Módulo 8 Inestabilidad elástica
INTRODUCCIÓN Al comienzo de este curso se estableció que la selección de elementos estructurales se basa en tres características: resistencia, rigidez y estabilidad. Los procedimientos de análisis de esfuerzos y deformaciones se estudiaron en detalle en los capítulos anteriores. En este capítulo se tratará la cuestión de la posible inestabilidad de sistemas estructurales. En tales problemas se deben hallar parámetros críticos adicionales que determinen si es posible una configuración o patrón de desplazamientos dado para un sistema particular. Este problema es diferente de cualquiera de los vistos antes. Como un ejemplo intuitivo sencillo considérese una barra de diámetro D sometida a una fuerza axial de compresión. Si tal barra actuando como columna, fuera de longitud D no surgiría ninguna cuestión acerca de la inestabilidad y este miembro corto podría soportar una fuerza considerable.
Por otra parte, si una misma barra tuviera una longitud de varios diámetros, al ser sometida a una fuerza axial aún menor que la que puede soportar la pieza corta podría llegar a ser lateralmente inestable presentándose en ella pandeo lateral y podría fallar o sufrir colapso. Una regla delgada ordinaria, si se somete a una compresión axial, fallará de esta manera. La consideración de la sola resistencia del material no es suficiente para predecir el comportamiento de la pieza.
El mismo fenómeno se presenta en numerosas otras situaciones en que existen esfuerzos de compresión. Placas delgadas completamente capaces de resistir cargas en tracción, resultan muy ineficaces para transmitir compresión. Tanques de almacenamiento, así como silos metálicos, a menos que estén apropiadamente diseñados, pueden deformarse gravemente por la presión externa (viento) o interna (líquidos o granos) y asumir formas que difieren en forma notable de su configuración geométrica original. Un tubo de pared delgada puede arrugarse o plegarse como un papel de seda cuando se somete a una torsión. Además por lo general los fenómenos de pandeo o arrugamiento que se observan en miembros cargados ocurren más bien repentinamente. Por esta razón muchas de las fallas estructurales por pandeo son espectaculares y muy peligrosas.
El enorme número de problemas de inestabilidad o pandeo de estructuras sugerido por la lista anterior está fuera del alcance de este curso. Aquí sólo se considerará el problema de la columna. Este se llevará a cabo investigando primero el comportamiento de barras delgadas cargadas axialmente y sometidas simultáneamente a flexión. Tales miembros se llaman vigas columnas. Los problemas de vigas columnas, además de tener un significado propio permiten determinar las magnitudes de cargas axiales críticas a las que ocurre el pandeo. A continuación se tratará el pandeo de columnas ideales cargadas concéntricamente. Esto conduce al examen de los valores característicos (o autovalores) de las ecuaciones diferenciales apropiadas. Las autofunciones correspondientes dan las formas de pandeo de tales columnas. Se describirá el pandeo elástico y se establecerán límites de validez para el caso de comportamiento elasto-plástico y se presentará también alguna información acerca de columnas cargadas excéntricamente. Finalmente se hará una breve clasificación en base a ejemplos sencillos de problemas en estabilidad elástica a los fines de dar un panorama más completo del tema.
NATURALEZA DEL PROBLEMA DE LA VIGA COLUMNA El comportamiento de vigas columnas reales se puede entender mejor considerando primer un ejemplo idealizado, que se muestra en la Figura. Aquí, para simplificar, una barra perfectamente rígida de longitud L se mantiene inicialmente en posición vertical por medio de un resorte en A que tiene una rigidez a la torsión k. Luego una fuerza vertical P y una horizontal F se aplican en el extremo superior. A diferencia del procedimiento seguido en todos los problemas anteriores, se deben escribir ahora las ecuaciones de equilibrio para la condición deformada. Teniendo presente que kθ es el momento resistente que desarrolla el resorte en A se obtiene:
El aspecto cualitativo de este resultado se muestra en la Figura y la curva correspondiente se ha marcado como la solución exacta. Es interesante observar que cuando θ π, siempre que el resorte continúe funcionando, el sistema puede soportar una fuerza muy grande P. Para una fuerza aplicada verticalmente hacia arriba, indicada con un sentido contrario en la figura, el ángulo θ disminuirá cuando P aumente. En el análisis de problemas de los capítulos anteriores el término PL senθ no había aparecido en lo absoluto.
La solución expresada por la ecuación anterior es para rotaciones arbitrariamente grandes. En problemas complejos es muy difícil alcanzar soluciones de tal generalidad. Además en la mayoría de las aplicaciones no se pueden tolerar desplazamientos de gran magnitud. Por consiguiente es posible limitar el estudio del comportamiento de sistemas al caso de desplazamientos pequeños y moderadamente grandes. En este problema lo anterior se puede realizar poniendo senθ θ y cos θ 1. De esta forma la ecuación anterior se simplifica a:
Para valores pequeños de θ esta solución es completamente aceptable. En cambio a medida que θ aumenta, la discrepancia entre esta solución linealizada y la solución exacta llega a ser muy grande. Para una combinación crítica de los parámetros k, P y L, el denominador (k - PL) en el último término de la ecuación sería cero y presumiblemente daría lugar a una rotación θ infinita. Esto es completamente irreal y resulta de una formulación matemática impropia del problema. No obstante, tal solución proporciona una buena guía acerca del valor de la magnitud de la fuerza axial P a la que las deflexiones llegan a ser intolerablemente grandes. La asíntota correspondiente a esta solución, obtenida de la igualdad (k - PL)=0, define la fuerza «crítica» P C como
Es significativo observar que en sistemas reales las grandes deformaciones asociadas a fuerzas del mismo orden de magnitud que P por lo general causan tensiones tan grandes que hacen inservible el sistema. Por consiguiente, en el análisis de pandeo de miembros a compresión desempeña el papel más importante la determinación de P C con una base simplificada, siguiendo las líneas del método utilizado en el ejemplo anterior. A continuación se emplearán los conceptos anteriores en la resolución de un problema de una viga-columna elástica. Ejemplo Una viga columna se somete a fuerzas axiales P, y a una fuerza transversal hacia arriba, F en su punto medio. Determinar la ecuación de la elástica y la fuerza axial crítica P. (Considérese que EI es constante)
El diagrama de cuerpo libre de la viga columna se muestra en la Figura. Este diagrama permite la expresión del momento flector total M, que incluye el efecto de la fuerza axial P multiplicada por el desplazamiento v. El momento total dividido por EI puede hacerse igual a la expresión aproximada habitual de la curvatura para pequeñas rotaciones d 2 v/dx 2. Debido a esto, como en el ejemplo anterior, se obtendrán desplazamientos infinitos en las cargas críticas. Por lo tanto, utilizando la relación M=EIv y observando que en la mitad izquierda de la viga M= -F/2 Pv, se tiene
La solución de la homogénea (F = 0) para esta ecuación diferencial es bien conocida y resulta de una suma de funciones armónicas (corresponde por ejemplo a la forma del movimiento armónico simple), en tanto que la solución particular es igual al término independiente dividido por 2. En consecuencia, la solución completa es:
Sustituyendo: El desplazamiento máximo ocurre en x=l/2, por lo que luego de algunas simplificaciones:
De esto se puede concluir que el momento máximo absoluto que se produce en el punto medio, es: Se puede observar que las expresiones anteriores, se hacen infinitas si L/2 es múltiplo de π/2 puesto que esto hace nulo a cos( L/2) e infinito a tan( L/2). Expresado algebraicamente, esto ocurre cuando: donde n es un entero. Despejando P de esta ecuación, se obtiene la magnitud de esta fuerza que causa desplazamientos o momentos flectores infinitos. Esto corresponde a la condición de la fuerza axial crítica P C para esta barra:
Para la fuerza crítica mínima el entero n vale 1. Este resultado fue establecido por primera vez por el matemático Leonhard Euler en 1757 y con frecuencia se la denomina la carga de pandeo de Euler. Es importante observar que la ecuación diferencial es de un tipo diferente al que se utilizó para calcular los desplazamientos de vigas con cargas transversales únicamente y por lo tanto no pueden integrarse de la misma forma.
Para una más completa comprensión del problema de la viga columna resulta instructivo deducir varias relaciones diferenciales entre las variables involucradas. Con ese objetivo consideremos un elemento diferencial de viga columna como se indica en Figura. Notar especialmente que el elemento se muestra en su posición deformada. Para vigas ordinarias (comportamiento lineal) cargadas transversalmente esto no es necesario. Por otro lado los desplazamientos que se tratan en este análisis son pequeños en relación con la luz de la viga columna, lo cual permite las siguientes simplificaciones:
En este desarrollo se puede utilizar la relación usual de la teoría de flexión, v = M/ (EI). Operando con las ecuaciones anteriores y haciendo uso de la relación anterior, se obtienen dos ecuaciones diferenciales alternativas para vigas-columnas: donde para simplificar se supuso que EI es constante y, como antes, 2 = P/ (EI). Si P = 0, las ecuaciones anteriores resultan las mismas ecuaciones vistas para vigas con carga transversal. Para las nuevas ecuaciones, las condiciones de borde son las mismas vistas con anterioridad, excepto que la fuerza de corte se obtiene de la expresión Para referencia futura, la solución homogénea y sus derivadas se listan a continuación:
Estas relaciones son necesarias en algunos ejemplos para expresar las condiciones de borde, a fin de evaluar las constantes C 1, C 2, C 3 y C 4
Ejemplo Una barra delgada de EI constante se somete simultáneamente a momentos de extremo, M y a fuerzas axiales P, como se indica en la Figura. Determinar el desplazamiento máximo y el mayor momento flector. Dentro del tramo no existe carga transversal alguna. Por consiguiente el término del segundo miembro de la ecuación diferencial es nulo, y la solución homogénea de esta ecuación dada por la (1) será la solución completa. Las condiciones en el contorno son:
Es importante observar que en miembros delgados los momentos flectores pueden aumentar substancialmente por la presencia de fuerzas axiales de compresión. Cuando existen tales fuerzas, aumentan los desplazamientos causados por la carga transversal. En el caso de fuerzas de tracción los desplazamientos disminuyen.
ESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO Una aguja perfectamente recta sostenida sobre su punta puede considerarse en equilibrio. Sin embargo, la menor perturbación de éste o la imperfección más pequeña en su fabricación harían imposible tal estado. Se dice que esta clase de equilibrio es inestable, y es imperativo evitar situaciones análogas en sistemas estructurales. Para aclarar más el problema, consideremos de nuevo una barra vertical rígida con un resorte de torsión, de rigidez k, en su base, como se mostró al principio. La respuesta de este sistema a medida que aumenta la fuerza P se indica en la Figura para una fuerza F grande y una fuerza F pequeña.
Surge entonces la siguiente pregunta: Cómo se comportará este sistema si F = 0? Este es el caso límite y corresponde al estudio del pandeo perfecto. La barra rígida puede experimentar sólo rotación, ya que no se puede flexionar; es decir, el sistema tiene un grado de libertad. Para una rotación supuesta, θ, el momento en el resorte (restaurador) es kθ, y con F = 0, el momento que produce P (perturbador) será PLsenθ PLθ, por lo tanto, si: Exactamente en el punto de transición kθ = PLθ, el equilibrio no es estable ni inestable sino neutro (o indiferente). La fuerza asociada a esta condición es la carga de pandeo o crítica, que se designará por P C. Para el sistema considerado:
Esta condición establece el comienzo del pandeo. Con esta fuerza dos posiciones de equilibrio son posibles, la forma vertical y una forma inclinada infinitesimalmente próxima a ella. Por lotanto, como es posible seguir dos ramas o caminos en la solución, a esta condición se la llama punto de bifurcación de la solución de equilibrio. Para P > k/l el sistema es inestable. Como la solución ha sido linealizada no hay posibilidad de que θ sea arbitrariamente grande en P C. Considerando grandes desplazamientos, hay siempre un punto de equilibrio estable en θ < π. El comportamiento de columnas elásticas, cargadas concéntricamente y perfectamente rectas, es decir columnas ideales, es análogo al comportamiento descripto en el sencillo ejemplo anterior. A partir de una formulación linealizada del problema se puede determinar las cargas críticas de pandeo.
Las cargas críticas no describen la acción del pandeo mismo. Utilizando una ecuación diferencial exacta de la curva elástica para deflexiones grandes, es posible hallar posiciones de equilibrio más altas que P C, correspondiente a la fuerza aplicada P. Los resultados de tal análisis se ilustran a continuación. Notar especialmente que aumentando P en sólo 1,5 %P C sobre P C se produce un desplazamiento lateral máximo del 22 % de la longitud de la columna Por razones prácticas, desplazamientos tan grandes rara vez pueden ser aceptados. Además, por lo general el material no puede resistir los esfuerzos de flexión inducidos. Por lo tanto, las columnas reales fallan inelásticamente. En la gran mayoría de las aplicaciones de ingeniería P C representa la capacidad última de una columna recta cargada axialmente en forma concéntrica.
CARGA DE PANDEO DE EULER PARA COLUMNAS CON EXTREMOS ARTICULADOS A fin de formular las ecuaciones diferenciales que permitan determinar la carga de pandeo de una columna ideal, se debe permitir que ocurra un pequeño desplazamiento lateral del eje de la columna. Para la columna con extremos articulados e inicialmente recta de la Figura 7.a, lo anterior se indica en la Figura 7.b.
Carga crítica de Euler
PANDEO ELÁSTICO DE COLUMNAS CON DIFERENTES RESTRICCIONES EN SUS EXTREMOS Procedimientos iguales a los estudiados en la sección anterior se pueden utilizar para determinar las cargas de pandeo elástico de columnas con diferentes condiciones de borde. Las soluciones de tales problemas son muy sensibles a las restricciones de extremo. Por ejemplo la carga crítica de pandeo para una columna empotrada en su base, Figura 8.b, con una carga vertical en su extremo libre superior, es:
Las dos últimas ecuaciones indican que mediante la restricción en los extremos las cargas de pandeo críticas van aumentando notablemente por encima del caso fundamental. Todas las fórmulas anteriores pueden asemejarse al caso fundamental siempre que en vez de la longitud real de la columna se utilice la longitud efectiva de la misma. Esta longitud resulta ser la distancia entre los puntos de inflexión de las curvas elásticas o las articulaciones, si las hubiere.
La longitud efectiva de una columna L e, en el caso fundamental es igual a L, pero en los casos anteriores es 2L, 0,7L y 0,5L, respectivamente. Para el caso general, L e = KL, donde K es el factor de longitud efectiva, el cual depende de las restricciones en los extremos. En contraste con los casos clásicos que se muestran en la Figura 8, los miembros a compresión reales rara vez están verdaderamente articulados o completamente empotrados (fijos contra la rotación) en los extremos. Debido a la incertidumbre respecto al grado de fijación de los extremos, a menudo las columnas se suponen con articulaciones en dichas partes. Con excepción del caso que se muestra en la Figura 8.b, donde no se puede utilizar, este procedimiento es conservador. Las ecuaciones anteriores llegan a ser completamente erróneas para el intervalo inelástico y no se deben utilizar en la forma dada (ver fórmulas generalizadas).
LIMITACIÓN DE LAS FORMULAS DE PANDEO ELÁSTICO En las deducciones anteriores de las fórmulas de pandeo para columnas se supuso tácitamente que el material se comportaba de manera linealmente elástica. Para poner de manifiesto esta significativa limitación, la ecuación de Euler puede escribirse en forma diferente. Por definición, I = Ar 2, donde A es el área de la sección transversal y r es su radio de giro. La substitución de esta relación da: donde la tensión crítica C, para una columna se define como un promedio en el área transversal A de la misma, debido a la carga crítica P C. La longitud de la columna es la longitud efectiva L e y r el radio de giro mínimo del área de la sección, puesto que la fórmula original de Euler se da en términos del valor mínimo de I. La relación (L/r) se llama relación de esbeltez ( ) de la columna.
De la ecuación anterior se puede concluir que el límite de proporcionalidad del material es el límite superior de la tensión con la cual la columna pandeará elásticamente. La modificación necesaria de la fórmula para incluir la respuesta inelástica del material se estudiará en la siguiente sección.
FORMULAS GENERALIZADAS DE LA CARGA DE PANDEO DE EULER Un diagrama típico tensión-deformación a la compresión para una probeta en la que se impide el pandeo se puede representar como en la Figura 9.a. En el intervalo de tensiones desde O hasta A el material se comporta elásticamente. Si la tensión en una columna en pandeo no excede de este intervalo la columna pandeará elásticamente. La hipérbola correspondiente a la ecuación C = 2 E/(L/r) 2, es aplicable en este caso. Esta porción de la curva se indica como ST en la Figura 9.b. Es importante reconocer que esta curva no representa el comportamiento de una columna sino más bien el de un número infinito de columnas ideales de diferente longitud. La hipérbola que corresponde a la región situada más allá del intervalo útil se indica en la figura por medio de una línea punteada.
SOLUCIÓN DE JOHNSON PARA EL PANDEO DE COLUMNAS INTERMEDIAS A causa de las desviaciones inevitables de la situación ideal representada por las curvas ACE y BDF, la falla en las columnas ocurren para valores menores que los predictos por la teoría, en particular en las vecindades de los puntos C y D. La modificación más ampliamente utilizada es la parábola propuesta por J.B. Johnson a comienzos del S XX. Parábola de Johnson
Como se puede ver en la gráfica anterior, la parábola es siempre tangente a la curva de euler en el punto (S cr, L e / ) donde. Este punto de tangencia usualmente sirve para distinguir entre columnas «intermedias» (zona de la parábola) y columnas «largas» (zona de Euler), las columnas «cortas» son comunmente acotadas a aquellas con (L e / ) menor a 10, en cuyo caso la carga crítica puede tomarse como S y (en este caso se habla de «puntales»). Para Aceros se cumple que si: L e / 80 entonces puede aplicar Euler. L e / 90 entonces puede aplicar Johnson.
COLUMNAS CARGADAS EXCÉNTRICAMENTE En el estudio anterior del pandeo de columnas se supuso que tales elementos eran idealmente rectos. Puesto que en realidad todas las columnas tienen imperfecciones, las cargas de pandeo que se obtienen para columnas ideales son las mejores posibles. Tales análisis sólo proporcionan indicios acerca del mejor funcionamiento posible de columnas. Por lo tanto, no es sorprendente que el funcionamiento de columnas haya sido explorado también con base en algunas imperfecciones determinadas estadísticamente o en posibles desalineamientos de las cargas aplicadas. Como una ilustración de este enfoque, se considerará una columna cargada excéntricamente que es un problema importante en si mismo. Una columna cargada excéntricamente se indica en la Figura. Esta fuerza es equivalente a una fuerza axial concéntrica P y a momentos en en los extremos M o = Pe. Tal viga columna ya ha sido analizada en el ejemplo 2, donde se encontró que debido a la flexibilidad del miembro, el máximo momento flexionante M MAX =M o sec( L / 2 ).
Por lo tanto, la tensión máxima de compresión, que ocurre a la mitad de la altura en el lado cóncavo de la columna, se puede calcular como
A (ec/ 2 ) se le llama usualmente relación (o ratio) de excentricidad