Análisis Esadísico de Daos Climáicos SERIES TEMPORALES I Mario Bidegain (FC) Alvaro Diaz (FI) Universidad de la República Monevideo, Uruguay 2011
CONTENIDO Esudio de las series emporales en Climaología. Ciclo anual y diario en variables climáicas. Dominio emporal vs. dominio de frecuencias. Procesos esocásicos. Series aleaorias. Esacionariedad. Pruebas de endencia (es de Mann-Kendall). Auocovariancia y auocorrelación Procesos de Markov. Ejemplos de procesos auorregresivos.
Principales objeivos del esudio de las series emporales en Ciencias de la Amósfera: - Comprender la variabilidad de la serie emporal - Idenificar los oscilaciones regulares y no regulares de la serie emporal - Describir las caracerísicas de esas oscilaciones. - Comprender los procesos físicos que dan origen a esas oscilaciones. Para alcanzar esos objeivos necesiamos que: - Idenificar los ciclos regulares (auocovariancia, análisis armónico, ec.) - Esimar la imporancia de esos ciclos (análisis especral) - Aislar o remover ciclos (filrado)
Ciclo anual y diario en variables climáicas La mayoría de las series que analizamos en Ciencias de la Amósfera son originadas en procesos que ienen incluidos ciclos o oscilaciones periódicas Los dos principales ciclos son: Ciclo o oscilación diaria Ciclo o oscilación anual Temperauras medias mensuales 25.0 20.0 15.0 10.0 5.0 0.0 ENE MAR MAY JUL SET NOV ENE MAR MAY JUL SET NOV
Diferenes aproximaciones: Dominio emporal vs. dominio frecuencia Los méodos basados en el dominio emporal procuran caracerizar la serie de daos en los mismos érminos (condiciones) en los cuales ellos son observados. El insrumeno fundamenal para la caracerización de relaciones enre valores de daos en el dominio emporal es la función de auocorrelación. Maemáicamene, el análisis en el dominio emporal funciona en el mismo espacio que los valores de daos en dominios de frecuencia. El análisis en dominio de frecuencia represena la serie de daos en érminos de conribuciones que ocurren en escalas de iempo diferenes, o frecuencias caracerísicas. Cada escala de iempo es represenada por un par de funciones de coseno y seno. La serie de iempo oal es considerada como proveniene de los efecos combinados de una colección de senos y cosenos que oscilan en diferenes periodos. La suma de esas ondas reproduce los daos originales, Los méodos de análisis en dominio de frecuencia son comúnmene aplicados a las series de emporales geofísicas, e imporanes ideas pueden ser generadas a parir del análisis del dominio de frecuencia.
Procesos esocásicos I Se define un proceso X() como un fenómeno que cambia en el iempo o el espacio. Los procesos suelen clasificarse en: Deerminísicos: exise una relación definida o causal por lo que la obención de nuevos daos u observaciones no agregan información sobre el mismo Esocásicos: definidos por una disribución de probabilidades. Son mas complejos que su análogo deerminísico. Normalmene se define una Serie cronológica o emporal como una función no deerminísica o aleaoria X que depende de una variable (iempo). Se admie que la serie emporal represena un muesreo de una población, suponiendo además que es esacionaria, es decir que su promedio, varianza y oros momenos esadísicos son invarianes a desplazamienos emporales. Un proceso aleaorio puro cumple además que las realizaciones son independienes enre ellas consiuyendo una secuencia al azar.
Procesos esocásicos II En las series climáicas los valores sucesivos no son independienes enre si debido a la presencia de persisencia (la serie iende a recordar sus valores aneriores), ciclos periódicos o aperiodicos y endencias ya sea lineal o no lineal y oros efecos no aleaorios. En general las series climáicas consisen ano de componenes aleaorias como deerminísicas. El objeivo es idenificar an claramene como sea posible la nauraleza y exensión de las componenes no aleaorias en esas series climáicas. Exisen varias écnicas esadísicas que inenan ajusar modelos que represenen los procesos esocasicos generadores de las series. Si bien un proceso esocásico no es predecible con cereza es posible describirlo en érminos de sus parámeros esadísicos.
Esacionariedad Hay dos aproximaciones para raar con series no esacionarias: La primera aproximación es ransformar maemáicamene los daos no esacionarios para acercarnos a la esacionariedad. Por ejemplo, resando una función periódica a los daos que coniene un ciclo anual produciría una serie de daos ransformada con media (cero) consane. Para producir una serie con media y varianza consane, podría ser necesario aun más ransformar esas anomalías a anomalías esandarizadas - es decir dividir los valores en la serie de anomalías por las desviaciones esándar que ambién varían con un ciclo anual. La alernaiva a la ransformación de daos es esraificar los daos. Es decir podemos hacer los análisis por separado de los subconjunos del regisro de daos que son basane coros para ser considerados como esacionarios. Nosoros podríamos analizar observaciones diarias para odos los regisros de enero disponibles en una ubicación dada, asumiendo que cada regisro de daos de 31 días es una muesra del mismo proceso físico, pero necesariamene esamos diciendo que no acepamos que aquel proceso sea el mismo para julio, o para febrero.
Esacionariedad Hay dos aproximaciones para esear la esacionariedad de una serie: No paraméricas Paraméricas Denro de las No Paraméricas se uiliza: Tes del recorrido Denro de las Paraméricas: La Función de auocorrelación en una serie emporal no esacionaria, no decaerá, ni se exinguirá rápidamene. Básicamene las aproximaciones paraméricas asumen un ciero nivel de experiencia con los daos, y con aquella experiencia uno enonces puede conar que examinando los daos pueden se puede considerar esacionaria o no.
Tes de Tendencia de Mann-Kendall La prueba iene como objeivo deecar una endencia al incremeno o al decrecimieno en la serie de daos. La prueba de Mann - Kendall esá basada en la esadísica S. Cada par de valores observados y i, y j (i> j) de la variable aleaoria es inspeccionado para enconrar cuando y i > y j o y i < y j. Si el número de pares posiivos es P, y el número del ipo de pares negaivos es M Enonces la S es definida como S = P M Para n> 10, la disribución de muesreo de S la z sigue la disribución esándar normal donde
Auocovariancia La auocovariancia es la covariancia consigo misma en oros insanes de iempo, medido por un lag o desfasaje emporal. Esa función es uilizada para esimar los periodos dominanes en una serie emporal. La auocovariancia mide el grado de inensidad de correlación, dependencia o memoria de los valores de un proceso enre dos insanes.
Auocorrelación I Usamos la correlación como una medida de dependencia. Cuando rabajamos con una variable, podemos calcular la correlación enre X y X -1 o enre X y X -2 Las correlaciones enre X en diferenes iempos son llamados auocorrelaciones. No obsane, debemos asumir que odos los X s ienen: misma media (no exisen endencias) misma varianza
Auocorrelación II Suponemos que la serie es esacionaria. Eso significa que: La serie emporal varia alrededor de una media fija y iene variancia consane La dependencia enre observaciones sucesivas no cambia con el iempo La auocorrelación para una serie esacionaria: ( ) ( ) ( ) cov X,X cov X,X s s ρ s = = Var ( X ) ( ) Var X Var X s
Auocorrelación III Las esimaciones de la auocorrelaciones muesrales son: r s = T = s (X X)(X X) T = 1 s (X X) 2 Denominamos correlogramas a la represenación gráfica de las funciones de Auocorrelación
Funciones ípicas de auocorrelación a) Si el lag o desplazamieno es pequeño la auocorrelacion es posiiva para muchas variables geofisicas b) Eso significa que exise persisencia en las variables c) Por lo ano si enemos una secuencia de N observaciones esas no pueden ser consideradas independienes. d) Eso significa que los grados de liberad son menores a N.
Ejemplos de correlogramas mas comunes.
Procesos esocásicos Procesos esocásicos elemenales: Ruido Blanco El denominado ruido blanco es un proceso esocásico que presena media nula, varianza consane y covarianza nula para cualquier valor de lag (k), si además la disribución es normal, se denomina Ruido Blanco Gaussiano. E E ( a ) 2 ( a ) = = σ Cov( a, a 0 2 a + k ) = 0 k Ese ipo de proceso es esricamene esacionario.
Procesos esocásicos Procesos esocásicos elemenales: Proceso Auorregresivo. Definimos un proceso auorregresivo de primer orden AR(1) como un proceso aleaorio que responde a una expresión del ipo X = ρ0 + ρ1x 1 + a o bien X = ρ1x 1 + a con X = X ρ0 Para que el proceso AR(1) sea esacionario se debe cumplir que -1<ρ 1 <1, para que σ z 2 sea finia y no negaiva. Var 2 σ 1 ρ ( ) 2 2 2 2 a X = σ z = ρ1 σ z + σ a = 2 Los procesos auoregresivos pueden generalizarse al orden p AR(p) sin más que añadir érminos reardados en la expresión general. 1 X X X X + = ρ 0 + ρ1 1 + ρ2 2 +... + ρ p p a
Procesos esocásicos Procesos esocásicos elemenales: Medias móviles. Definimos una media móvil de primer orden MA(1) como un proceso aleaorio que responde a una expresión del ipo X = a + θ a 1 1 con X en diferencias a la media Los procesos de medias móviles son esacionarios y, al igual que los auoregresivos pueden generalizarse al orden q MA(q) sin más que añadir érminos reardados en la expresión general. X = a + θ a... θ a 1 1 + θ2a 2 + + q q
Cadenas de Markov I La clase más común de modelo esocásico, usado para represenar las series emporales de variables discreas es la Cadena de Markov. Una cadena de Markov puede ser imaginada como una sucesión de esados de un sisema. Cada esado corresponde a uno de los elemenos de la parición del espacio muesral que describe la variable aleaoria en cuesión. Para cada período de iempo, la cadena de Markov puede o permanecer en el mismo esado o cambiarse a uno de los oros esados. El permanecer en el mismo esado corresponde a dos observaciones sucesivas del mismo valor de la variable aleaoria discrea en la serie emporal, y un cambio de esado implica dos valores sucesivos diferenes de la serie de iempo. Ej. Cadena de Markov de primer orden o dos esados.
Cadenas de Markov II Cómo sabemos que orden es apropiado por una cadena de Markov para represenar una serie de daos en paricular? Un acercamieno es de usar un conrase de hipóesis, por ejemplo Chi-cuadrado Dos crierios se emplean comúnmene para escoger enre los órdenes de los modelos de cadena de Markov. Crierio de Información de Akaike (AIC) y Crierio de Información Bayesiano (BIC) Tano el AIC como el BIC inenan enconrar el orden mas apropiado para el modelo logrando un juso equilibrio enre la bondad del ajuse y una penalización que aumena con el número de parámeros ajusados. Los dos crierios se diferencian sólo en la forma de la función de penalización.
Procesos auorregresivos Wilks, 2006