PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 015 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4, Opción B Reserva 3, Ejercicio 4, Opción A Reserva 3, Ejercicio 4, Opción B Reserva 4, Ejercicio 4, Opción A Reserva 4, Ejercicio 4, Opción B Septiembre, Ejercicio 4, Opción A Septiembre, Ejercicio 4, Opción B
Sean los puntos A (0,1,1), B (,1, 3), C( 1,,0) y D(,1, m ) a) Calcula m para que A, B, C y D estén en un mismo plano. b) Determina la ecuación del plano respecto del cual los puntos A y B son simétricos. c) Calcula el área del triángulo A,B y C. MATEMÁTICAS II. 015. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. a) Si los cuatro puntos están en el mismo plano eso quiere decir que los vectores AB, AC y AD tienen que ser coplanarios, es decir, tienen que ser linealmente dependientes, luego su determinante tiene que valer 0. Los vectores son: AB (, 0, ) ; AC ( 1,1, 1) y AD (, 0, m 1) 0 1 1 1 m 4 0 m 3 0 m 1 Luego, para m 3, los cuatro puntos están en un mismo plano. b) El plano que nos piden pasa por el punto medio del segmento AB y su vector normal es AB (,0, ). El punto medio es: 0 11 1 3 M,, (1,1, ). Todos los planos que tienen por vector normal el vector AB (, 0, ), tienen de ecuación x z D 0. Como tiene que pasar por el punto M (1,1,), su ecuación será: 1 D 0 D 6 x z 6 0 x z 3 0 c) Los vectores son: AB (,0, ) y AC ( 1,1, 1) i j k 1 1 1 8 Área AB AC módulo 0 módulo(, 0, ) u 1 1 1
Sea el plano x y z 8 0 a) Calcula el punto P, simétrico del punto P(, 1,5) respecto del plano. x y 1 z 5 b) Calcula la recta r, simétrica de la recta r 3 1 MATEMÁTICAS II. 015. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN B Calculamos la ecuación de la recta que pasando por el punto P es perpendicular al plano. Como la recta es perpendicular al plano, el vector director de dicha recta y el vector normal del plano son paralelos, luego: Vector normal del plano = vector director de la recta = (,1, 1). xt La ecuación paramétrica de la recta será: y 1 t z 5 t Calculamos las coordenadas del punto de intersección de la recta con el plano (M); para ello sustituimos la ecuación de la recta en la del plano: ( t) ( 1 t) (5 t) 8 0 t 1 Luego, las coordenadas del punto M son: x 0; y ; z 6 Como el punto M es el punto medio del segmento P P, si llamamos (a,b,c) a las coordenadas del a b 1 c 5 punto P, se debe verificar que: 0; a ; ; b 3 ; 6; c 7 Luego, el punto simétrico es el P', 3,7 xt b) Calculamos el punto de corte de la recta r y 1 3t con el plano z 5 t ( t) ( 1 3 t) (5 t) 8 0 t 3 A( 4,8,8) La recta que nos piden pasa por el punto A y P, luego: AP ', 11, 1 x 4 y 8 z 8 r ' 11 1
Considera el punto y la recta r dada por a) Determina la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r. b) Calcula las coordenadas del punto simétrico de P respecto de la recta r. MATEMÁTICAS II. 015. RESERVA 1. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. x t a) Pasamos la recta a paramétricas: r y 5 t. El vector director de la recta (1,,), es el z 3 t vector normal del plano, luego, los planos perpendiculares a la recta tienen de ecuación: Como queremos que pase por el punto ( 3,1,6). x y z D 0 x y z D 0 3 1 6 D 0 D 11 Luego, el plano que nos piden es: x y z 11 0. b) Calculamos el punto de corte de la recta con el plano: x y z 11 0 x ( 5 t) ( 3 t) 11 0 t 3 Luego, el punto de corte es: M 3, 5 3, 3 3 3,1,3. Si llamamos al punto simétrico P' a, b, c, se cumple que: ( 3,1,6) ( abc,, ) 3,1,3 P ' 9,1, 0
Los puntos y son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice es un punto de la recta r dada por a) Calcula las coordenadas de los posibles puntos C de r para que el triángulo ABC tenga un ángulo recto en el vértice A. b) Calcula las coordenadas de los posibles puntos D de r para que el triángulo ABD tenga un área igual a MATEMÁTICAS II. 015. RESERVA 1. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. a) Pasamos la recta r a paramétricas x t x y 0 y t z 0 z 0 Cualquier punto C, tendrá de componentes C ( t, t, 0). Como queremos que sea un triángulo rectángulo en A, los vectores AB (, 0, ) y AC ( t, t 1, 1), tienen que ser perpendiculares, luego, su producto escalar debe valer 0. Luego el punto C será: C (1,,0) ABAC (,0, ) ( t, t 1, 1) t 0 t 1 b) Cualquier punto D, tendrá de componentes D ( t, t,0). Calculamos el área del triángulo ABD. AB (,0, ) ; AD ( t, t 1, 1). i j k 1 1 1 S AB AD módulo 0 módulo ( 4 t) i ( t) j ( 4 t) k t t1 1 1 1 1 9 ( 4 t) ( t) ( 4 t) 36t 40t 1 9t 10t 1 0 t 1 ; t Luego el punto D será: D ( 1,,0) ó D 1,,0 9 9
Sean los planos y. a) Determina el ángulo que forman y. b) Calcula el volumen del tetraedro limitado por y los planos coordenados. MATEMÁTICAS II. 015. RESERVA. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. a) Los vectores normales de los planos son: n 1 (1,3, ) y n (,1,3). Aplicando la fórmula del ángulo de dos planos, tenemos: b) 1 ( ) 31 3 7 1 cos 60º 1 9 4 4 1 9 14 C B A 5 Los puntos de corte del plano con los ejes coordenados son: A (5,0,0) ; B 0,,0 3 y C 5 0,0, Calculamos los vectores OA (5, 0, 0) ; será: 5 OB 0,,0 3 y OC 5 0,0,. El volumen del tetraedro 5 0 0 V 1 5 15 0 0 6 3 36 5 0 0 u 3
Sean el punto y la recta a) Halla la ecuación general del plano que contiene al punto P y a la recta r. b) Calcula la distancia entre el punto P y la recta r MATEMÁTICAS II. 015. RESERVA. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. a) Pasamos la recta a paramétricas: x56t x 5 y 1 z y 1 3t 6 3 z t La recta pasa por el punto A (5, 1,0) y su vector director es u (6, 3, ). El plano que nos piden viene definido por el punto A (5, 1, 0), el vector u (6, 3, ) y el vector AP ( 4,7, ) luego, su ecuación es: x 5 6 4 y 1 3 7 0 8x 4y 30z 44 0 4x y 15z 0 z b) Calculamos el plano perpendicular a r y que pasa por P 6x 3y z D 0 6136 ( ) D 0 D 16 6x 3y z 16 0 Calculamos el punto de corte de la recta con el plano 6 (5 6 t) 3 ( 1 3 t) ( t) 16 0 49 49t 0 t 1 Luego el punto de corte es: M 5 6 t, 1 3 t,t 5 6 1, 1 3 1, 1 1,, La distancia es el módulo del vector PM, 4,0, luego: PM 4 0 0 4'47 u
Halla unas ecuaciones paramétricas para la recta r, que contiene al punto y corta perpendicularmente a la recta MATEMÁTICAS II. 015. RESERVA 3. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. Pasamos la recta s a paramétricas: x45t x 4 y 8 z y 8 3t 5 3 4 z 4t Cualquier punto M de la recta s tiene de coordenadas M 4 5 t,8 3 t,4t. El vector 1 5,13 3, 4 4 tiene que ser perpendicular al vector director 5, 3,4 PM t t t s, por lo tanto, su producto escalar debe valer cero u de la recta PM u 1 5 t,13 3 t, 4 4 t (5, 3, 4) 0 5 5t 39 9t 16 16t 0 50t 50 0 t 1 Por lo tanto el vector PM, será: PM 6,10, 0 y la ecuación paramétrica de la recta r que nos piden es: x 36t y 5 10t z 4
Sea r la recta de ecuación a) Halla el punto de r que equidista del origen de coordenadas y del punto b) Determina el punto de la recta r más próximo al origen de coordenadas. MATEMÁTICAS II. 015. RESERVA 3. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. a) Pasamos la recta a paramétricas: x 3t x y1 z y 1 4t 3 4 z t Luego, cualquier punto de la recta tiene de coordenadas A ( 3 t, 1 4 t, t). Como este punto equidista de O y de P, se cumple que: OA PA. OA t t t OA t t t t t ( 3, 1 4, ) ( 3 ) ( 1 4 ) ( ) 6 0 5 PA t t t PA t t t t t ( 6 3,1 4, ) ( 6 3 ) (1 4 ) ( ) 6 3 41 Igualando, nos queda: 6t 0t 5 6t 3t 41 1t 36 t 3 Luego, el punto que nos piden es: A (7,11,3). b) Calculamos el plano perpendicular a r y que pasa por el origen de coordenadas 3x 4y z D 0 30 40 10 D 0 D 0 3x 4y z 0 Calculamos el punto de corte de la recta con el plano 5 3 ( 3 t) 4 ( 1 4 t) 1t 0 6t 10 0 t 13 Luego el punto de corte es: M 5 5 5 11 7 5 3, 1 4,,, 13 13 13 13 13 13
Considera los puntos,, y la recta a) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son B, C y D. b) Halla un punto A en la recta r de forma que el triángulo ABC sea rectángulo en A. MATEMÁTICAS II. 015. RESERVA 4. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. a) Calculamos los vectores: BC (8, 3,5) ; BD (4,, ) Aplicamos la fórmula que nos da el área del triángulo: S = 1 BC BD = i j k 1 1 1 módulo 8 3 5 módulo (4, 4, 4) 4 4 4 1 3'46 u 4 x 1 t x y1 0 b) Pasamos la recta a paramétricas: r y t yz 0 z t Cualquier punto A de la recta r tendrá de coordenadas A ( 1 t, t, t). Como el ángulo recto está en A, los vectores AB y AC, son perpendiculares, luego su producto escalar vale cero. AB ( t, t, 3 t) AC (10 t, 1 t, t) ABAC t t t t t t t t t 0 (,, 3 ) (10, 1, ) 0 3 1 1 0 Luego, el punto A es: A (1,, )
Considera el punto y la recta r dada por a) Halla la distancia de P a r. b) Determina la ecuación general del plano que pasa por P y contiene a r. MATEMÁTICAS II. 015. RESERVA 4. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. a) Calculamos el plano perpendicular a r y que pasa por P x y D 0 1110 D 0 D 1 x y 1 0 Calculamos el punto de corte de la recta con el plano 1 1t 1 ( t) 1 0 t Luego el punto de corte es: M t t 1 1,,1,,1 La distancia es el módulo del vector 1 1 PM,,, luego: PM 1 1 9 3 '1 u b) Pasamos la recta a paramétricas: x t x y 0 y t z 10 z 1 La recta pasa por el punto A (0,0,1) y su vector director es u (1, 1,0). El plano que nos piden viene definido por el punto A (0, 0,1), el vector u (1, 1,0) y el vector AP (1,0, ) luego, su ecuación es: x 1 1 y 1 0 0 x y z 1 0 z 1 0
x 1 x y1 Sea r la recta definida por y 1 y s la recta dada por. z 1 z a) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a las rectas dadas. b) Calcula la distancia entre r y s. MATEMÁTICAS II. 015. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. Escribimos las ecuaciones de las dos rectas en forma paramétrica. x 1 x1s r y 1 y s y s z t z 1 A 1,1, t y cualquier punto de la recta s Cualquier punto de la recta r tendrá de coordenadas tendrá de coordenadas B 1 s, s, 1 El vector Como el vector AB tendrá de coordenadas: AB s, s 1,1 t AB tiene que ser perpendicular a la recta r y s se debe cumplir que: AB u 0 ( s, s 1,1 t) (0, 0,1) 0 1 t 0 t 1 1 AB v 0 ( s, s 1,1 t) (1,1, 0) 0 s s 1 0 s Luego, los puntos A y B que están a mínima distancia tienen de coordenadas a) La recta que nos piden viene definida por: A 1,1, 1 y A 3 1 1,1, 1 ; B,, 1 1 1 AB,,0. Su ecuación es: b) La distancia es el módulo del vector x 1 y 1 z 1 1 1 0 1 1 AB,,0 d AB 1 1 1 0 0'7071 u
Considera el plano de ecuación mx 5 y z 0 y la recta r dada por a) Calcula m y n en el caso en el que la recta r es perpendicular al plano. b) Calcula m y n en el caso en el que la recta r está contenida en el plano. MATEMÁTICAS II. 015. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 4.OPCIÓN B. x 1 y z 1 3 n a) Si la recta es perpendicular al plano, el vector director de la recta y el vector normal del plano son paralelos, luego, sus componentes son proporcionales. m 5 m 3 ; n 5 3 n b) Para que la recta r esté contenida en el plano π, el punto de la recta debe pertenecer al plano y el vector director de la recta y el vector normal del plano deben ser perpendiculares, es decir, su producto escalar debe valer 0. Sustituimos el punto en la ecuación del plano. m( 1) 50 1 0 m El producto escalar de los vectores ( m,5,) y (3, n,) debe valer cero, luego: m35n 0 3m 5n 4 0 6 5n 4 0 n