TEMA 6 MOVIMIENTO OSCILATORIO CONSEJOS PREVIOS A LA RESOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS Ten bien presente la diferencia entre dos clases de cantidades: las que representan propiedades físicas básicas del sistema y las que describen lo que ocurre cuando el sistema se pone en movimiento de una forma específica. Las propiedades físicas incluyen la masa m, la constante de fuerza k y las cantidades derivadas de ellas, como el período T, la frecuencia ν y la frecuencia angular ω=πν. En algunos problemas, m o k o ambos pueden determinarse a partir de otros datos del sistema. Las cantidades que describen un movimiento en particular incluyen la amplitud A, la velocidad máxima v máx, el ángulo de fase δ y la posición, velocidad o aceleración en un instante dado. Si necesitas información detallada sobre posiciones, velocidades y aceleraciones en diversos instantes tendrás que usar las ecuaciones: x=acos(ωt+δ) v=-ωasen(ωt+δ) a=-ω Acos(ωt+δ) Si la posición y velocidad iniciales, x 0 y v 0 son conocidas, se puede determinar el ángulo de fase y la amplitud a partir de las ecuaciones: v 0 δ = arctg ωx0 A = x 0 0 v + ω Dichas ecuaciones se obtienen de las anteriores teniendo en cuenta que para t=0 x=x 0 v=v 0. Si el cuerpo tiene un desplazamiento inicial x 0 pero v 0 =0 la amplitud es A=x 0 y el ángulo de fase es δ=0; si el cuerpo tiene una velocidad inicial pero no un desplazamiento v inicial, entonces = 0 π A y δ = (ten cuidado en expresar la fase inicial en radianes). ω 1 1 1 La ecuación para la energía E = mv + kx = ka = cte es una relación alternativa muy útil entre la velocidad y la posición, sobre todo cuando también se piden energías. Si el problema implica una relación entre la posición, la velocidad y la aceleración sin referencia al tiempo, suele ser más fácil usar la ecuación F=ma=-kx (segunda ley de Newton) o la ecuación de conservación de la energía que acabamos de poner, que usar la expresión general para x, v y a en función de t. Dado que en la ecuación de la energía intervienen x y v no podrás conocer el signo de x ni de v, y deberás deducirlo de la situación. Por ejemplo, si el cuerpo se mueve desde la posición de equilibrio al punto de desplazamiento positivo máximo, x y v serán positivas. A menudo encontrarás problemas en los que se pide demostrar que un tipo de movimiento es armónico simple. Puedes demostrarlo a través de dos métodos: aplicando la segunda ley de Newton (ΣF=ma) o mediante la conservación de la energía. En ambos casos a lo que debes llegar es a una ecuación del tipo:
x + ω x = 0 x = ω x x = ctex donde hemos puesto la variable x, pero puede aparecer la variable y, z, θ,... En la ecuación debemos tener la misma variable sin derivar y derivada dos veces respecto del tiempo, y lo que acompaña a la variable sin derivar tiene que ser una constante (la frecuencia angular del movimiento elevada al cuadrado). Como ya hemos explicado en teoría, la aceleración x y el desplazamiento x tienen sentidos opuesto y sus módulos son proporcionales. En el caso en que apliques la segunda ley de Newton, conviene tener presente siempre la condición de equilibrio (ΣF=0), ya que a veces aparece en la ecuación del movimiento y ésta puede simplificarse. Si optas por la conservación de la energía deberás plantear la energía del sistema en un momento cualquiera (genérico, no particular). En dicha ecuación dado que aparecerá la energía cinética tendrás velocidades. A continuación, como la energía total es constante, su derivada respecto del tiempo será nula. Deriva la ecuación respecto del tiempo e iguálala a cero. Los términos de velocidades se transformarán en términos de aceleraciones y la transformación de la ecuación obtenida te llevará a la solución. Oscilaciones amortiguadas Cuando te enfrentes a un problema de oscilaciones amortiguadas no debes olvidar que hay tres tipos de amortiguamiento, por lo que si el enunciado no lo especifica, deberás determinar antes de nada a qué tipo de amortiguamiento se refiere cada problema. Determina pues ω 0 y β, compáralos y céntrate sólo en el tipo de amortiguamiento que tengas. A continuación únicamente tendrás que aplicar las ecuaciones correspondientes. En algunos casos te darán las amplitudes correspondientes a distintos ciclos (consecutivos o no). Siempre que el movimiento sea subamortiguado puedes definir una amplitud: A=A 0 e -βt Puedes aplicar esta ecuación a los instantes en que te dice el enunciado y hacer el cociente de las ecuaciones obtenidas. Ten en cuenta que el tiempo transcurrido entre dos oscilaciones consecutivas es igual a un período. Al hacer el cociente de las expresiones se te simplificará la constante A 0 y podrás relacionar las amplitudes de los ciclos con el parámetro de amortiguamiento y el período. Oscilaciones forzadas En el caso de las oscilaciones forzadas no debes olvidar que a menudo vienen acompañadas del fenómeno del amortiguamiento, de modo que no deberás olvidar lo dicho en el apartado anterior. En general se tratará siempre de movimiento subamortiguado, por ser el más sencillo de los tres. En contra de lo que pueda parecer, estos problemas son los más sencillos de todos, ya que normalmente no tendrás más que leer bien el enunciado para identificar cada uno de los datos y aplicar las ecuaciones correspondientes. No obstante, sí puede ocurrir que sean largos.
Oscilaciones acopladas Los problemas de oscilaciones acopladas se pueden resolver de modo análogo a como hiciste los problemas de movimiento armónico simple. Aísla el sistema en la posición de equilibrio y fuera de ella, y transforma la ecuación hasta que puedas llegar a una del tipo: x + ω x = 0 A partir de esta ecuación podrás determinar la frecuencia de la oscilación sin ninguna dificultad. Tendrás que revisar el tema correspondiente a Dinámica de la partícula de modo que puedas hacer correctamente el diagrama de sólido libre.
TEMA 6 MOVIMIENTO OSCILATORIO CONSEJOS PREVIOS A LA RESOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS 1.- Las dos masas de la figura se deslizan por sendas superficies horizontales exentas de rozamiento. Los resortes están sometidos a tracción en todo momento y las poleas son pequeñas y exentas de rozamientos. Escribir la ecuación diferencial del movimiento para la posición x(t) del bloque de 10 kg y determinar la frecuencia angular y el período del movimiento vibratorio resultante. ( Sol : x + 181,818 x = 0 ; ω 0 =13,484 rad/s; T=0,466 s).- La figura muestra un péndulo de longitud L con una lenteja de masa m. La lenteja está unida a un muelle de constante k como se indica. Cuando la lenteja está directamente por debajo del soporte del péndulo, el muelle tiene su longitud natural de equilibrio. a) Deducir una expresión para el período de este sistema oscilante para vibraciones de pequeña amplitud; b) suponer que m=1 kg y L es tal que en ausencia del muelle el período es s. Cuál es la constante del muelle k si el período del sistema oscilante es 1,0 s? ml Sol : a ) T = π ; b ) k = 9,61 N / m kl + mg 3.- Sea un reloj de péndulo (puede tratarse como un péndulo simple) consistente en una esfera de aluminio (ρ=700 kg/m 3 ) de 5 mm de radio suspendida de una cuerda de 1 m de longitud. Dicho reloj funciona correctamente en un lugar en que la gravedad vale g=9,8 m/s. Sin embargo, los dueños tienen que trasladarse de ciudad, y al moverlo al nuevo domicilio, de mayor altitud, observan que atrasa 10 s cada día. a) Cuál es el valor de la gravedad en esta ciudad? b) Qué solución propondrías para que el reloj funcionara correctamente? Justifica con unos cálculos tu propuesta. c) A continuación se va a ver cómo afecta la viscosidad del aire al movimiento del péndulo. Consideramos que la fuerza debido a la viscosidad η que actúa sobre una esfera de radio R y velocidad v es igual a F=- 6πηRv, y para el aire a 0ºC η=1,78 10-5 kg/ms. Qué tipo de amortiguamiento tendría el péndulo? Escribe la ecuación del movimiento suponiendo que la amplitud inicial es de º y que el origen de tiempos se toma cuando la velocidad es nula; d) Cuál es el tiempo necesario para que la amplitud se reduzca un 10% de la inicial? (Sol: a) g =9,7986 m/s ; b) acortar el péndulo en 0,31 mm; c) movimiento 0,0349e 5,933 4 10 t θ = sen 3,131t + 1,571 ; d) t= min 58 s) subamortiguado; ( ) 4.- El sistema mostrado en la figura (visto desde arriba) consta de una masa m=00 g unida a un muelle (k=1 kn/m) que puede estirarse a lo largo de la guía en la que está contenido. Todo el sistema descansa en una plataforma horizontal capaz de girar. Se considera despreciable el rozamiento de la masa con la plataforma y con las paredes de la guía. La longitud en reposo del muelle es l 0 =35 cm.
A continuación se imprime una velocidad angular ω constante a la plataforma giratoria, lo que produce que el muelle se estire una cierta cantidad. a) Realiza el diagrama del cuerpo libre de la masa en la situación en la que la plataforma está en reposo; b) realiza el diagrama del cuerpo libre de la masa cuando la plataforma está girando con velocidad angular ω. Cuál es la aceleración de la masa en esta situación? c) Determina el estiramiento del muelle cuando ω=6 r.p.s. A continuación se desplaza la masa m una cantidad adicional x a lo largo de la guía. d) Teniendo en cuenta la expresión de la aceleración absoluta de una partícula: a=a 0 +αxop+ωx(ωxop)+ωxv rel +a rel discútase el movimiento absoluto ulterior de la masa, considerando el posible movimiento relativo de dicha masa y el movimiento del sistema en el que está contenida. e) Determina el valor del periodo de las oscilaciones de este sistema cuando ω=6 r.p.s. (Sol: b) an = ω 0 ( l0 + l0 ) ; c) l 0 =0,140 m; d) a = [ x ω ( lequil x )] + i + ωx j ; e) T=0,105 s) 5.- Un bloque de 13,6 kg está soportado por el dispositivo de muelles que se muestra en la figura, siendo k 1 =3,5 kn/m, k =,1 kn/m y k 3 =,8 kn/m. El bloque puede desplazarse verticalmente sin rozamiento. Si desde su posición de equilibrio sufre un desplazamiento descendente de 44 mm y se suelta, hallar: a) la constante equivalente; b) la frecuencia y el periodo del movimiento subsiguiente; c) la velocidad y aceleración máximas del bloque. Supongamos ahora que sobre el bloque sí que actúa una fuerza de rozamiento que es proporcional a la velocidad y cuya constante de proporcionalidad es igual a 40 N s/m. d) escribir la ecuación del movimiento del bloque; e) calcular su velocidad y aceleración cuando haya transcurrido un segundo desde que se suelta. (Sol: a) k eq =411,5 N/m; b) ν=,768 s -1 ; T=0,361 s; c) v máx =0,765 m/s; a máx =13,309 m/s ; d) y=0,044e -1,471t cos17,33t; e) v=0,174 m/s; a=-0,669 m/s )
TEMA 6 MOVIMIENTO OSCILATORIO PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CASA Y ENTREGAR 1.- Dos resortes de longitud natural 0, m y de constantes recuperadoras k 1 =1 N/m y k =3 N/m respectivamente, están enganchados por uno de sus extremos a un bloque que puede desplazarse sin rozamiento sobre una superficie horizontal. Los otros extremos de los resortes se unen a dos postes fijos situados a 0,1 m de los extremos de los resortes, tal como se indica en la figura. a) Encontrar la posición de equilibrio del bloque cuando se hayan sujetado los resortes a los postes fijos; b) demostrar que la constante del conjunto de ambos resortes vale 4 N/m; c) si desplazamos ligeramente el bloque de la posición de equilibrio y lo dejamos oscilar, cuál sería el período de dicha oscilación si la masa del bloque es de 0,1 kg? (Sol: a) x 1 =0,35 m respecto de la izquierda; c) T=0,99 s).- Un cuerpo de masa 1,5 kg oscila en el aire con una frecuencia angular de 3 rad/s. La posición del objeto para t=0 s es 8,5 cm respecto de la posición de equilibrio, y su velocidad en ese momento es -0 cm/s. a) Determinar la amplitud y la constante de fase para este movimiento; b) escribir la ecuación que define el movimiento; c) a continuación se introduce el sistema en un medio viscoso que ofrece una resistencia de 3,15v N, siendo v la velocidad del objeto. Razonar el tipo de amortiguamiento, calcular el parámetro, la frecuencia angular de la oscilación y la ecuación del movimiento sabiendo que para un tiempo t=0 su posición es de 6 cm, y para t= s su posición es de 0,00 cm. (Sol: a) A=10,80 cm; ϕ 0 =38,11º; b) y=10,80sen(3t+,36) cm; c) amortiguamiento débil; β=1,05 s -1 ; ω=,81 rad/s y=9,54e -1,05t sen(,81t+0,68) cm)