Tema 9. ampos escalares y campos vectoriales. Integrales de línea e integrales de supercie Índice de contenidos del tema 9 1. ampos escalares y campos vectoriales 2. Gradiente, laplaciano, divergencia y rotacional 3. Integración de campos escalares y vectoriales sobre curvas y supercies 4. Teoremas de Green, de tokes y de Gauss (o de la divergencia) 5. ampos vectoriales conservativos a) Teorema fundamental del álculo pare integrales de línea de campos vectoriales conservativos b) Potencial de un campo vectorial conservativo ampos escalares y campos vectoriales En la realidad es natural trabajar con magnitudes escalares y vectoriales en regiones conexas planas o del espacio. Denición de campo escalar y campo vectorial. ea A un conjunto conexo. Un campo escalar es una función real de varias variables en la que a cada punto de su dominio se le asigna el valor que toma una determinada magnitud escalar sobre dicho punto, f : A R n R. Un campo vectorial es una función vectorial de varias variables en la que a cada punto de su dominio se le asigna el vector correspondiente a una determinada magnitud vectorial que actúa sobre dicho punto, F : A R n R n.
2 Observaciones: 1. Los conceptos anteriores tienen sentido físico para n = 2 y 3. 2. En ocasiones podrán aparecer campos vectoriales de la forma F : A R m R n, con m n. omo por ejemplo, el rotacional de un campo vectorial en R 2, rot F : A R 2 R 3, que ya se verá más adelante. 3. En el concepto de campo vectorial se maniesta cláramente la dualidad punto vector para los elementos de R n : en un campo F los elementos del dominio se interpretan como puntos, mientras que los de la imagen se interpretan como vectores (que se aplican sobre el punto del dominio del que son imagen). Ejemplos de campos escalares y vectoriales 1. ampos escalares: los que proporcionan la densidad, los que proporcionan la temperatura, los que proporcionan la altura, etc. 2. ampos vectoriales: ampos de fuerzas: campos eléctricos, campos gravitatorios, etc. ampos de velocidades: movimiento del viento junto a una supercie aerodinámica, corrientes oceánicas, velocidad de un uido, etc. ampos de ujo: el que describe un ujo de calor, etc. Ejemplo de campo vectorial. ampo gravitacional. La ley de gravitación de Newton establece que F = mmg r 2. ea (x, y, z) el vector de posición del objeto de masa m, y M concentrada en el núcleo de la Tierra (origen de coordenadas), entonces r = (x, y, z), por tanto la fuerza de gravedad que actua sobre este objeto m, que es atractiva, es F (x, y, z) = F (x, y, z) (x, y, z) = mmg 3 (x, y, z). (x, y, z)
Representaciones grácas ampos escalares Grácas de funciones reales (n = 2). urvas de nivel (n = 2). Ejemplo: Mapas topográcos. upercies de nivel (n = 3). ampos vectoriales urvas de nivel (n = 2). upercies de nivel (n = 3). ampos de direcciones. líneas de corriente, Líneas de ujo: líneas de fuerza, curvas integrales, etc. Ejemplo: Trayectorias de máxima pendiente. Denición (Representación gráca mediante conjuntos de nivel). ea F : A R n R n, y k R +. e dene el conjuntos de nivel k de F como el conjunto de nivel k del campo escalar f = F, B k = {(x 1, x 2,..., x n ) A R n : F (x 1, x 2,..., x n ) = k}. Estos se denominan curvas de nivel cuando n = 2, y supercies de nivel cuando n = 3. La representación de curvas y supercies de nivel de campos vectoriales no se limita al conjunto de nivel, sino que junto con el conjunto de nivel también se representan algunos de los vectores F (a) con a B k, aplicados sobre el propio punto a, vectores que tienen en común su longitud o norma (que es k). Ejemplo 1 ea F : R 2 R 2 denido por F (x, y) = ( x/2, y/2). Para cada k >, la curva de nivel k de F es la siguiente: k = { (x, y) R 2 : ( x/2, y/2) = k } = { (x, y) R 2 : x 2 + y 2 = (2k) 2}. Los vectores F (x, y), con (x, y) k, aplicados sobre (x, y), apuntan hacia el origen de coordenadas y su longitud k es la mitad de la del radio de la circunferencia en la que se aplica, que es 2k. 3 k=8 8 k=3 4 k=1-4 -4 4 8 Figura 1: urvas de nivel y campo de direcciones del campo vectorial F (x, y) = ( x/2, y/2)
4 Denición. Una línea de ujo de F : A R 3 R 3 es una curva r(t) A tal que Observe: r (t) = F (r(t)). (a) on las trayectorias seguidas por una partícula cuyo campo de velocidad es el campo vectorial dado. (b) Los vectores de un campo vectorial son tangentes a las líneas de ujo. Procedimiento para obtener analíticamente las líneas de ujo i se desea obtener la línea de ujo que pasa por cierto punto c del dominio de F, se tendrá el problema de valores iniciales r i(t) = F i (r 1 (t), r 2 (t), r 3 (t)), i = 1, 2, 3 r(t ) = c, t R. Interpretación añadida: la solución r(t) de dicho sistema proporciona no solo la trayectoria que sigue una partícula sometida a dicho campo de velocidades, sino también la rapidez r (t) con que la partícula recorre esa trayectoria. Ejemplo 2 ea F : R 2 R 2 el campo vectorial F (x, y) = ( x/2, y/2). La parametrización r de cualquier línea de ujo de este campo debe satisfacer que Luego r (t) = (r 1(t), r 2(t)) = F (r 1 (t), r 2 (t)) = ( r 1 (t)/2, r 2 (t)/2). r 1(t) = r 1 (t)/2 r 2(t) = r 2 (t)/2 } r(t) = (k 1 e t/2, k 2 e t/2 ), k 1, k 2 R, se puede deducir que las líneas de ujo son semirectas con extremo en el origen.
Gradiente, laplaciano, divergencia y rotacional Denición. ea f : A R 3 R un campo escalar. uponiendo las condiciones de derivabilidad necesarias, se denen los campos gradiente y laplaciano de f, como los campos vectorial y escalar dados respectivamente por f(x, y, z) = ( f x (x, y, z), f y f(x, y, z) = 2 f x 2 (x, y, z) + 2 f ) f (x, y, z), (x, y, z), z y (x, y, z) + 2 f (x, y, z). 2 z2 Denición. ea F : A R 3 R 3 un campo vectorial. uponiendo las condiciones de derivabilidad necesarias, se denen los campos divergencia y rotacional de F, como los campos escalar y vectorial dados respectivamente por div F (x, y, z) = F 1 x (x, y, z) + F 2 y (x, y, z) + F 3 (x, y, z), z ( F3 rot F (x, y, z) = y F 2 z, F 1 z F 3 x, F 2 x F ) 1 i j k = y x y z F 1 F 2 F 3. aso particular. En el caso F : A R 2 R 2, el rotacional de F es el campo vectorial rot F : A R 2 R 3 denido por rot F (x, y) = (,, F 2 x (x, y) F 1 y ) (x, y) = i j k x y F 1 F 2. Otro tipo de notación: i se utiliza el símbolo del gradiente como un operador, entonces se puede escribir que F = F = = ( x, y, ), z ( x, y, ) (F 1, F 2, F 3 ) = z x F 1 + y F 2 + z F 3 = div F, i j k ( x y z F 1 F 2 F 3 = F3 y F 2 z, F 1 z F 3 x, F 2 x F ) 1 = rot F. y 5
6 Integración de campos escalares y vectoriales sobre curvas y supercies En esta sección se introducirán nuevos tipos de integrales. Los conjuntos sobre los que se integrará son curvas de R 2 o R 3, y supercies de R 3. Y las funciones que se integrarán son campos escalares y vectoriales de R 2 o R 3. Introducción. Recordemos, si h: [a, b] R es una función continua, h, entonces Área(h, [a, b]) = b a h(x)dx. ¾Qué ocurrirá cuando h: γ(t) R 2 R, h? Este problema dará como resultado el área curva que encierra la gráca del campo h sobre la curva γ(t). Figura 2: upercie determinada por un campo escalar positivo denido sobre una circunferencia del plano Teorema 1 ean f : A R 3 R y G: A R 3 R 3 ambos continuos. ea la curva A regular a trozos respecto de r : [a, b] R 3. ea la supercie A suave a trozos respecto de s: B R 2 R 3, B conexo. Entonces, se tiene que f dr = G dr = f ds = G ds = b a b a B B f(r(t)) r (t) dt, G(r(t)) r (t) dt, f(s(u, v)) N(u, v) dudv, G(s(u, v)) N(u, v) dudv. (1) Nota: Para la expresión (1) se exige que la supercie sea orientable, puesto que dicha integral mide el ujo del campo a través de en la dirección dada por sus vectores normales. Propiedades de las integrales de linea y supercie de campos escalares (consultar libro) Propiedades de las integrales de linea y supercie de campos vectoriales (consultar libro)
Ejemplo 3 Integral de línea de un campo escalar. ea f : A R 3 R denido por f(x, y, z) = 4 + x2 + y 2 + z 2 5 2x 2 2y 2 2z, 2 donde A = B((,, ), 2) es la bola abierta de centro (,, ) y radio 2. ea A la curva parametrizada por r(t) = (cos t, 2 sen t, cos t), con t [ 2, 2 2]. alculemos la integral de f sobre la curva. omo f(r(t)) = (4 + 2)/(5 4) = 6 y r (t) = ( sen t, 2 cos t, sen t) = 2, la integral buscada, aplicando la fórmula de la integral de línea de campos escalares es f dr = 2 2 2 f(r(t)) r (t) dt = 2 2 2 6 2 dt = 12. Ejemplo 4 Integral de supercie de un campo escalar. ea f(x, y, z) = y. alculemos f ds donde es la supercie parametrizada por s(u, v) = (u, v, g(u, v)) siendo g(u, v) = u + v 2 con u 1 y v 2. La norma del vector normal asociado a esta parametrización (que vimos en el tema anterior) es N(u, v) = 1+ Obtenemos que la integral buscada es: f ds = 1 2 ( ) 2 g + u f(s(u, v)) N(u, v) dudv= ( ) 2 g = 2 (1 + 2v v 2 ). 1 2 7 v 2 (1 + 2v 2 )dudv = 13 2. 3 Dependencia e independencia de la parametrización Una cuestión que se debe plantear en relación a las integrales de línea y supercie es si dependen de la parametrización elegida r y s. La respuesta será diferente para campos escalares y vectoriales: La integral de línea y de supercie de campos escalares son independientes de la parametrización elegida. La integral de línea y de supercie de un campo vectorial dependerá de la orientación elegida. Teorema 2 ea F : A R 3 R 3 integrable sobre una curva A e integrable sobre una supercie orientable A. ean r 1 y r 2 dos parametrizaciones regulares a trozos de. Y s 1 y s 2 dos parametrizaciones suaves a trozos de. (a) i r 1 y r 2 dan la misma orientación a la curva, así como s 1 y s 2 originan la misma orientación sobre, entonces se tiene que F dr 1 = F dr 2, F ds 1 = F ds 2. (b) i r 1 y r 2 producen en orientaciones contrarias, así como s 1 y s 2 dan lugar a orientaciones contrarias en, entonces F dr 1 = F dr 2, F ds 1 = F ds 2.
8 Ejemplo 5 Integral de línea de un campo vectorial. ea F : R 2 R 2 el campo vectorial denido por F (x, y) = (x + y, 3x y). ea la curva parametrizada por la función r : [, 2] R 2 denida por r(t) = (t 1, t 2 ). alculemos la integral de F sobre la curva. omo F (r(t)) = (t 1 + t 2, 3t 3 t 2 ) y r (t) = (1, 2t), la integral buscada es F dr = 2 F (r(t)) r (t)dt = 2 ( 2t 3 + 7t 2 5t 1) dt = 4/3. i la orientación considerada en la curva fuese la contraria a la determinada por r, entonces la integral del campo F sobre sería igual a 4/3. Nota. i la integral de línea resultase negativa (como es el caso del ejemplo), quiere decir que el campo uye o circula globalmente en dirección contraria a la orientación elegida para la curva, es decir, el campo se opone al movimiento a lo largo de la curva. Ejemplo 6 Integral de supercie de un campo vectorial. ea F (x, y, z) = (1 + z 2, 2z, 2xz), y el primer octante de la supercie esférica de centro (,, ) y radio 1, orientado hacia el exterior de la supercie esférica. alculemos la integral de F sobre la supercie : Una parametrización de (descrita mediante coordenadas esféricas) y el vector normal asociado a esta parametrización son respectivamente: σ(θ, φ) = (cos θ sen φ, sen θ sen φ, cos φ), (θ, φ) [, π/2] [, π/2], N(θ, φ) = σ θ σ = sen φ σ(θ, φ) = sen φ(cos θ sen φ, sen θ sen φ, cos φ). φ Observe que el vector N(θ, φ) tiene la misma dirección y sentido opuesto al vector de posición del punto donde se aplica, esto es, N(θ, φ) apunta hacia el interior de la supercie esférica, es decir, σ orienta a la supercie en dirección contraria a la deseada. Por tanto, la integral buscada sería Ahora bien, como F ds = F dσ = π π 2 2 F (σ(θ, φ)) N(θ, φ) dφdθ. F (σ(θ, φ)) N(θ, φ) = 3 cos θsen 2 φ cos 2 φ + cos θsen 2 φ + 2 sen θsen 2 φ cos φ, entonces se obtiene que F ds = π π 2 2 (3 cos θ sen 2 φ cos 2 φ + cos θ sen 2 φ + 2 sen θ sen 2 φ cos φ) dφdθ = 5π 8 2 3.
Teoremas de Green, de tokes y de Gauss Diferencias y similitudes. Los tres teoremas tienen en común que relacionan dos tipos de integrales distintas, una sobre cierto dominio y otra sobre su frontera o borde. e diferencian en cuanto al tipo de campos y dominios en los que se aplican: Los teoremas de tokes y de Gauss tratan de campos vectoriales en R 3, mientras que el teorema de Green utiliza campos vectoriales en R 2. El dominio considerado en el teorema de Green es un trozo del plano xy cuyo borde consta de una o varias curvas cerradas planas. En el teorema de tokes, el dominio es una supercie en R 3 cuyo borde consta de una o varias curvas cerradas no planas en general. En el teorema de Gauss, el dominio es un cuerpo o sólido cuyo borde es una supercie cerrada. 9 Teorema de Green Teorema de tokes Teorema de Gauss F dr = dxdy, R R F dr = ds, F ds = dxdydz. V V
1 El teorema de Green En este teorema se necesitará integrar un campo vectorial a lo largo de la frontera de cierta región R del plano xy, que puede estar formada por más de una curva. Para esta nueva situación, necesitaremos saber cómo puede orientarse la frontera de R cuando está formada por más de una curva. Denición. ea R un conjunto conexo, cerrado y acotado de R 2 cuya frontera R está formada por n curvas cerradas simples y regulares a trozos 1, 2,..., n (n 1) que no se cortan entre sí (véase la gura 3). 1 1 2 3 2 3 4 4 R 5 R 5 (a) (b) Figura 3: Orientaciones (a) izquierda (o positiva) y (b) derecha (o negativa) de la frontera de una región R del plano xy Al igual que sobre una sola curva, sobre R se van a considerar dos orientaciones posibles: 1. i la curva 1 (la exterior) se orienta en el sentido antihorario, y las demás 2,..., n (interiores) en el caso de que existan se orientan en el sentido horario, entonces se dice que la frontera de R tiene orientación izquierda (o positiva), y se denota R +. 2. i todas las curvas se orientan en sentido contrario al de la orientación izquierda, entonces se dice que la frontera de R tiene orientación derecha (o negativa), y se denota R. Teorema 3 (de Green) ea F : A R 2 R 2, A conexo y abierto y F = (F 1, F 2 ) 1 (A). ea R A un subconjunto conexo, cerrado y acotado cuya frontera R esta formada por varias curvas cerradas simples y regulares a trozos 1, 2,..., n. Entonces, (a) si R = R + (orientación izquierda o positiva), se satisface la igualdad: F dr = R + R ( F2 x (x, y) F 1 (x, y) y (b) si R = R (orientación derecha o negativa), se tiene que F dr = R R ( F2 x (x, y) F ) 1 (x, y) dxdy. y ) dxdy, (2) Nota. Del teorema se explica por qué a la orientación izquierda y derecha se les ha llamado también orientación positiva y negativa, respectivamente.
Ejemplo 7 ea F (x, y) = ( y, x) denido en R 2. alculemos la integral de línea de F sobre la frontera del cuadrado D de vértices (1, ), (, 1), ( 1, ) y (, 1), orientada en el sentido horario. Observe que se satisfacen las hipótesis que permiten aplicar el teorema de Green. Teniendo en cuenta que a la frontera se le ha dado la orientación derecha, se tiene que ( y, x) dr = D D 11 [1 ( 1)] dxdy = 2Área(D) = 4. El teorema de tokes El teorema de tokes puede considerarse como una versión del teorema de Green para tres dimensiones. Mientras el teorema de Green relaciona una integral doble sobre una región plana con una integral de línea sobre la curva cerrada frontera plana, o unión de varias, el teorema de tokes relaciona una integral de supercie con una integral de línea sobre la curva cerrada frontera de la supercie (que no necesariamente es una curva plana) o unión de varias (i.e. supercie con agujeros). y oa z F B A s x o f r=sof y a b x Figura 4: Esquema de los elementos que intervienen en el teorema de tokes Teorema 4 (de tokes) ea F : B R 3 R 3, B conexo y abierto, F 1 (B). ea una supercie B orientable, suave y simple respecto de s: A R 2 R 3. upongamos A conexo, cerrado y acotado cuya frontera A es una curva cerrada simple y regular a trozos respecto de f : [a, b] R 2, que la orienta en el sentido antihorario o izquierdo, A = A +. i se parametriza mediante la función r = s f, entonces se satisface la siguiente igualdad: F dr = rot F ds. (3) Nota. En general, la igualdad anterior del teorema de tokes se satisface siempre que las orientaciones dadas a y a, respeten la regla del sacacorchos, en el caso contrario (como la parte (b) de la gura 5), la integral de supercie irá precedida de signo negativo, F dr 1 = rot F ds 1. en este caso diremos que la supercie y su borde están orientados positivamente.
12 (a) (b) Figura 5: En (a) se verica la regla del sacacorchos en el teorema de tokes, en (b) no se verica Ejemplo 8 ea la supercie denida en el cuadrado D = [, 2] [1, 3] cuya gráca es la de f : D R tal que f(x, y) = xy 2. La orientación dada a =. e pretende calcular la siguiente integral (xy, yz, z) dr. Esta se puede obtener utilizando el teorema de tokes, como vamos a hacer a continuación. En primer lugar, parametrizamos mediante s: D R 3 denida por s(x, y) = (x, y, xy 2 ). Esta parametrización orienta a hacia arriba, pues la componente tercera del vector normal es positiva, N(x, y ) = s x (x, y ) s y (x, y ) = ( y, 2 2x y, 1). omo la orientación dada al es derecha, se corresponde según la regla del sacacorchos con una orientación de hacia abajo, lo cual indica que las orientaciones de la supercie y su borde contradicen la regla del sacacorchos. Por tanto, al aplicar el teorema de tokes, tendremos que preceder con signo negativo a la integral de supercie. omo rot(xy, yz, z) =( y,, x) tenemos (xy, yz, z) dr = rot(xy, yz, z) ds = ( y,, x) ds. A continuación se calcula la integral de supercie del campo vectorial G(x, y, z) = ( y,, x). omo G(s(x, y)) = G(x, y, xy 2 ) = ( y,, x), y N(x, y) = ( y 2, 2xy, 1), se obtiene el resultado que se pedía 2 3 1 ( y,, x) ds = D [( y,, x) ( y 2, 2xy, 1)] dxdy = (y 3 x) dydx = 36.
El teorema de Gauss (o de la divergencia) El teorema de Gauss ofrece la posibilidad de calcular una integral de un campo vectorial sobre una supercie cerrada mediante una integral triple sobre la región del espacio formada por dicha supercie y la región que encierra. Teorema 5 (de Gauss o de la divergencia) ea F : V R 3 R 3 de clase 1 (V ), donde V es un conjunto conexo, cerrado y acotado, cuya frontera V es una supercie cerrada, suave a trozos y orientable. (a) i V se orienta hacia el exterior de V, que se denotará por V = V +, entonces se satisface la siguiente igualdad: V + F ds = V div F (x, y, z) dxdydz. (b) i la orientación de V fuese hacia el interior, que se denotará por V = V, se tendría que F ds = V V div F (x, y, z) dxdydz. Ejemplo 9 alculemos el ujo del campo vectorial F (x, y, z) = (z, y, x) sobre la esfera unidad orientada hacia el exterior. Primero calculamos div F (x, y, z) = 1. La esfera unidad es la frontera de la bola unidad B dada por x 2 + y 2 +z 2 1. Entonces el teorema de Gauss calcula el ujo a través de una integral triple F ds = B + B div F (x, y, z) dxdydz = B 13 1 dxdydz = V ol(b) = 4π 3. Analogía entre el teorema de Green, de tokes y de Gauss con el segundo teorema fundamental del álculo omparemos las ecuaciones de los tres teoremas con el enunciado del segundo teorema fundamental del álculo F (a) F (b) = F dr = R F dr = F ds = V b F (x)dx, a ( F2 R x (x, y) F ) 1 (x, y) dxdy, y rot F ds, div F (x, y, z) dxdydz. V en los cuatro casos hay una integral que comprende las derivadas, en el lado derecho de las cuatro fórmulas, y en los cuatro casos, el lado izquierdo contiene los valores de las funciones originales F solo en la frontera del dominio.
14 ampos vectoriales conservativos En Física, un campo de fuerzas es conservativo cuando en él se satisface la ley de conservación de la energía. Denición de campo vectorial conservativo. F : A R 3 R 3, A conexo y abierto. F es conservativo si el valor de las integrales de línea de F dependen tan solo de cuáles sean los puntos inicial y nal de la curva (regular a trozos). Esto induce la notación (similar a la de la integral de Riemann), F dr = Q P F dr A regular a trozos, con cualquier parametrización r : [a, b] R 3 tal que r(a) = P y r(b) = Q. Ejemplo 1 ea F (x, y) = (x + y, 3x y). Demostremos que F no es conservativo. ean 1 y 2 dos curvas que parten del punto ( 1, ) y terminan en el punto (1, 4), respectivamente, y parametrizadas por r 1 (t) = (t 1, t 2 ) con t [, 2] y r 2 (t) = ( 1 + 2t, 4t) con t [, 1]. omo 2 F dr 2 = 16 4 3 = se concluye que el campo F no es conservativo. 1 F dr 1, Teoremas fundamentales del álculo para integrales de línea de campos vectoriales conservativos La similitud entre las integrales de campos vectoriales conservativos sobre curvas y la integral simple de Riemann se va a extender a resultados tan importantes como los dos primeros teoremas fundamentales del álculo innitesimal. El primero de los teoremas proporciona una especie de función primitiva de los campos vectoriales conservativos continuos. Teorema 6 (1 er T.F.. para integrales de línea) ea F : A R 3 R 3 conservativo continuo, A conexo y abierto, y P A un punto jo. e dene el campo escalar f : A R 3 R dado por Entonces f 1 (A) y f = F. f(x) = X P F dr. Denición. Un campo escalar f que cumpla f = F siendo F vectorial conservativo continuo, denidos F y f en A conexo y abierto, se denomina función potencial de F. Observe. El potencial de un campo conservativo continuo viene a ser lo que en funciones continuas de una variable es la primitiva de una función.
Al igual que para las funciones integrables Riemann, cuyas innitas primitivas di- eren en una constante, todo campo conservativo continuo tendrá innitos potenciales que dieren también en una constante. Teorema 7 ea F conservativo continuo denido en un conjunto conexo y abierto A de R 3. ea f un potencial de F, y g otro campo escalar de clase 1 (A). Entonces g es un potencial de F g(x, y, z) = f(x, y, z) + K, (x, y, z) A. El segundo teorema fundamental del álculo para integrales de línea es aplicable a campos vectoriales que sean el gradiente de un campo escalar. Teorema 8 (2 o T.F.. para integrales de línea o Teorema de Barrow) f : A R 3 R de clase 1. A conexo y abierto. ea A curva regular a trozos parametrizada por r : [a, b] R 3. Entonces Nota. i es cerrada = fdr = f(r(b)) f(r(a)). fdr =. Teorema 9 (caracterización de campos conservativos en conjuntos conexos) ea F : A R 3 R 3 vectorial continuo. A conexo y abierto. on equivalentes: (a) F es conservativo. (b) F es gradiente, es decir f 1 (A) : F = f, en tal caso, se verica Q P F dr = Q P f dr = f(q) f(p ). (c) F dr =, A, cerrada y regular a trozos. Notas: 1. Observe por (b) que el principal motivo de querer conocer el potencial de F es para facilitar el cálculo de integrales de línea, aunque necesitaremos conocer previamente si F es conservativo. 2. La interpretación física que se le da al apartado (c) es que el trabajo realizado al mover una partícula en un campo de fuerzas conservativo (como lo es el campo gravitacional) a lo largo de una trayectoria cerrada es. 15
16 En los dos siguientes ejemplos se aplica la condición necesaria ((b) (a)) del teorema 9. Ejemplo 11 ea f(x, y, z) = xy+ln z, que es de clase 1 en A = {(x, y, z) R 3 : z > }. Es claro que A es conexo y abierto. Por tanto, aplicando el teorema 9, podemos concluir que F (x, y, z) = f(x, y, z) = (y, x, 1/z) es conservativo en A. Ejemplo 12 alculemos el trabajo que realiza el campo gravitacional F (x, y, z) = mmg 3 (x, y, z) (x, y, z) al mover una partícula con masa m desde el punto (3, 4, 12) hasta (2, 2, ) a lo largo de una curva regular a trozos. Es fácil probar que el campo escalar f(x, y, z) = mmg x2 + y 2 + z 2, verica que F = f, por tanto, F es conservativo. El trabajo que se realiza es F dr = (2,2,) (3,4,12) f dr = f(2, 2, ) f(3, 4, 12) = mmg ( 1 2 2 1 ). 13 Ejemplo 13 e probará a continuación que F (x, y) = (x+y, 3x y) no es conservativo utilizando el apartado (c) del teorema 9. u dominio es conexo y abierto, pues se trata de R 2. ea la curva cerrada regular parametrizada por r : [, 2π] R 2 tal que r(t) = (cos t, sen t). omo 2π F dr = F (r(t)) r (t)dt = 2π (3 cos 2 t 2 sen t cos t sen 2 t) dt = 2π, se concluye que F no es conservativo. El siguiente teorema proporciona una sencilla condición necesaria para que un campo sea conservativo, aplicable en unas condiciones bastante generales, aunque algo más restrictivas que las consideradas hasta ahora: se exigirá que los campos vectoriales sean de clase 1 en su dominio. Teorema 1 (condición necesaria) ea F : A R 3 R 3 de clase 1 (A). A conexo y abierto. ( ) F conservativo rot F = θ. En el caso A convexo. Aplicación. rot F θ F no conservativo. Teorema 11 (caracterización de campos conservativos en conjuntos convexos) ea F : A R 3 R 3 vectorial continuo de clase 1 (A). A convexo y abierto. on equivalentes: (a) F es conservativo. (b) F es gradiente, es decir f 1 (A) : F = f. (c) F dr =, A, cerrada y regular a trozos. (d) rot F = θ, ( en el caso R 2, este apartado es equivalente a F 1 y = F 2 x ).
En el siguiente ejemplo se aplica el teorema 1. Ejemplo 14 ea F (x, y) = (x + y, 3x y) 1 (R 2 ). omo rot F (x, y) = (,, 2) θ, (x, y) R 2, el teorema 1 asegura que F no es conservativo. En el siguiente ejemplo se aplica el teorema 11. Ejemplo 15 ea F (x, y, z) = (y, x, 1/z), que es de clase 1 en A = {(x, y, z) R 3 : z > }. Es inmediato que A es convexo y abierto (es el semiespacio superior), y rot F (x, y, z) = (,, ) (x, y, z) A. Por tanto, F es conservativo en A. Potencial de un campo vectorial conservativo En este apartado se desarrollará una técnica que permitirá, al menos en los casos sucientemente sencillos, encontrar el potencial de un campo conservativo. El interés de esto no es solo probar que F es un campo vectorial conservativo, sino facilitar la resolución de integrales de línea de campos vectoriales que sean conservativos. Una vez que se obtenga el potencial, es muy fácil obtener cualquier integral de línea del campo conservativo, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 16 Obtención de un potencial de un campo vectorial conservativo continuo. e seguirá una argumentación similar a la que se utiliza para la resolución de las ecuaciones diferenciales exactas. ea F : R 2 R 2 denido por F (x, y) = ( x/2, y/2). omo F 1 (R 2 ), el dominio es trivialmente convexo, y rot F (x, y) = (,, ) (x, y) R 2, el teorema 11 asegura que F es un campo conservativo. Busquemos un potencial del campo F, es decir, un campo escalar f tal que f = F. Entonces f debe satisfacer el siguiente sistema f x (x, y) = F 1(x, y) = x 2 f y (x, y) = F 2(x, y) = y 2 f(x, y) = x 2 dx = x2 4 + k(y). Derivando esta igualdad respecto de y y aplicando la segunda ecuación, se obtiene que k (y) = y/2, (en este momento, si k (y) dependiera de x se llegaría a un absurdo y se concluiría con que F no puede ser un campo gradiente: no es conservativo). Tenemos que k(y) = y 2 /4 + M, de donde se concluye que un potencial de F es cualquier función de la familia f(x, y) = x2 + y 2 + M, M R. 4 Una vez obtenido el potencial del campo conservativo F, la integral de línea de F a lo largo de una curva de su dominio, con extremos cualesquiera P y Q, se puede obtener de una manera muy sencilla. Por ejemplo, tomando el potencial f(x, y) = (x 2 + y 2 )/4 (M = ), se tiene que 17 (3, 3) (1, 2) F dr = f(3, 3) f(1, 2) = 18 4 5 4 = 13 4.