí misma. x = 3 3y y = z = y 2 w = 3 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 31/77

Paso 5: Se reescribe en forma vectorial las x y z w = 3 3y Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 32/77 y 2 3

Paso 6: Se separa el segundo miembro de acuerdo a las constantes y a las variables libres x y z w = 3 0 2 3 +y Lo anterior es la fórmula general para todas las del sistema original; el concepto de variable libre indica que se puede tomar cualquier valor y que con él se produce una solución. También, aunque esto no es tan evidente, que cualquier otra solución puede obtenerse de esta fórmula para valores adecuados de las variables libres Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 33/77 3 1 0 0

Ejemplo Determine la solución general en forma vectorial para el sistema: 6w 2x+3y +3z = 3 5w +2x+y 2z = 2 w 4x+2y +5z = 1 13w 8x+8y +11z = 7 Solución Sigamos la metodología descrita en el ejemplo anterior: Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 34/77

Aplicamos Gauss a la matriz aumentada (orden: x, y, z, w): 2 3 3 6 3 2 1 2 5 2 4 2 5 1 1 8 8 11 13 7 1 0 9/8 9/8 3/8 0 1 1/4 11/4 5/4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Convertimos cada renglón diferentes de cero de la matriz reducida a una ecuación: x 9/8z +9/8w = 3/8 y +1/4z +11/4w = 5/4 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 35/77

Ahora, despejamos las variables fijas (x y y): x = 3/8+9/8z 9/8w y = 5/4 1/4z 11/4w Complementamos las ecuaciones con ecuaciones donde cada variable libre está igualada a sí misma: x = 3/8+9/8z 9/8w y = 5/4 1/4z 11/4w z = z w = w Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 36/77

Ahora, le damos a lo anterior la forma de una igualdad entre vectores: x y z w = 3/8+9/8z 9/8w 5/4 1/4z 11/4w Finalmente, separamos el lado izquierdo de acuerdo a las variables libres: x y z w = 3/8 5/4 0 0 +z 9/8 1/4 1 0 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 37/77 z w +w 9/8 11/4 0 1

Algoritmo de El Algoritmo de consta de los siguientes pasos: Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 38/77

Algoritmo de El Algoritmo de consta de los siguientes pasos: 1. Determine la primer columna (a la izquierda) no cero. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 38/77

Algoritmo de El Algoritmo de consta de los siguientes pasos: 1. Determine la primer columna (a la izquierda) no cero. 2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercámbielo por un renglón que no tenga cero. Multiplicando apropiadamente el renglón, hágalo 1. Este primer 1 será llamado 1 pivote. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 38/77

Algoritmo de El Algoritmo de consta de los siguientes pasos: 1. Determine la primer columna (a la izquierda) no cero. 2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercámbielo por un renglón que no tenga cero. Multiplicando apropiadamente el renglón, hágalo 1. Este primer 1 será llamado 1 pivote. 3. Obtenga ceros arriba y abajo del 1 pivote sumando múltiplos adecuados a los renglones debajo de renglón pivote en la matriz completa. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 38/77

Algoritmo de El Algoritmo de consta de los siguientes pasos: 1. Determine la primer columna (a la izquierda) no cero. 2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercámbielo por un renglón que no tenga cero. Multiplicando apropiadamente el renglón, hágalo 1. Este primer 1 será llamado 1 pivote. 3. Obtenga ceros arriba y abajo del 1 pivote sumando múltiplos adecuados a los renglones debajo de renglón pivote en la matriz completa. 4. Cubra la columna y el renglón de trabajo y repita el proceso comenzando en el paso 1 con la columna siguiente. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 38/77

Es importante observar que en el método de : En la idea general, la matriz se va escalonando y reduciendo a la vez. En el paso 2, si el elemento no es cero no se realiza intercambio. En el paso 3, los elementos que se hacen cero no solo son los inferiores al pivote (Eliminación ) sino también los superiores. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 39/77

Algoritmo de : ejemplo Ejemplo Aplique el algoritmo de a la matriz: 3 6 9 3 2 4 8 0 2 3 4 1 Solución Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 40/77

Algoritmo de : ejemplo Ejemplo Aplique el algoritmo de a la matriz: 3 6 9 3 2 4 8 0 2 3 4 1 Solución Contrario al algoritmo de Gauss, el algoritmo de primero crea los 1 s pivote: 3 6 9 3 2 4 8 0 2 3 4 1 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 40/77

Algoritmo de : ejemplo Ejemplo Aplique el algoritmo de a la matriz: 3 6 9 3 2 4 8 0 2 3 4 1 Solución Contrario al algoritmo de Gauss, el algoritmo de primero crea los 1 s pivote: 3 6 9 3 2 4 8 0 2 3 4 1 R 1 1/3R 1 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 40/77

Algoritmo de : ejemplo Ejemplo Aplique el algoritmo de a la matriz: 3 6 9 3 2 4 8 0 2 3 4 1 Solución Contrario al algoritmo de Gauss, el algoritmo de primero crea los 1 s pivote: 3 6 9 3 2 4 8 0 2 3 4 1 R 1 1/3R 1 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 40/77 1 2 3 1 2 4 8 0 2 3 4 1 (0.7)

Posteriormente hace cero debajo de él: 1 2 3 1 2 4 8 0 2 3 4 1 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 41/77

Posteriormente hace cero debajo de él: 1 2 3 1 2 4 8 0 R 2 R 2 2R 1 R 3 R 3 ( 2)R 1 2 3 4 1 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 41/77

Posteriormente hace cero debajo de él: 1 2 3 1 2 4 8 0 R 2 R 2 2R 1 R 3 R 3 ( 2)R 1 2 3 4 1 1 2 3 1 0 0 2 2 0 1 2 1 (0.8) Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 41/77

En este caso el elemento (2,2) es cero y se deberá buscar un elemento inferior que sea diferente de cero: 1 2 3 1 0 0 2 2 0 1 2 1 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 42/77

En este caso el elemento (2,2) es cero y se deberá buscar un elemento inferior que sea diferente de cero: 1 2 3 1 0 0 2 2 R 2 R 3 0 1 2 1 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 42/77

En este caso el elemento (2,2) es cero y se deberá buscar un elemento inferior que sea diferente de cero: 1 2 3 1 1 2 3 1 0 0 2 2 R 2 R 3 0 1 2 1 (0.9) 0 1 2 1 0 0 2 2 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 42/77

El elemento pivote (2,2) ya es 1; el algoritmo procede ahora a hacer ceros arriba y debajo de él: 1 2 3 1 0 1 2 1 0 0 2 2 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 43/77

El elemento pivote (2,2) ya es 1; el algoritmo procede ahora a hacer ceros arriba y debajo de él: 1 2 3 1 0 1 2 1 R 1 R 1 2R 2 0 0 2 2 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 43/77

El elemento pivote (2,2) ya es 1; el algoritmo procede ahora a hacer ceros arriba y debajo de él: 1 2 3 1 1 0 1 1 0 1 2 1 R 1 R 1 2R 2 0 1 2 1 (0.10) 0 0 2 2 0 0 2 2 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 43/77

El pivote es ahora el elemento (3,3); primero se crea el 1 pivote: 1 0 1 1 0 1 2 1 0 0 2 2 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 44/77

El pivote es ahora el elemento (3,3); primero se crea el 1 pivote: 1 0 1 1 0 1 2 1 R 3 1/( 2)R 3 0 0 2 2 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 44/77

El pivote es ahora el elemento (3,3); primero se crea el 1 pivote: 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 2 1 R 3 1/( 2)R 3 0 1 2 1 (0.11) 0 0 2 2 0 0 1 1 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 44/77

Posteriormente, se hacen ceros arriba y debajo de él: 1 0 1 1 0 1 2 1 0 0 1 1 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 45/77

Posteriormente, se hacen ceros arriba y debajo de él: 1 0 1 1 0 1 2 1 R 1 R 1 1R 3 R 2 R 2 ( 2)R 3 0 0 1 1 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 45/77

Posteriormente, se hacen ceros arriba y debajo de él: 1 0 1 1 1 0 0 2 0 1 2 1 R 1 R 1 1R 3 0 1 0 3 (0.12) R 2 R 2 ( 2)R 3 0 0 1 1 0 0 1 1 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 45/77

Método El Algoritmo es una estrategia desarrollada en los 70s por el profesor Mario René en aquel entonces profesor de FIME de la UANL, México. El método trabaja bajo el supuesto principal que la matriz es sólo de números enteros y que no se realizaría ninguna división entre enteros salvo al final. Esto minimiza el total de errores por redondeo. El método procede de una forma semejante al de sin hacer uno los pivotes y forzando a que los elementos que se harán cero sean múltiplos del pivote. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 46/77

El método consta de los siguientes pasos: Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 47/77

El método consta de los siguientes pasos: 1. Determine la primer columna (a la izquierda) no cero. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 47/77

El método consta de los siguientes pasos: 1. Determine la primer columna (a la izquierda) no cero. 2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercámbielo por un renglón que no tenga cero. Este se llamará elemento pivote x. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 47/77

El método consta de los siguientes pasos: 1. Determine la primer columna (a la izquierda) no cero. 2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercámbielo por un renglón que no tenga cero. Este se llamará elemento pivote x. 3. Obtenga ceros arriba y abajo del pivote x En términos de operaciones elementales lo que se realiza es que para cada renglón i diferente del renglón pivote hacer R i xr i R i R i a i,m R m Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 47/77

El método consta de los siguientes pasos: 1. Determine la primer columna (a la izquierda) no cero. 2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercámbielo por un renglón que no tenga cero. Este se llamará elemento pivote x. 3. Obtenga ceros arriba y abajo del pivote x En términos de operaciones elementales lo que se realiza es que para cada renglón i diferente del renglón pivote hacer R i xr i R i R i a i,m R m 4. Repita el proceso comenzando en el paso 1 para el renglón siguiente. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 47/77

El principal comentario es que en el paso 3 la instrucción R i xr i tiene la intención de hacer que el elemento a hacer 0 se haga un múltiplo del elemento pivote de forma tal que no se requiere ninguna división en la instrucción de eliminación. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 48/77

Método de : ejemplo Ejemplo Aplique el algoritmo de a la matriz: 3 6 9 3 2 4 8 0 2 3 4 1 Solución Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 49/77

Método de : ejemplo Ejemplo Aplique el algoritmo de a la matriz: 3 6 9 3 2 4 8 0 2 3 4 1 Solución Debemos multiplicar el renglón 2 y 3 por el elemento (1, 1): 3 6 9 3 2 4 8 0 2 3 4 1 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 49/77

Método de : ejemplo Ejemplo Aplique el algoritmo de a la matriz: 3 6 9 3 2 4 8 0 2 3 4 1 Solución Debemos multiplicar el renglón 2 y 3 por el elemento (1, 1): 3 6 9 3 2 4 8 0 2 3 4 1 R 2 3R 2 R 3 3R 3 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 49/77

Método de : ejemplo Ejemplo Aplique el algoritmo de a la matriz: 3 6 9 3 2 4 8 0 2 3 4 1 Solución Debemos multiplicar el renglón 2 y 3 por el elemento (1, 1): 3 6 9 3 2 4 8 0 2 3 4 1 R 2 3R 2 R 3 3R 3 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 49/77 3 6 9 3 6 12 24 0 6 9 12 3 (0.13)

Ahora la cancelación procede utilizando el renglón 1 con los elementos (2, 1) y (3, 1) anteriores a la multiplicación: 3 6 9 3 6 12 24 0 6 9 12 3 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 50/77

Ahora la cancelación procede utilizando el renglón 1 con los elementos (2, 1) y (3, 1) anteriores a la multiplicación: 3 6 9 3 6 12 24 0 R 2 R 2 (2)R 1 R 3 R 3 ( 2)R 1 6 9 12 3 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 50/77

Ahora la cancelación procede utilizando el renglón 1 con los elementos (2, 1) y (3, 1) anteriores a la multiplicación: 3 6 9 3 3 6 9 3 6 12 24 0 R 2 R 2 (2)R 1 0 0 6 6 R 3 R 3 ( 2)R 1 6 9 12 3 0 3 6 3 (0.14) Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 50/77

Ahora deberemos intercambiar los renglones 2 y 3 para tener un pivote en (2,2): 3 6 9 3 0 0 6 6 0 3 6 3 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 51/77

Ahora deberemos intercambiar los renglones 2 y 3 para tener un pivote en (2,2): 3 6 9 3 0 0 6 6 R 2 R 3 0 3 6 3 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 51/77

Ahora deberemos intercambiar los renglones 2 y 3 para tener un pivote en (2,2): 3 6 9 3 3 6 9 3 0 0 6 6 R 2 R 3 0 3 6 3 (0.15) 0 3 6 3 0 0 6 6 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 51/77

Para eliminar el elemento arriba del pivote (2, 2) el algoritmo procede multiplicando el renglón 1 por el pivote (2, 2): 3 6 9 3 0 3 6 3 0 0 6 6 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 52/77

Para eliminar el elemento arriba del pivote (2, 2) el algoritmo procede multiplicando el renglón 1 por el pivote (2, 2): 3 6 9 3 0 3 6 3 R 1 3R 1 0 0 6 6 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 52/77

Para eliminar el elemento arriba del pivote (2, 2) el algoritmo procede multiplicando el renglón 1 por el pivote (2, 2): 3 6 9 3 9 18 27 9 0 3 6 3 R 1 3R 1 0 3 6 3 (0.16) 0 0 6 6 0 0 6 6 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 52/77

La cancelación arriba del pivote (2, 2) procede restando al renglón 1 el renglón pivote por el contenido previo del elemento (1, 2): 9 18 27 9 0 3 6 3 0 0 6 6 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 53/77

La cancelación arriba del pivote (2, 2) procede restando al renglón 1 el renglón pivote por el contenido previo del elemento (1, 2): 9 18 27 9 0 3 6 3 0 0 6 6 R 1 R 1 (6)R 2 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 53/77

La cancelación arriba del pivote (2, 2) procede restando al renglón 1 el renglón pivote por el contenido previo del elemento (1, 2): 9 18 27 9 0 3 6 3 0 0 6 6 R 1 R 1 (6)R 2 9 0 9 9 0 3 6 3 0 0 6 6 (0.17) Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 53/77

Ahora el pivote es el elemento (3,3) y debemos hacer cero arriba de él. Para ello el algoritmo procede multiplicando los renglónes donde se hará la cancelación por el elemento pivote: 9 0 9 9 0 3 6 3 0 0 6 6 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 54/77

Ahora el pivote es el elemento (3,3) y debemos hacer cero arriba de él. Para ello el algoritmo procede multiplicando los renglónes donde se hará la cancelación por el elemento pivote: 9 0 9 9 0 3 6 3 0 0 6 6 R 1 6R 1 R 2 6R 2 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 54/77

Ahora el pivote es el elemento (3,3) y debemos hacer cero arriba de él. Para ello el algoritmo procede multiplicando los renglónes donde se hará la cancelación por el elemento pivote: 9 0 9 9 0 3 6 3 0 0 6 6 R 1 6R 1 R 2 6R 2 54 0 54 54 0 18 36 18 0 0 6 6 (0.18) Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 54/77

La cancelación procede restando los múltiplos del renglón 3 usando los elementos anteriores a la multiplicación: 54 0 54 54 0 18 36 18 0 0 6 6 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 55/77

La cancelación procede restando los múltiplos del renglón 3 usando los elementos anteriores a la multiplicación: 54 0 54 54 0 18 36 18 R 1 R 1 (9)R 3 R 2 R 2 ( 6)R 3 0 0 6 6 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 55/77

La cancelación procede restando los múltiplos del renglón 3 usando los elementos anteriores a la multiplicación: 54 0 54 54 54 0 0 108 0 18 36 18 R 1 R 1 (9)R 3 0 18 0 54 R 2 R 2 ( 6)R 3 0 0 6 6 0 0 6 6 (0.19) Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 55/77

Las únicas divisiones proceden al final: 54 0 0 108 0 18 0 54 0 0 6 6 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 56/77

Las únicas divisiones proceden al final: 54 0 0 108 0 18 0 54 0 0 6 6 R 1 1/( 54)R 1 R 2 1/( 18)R 2 R 3 1/( 6)R 3 Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 56/77

Las únicas divisiones proceden al final: 54 0 0 108 0 18 0 54 0 0 6 6 R 1 1/( 54)R 1 R 2 1/( 18)R 2 R 3 1/( 6)R 3 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 1 (0.20) Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 56/77

operativas de los métodos Ejemplo Para la matriz: 23 13 1 0 11 3 indique cuál sería el siguiente paso de acuerdo a: a) Eliminación b) Método de c) Método de entre las opciones: 1) R 1 11R 1 2) R 1 1 23 R 1 3) R 1 R 1 13 11 R 2 4) R 2 1 11 R 2 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 57/77

operativas de los métodos Ejemplo Para la matriz: 23 13 1 0 11 3 indique cuál sería el siguiente paso de acuerdo a: a) Eliminación b) Método de c) Método de entre las opciones: 1) R 1 11R 1 2) R 1 1 23 R 1 3) R 1 R 1 13 11 R 2 4) R 2 1 11 R 2 Respuesta: Eliminación 4, 2, 1 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 57/77

de un algoritmo La palabra FLOP (FLoating point OPeration) refiere a una operación entre números reales y abarca suma, resta, multiplicación, o división. Actualmente, en computación la palabra FLOPS es utilizada como acrónimo de FLoating point Operations Per Second, pero en el área de análisis de algoritmos y para nosotros tiene el significado que ya explicamos y FLOPs será el plural de FLOP. El análisis que realizaremos de la complejidad de los algoritmos vistos será contando el número total de FLOPs que se invierte cuando se aplica a un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas general. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 58/77

del algoritmo de Gauss Es importante notar que el proceso de Gauss avanza dejando la matriz escalonada hasta la columna de trabajo: a 1,1 a 1,2 a 1,m 1 a 1,m 0 a 2,2 a 2,m 1 a 2,m........ 0 0 a m 1,m 1 a m 1,m 0 0 0 a m,m........ 0 0 0 a n,m Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 59/77

1 Ciclo del paso 1 al 4 En el paso 3 hay que hacer cero debajo del elemento (m,m), para cada uno de los m n renglones inferiores R i ; para ello habrá que calcular el factor f = a i,m /a m,m realizar la operación: R i R i f R m. 2(n m+1)+1 = 2n 2m+3. entonces para realizar un ciclo desde el paso 1 hasta el paso 4 deben hacerse (n m)(2n 2m+3) FLOPS. n 1 (n m)(2n 2m+3) = 2 3 n3 + 1 2 n2 7 6 n. m=1 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 60/77

a 1,1 a 1,2 a 1,m 0 0 a 1,n+1 0 a 2,2 a 2,m 0 0 a 2,n+1.......... 0 0 a m,m 0 0 a m,n+1 0 0 0 1 0 a m+1,n+1............ 0 0 0 0 1 a n,n+1 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 61/77

2 Ciclo del paso 5. Las operaciones implicadas en el paso 5 serán R m 1 a m,m R m R j R j a j,m R m 2(m 1)+1 = 2m 1 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 62/77

2 Ciclo del paso 5. Las operaciones implicadas en el paso 5 serán R m 1 a m,m R m R j R j a j,m R m 2(m 1)+1 = 2m 1 Por consiguiente el total de FLOPs en el paso 5 será: 1 (2m 1) = n 2 m=n Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 62/77

2 Ciclo del paso 5. Las operaciones implicadas en el paso 5 serán R m 1 a m,m R m R j R j a j,m R m 2(m 1)+1 = 2m 1 Por consiguiente el total de FLOPs en el paso 5 será: 1 (2m 1) = n 2 m=n 2 3 n3 + 3 2 n2 7 6 n Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 62/77

del algoritmo de 1 0 0 a 1,m 0 1 0 a 2,m........ 0 0 1 a m 1,m 0 0 0 a m,m........ 0 0 0 a n,m Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 63/77

1. Paso 2. divisiones. (n+1) (m+1)+1 = n m+1 Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 64/77

2. Paso 3. R i R i a i,m R m. Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 65/77

2. Paso 3. R i R i a i,m R m. para hacer un cero en un renglón arriba o abajo de (m,m) se requieren 2(n m+1) Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 65/77

2. Paso 3. R i R i a i,m R m. para hacer un cero en un renglón arriba o abajo de (m,m) se requieren 2(n m+1) Como hay en total n renglones (n 1)2(n m+1) Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 65/77

2. Paso 3. R i R i a i,m R m. para hacer un cero en un renglón arriba o abajo de (m,m) se requieren 2(n m+1) Como hay en total n renglones (n 1)2(n m+1) en una iteración del paso 2 seguido del paso 3 se harán n m+1+(n 1)2(n m+1) Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 65/77

2. Paso 3. R i R i a i,m R m. para hacer un cero en un renglón arriba o abajo de (m,m) se requieren 2(n m+1) Como hay en total n renglones (n 1)2(n m+1) en una iteración del paso 2 seguido del paso 3 se harán n m+1+(n 1)2(n m+1) n m=1 (n m+1+(n 1)2(n m+1)) = n 3 + 1 2 n2 1 2 n Ej? Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 65/77