Teoría de las decisiones y de los juegos 007-008 Grupo 01 y 51 Ejercicios - Tema Juegos estáticos con información completa 1. (a) Demuestra que si una estrategia es estrictamente dominada no formará parte de ningún equilibrio de Nash en estrategias puras. solucion Supongamos que el jugador i tiene una estrategia, s i1 estrictamente dominada por s i, y forma parte de un equilibrio de Nash s. Es decir, u i (s i1, s i ) < u i (s i, s i ) para cada s i y s i = s i1. Entonces, u i (s i, s i) > u i (s i1, s i) = u i (s ). Este quiere decir que el jugador i no est maximizando su pago, asi que s no es un equilibrio de Nash. (b) Demuestra que si una estrategia es estrictamente dominada no formará parte de ningún equilibrio de Nash en estrategias mixtas. solución Supongamos que el jugador i tiene una estrategia, s i1 estrictamente dominada por s i, y forma parte de un equilibrio mixto de Nash p. Es decir, u i (s i1, s i ) < u i (s i, s i ) para cada s i y p i1 > 0. Considera la estrategia mixta σ i definida por σ i1 = 0, σ i = p i1 + p i, σ ik = p ik para k >. Entonces mientras. Por tanto, u i (σ i, p i) = σ i1 u i (s i1, p i) + σ i u i (s i, p i) + k> σ ik u i (s ik, p i) u i (p i, p i) = p i1u i (s i1, p i) + p iu i (s i, p i) + k> p iku i (s ik, p i) u i (σ i, p i) u i (p i, p i) = p i1(u i (s i, p i) u i (s i1, p i)) > 0 Es decir, el jugador i puede desviarse unilateralmente de p i y mejorar su pago.. Demuestra que si (s 1, s ) es un equilibrio de Nash en estrategias puras del juego de personas G = {S 1, S ; u 1, u } entonces también lo será del juego G = {S 1, S ; v 1, v } donde v i (s i, s j ) = αu i (s i, s j ) + β para todo perfil (s i, s j ) S y donde α > 0 y β IR son constantes. SOLUCIÓN: Supongamos que (s 1, s ) es un equilibrio de G pero no de G. En este caso existe un jugador i y una estrategia s i s i tal que v i (s i ; s i) > v i (s i ; s i). Pero entonces u i (s i ; s i) = (v i (s i ; s i) β)/α > (v i (s i ; s i) β)/α = u i (s i, ; s i), lo que contradice que s es un equilibrio del juego G. 1
3. Calcula todos los equilibrios de Nash y los pagos correspondientes del juego en forma normal definida por la siguiente matriz de pagos: 1\ I D A (, 1) (0, ) B (1, ) (3, 0) SOLUCIÓN: No existe equilibrio en que un jugador utiliza sólo una estrategia. Asi, supongamos que ((p, 1 p), (q, 1 q)) es un equilibrio en estrategias mixtas. Para que sea óptimo utilizar las dos estrategias, el jugador 1 tiene que ser indiferente. Es decir, A y B obtiene el mismo pago. Por tanto, q = 3/4. (q) + 0(1 q) = 1(q) + 3(1 q). Para que sea óptimo utilizar las dos estrategias, el jugador tiene que ser indiferente. Es decir, I y D obtiene el mismo pago. Por tanto, p = /3. 1(p) + (1 p) = (p) + 0(1 p). 4. Alfonso (A) y Bernardo (B) son dos hermanos que han sido arrestados bajo sospecha de haber cometido un crimen juntos. Ambos permanecen en celdas separadas. A cada uno se le da la oportunidad de confesar el crimen e incriminar al otro. Si sólo uno de ellos escoge esta opción, este es premiado con la libertad mientras su compañero sufre una pena de 10 años. Si ambos confiesan, la evidencia recolectada es suficiente para condenar a ambos con una pena de 5 años. En cambio si ninguno confiesa no hay suficientes pruebas y ambos son condenados a 1 año de prisión. (a) Escribir el juego en forma normal y la matriz de pagos del juego. SOLUCIÓN: 1\ C NC C ( 5, 5) (0, 10) N C ( 10, 0) ( 1, 1) (b) Hallar el equilibrio de Nash en estrategias puras. Es el equilibrio de Nash eficiente en el sentido de Pareto? Explicar. Qué alternativa maximiza los pagos conjuntos? solución (C, C). No es eficiente en el sentido de Pareto porque el resultado (NC, NC) sera mejor para los dos.
(c) Vamos a considerar una variante de este juego, es el dilema del prisionero con preferencias altruistas. Los jugadores A y B son hermanos de modo que la utilidad de A afecta la utilidad de B y viceversa. Supongamos que la utilidad de A es U A = u A +αu B, analogamente para B, U B = u B +αu A, donde u j son los pagos del jugador j = A, B y α > 0 una constante. Cuál es la interpretación de α > 0? Halla la matriz de pagos para las utilidades U j, j = A, B. solución 1\ C NC C ( 5 5α, 5 5α) ( 10α, 10) NC ( 10, 10α) ( 1 α, 1 α) (d) Halla el/los equilibrio(s) de Nash en estrategias puras en función de α. solución Para cada jugador i MR i (C) = {C} si 5 5α > 10, es decir si α < 1 MR i (C) = {NC} si 5 5α < 10, es decir si α > 1 MR i (C) = {C, NC} si 5 5α = 10, es decir si α = 1 MR i (NC) = {C} si 10α > 1 α, es decir si α < 1/9 MR i (NC) = {NC} si 10α < 1 α, es decir si α > 1/9 MR i (NC) = {C, NC} si 10α = 1 α, es decir si α = 1/9 Entonces, los equilibrios en estrategias puras son (C,C) si α 1 (NC,NC) si α 1/9. (e) Halla el/los equilibrio(s) de Nash en estrategias mixtas en función de α. solucion Si α < 1/9, NC domina estrictamente C, asi que no equilibrio es estrategias mixtas existe. Si α > 1 NC domina estrictamente a C, asi que no equilibrio en estrategias mixtas existe. Si α = 1/9, y uno de los dos jugadores utiliza las dos estrategias con probabilidad positiva, el otro jugador tiene solo C como mejor respuesta. En este caso solo (C, C) es un equilibrio y no existe equilibrio en estrategias mixtas. Si α = 1, y uno de los dos jugadores utiliza las dos estrategias con probabilidad positiva, el otro jugador tiene solo NC como mejor respuesta. En este caso solo (NC, NC) es un equilibrio y no existe equilibrio en estrategias mixtas. Supongamos pues que α (1/9, 1), y calculamos un equilibrio en estrategias mixtas ((p, 1 p), (q, 1 q)). Indiferencia por parte del jugador 1 dice: ( 5 5α)q + ( 10α)(1 q) = 10q + ( 1 α)(1 q). 3
q( 5 5α + 10α + 10 + ( 1 α)) = 1 α + 10α q = 9α 1 4 + 4α Observa que α (1/9, 1) implica que 0 < q < 1. Por simetria se halla exactamente la misma solucin para p: p = 9α 1 4 + 4α (f) Halla todos los valores de α para los cuales los jugadores cooperan en (algún) equilibrio. solución (C, C) es un equilibrio cuando α 1/9. 5. Considera una subasta simultánea con información completa en la que los valores del bien para los dos jugadores son v 1 = 5 y v = 3. Todas las pujas deben ser múltiplos de euros. Escribir la forma normal de la subasta al primer precio (el jugador con la mayor puja gana el articulo y paga su puja). Si hay empate entonces los dos tienen un pago de 0. (Puedes suponer que nadie pensar en ofrecer 6 o mas.) (a) Cuál es la predicción a base de la eliminación reiterativa de estrategias dominadas. solución En forma normal tenemos 1\ 0 4 0 (0, 0) (0, 1) (0, 1) (3, 0) (0, 0) (0, 1) 4 (1, 0) (1, 0) (0, 0) No hay estrategias estrictamente dominadas! Si consideramos estrategias débilmente dominadas, podríamos eliminar primero 4 para jugador, y luego 0 para jugador 1. También podríamos eliminar primero 0 para el jugador 1 y luego 4 para el jugador. En el juego que resulta el jugador siempre tiene un pago igual a 0, asi que cualquier estrategia es óptima para él. (b) Halla los equilibrios de Nash y los pagos correspondientes. solución Sea ((p 1, p, 1 p 1 p ), (q 1, q, 1 q 1 q )) un equilibrio de Nash (en estrategias puras o mixtas). Consideremos primero las opciones en el caso de que p 1 > 0. En este caso la mejor respuesta del jugador es pujar, es decir q = 1. Pero la mejor respuesta del jugador 1 entonces sera pujar 4, es decir p 1 = p = 0. Asi que no existe ningun equilibrio en la cual el jugador 1 elige pujar 0 con probabilidad positiva. 4
Consideremos ahora un equilibrio en la cual el jugador utiliza 4 con probabilidad positiva. Solo es ptima si el jugador 1 elige 4 con seguridad. Los equilibrios de este tipo son, entonces (p, q) = (0, 0, 1), (q 1, q, q 3 ) con q 3 > 0 y q 1 + q 3q 1. Para determinar los demás equilibrios, solo tenemos que considerar estrategias en la cual el jugador 1 elige o 4 (p = (0, p, 1 p )) y el jugador elige 0 o (q = (q 1, 1 q 1, 0)). Obviamente, cualquier estrategia q = (q 1, 1 q 1, 0) es óptima contra p porque el jugador siempre obtiene 0 con estas estrategias y no puede conseguir más. EN en estrategias puras son (p, q) = ((0, 1, 0), (1, 0, 0)) y (p, q) = ((0, 0, 1), (0, 1, 0)). Tambien son equilibrios de Nash (p, q) = ((0, 0, 1), (q 1, 1 q 1, 0)), siempre que 3q 1 1. Tambien son equilibrios de Nash (p, q) = ((0, 1, 0), (q 1, 1 q 1, 0)), siempre que 3q 1 1. Finalmente, los equilibrios de Nash donde el jugador 1 utiliza sus dos estrategias y 4 con probabilidad positiva son (p, q) = (0, p, 1 p ), (1/3, /3, 0) para cualquier 0 < p < 1. 6. Sea el juego en forma normal G = {S 1 = {A, M, B}, S = {I, C, D}, u 1, u } cuyos pagos están resumidos en la matriz de pagos: 1\ I C D A (4, ) (0, 0) (0, 1) M (1, 1) (1, 5) (1, 0) B (0, 1) (3, 5) (3, 0) (a) Calcula los equilibrios que se obtienen aplicando el proceso de eliminación iterativa de estategias dominadas. SOLUCIÓN D es dominada por I, y M es dominada por 0.5A + 0.5B!. No se obtiene una solución (unica). (b) Halla los equilibrios de Nash en estrategias puras. SOLUCIÓN Despues de la eliminacion del apartado anterior, quedan (A,I) y (B,C) como EN en estrategias puras. (c) Calcula la correspondencia de mejor respuesta del jugador ante cualquier estrategia mixta (p 1, p, 1 p 1 p ) del jugador 1. SOLUCIÓN La mejor respuesta nunca incluye D (porque es dominada). I es mejor respuesta cuando p 1 + p + (1 p 1 p ) 5p + 5(1 p 1 p ) es decir, cuando p 1 /3. Entonces C es mejor respuesta cuando p 1 /3. (d) Calcula la correspondencia de mejor respuesta del jugador 1 ante cualquier estrategia mixta (q 1, q, 1 q 1 q ) del jugador. 5
SOLUCIÓN La mejor respuesta nunca incluye M (porque es dominada). A es mejor respuesta cuando 4q 1 3q + 3(1 q 1 q ) es decir, cuando q 1 3/7. Entonces B es mejor respuesta cuando q 1 3/7. (e) El perfil ( p 1 = 1 3, p = 1 3, 1 p 1 p = 1 3) y ( q1 = 1 3, q = 1 3, 1 q 1 q = 1 3), es un equilibrio de Nash? SOLUCIÓN NO, por ejemplo porque no puede ser que el jugador utiliza D (f) Halla los equilibrios de Nash en estrategias mixtas. SOLUCIÓN Los apartados anteriores indican que en un equilibrio mixto no se utilizan M ni D, y indiferencia por parte de los jugadores entre los demás estrategias implica (p, q) = ((/3, 0, 1/3), (3/, 4/7, 0)). Ej. 7. Considera dos empresas que compiten en el mismo mercado. Ambas eligen simultáneamente las cantidades a producir: q 1, q 0. La función inversa de demanda de mercado es p (q) = max {0, 10 q}, donde q = q 1 + q. Ambas empresas tienen la misma tecnología representada por la función de costes: { qi + k si q C (q i ) = i > 0; 0 si q i = 0. Donde k [0, 16] es un coste fijo de producción (la publicidad, por ejemplo). (a) Escribir el juego en su forma normal. Solución. {{1, }, R +, R +, u 1, u } donde u i (q 1, q ) = = { 0 si qi = 0; q i max{0, 10 q 1 q } (q i + k) si q i > 0. { 0 si qi = 0; q i max{0, 10 q 1 q } q i k si q i > 0. (b) Analizar el problema de la empresa 1 dado k y dada la oferta de la empresa. Calcular la función de reacción de esta empresa y represéntala gráficamente. Solución. Si la empresa 1 produce 0 obtiene 0. Si es óptimo producir una cantidad positiva q 1 > 0, entonces automáticamente se ha de verificar 10 q 1 q > 0 (si no, sería mejor producir q 1 = 0, una contradicción). Cuál es esta cantidad positiva q 1? Pues, como los beneficios en este caso son q 1 (10 q 1 q ) q 1 k la condición de primer orden (CPO) es: 8 q q 1 = 0. 6
Por tanto, q 1 = (8 q )/ con beneficios q 1 (10 q 1 q ) q 1 k = (8 q ) (10 (8 q ) q ) (8 q ) k = (8 q ) (6 q ) (8 q ) k = (8 q ) (4 q = (8 q ) (8 q ) = ) k k ( ) (8 q ) k Además, como es óptimo producir la cantidad positiva q 1 > 0 (y no la cantidad 0), estos beneficios son positivos (o cero). Es decir, (8 q ) 4k. Por tanto, q 8 k. Así que, { 0 si q 8 k; Análogamente, R 1 (q ) = (8 q ) si q 8 k. { 0 si q1 8 k; R (q 1 ) = (8 q 1 ) si q 1 8 k. (c) Calcular los equilibrios de Nash en estrategias puras en función de k. Solución. (i) Un posible equilibrio de Nash es cuando exactamente una empresa produce cero. Por ejemplo, q 1 = 0. En este caso lo mejor para la empresa es producir q = (8 0)/ = 4. Esto le da un beneficio igual a 4(10 0 4 ) k = 16 k 0. Pero para que sea óptimo para la empresa 1 producir 0 cuando q = 4 necesitamos que 4 8 k, o sea, k. Es decir, k 4. Obviamente, cuando se cumple esta condición (k 4) también q 1 = 4 y q = 0 constituyen un equilibrio de Nash. (ii) Otro posible equilibrio es que las dos empresas producen cero. Producir 0 cuando lo hace la otra empresa es óptimo si y sólo si 0 8 k, es decir cuando k 16. Como sabemos que k [0, 16], concluimos que se da este equilibrio en el caso k = 16. (iii) Finalmente, puede haber un equilibrio en el que las dos empresas producen una cantidad positiva. En este caso, q 1 = (8 q )/ y q = (8 q 1 )/. Entonces q 1 = q = 8/3. Pero producir una cantidad positiva según la función de reacción es óptimo si y sólo si 8/3 8 k. Es decir, cuando k 8 8/3 = 16/3. Es decir, cuando k 64/9 7.11. 7
Ej. 8. Sea un juego con tres jugadores, S 1 = {A, B}, S = {I, D}, S 3 = {α, β} y las matrices de pago representan los pagos de los jugadores las distintas combinaciones de estrategias, donde el primero pago corresponde con el jugador 1, el segundo pago con el jugador y el tercer pago con el jugador 3. Hallar los equilibrios de Nash en estrategias puras y los pagos correspondientes: α 1\ I D A (,, ) (0, 0, 0) B (0, 0, 0) (8, 8, 16) β 1\ I D A (6, 6, 1) (0, 0, 0) B (0, 0, 0) (,, 4) Solución. Comprobando cada una de las celdas se ve que (A, I, α) y (B, D, β) son los únicos equilibrios de Nash en estrategias puras: 1\ I D 1\ I D α A (,, -) (0, 0, 0) β A (6, 6, 1) (0, 0, 0) B (0, 0, 0) (8, 8, 16) B (0, 0, 0) (,, -4) Ej. 9. Tres empresas deben decidir si invertir en Investigación, Desarrollo e Innovación (I+D+I). Supongamos que toda empresa que invierte es exitosa y consigue una mayor cuota de mercado siempre y cuando las empresas competidoras no invierten. Si una empresa invierte mientras sus rivales no lo hacen ésta tiene unos beneficios extraordinarios de 10 unidades monetarias (u.m.); las otras empresas tendrían unas perdidas de 1 u.m. cada una, un pago de -1, representando así la perdida de poder de mercado. Si dos empresas invierten, los beneficios extraordinarios se reducen a 5 y la empresa que ha decidido no invertir obtiene - u.m. Si ninguna invierte o si todas deciden invertir los beneficios extraordinarios se reducen a cero. (a) Escribir el juego en forma normal y la matriz de pagos del mismo. Solución. I 1\ I NI I (0, 0, 0) (5,, 5) NI (, 5, 5) ( 1, 1, 10) NI 1\ I NI I (5, 5, ) (10, 1, 1) NI ( 1, 10, 1) (0, 0, 0) (b) Hallar lo(s) equilibrios de Nash y los pagos en equilibrio. Solución. Se verifica que la estrategia I domina a la (única otra) estrategia NI ya que u 1 (I, I, I) > u 1 (NI, I, I), u 1 (I, NI, I) > u 1 (NI, NI, I), u 1 (I, I, NI) > u 1 (NI, I, NI), u 1 (I, NI, NI) > u 1 (NI, NI, NI). Luego, el único equilibrio de Nash es (I, I, I) con pagos (0, 0, 0). (c) Este es un caso donde la inversión no es demasiado costosa. Supongamos ahora que la inversión simultánea de las empresas disminuye sus beneficios en 3 u.m. 8
(el pago es de ( 3, 3, 3) en lugar de (0, 0, 0) cuando todas invierten). En qué cambia la predicción del resultado del juego? Solución. Ahora el juego en forma normal es I 1\ I NI I ( 3, 3, 3) (5, -, 5) NI (-, 5, 5) ( 1, 1, 10) NI 1\ I NI I (5, 5, -) (10, 1, 1) NI ( 1, 10, 1) (0, 0, 0) Se verifica que los equilibrios de Nash en estrategias puras son (I, I, NI) (con pagos (5, 5, )) (I, NI, I) (con pagos (5,, 5)) (NI, I, I) (con pagos (, 5, 5)) (También hay otros equilibrios (en estrategias mixtas), pero no insistimos en estos ahora.) Ej. 10. Considera una subasta en sobre cerrado. Se subastan unos pantalones de Elvis Presley. Hay n > 3 concursantes y cada concursante debe elegir cuánto va a pujar por el bien y escribirlo en un papel e introducirlo en un sobre cerrado. El jugador con la mayor puja gana el artículo y paga por su puja ( subasta de primer precio). La valoración del bien por parte de los n jugadores es: Los jugadores 1,..., m tienen una valoración de w > 0 y los jugadores m + 1,..., n (n > m + 1) tiene una valoración de v > w. Si no ganan el bien su utilidad es cero. Si hay varias pujas iguales se decide el ganador al azar. Suponemos que los jugadores tienen conocimiento de las valoraciones de los demás jugadores. (a) Hay estrategias dominadas? Solución. No hay estrategias estrictamente dominadas. Por ejemplo, ofrecer s 1 > w no es estrictamente dominada porque si algún otro jugador j puja s j > s 1, el pago para el jugador 1 será 0 (no gana los pantalones pero tampoco paga nada). No hay ninguna estrategia alternativa para el jugador 1 que le da estrictamente más que 0. Podemos decir que ofrecer s 1 > w es débilmente dominada por (por ejemplo) s 1 = w. Porque con s 1 > w se puede conseguir como máximo 0 (en caso de no ganar). Sin embargo, ofrecer s 1 le da el mismo pago (0) si algún otro jugador ofrece s j s 1. Sin embargo, si la máxima puja de los demás jugadores es s j < s 1 entonces ofrecer s 1 da un pago negativo (w s 1 < 0) mientras ofrecer s 1 = w de hecho garantiza un pago de 0. (b) Calcula los equilibrios de Nash de este juego. 9
Solución. Sea W = {1,,..., m} y V = {m + 1,..., n}. Sea s un equilibrio de Nash y sea z = max j {s j}. Obviamente, necesariamente z v (porque si no, cada ganador preferiría (estrictamente) ofrecer menos). Si solo hay un jugador j con s j = z, él tiene incentivos a ofrecer un poco menos (para conseguir los pantalones y pagar menos). Así que hay por lo menos dos jugadores que ofrecen z. Si z < v, cualquier jugador k V tendría incentivos a desviarse y ofrecer un poco mas que z. Concluimos entonces que z = v. Los jugadores en W prefieren no ganar que ganar y pagar v. Por tanto, s i < z = v para todo i W. Ahora se comprueba que efectivamente los equilibrios de Nash son los perfiles s con s i < v para todo i W, s j v para todo j V y s j = s j = v para dos jugadores j, j V, j j (c) Cuál es la utilidad esperada del ganador? Solución. Cualquier ganador obtiene un pago esperado de 0. Ej. 11. En otra ciudad subastan otros pantalones de Elvis Presley. Aquí el ganador pagará en lugar de su puja la segunda puja más alta ( subasta de segundo precio). (a) Hay estrategias dominadas? Solución. No hay estrategias estrictamente dominadas. Si los demás ofrecen 0, cualquier puja s i > 0 te da el mismo pago, porque ganarás los pantalones y no pagas nada. Por tanto, sólo la estrategia de ofrecer 0 puede dominar a alguna otra estrategia s i > 0. Sin embargo, si algún otro jugador ofrece s j > s i entonces la estrategia 0 no es estrictamente mejor que ofrecer s i. Por tanto, pujar 0 tampoco domina a ninguna otra estrategia. Por tanto, no hay estrategias estrictamente dominadas. (b) Para cada jugador hay una estrategia que domina débilmente a todas las demás estrategias. Cuál es? Solución. Ofrecer su propia valoración es una estrategia que domina débilmente a cualquier otra estrategia. Por ejemplo, para i W ofrecer w domina débilmente s i > w: si ganas con w, también lo harás con s i y pagarás lo mismo (la segunda puja más alta). Sin embargo, es posible que ganes con s i pero no con w. Por ejemplo, un único otro jugador ofrece una cantidad s j (w, s i ]. Ganar con s i significa pagar s j > w. Entonces, ofrecer w es mejor. Para i W ofrecer w domina débilmente s i < w: si ganas con s i, también lo harás con w y pagarás lo mismo (la segunda puja más alta). Sin embargo, es posible que ganes con w pero no con s i. Por ejemplo, un único otro jugador ofrece s j (s i, w). En este caso ganar es bueno porque pagas s j < w. 10
(c) Analiza el equilibrio de las estrategias del apartado anterior. Cuál es la utilidad esperada del ganador? Solución. El equilibrio correspondiente a las estrategias débilmente dominantes es (w,..., w, v,..., v) donde los jugadores en W ofrecen w y los jugadores en V ofrecen v. El ganador pagará v así que su utilidad esperada es 0. (d) Hay otros equilibrios? Solución. Sí: por ejemplo dos jugadores de V ofrecen v y los demas ofrecen (v + w)/. Ej. 1. Supongamos que el mercado de coches es un duopolio (dos empresas i = 1, ) cuyas funciones de costes vienen dadas por C i (q i ) = cq i ; (c > 0). La función de demanda del coche i (el bien producido por la empresa i) es P i (q 1, q ) = max{0, M q i bq j }; (i, j = 1,, i j). donde M > c > 0. Es natural suponer que b 1, es decir, el efecto sobre el precio del bien i de un aumento en la propia cantidad q i es al menos tan importante como el de la otra cantidad q j. Suponemos además que b > 0 (los bienes son parcialmente sustitutivos). Las empresas escogen simultáneamente las cantidades q 1 0 y q 0. (a) Calcula la función de reacción de la empresa 1. Solución. Fijemos la cantidad q de la empresa. Sabemos que M c > 0. Supongamos que (M bq ) c 0. Si M bq 0 entonces P 1 (q 1, q ) = 0 y la empresa 1 no producirá nada (es decir, q 1 = 0 es la mejor respuesta). Si M bq 0 entonces P 1 (q 1, q ) 0 pero como (M bq ) c 0 la empresa 1 no producirá nada (es decir, q 1 = 0 es la mejor respuesta). Supongamos ahora que (M bq ) c > 0. Dada la cantidad q de la empresa, la empresa 1 buscará la cantidad q 1 que maximiza sus beneficios, es decir la empresa 1 resuelve max q 1 0 q 1(M q 1 bq c), cuya CPO es Por tanto, (b) Halla el/los equilibrio(s) de Nash. M q 1 bq c = 0. R 1 (q ) = (M c bq )/. 11
Solución. Análogamente, dada la estrategia q 1 de la empresa 1, la mejor respuesta de la empresa es q = 0 si (M bq 1 ) c 0. Si (M bq 1 ) c > 0, la mejor respuesta de la empresa viene dada por R (q 1 ) = (M c bq 1 )/. Se comprueba fácilmente que no hay equilibrio de la forma (0, q ) con q > 0: Supongamos que sí es un equilibrio. Entonces, como 0 es mejor respuesta a q, (M bq ) c 0. Y como q es mejor respuesta a 0: q = M c. Por tanto, M c = q > 0. Por tanto, 0 M bq c = M b( M c ) c = ( M c ) b( M c ) = ( b)( M c ) > 0, una contradicción. De la misma manera se comprueba que no hay equilibrio de la forma (q 1, 0) con q 1 > 0, y que (0, 0) tampoco es equilibrio. Así que cualquier equilibrio es de la forma (q 1, q ) con q 1, q > 0 y por tanto satisface el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos variables lo que es equivalente a q 1 = (M c bq )/ q = (M c bq 1 )/ q 1 + bq = M c q + bq 1 = M c que tiene como solución q 1 = q = (M c)/( + b). (c) Calcula los beneficios de las empresas en equilibrio. Qué relación hay entre estos y el parámetro b? Las empresas buscarán diferenciar sus coches o más bien homogeneizarlos más? Solución. El beneficio para cada empresa en equilibrio es igual a π = ( M c ( + b ) (M M c + b bm c ) + b ) c =... = ( M c + b ). Estos beneficios son decrecientes en b. Buscarán diferenciarse (b = 0). 1
Ej. 13. La madre de Antonio y Benjamín les ha comprado una tarta. Sabe que a ambos les gusta mucho comer tarta. Les propone la siguiente regla de repartición. Ambos escriben, simultáneamente, en un papel que porción de la tarta desean comer. Si la suma de las porciones es mayor que 1 (la totalidad) de la tarta, le regalarán ésta a la vecina teniendo una utilidad de cero tanto A como B. Si la suma de ambas porciones es inferior o igual a 1 se reparten la tarta de acuerdo a las porciones escritas. (a) Cuál es el conjunto de estrategias posibles para A y B? Escribir el juego en forma normal. Solución. Cada jugador tiene como estrategias el conjunto [0, 1]. Entonces, con A = 1 y B =, en forma normal G = {{1, }, [0, 1], [0, 1], u 1, u } donde { si si s u i (s 1, s ) = 1 + s 1; 0 si s 1 + s > 1. (b) Hay alguna estrategia estrictamente dominada? Solución. No. s i > 0 no es dominada porque es la única mejor respuesta a s j = 1 s i. Ni siquiera s i = 0 es estrictamente dominada, porque si el otro pide todo (es decir, s j = 1) no se puede hacer nada mejor que pedir s i = 0. (c) Halla los equilibrios de Nash en estrategias puras. Solución. La mejor respuesta es { 1 sj si s R i (s j ) = j < 1; [0,1] si s j = 1. Así que los equilibrios de Nash en estrategias puras son {(x, 1 x) : x [0, 1]} {(1, 1)}. Ej. 14. Anna (A), Berta (B) y Carles (C) son tres estudiantes de teoría de juegos. Juntos deben resolver algunos ejercicios del tema 1 y para ello deben elegir un esfuerzo e i, i = A, B, C. La nota obtenida es una función creciente del esfuerzo conjunto. Suponemos para simplificar que la nota N = 1 (e p A + e B + e C ), donde p es el numero de estudiantes que participan. Si son A, B y C, p = 3. Supongamos que los niveles de esfuerzo pueden tomar cualquier valor entre cero y diez, e i [0, 10]. La utilidad de cada estudiante es u i = N 1 (e 0 i), donde 1 (e 0 i) representa la desutilidad de hacer esfuerzo. (a) Si los estudiantes eligen simultáneamente el nivel de esfuerzo. Cuál es el nivel de esfuerzo de mejor respuesta dado el nivel de esfuerzo de los otros estudiantes? 13
Solución. Dados los niveles e B y e C, A resuelve cuya CPO es Así que e A = 10/3 3.33. max (e A + e B + e C )/3 e A e A [0,10] 0, 1 3 e A 10 = 0. (b) Halla el equilibrio de Nash de este juego si A, B y C eligen hacer el trabajo juntos. Solución. Hemos visto que cada estudiante tiene una estrategia dominante e i = 10/3. Este es el equilibrio (10/3, 10/3, 10/3). La utilidad para cada estudiante en el equilibrio es u i = 10/3 100/180 = 500/180 = 5/9.77. (c) Qué nivel de esfuerzo maximiza la utilidad conjunta de los estudiantes (u A + u B + u C )? De qué manera podrían los estudiantes asegurar dicho nivel de esfuerzo? Solución. Los estudiantes han de resolver cuyas CPOs son: max 3(e A + e B + e C )/3 e A e A,e B,e C [0,10] 0 e B 0 e C 0, 1 e A 10 = 0, 1 e B 10 = 0 y 1 e C 10 = 0. Así que e A = e B = e C = 10. Utilidad para cada estudiante u i = 10 5 = 5. Cada estudiante debería trabajar solo. (d) Anna decide hacer el trabajo sola. En que cambiarían las predicciones del modelo? Explicar el resultado. Solución. Trabajar sola quiere decir que Anna resuelve max e A e A e A [0,10] 0, cuya CPO es 1 e A /10 = 0. Así que e A = 10. Los otros dos resuelven max (e B + e C )/ e B e B,e C [0,10] 0 e C 0, cuyas CPOs son 1/ e B /10 = 0 y 1/ e C /10 = 0. Así que e B = e C = 5. Explicación (comparación con el apartado (a)): Al ser únicamente responsable para su nota, Anna hace más esfuerzo. Los otros dos, colaborando juntos también hacen más esfuerzo que antes porque su esfuerzo aumenta la nota a una ratio de 1: (en lugar de a una ratio de 1:3). 14