LECCIÓN Lección : Representación gráfica de algunas epresiones algebraicas En la lección del curso anterior usted aprendió a representar puntos en el plano cartesiano y en la lección del mismo curso aprendió a usar ciertas epresiones algebraicas para referirse a relaciones numéricas. En esta lección vamos a ver cómo representar gráficamente algunas relaciones algebraicas. Recuerde que para representar puntos en el plano se consideran dos ejes perpendiculares: uno horizontal (eje de las ) que se llama eje de las abscisas, y otro vertical (eje de las y), que es el eje de las ordenadas. Cada eje representa una recta numérica; donde se cortan ambos ejes se ubica generalmente el punto (, ) y la ubicación en el plano de cualquier otro punto queda determinada por dos valores o coordenadas: el valor de y el valor de y. Por ejemplo, veamos la representación de los puntos A, B, C y D, cuyas coordenadas son:
GUÍA DE MATEMÁTICAS III A = (, ) B = (, ) C = (, ) D = (, ) - D - C - A - - - - y B - Algunas veces nos interesa representar conjuntos de puntos cuyas coordenadas están relacionadas de algún modo entre sí. Para ver cómo es esto analizaremos un ejemplo. Vamos a representar algunos de los puntos cuyas coordenadas presentan la siguiente relación: para cada punto el valor de y es el doble del valor de. Esta relación puede epresarse de la siguiente manera: y = Observe que en este caso no hay nada que nos diga cuál debe ser el valor de las letras que están en la epresión; cuando esto ocurre significa que se está hablando de cualquier par de valores que cumpla la relación establecida; aquí decimos que la letra y la letra y son variables. Algunos de los valores que pueden tomar las letras y y que mantengan la relación mencionada son: =, y = ; =, y = ; =, y = Para encontrar otras parejas de valores que cumplan esa relación, le damos un valor cualquiera a y calculamos el valor de y multiplicando por ese valor. Por ejemplo si decimos que vale, encontramos que y = =.
LECCIÓN Para registrar los valores de y de y, puede utilizarse una tabla como la que se muestra a la derecha. En la primera columna se ponen los valores de (aquí se puede poner cualquier valor), y en la segunda columna los valores que calculamos para y, a partir de los que escogimos para. En la tabla hemos puesto las parejas de valores que hemos mencionado ya y algunas más. Cada una de las parejas de valores (, y) así encontradas puede tomarse como las coordenadas de un punto en el plano cartesiano. Las parejas de valores que aparecen en la tabla se pueden entonces representar como puntos: esto se muestra en la gráfica siguiente. - - y = = (-) = - = = = (- )= - = y 9 - - - - - - - -
GUÍA DE MATEMÁTICAS III Si colocamos una regla sobre los puntos de la gráfica, es fácil ver que todos quedan sobre una misma recta, como se muestra en la gráfica de la derecha. Nosotros sólo hemos encontrado algunos pares de valores que cumplen la relación planteada pero hay infinidad de ellos, de hecho las coordenadas de cualquier punto - - - - que pertenezca a la recta cumplen con la relación dada, y cualquier punto cuyas coordenadas cumplan esa relación está en la recta. - - 9 - - y La relación que acabamos de describir y representar gráficamente es una función, y decimos que la recta es la representación gráfica de esa función. Veamos un ejemplo de una relación que también es función pero cuyos puntos no pertenecen a una recta. Ahora diremos que el valor de y es igual al cubo de, es decir: y = Para encontrar los valores vamos a construir una tabla como la anterior, eligiendo algunos valores de y encontrando cuánto vale la y correspondiente a cada uno.
LECCIÓN y = - (-) = - -. (-.) = -.9 -. (-.) = -.9 - (-) = - -. (-.) = -. =.. =. =.. =.9.. =.9 = Con los valores encontrados podemos ubicar los puntos del plano: 9 y Es fácil ver que los puntos representados no pertenecen a una recta. Incluso, si unimos los puntos de izquierda a derecha en el orden que aparecen, podemos ver que pertenecen a una curva. Esa curva representa gráficamente a la función - - - - - - - - - - y = - -9 9
GUÍA DE MATEMÁTICAS III 9 y Cuando en la epresión algebraica las variables tienen eponente uno (recuerde que en ese caso el eponente no se escribe), la representación corresponde a una recta, y si el eponente es distinto de uno, se obtiene una curva. - - - - - - - - - - - Si sabemos que la gráfica es una recta, para dibujarla sólo necesitamos encontrar dos puntos, pero si la gráfica es una curva para poder trazarla debemos ubicar varios puntos, y cuantos más puntos encontremos más fácil será dibujar la curva. -9 Ejercicio Escriba en lenguaje algebraico las siguientes relaciones entre los valores de la variable y de la variable y. a) Un número es igual a la suma de más el doble de otro. (Llame y al primer número mencionado.) b) La suma de dos números es igual a. c) Un número es igual al cuadrado de otro. (Llame y al primer número mencionado.) d) Un número menos la mitad de otro es. (Llame y al primer número mencionado.) e) Un número es igual al cuadrado de la suma de otro número más. (Llame y al primer número mencionado.)
LECCIÓN Ejercicio Para cada una de las relaciones del ejercicio, encuentre al menos seis parejas de números que cumplan esa relación, represente gráficamente los puntos y trace la recta o curva que pasa por ellos. Utilice un par de ejes distintos para graficar los puntos correspondientes a cada función. NOTA: Aunque se puede dar cualquier valor a, para que usted pueda verificar sus resultados con las soluciones del libro, le sugerimos que en cada uno de estos ejercicios le asigne a los valores que se dan a continuación:,, -,,,, ; además de éstos, usted puede asignar los valores que quiera. Ejercicio Indique para qué relaciones del ejercicio anterior el conjunto de puntos queda sobre una misma recta y para cuáles no.