TALLER DE OSCILACIONES Y ONDAS Departamento De Fı sica y Geologı a, Universidad De Pamplona DOCENTE: Fı sico Amando Delgado. TEMAS: Todos los desarrollados el primer corte. 1. Determinar la frecuencia angular y la amplitud de una partı cula que oscila con MAS, si a las distancias x1 y x2 de la posicio n de equilibrio su velocidad es v1 y v2 respectivamente. 2 N 2. Una partı cula de 4kg se mueve a lo largo del eje x bajo la accio n de la fuerza F = kx, con k = π16 m. m Cuando t = 2s, la partı cula pasa por el origen, y cuando t = 4s su velocidad es de 4 s. Encontrar la ecuacio n del movimiento. 3. Una partı cula se mueve con MAS, con una amplitud de 0,1m y un periodo de 2s. Realizar una tabla para los P 5P 3P 7P valores de desplazamiento, velocidad y aceleracio n para los tiempos P4, 3P 8, 2, 8, 4, 8, P. Realizar la correspondiente gra fica en funcio n del tiempo. 4. Una partı cula esta situada en el extremo de un vibrador que pasa por su posicio n de equilibrio con una veloci 3 m. Cua l es la frecuencia y el periodo del vibrador? Escribir la ecuacio n dad de 2 m s, la amplitud es de 10 que exprese su desplazamiento en funcio n del tiempo. 5. Una partı cula cuya masa es de 1g se mueve con movimiento armo nico simple con una amplitud de 2mm. Su aceleracio n en el extremo de su recorrido es de 8 10 3 m s. Calcular la frecuencia del movimiento y la velocidad de la partı cula cuando pasa por la posicio n de equilibrio y cuando la elongacio n es de 1,2mm, Calcular en esta posicio n la energı a potencial. Escribir la ecuacio n de la fuerza que actu a sobre la partı cula en funcio n posicio n y el tiempo. 6. Una partı cula de masa m se mueve bajo la accio n de una fuerza F = kx. Cuando t = 2s la partı cula pasa por su posicio n de equilibrio, cuando t = 4s su velocidad es 4 m s. Encontrar la ecuacio n del movimiento y demostrar que la amplitud es 2(32) m π si su periodo es 16s 7. Teniendo en cuenta las ecuaciones de energı a cine tica y potencial, realizar una gra fica que explique la transformacio n de energı as en un MAS ası como el echo de que la energı a total permanece constante.. 8. Un bloque de madera cuya densidad es ρ tiene dimensiones a, b, c. Mientras esta flotando en el agua con el lado a en posicio n vertical se le empuja hacia abajo y se le suelta. Halle el periodo de las oscilaciones resultantes. 9. Calcular para un MAS los valores de x y x 2 referentes al tiempo. Tambie n los promedio de las energı as cine tica y potencial para el tiempo y el espacio. 10. Una partı cula que se mueve con movimiento armo nico simple, con una frecuencia f, fue lanzada con una velocidad inicial v0, desde una posicio n que se encuentra a x0 de la posicio n de equilibrio, determinar la posicio n de la partı cula como una funcio n del tiempo. 11. Flotando en el agua se encuentra un tronco cilı ndrico de longitud L y radio R. Tiene un contrapeso de plomo, con la finalidad de mantenerlo en forma vertical (ver figura (1)). La masa del tronco y el plomo juntos es M. Si el tronco se empuja un poco hacia abajo demuestre que al soltarlo se produce un movimiento armo nico simple y determine su frecuencia.
Figura 1. Tronco flotando. 12. Una masa m esta ubicada en el extremo de una barra de longitud l y masa m,la cual puede girar de su punto superior. Ver figura (2). Calcule el periodo para pequeñas oscilaciones. Figura 2. Péndulo compuesto barra-masa. 13. Una partícula se desliza entre dos planos inclinados sin fricción como se muestra en la figura (3). Encontrar el periodo de oscilación del movimiento si h es la altura inicial. Decir si es un MAS. Figura 3. Partícula en un plano inclinado. 14. Dos cargas positivas q están separadas una distancia 2d. Se coloca una tercera carga q negativa exactamente en la mitad de las otras dos, pero a una altura y. Explique bajo que condiciones la carga negativa oscilara con MAS y halle su periodo. 15. Un objeto de 1kg esta atado a un resorte horizontal inicialmente elongado 0,1m. El objeto se libera de esta posición y procede a moverse sin fricción. En t = 0,5s su velocidad es cero. Calcular la maxima velocidad del objeto. 16. La gráfica (4) representa el movimiento en cm de un oscilador en función del tiempo. Calcular: la amplitud, la frecuencia angular, la frecuencia normal, la fase inicial. Calcular las condiciones iniciales. La velocidad y la aceleración maxima. Escribir las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración y graficar. 17. Un péndulo consta de un disco uniforme de radio r y masa m unido a una barra de longitud l que tiene una masa M, según figura (5). Calcule la inercia rotatoria del péndulo respecto al pivote. Cual es la distancia entre el pivote y el centro de masa del péndulo? Calcule el periodo de oscilación para ángulos pequeños. 2
Figura 4. Posición en función del tiempo de un oscilador. Figura 5. Péndulo compuesto. 18. Un péndulo de torsión consiste en una varilla de masa 100g y 30cm de longitud, la varilla pasa por el centro de dos esferas iguales de 150g y 5cm de radio, situadas simétricamente de modo que el centro de las esferas dista 10cm del eje de giro. Sabiendo que el periodo de la oscilación vale 2,4s, calcular la constante k de torsion del muelle. Si en el instante inicial t = 0 el péndulo se desplaza θ = π 6 de la posición de equilibrio y se suelta (velocidad inicial nula), escribir la ecuación del M.A.S. Calcular la velocidad angular de rotación cuando pasa por la posición de equilibrio. 19. Un bloque de masa M, se encuentra en reposo sobre una mesa horizontal sin fricción, está unido a una pared vertical por medio de un resorte de constante de fuerza k. Una bala de masa m y rapidez v golpea al bloque como se muestra en la figura (6). La bala se queda empotrada en el bloque. Determine la amplitud del movimiento armónico simple resultante. Figura 6. Bloque pagado a un resorte. 20. La figura (7) muestra un pequeño disco delgado de radio r y masa m que está rígidamente unido a la cara de un segundo disco delgado de radio R y masa M. El centro del disco pequeño se localiza en el borde del disco grande, el cual está montado en su centro sobre un eje sin fricción en un plano vertical. El conjunto se hace girar un ángulo a partir de su posición de equilibrio y se suelta. Pruebe que la velocidad del centro del disco pequeño cuando pasa por la posición de equilibrio es v = 2 3 ( Rg(1 cos θ) 2 + M m + ( ) r 2 ). Muestre que el periodo del R
(M + 2m)R 2 + mr 2 movimiento es P = 2π 2mgR Figura 7. Péndulo de discos. 21. Demuestre que las relaciones generales entre los dos valores iniciales de la posición inicial x 0 y de velocidad inicial v 0 y la amplitud A y el ángulo de fase inicial φ son, A = x 2 + ( v 0 ) 2, v 0 ω φ = ωx 0 22. Una esfera sólida de masa m y radio R rueda sin deslizar en un canal cilíndrico de radio ( ) 5R, como se muestra en la figura (8). a)pruebe que la energía cinética de la esfera vale T = 112mR2 dθ. b) Demuestre que 10 dt para pequeños desplazamientos θ desde el punto de equilibrio perpendicular a la longitud del canal, la esfera 28R realiza un movimiento armónico simple con un periodo P = 2π 5g Figura 8. Esfera en un canal. 23. Encontrar la ecuación del movimiento que resulta de la superposición de dos movimientos armónicos simples paralelos cuyas ecuaciones son x 1 = 2 sin(ωt + π 3 ), x 2 = 3 sin(ωt + π 2 ). Hacer un gráfico de cada movimiento y del movimiento resultante. Representar sus respectivos fasores. 24. Encontrar la ecuación resultante de la superposición de dos MAS paralelos cuyas ecuaciones son x 1 = 6 sin(2t), x 2 = 8 sin(2t + α). Para α = 0; π 2 ; π. Hacer un gráfico de cada movimiento y del movimiento resultante en cada caso. 25. Encontrar la ecuación de movimiento para una partícula sometida a dos MAS perpendiculares cuyas ecuaciones son x = 4 sin(ωt); y = 3 sin(ωt + α). Hacer un gráfico de la trayectoria cuando α = 0; π 2 ; π. y decir la dirección de movimiento de la partícula. 4
26. Una partícula de carga negativa q está situada en el centro de un anillo con carga uniforme y radio a, el cual tiene una carga positiva total Q. La partícula, limitada a moverse a lo largo del eje x, es desplazada una pequeña distancia x y luego se le libera. Demuestre que si x << a la partícula oscila en un movimiento armónico simple con una frecuencia conocida por f = 1 kqq 2π ma 3 27. Un dipolo eléctrico en un campo eléctrico uniforme se desplaza ligeramente de su posición de equilibrio,como se observa en la figura (9). La separación entre cargas es 2a, y el momento de inercia del dipolo es I. Suponga que el dipolo es liberado de su posición para un ángulo θ pequeño y demuestre que su orientación angular exhibe un movimiento armónico simple de frecuencia f = 1 2qaE 2π I Figura 9. Dipolo en un campo eléctrico. 28. Suponga que una partícula esta sometida a dos MAS perpendiculares cuyas ecuaciones están dadas por x = A sin(ωt); y = B sin(ωt + δ). Demuestre que eliminando la coordenada temporal la ecuación de la trayectoria es x2 A 2 + y2 B 2 2xy AB cos(δ) = sin2 (δ). La cual es una elipse rotada un ángulo respecto a a x y y. Demuestre hacia donde es recorrida la elipse dependiendo de si 0 < δ < π ó π < δ < 2π. 29. Hacer del libro guía Alonso y Finn tomo 1 capitulo 12 los numerales 12.48, 12.50. 30. Un péndulo con una longitud de 1mse libera desde un ángulo θ 0 = 15. Después de un tiempo de 1 10 3 s su amplitud se reduce por fricción a 5,5. Cual es el valor de λ? 31. Un objeto de 0,15kg cuelga de un resorte de constante 6,3 N m. Si se le aplica una fuerza sinusoidal de amplitud 1,7N y su amortiguamiento es mínimo, calcule la frecuencia de vibración del objeto si su amplitud es de 0,44m 32. Un bebe se regocija durante el día haciendo sonidos y rebotando arriba y abajo en su cuna. Su masa es m y el colchón de la cuna se modela como un resorte ligero con constante de fuerza k. a) La bebe pronto aprende a rebotar con maxima amplitud y mínimo esfuerzo, a que frecuencia lo hace?. Ella aprende a usar el colchón como trampolín y pierde contacto con el durante parte del ciclo, esto sucede cuando su amplitud supera que valor? ÉXITOS 5