VALORACIÓN DE MERCANCÍAS ALMACENABLES. vs. MERCANCÍAS NO ALMACENABLES

VALORACIÓN DE MERCANCÍAS ALMACENABLES vs. MERCANCÍAS NO ALMACENABLES

MERCANCÍAS Y RENDIMIENTO DE CONVENIENCIA El concepto de rendimiento de conveniencia fue analizado por primera vez por Kaldor y Working que analizaron la teoría del almacenamiento. Rendimiento de conveniencia: captura el beneficio de poseer la mercancía menos el coste de almacenarla. Brennan & Schwartz (195) introdujeron el concepto de rendimiento de conveniencia para la valoración de derivados sobre mercancías. En particular derivaron la relación entre el precio de contado ( spot, S(t)) y el precio de un contrato de futuro que vence en T, F(t,T): F ( ) ( ) S, t, T = S e r δ ( T t) t Donde el tipo de interés sin riesgo r, y el rendimiento de conveniencia δ asociado a la mercancía son no estocásticos. Nota: Con tipos de interés constantes contratos de futuros y a plazo tienen el mismo precio

Esta relación tiene varias consecuencias importantes: 1.- Establece que existe una relación entre el precio spot en t y el precio del contrato forward que vence en T (T > t). No pueden tomar valores arbitrarios. Si el supuesto de r y δ constante es cierto, a partir del conocimiento del precio spot podemos obtener toda la curva forward. 2.- Lleva a interpretar el rendimiento de conveniencia como un dividendo continuo recibido por el propietario de la mercancía. 3.- Si hacemos el supuesto adicional de que el precio sigue un proceso GBM, la fórmula del precio de una opción sobre un activo que paga dividendos, nos da el precio de una opción sobre una mercancía como gas o petróleo. 4.- Permite obtener la cartera de cobertura de una opción usando de forma indiferente el precio spot o del contrato de futuro

Uno de los principales problemas de valorar opciones sobre electricidad es la no almacenabilidad de la electricidad, que imposibilita la extensión del concepto de renta de conveniencia al caso de la electricidad: a.- Por definición el rendimiento de conveniencia es la diferencia entre dos cantidades: el rendimiento positivo derivado de poseer la mercancía para su entrega y el coste de almacenarla. Dado que es imposible almacenar la electricidad estas dos cantidades no pueden especificarse. b.- La no almacenabilidad de la electricidad también rompe la relación de equilibrio entre el precio de contado y el precio de futuros sobre acciones, índices, monedas,... El argumento de no arbitraje utilizado para la relación de cash and carry no es válido para el caso de la electricidad, dado que requiere la compra del activo subyacente en t y que se mantenga hasta el vencimiento del contrato de futuro

Valoración: Relación de Cash and Carry Denotemos por S(t) al precio de contado de la mercancía en el momento t. Denotemos como F(t,T) al precio del contrato de futuros en t con vencimiento en T, s coste de almacenar la mercancía y δ al rendimiento de conveniencia (ambos continuos). Consideremos las siguientes transacciones: Compra de la mercancía en t y mantenerlo hasta T. Financiar esta compra y el coste de almacenamiento mediante un préstamo. Vender el contrato de futuros con vencimiento en T. Veamos los pagos de estas transacciones. TRANSACCIÓN Fecha t Fecha T Compra spot - e δ (T-t) S(t) + S(T) Préstamo + e δ (T-t) S(t) - S(t) e (r-δ )(T-t) Venta Futuros 0 + F(t,T) - S(T) Resultado Neto 0 +F(t,T) - S(t) e (r-δ )(T-t)

Hay que notar que todos los precios que determinan los flujos de caja en T son conocidos y son fijos en t. Por tanto, este conjunto de transacciones no tienen riesgo. Dado que esta transacción no supone ningún pago en t, para evitar la posibilidad de una oportunidad de arbitraje tiene que darse la situación de que en T los flujos de caja también sean 0. Por tanto, para evitar la posibilidad de arbitraje debe cumplirse que la siguiente relación entre precio de contado, precio de futuro, rendimiento de conveniencia, tipos de interés y costes de almacenamiento debe darse: F ( ) ( * ) S, t, T = S e r δ ( T t) t

MERCANCÍAS ALMACENABLES VS. NO ALMACENABLES - Mercancías no almacenables: electricidad, clima,... - La no almacenabilidad tiene un gran impacto sobre la dinámica de precios y sobre la valoración de contratos a plazo - Los stocks (posibilidad de almacenar) mitiga la volatilidad del precio: DEMANDA BAJA - OFERTA ALTA ACUMULACIÓN DE STOCKS SE MITIGA LA DISMINUCIÓN DE PRECIOS DEMANDA ALTA -OFERTA BAJA UTILIZACIÓN DE STOCKS SE MITIGA EL INCREMENTO DE PRECIOS

- En mercados para mercancías almacenables, los inventarios (ó stocks ) juegan un papel crucial en la formación del precio. - Sin la posibilidad de almacenar, los inventarios ( stocks ) no pueden suavizar los efectos de los shocks de demanda y oferta - Por tanto, el precio de las mercancías no almacenables (básicamente Electricidad) puede ser EXTREMADAMENTE volátiles.

NORDPOOL (4/5/1992-30/11/1999) 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 0.010 0.008 0.006 0.004 0.002 0.000 0 100 200 300 400

ARGENTINA (1/1/1995-30/9/2000) 125 100 75 50 25 0 1995 1996 1997 1998 1999 2000 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 20 40 60 80 100

AUSTRALIA (Victoria) (1/7/1994-12/12/1999) 560 480 400 320 240 160 80 0 1994 1995 1996 1997 1998 1999 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 0 100 200 300 400

PJM (Enero 1997 - Marzo 2000 ) 600 500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 100 200 300 400 500

300 APX (Enero 2001 Septiembre 2002) 250 200 150 100 50 0 1/01/01 7/20/01 2/05/02 8/24/02 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 0 50 100 150 200 250

VALORACIÓN CONRATOS A PLAZO PARA MERCANCÍAS NO-ALMACENABLES - Debido a la imposibilidad de almacenar, es imposible realizar arbitraje del tipo cash-and-carry ; no puedes mantener un stock de electricidad desde la mañana a la noche - Esto supone una gran variación intra-diaria en los precios de las mercancías no almacenables con variación intradiaria sistemática en demanda u oferta. DEMANDA = OFERTA en cada instante del tiempo. - Por tanto la valoración mediante métodos de de valoración en ausencia de arbitraje del tipo cash - and -carry no son válidos. En otras palabras, técnicas de valoración preference-free no son posibles en el caso de mercancías no almacenables. Papel de la prima de riesgo.

Por tanto, para la obtención (estimación) de precios (y curvas) forward para mercancías no almacenables debemos utilizar otro tipo de estrategia. PRECIO CONTRATO FUTURO = PRECIO ESPERADO + PRIMA DE RIESGO PR = t E Q = F ( ) P S, t, T E ( S, t, T ) ( ) P S, t, T E ( S, t, T ) = NOTA: El precio del contrato de futuros será igual al precio spot esperado (bajo la probabilidad histórica) en el caso de que no haya prima de riesgo (la tasa de descuento ajustada por riesgo es igual al tipo de interés libre de riesgo).

Cuáles son los factores que determinan la prima de riesgo? Respuesta clásica: Keynes y Hicks - las posiciones tomadas por especuladores y coberturistas determina si el precio del contrato de futuro es mayor ó menor que el precio futuro esperado (bajo la probabilidad empírica) Respuesta específica para el mercado eléctrico: Bessembinder y Lemmon, JF, 2002; Pirrong y Jermakyan, 2000; Longstaff y Wang, 2002. - la importancia relativa de los saltos ( spikes ) es la variable que gobierna la relación entre precio contrato de futuros y precio futuro esperado. Saltos = Asimetría positiva distribución de precios.

Respuesta Clásica: Keynes y Hicks Coberturistas posiciones Cortas y Especuladores posiciones Largas Precio Contrato de Futuros < Precio Futuro Esperado (Los productores de la mercancía (coberturistas) quieren asegurarse el precio, toman posiciones cortas en futuros. Los coberturistas están dispuestos a perder dinero en media, pero están dispuestos a aceptarlo ya que el contrato de futuros reduce sus riesgos. Los especuladores requieren una compensación por soportar el riesgo) Coberturistas posiciones Largas y Especuladores posiciones Cortas Precio Contrato de Futuros > Precio Futuro Esperado Evidencia Empírica Mercancías Almacenables: Precio Contratos Futuros < Precio Futuro Esperado. Diferencia no excesivamente grande.

Evidencia Empírica Sector Eléctrico: - La Prima de Riesgo viene determinada en gran medida por el componente de salto. (Saltos son positivos). - En mercados donde no se observan saltos el tamaño de la prima de riesgo no es tan importante (caso NordPool) - En Mercados con mayor importancia del componente de salto. (ejemplo PJM), prima de riesgo muy importante. - El componente de salto puede ser estacional (meses de mayor demanda más probabilidad de observar spikes, convexidad de la supply stack ). Si el componente de salto es estacional también lo será la prima de riesgo.

- En el caso del mercado PJM: Precio contrato Futuros > Precio Spot Futuro Esperado Estacionalidad en la prima ligada a la estacionalidad en saltos. - Los coberturistas quieren eliminar el riesgo de tener que comprar electricidad en el mercado al contado en época de spikes posiciones largas. Demanda de cobertura (futuros) incrementa su precio. - Las condiciones que generan la existencia (mayor probabilidad / mayor intensidad) serán las que expliquen la existencia de prima de riesgos - Poca integración mercado eléctrico y mercado financiero.

TAMAÑO DE LA PRIMA DE RIESGO El tamaño de la prima de riesgo depende de, a) la demanda neta de cobertura y b) el grado de aversión al riesgo de los especuladores. Cuanto mayor sea la presión de demanda de cobertura mayor será la prima de riesgo (en valor absoluta). Cuanto más aversos al riesgo sean los especuladores mayor será la prima de riesgo (en valor absoluto). El grado de aversión al riesgo de los especuladores depende de a) la integración del mercado de futuros con el resto de mercados financieros y b)la correlación del precio del futuro y la cartera de mercado. Normalmente la prima de riesgo será menor si el mercado de futuros está integrado con los mercados financieros ya que la integración hace que especuladores más diversificados entre en el mercado; la diversificación reduce la exposición al riesgo del especulador.

ESTIAMCIÓN PRIMA DE RIESGO: PREDICCIÓN PRECIO Por tanto, la prima de riesgo es la diferencia entre el precio de futuro y el precio esperado. La prima de riesgo también afectará la evolución del precio de futuro. Dado que la prima de riesgo afecta a los costes de cobertura y los beneficios de la especulación, ambas actividades requieren la estimación del precio esperado. Por tanto, predicción del precio spot es parte muy importante de las estrategias de cobertura y las actividades de especulación. Para la mayoría de mercancías y bienes es difícil obtener precios estimados con precisión. Quizás la electricidad y el clima sean las excepciones...

LEMA DE ITO ( ) ( )db t x b dt t x a dx,, + = Supongamos que la variable x sigue un proceso de Ito El Lema de Ito muestra que la función G(x, t) sigue el proceso: bdb x G dt b x G t G a x G dg + + + = 2 2 2 2 1

Ejemplo: ds = µ Sdt + σsdb Por tanto: a(x,t) = µs y b(x,t) = σs Supongamos G = ln S. Por tanto tenemos: G S = 1 S ; 2 G 2 S = 1 S 2 ; G t = 0 Aplicando el Lema de Ito obtenemos: dg = 2 σ µ dt + σdb 2

El cambio de ln S entre el momento actual t y un momento futuro T, sigue una distribución Normal. t T T N S S t T σ σ µ, 2 ln ln 2 ó de forma equivalente, la distribución del log-precio en T es: + t T T S N S t T σ σ µ, 2 ln ln 2

MODELO 1 FACTOR: Brennan y Schwartz (1985) Precio Spot S bajo la medida de probabilidad histórica sigue un proceso Browniano Geométrico: ds = µ Sdt + σsdb Si definimos x = log S y aplicamos el Lema de Ito, obtenemos: dx = 1 2 µ σ dt + σdb 2 En este modelo por tanto, el precio spot es no-estacionario.

El proceso ajustado por riesgo en este caso viene dado por: ds = ( r δ ) Sdt + σsdb La versión logarítmica viene dad por la ecuación: dx = r 1 2 δ σ dt + σdb 2 En este caso de cumple que r - δ = µ - λ, donde λ es el precio de mercado del riesgo del commodity. Supuesto: la mercancía en cuestión es un activo negociado

Este modelo satisface la relación de cost-of-carry de forma que el precio del contrato de futuro viene dado por: F ( ) ( ) S, t, T = S e r δ ( T t) t

MODELO 1 FACTOR: Schwartz, 1997 Proceso con reversión a la media del tipo Ornstein - Uhlenbeck: ds ( µ S ) Sdt + σsdb = k ln Si definimos x = ln S y usando el Lema de Ito podemos re-expresar la ecuación como: dx = ( µ x) dt σdb α + µ ˆ = µ λ 2 σ 2α

MODELO 2-FACTORES: Gibson & Schwartz (1995); Schwartz (1997) ds = ( r δ ) Sdt + σsdb ( ) dt dbδ d δ = + α δ δ σ δ δ

PROCESOS ESTACIONARIOS - NO ESTACIONARIOS Geometric Brownian Motion: Proceso NO estacionario Proceso de Reversión a la Media: Proceso Estacionario