APLICACIÓN DE LAS MATRICES Modelos de Entrada-Salida de Leontief El modelo desarrollado por Wassily Leontief, es una aplicación interesante de las matrices, que fue útil para pronosticar los efectos en los cambios de precios o las variaciones de las erogaciones gubernamentales sobre la economía. Un modelo simplificado de la economía sería: Salidas Productos Bienes Entradas Agrícolas Manufacturados Combustible Productos Agrícolas 0.5 0.1 0.1 Bienes Manufacturados 0.2 0.5 0.3 Combustibles 0.1 0.3 0.4 A partir de esta tabla, podemos formar la matriz A, la cual se llama Matriz tecnológica o Matriz de Leontief 0.5 0,1 0,1 A = 0,2 0,5 0,3 0,1 0,3 0,4 La matriz tecnológica no tiene toda la información. En particular, cada industria tiene una producción bruta. Se puede presentar la matriz de producción bruta para la economía con una matriz de columna A = Donde x1 es la producción bruta de los productos agrícolas, x2 es la producción bruta de bienes manufacturados y x3 es la producción bruta de combustibles. La cantidad de las producciones brutas que en la economía usan varias industrias se determina por medio de AX. Las unidades de producción bruta que no se utilizan en estas industrias se denominan demandas finales o superávits y s pueden considerar que están disponibles para los consumidores, el gobierno o la exportación. Si ponemos estos superávits en una matriz columna D, entonces se puede representar el superávit con la ecuación X AX = D ó (I A) X=D Donde I es la matriz unidad o identidad. Esta ecuación matricial recibe el nombre de Ecuación tecnológica para un modelo abierto de Leontief. Se llame modelo abierto porque 1 x1 X2 X3
algunas mercancías de la economía están abiertas o disponibles para entidades ajenas a la economía Ejercicio. Si queremos tener un superávit de 85 unidades de producción agrícola, 65 de productos fabricados y 0 unidades de combustible cuáles deben ser las producciones brutas? Por datos Debemos resolver: 85 D = 65 0 1 0 0 0.5 0,1 0,1 X1 85 0 1 0-0,2 0,5 0,3 x X2 = 65 0 0 1 0,1 0,3 0,4 X3 0 1 0 0 0,5 0,1 0,1 0,5-0,1-0,1 I A = 0 1 0-0,2 0,5 0,3 = -0,2 0,5-0,3 0 0 1 0,1 0,3 0,4-0,1-0,3 0,6 Debemos resolver la ecuación matricial La matriz ampliada 0,5-0,1-0,1 X1 85-0,2 0,5-0,3 X2 = 65-0,1-0,3 0,6 X3 0 0,5-0,1-0,1 85-0,2 0,5-0,3 65-0,1-0,3 0,6 0 es Si se reduce utilizando el método de Gauss-Jordan, se obtiene 1 0 0 300 0 1 0 400 0 0 1 250 De modo que las producciones brutas de las industrias son Agricultura: X1 = 300 2
La ecuación tecnológica para el modelo de Leontief se puede resolver usando la inversa de I A, si esta existe. Es decir, (I A)X = D tiene solución X = (I A) -1 D Problemas 1. Una economía simple tiene una industria de calzado y una de ganadería con la matriz tecnológica C G 0.1 0.1 Calzado A = 0.2 0.05 Ganadería Se desean superávits de 850 unidades de calzado y 275 unidades de ganado. Encuentre la producción bruta de cada industria. 1 Hallemos I A = 0 0 0,1 1 0,2 0,1 0,9 0,05 0,2 0,95 (0,9)(0,95) ( 0,1)( 0,2) 0,2 0,1 1 1 I A 0,95 0,835 0,2 0,1 0,9 0,1 0,95 1 1 1 I A I A 1,13 X 0,23 Manufactura: X2 = 400 Combustible: X3 = 250 0,11 850 1,07 X 275 0,9 1,13850 0,23850 1,13 0,23 0,11 1,07 0,11 275 1,07 275 990,75 calzado X 489,75 ganado Verificar (I-A)X=D 0,9 0,2 0,1 990,75 842,7 0,99 489,75 267,4 3
2. Un pequeño pueblo tiene 3 industrias primarias, una mina de cobre, un ferrocarril, y una planta de energía eléctrica. Para producir una unidad (1 $) de cobre la mina gasta $0.20 de cobre, $0.1 de transporte, $0.2 de energía eléctrica. Para producir $1 de transporte, el ferrocarril requiere de $0.1 de cobre, $0.1 de transporte, y $0.4 de energía eléctrica. Para producir $ 1 de energía eléctrica, la planta destina $ 0.2 de cobre, $ 0.2 de transporte, y $ 0.3 de energía eléctrica. Suponga que durante un año hay una demanda externa de 1,2 millones de dólares de cobre, 0.8 millones de dólares de transporte, y 1.5 millones de dólares por concepto de energía Cuánto debe producir cada industria para satisfacer la demanda total? Inicialmente representamos la situación en forma de matriz. Inicialmente la matriz tecnológica í Ahora la matriz de superávits í Debemos calcula Hallamos I A I A = í Calculamos (I A) -1, utilizando el método de reducción de Gauss-Jordan 4
Entonces Calculamos Es decir que para cumplir con la demanda del mercado se tienen que producir aproximadamente 2.725 unidades de cobre, 2.786 de ferrocarril y 3.727 de energía. Para verificar el resultado se debe comprobar que í Por lo tanto la solución es correcta. 3. Una compañía que produce, gas, aceite y gasolina, se sabe que para producir una unidad de gas requiere 1/5 del mismo, 2/5 de aceite y 1/5 de gasolina. Para producir una unidad de aceite, requiere de 2/5 de gas y 1/5 de aceite. Para producir una unidad de gasolina usa 1 unidad de gas y una de. Finalmente Si tiene una demanda del mercado de 100 unidades de cada producto. Determinar la producción bruta de cada industria para cumplir con su mercado? Inicialmente representamos la situación en forma de matriz. Inicialmente la matriz tecnológica 5
Ahora la matriz de superávits Debemos calcula Hallamos I A I A = Calculamos (I A) -1, utilizando el método de reducción de Gauss-Jordan Entonces Calculamos Es decir que para cumplir con la demanda del mercado se tienen que producir 650 unidades de gas, 450 de aceite y 1200 de gasolina. Para verificar el resultado se debe comprobar que 6
Por lo tanto la solución es correcta. 4. Considerando las industrias química, la médica y la de servicios, se sabe que hay una demanda de la industria química de 0.25 de su propia producción, 0.35 de la médica, y 0.1 de servicios. Para producir una unidad de medicamentos, se requiere de 0.15 de la industria química, 0.2 de su propia producción y 0.1 de servicios. Existe también una demanda de la industria de servicios de 0.15 de medicamentos, 0.25 de químicos y 0.35 del mismo transporte. Si hay una demanda externa de 600 de químicos, de 1100 de medicinas y 600 de transporte Cuánto debe producir cada industria para satisfacer la demanda total? Por comodidad se trabajará con dos cifras decimales Inicialmente representamos la situación en forma de matriz. Inicialmente la matriz tecnológica Química Médica Servicios Química 0.25 0.35 0.10 A= Médica 0.15 0.20 0.10 Servicios 0.25 0.15 0.35 Ahora la matriz de superávits 600 Química D= 1100 Médica 600 Servicios Debemos hallar: Calculamos I - A Calculamos (I A) -1, utilizando el método de reducción de Gauss-Jordan 7
Entonces Calculamos = í Es decir que para cumplir con la demanda del mercado se tienen que producir aproximadamente con 1937 unidades de industria química, 1979 de medicamentos y 2129 de servicios. Para verificar el resultado se debe comprobar que Por lo tanto la solución es correcta. 8
5. Una economía primitiva con una industria maderera y una industria de energía tiene la siguiente matriz tecnológica Madera Energía A = 0,1 0,2 Madera 0,2 0,4 Energía Si se desean superávits de 30 unidades de madera y 70 unidades de energía, encuentre la producción bruta de cada industria. 6. Suponga que una economía tiene dos industrias, agricultura y minería, y la economía tiene una matriz tecnológica A M 0.4 0.2 Agricultura A = 0.1 0.3 Minería Si desean un superávit de 140 unidades agrícolas y 140 unidades de minerales, encuentre la producción bruta de cada industria 7. Dada la matriz tecnológica A con industrias a, b, c A= Halle la producción bruta de cada industria si se desea obtener la siguiente matriz de superávits D= 8. La economía de una nación en vía de desarrollo tiene la siguiente matriz tecnológica Agricultura Siderurgia Carbón 0,1 0,01 0,01 Agricultura 0,02 0,13 0,20 Siderurgia 0,05 0,18 0,05 Carbón Encuentre las producciones brutas necesarias para dar superávits de 2 350 toneladas de productos agrícolas, 4552 toneladas de acero y 911 toneladas de carbón. 9
La producción bruta de calzado es aproximadamente de 991 unidades y de ganado aproximadamente de 490 unidades 9. La economía de una nación tiene la siguiente matriz tecnológica Agricultura Industria Servicios 0,43 0,08 0,06 Agricultura 0,3 0,17 0,05 Industria 0,23 0,22 0,1 Servicio Encuentre las producciones brutas necesarias para dar superávits de 490 unidades de productos agrícolas, 1 050 en la industria y 1 910 de servicios. 10. La economía de una nación tiene la siguiente matriz tecnológica Manufactura Agricultura Servicios 0,5 0,4 0,2 Agricultura 0,2 0,3 0,1 Industria 0,1 0,1 0,3 Servicio Encuentre las producciones brutas si se quieren tener superávits de 50 unidades de para manufactura, 30 unidades para agricultura y 20 para servicios. 10