Breviario de cálculo vectorial

Apéndice A Breviario de cálculo vectorial versión 16 de octubre de 2006 Este apéndice no pretende ser mas que un resumen de definiciones y fórmulas útiles acerca de la función delta de Dirac, cálculo vectorial y transformaciones de coordenadas. Está basado en secciones de los libros de Jackson y de Cálculo vectorial de Marsden & Tomba. A.1. La función delta de Dirac La función δ de Dirac permite introducir conceptos como cargas puntuales de una manera matemáticamente formal. La función δ se puede definir de varias maneras, en particular asignándole las propiedades { 0 para x 0 + δx = + para x = 0, fxδxdx = f0, A.1 en particular + δxdx = 1. Una manera alterna de definir la función δ es como el límite de una gaussiana, gx = 2πσ 2 1/2 exp{ x 2 /2σ 2 }, para σ 0. Esta es una gaussiana infinitamente angosta con valor divergente en x = 0 para asegurar su normalización. La función delta puede generalizarse mediante translaciones { 0 para x a + δx a = + para x = a, fxδx adx = fa, A.2 e introduciendo mas variables: δ r r 0 = δx x 0 δy y 0 δz z 0, 1 A.3

de manera que δ r r 0 dxdydz = 1, al integrar sobre todo el espacio. A manera de ejemplo, la función delta permite especificar la densidad de carga debida a un conjunto de N cargas puntuales de valores q ı situadas en posiciones r ı como: N ρ r = q ı δ r r ı. A.4 ı=1 Las propiedades de la función delta permiten obtener el potencial ϕ r evaluando la función dentro de la integral en los puntos r ı, es decir ϕ r = ρ r r r d3 r = N ı=1 q ı δ r rı r r d 3 r = N ı=1 q ı r r ı. A.5 Nótese que δx tiene unidades de inverso de x, y δ r unidades de densidad numérica. La función δ adquiere forma particular en coordenadas cilíndricas y esféricas, dadas por la condición de normalización: δ r r0 RdR dφ dz = 1 δ r = 1 R δr R 0δφ φ 0 δz z 0 A.6 δ r r0 r 2 dr sin θdθ dφ = 1 δ r = 1 r 2 δr r 0δcos θ cos θ 0 δφ φ 0 A.7 A.2. Productos entre vectores A.2.1. Producto interno Para dos vectores a y b en el espacio Euclidiano de tres dimensiones, el producto interno o producto punto entre ellos está definido como a b = a x b x + a y b y + a z b z. En particular se define la norma longitud de un vector, a con la relación a 2 = a 2 = a a. Por definición se cumplen las siguientes propiedades: i a a 0, ii α a b = α a b = a α b, siendo α un escalar, iii a b + c = a b + a c, 2

iv a b = b a, v la desigualdad de Cauchy-Schwarz: a b a b. El cociente se relaciona con el ángulo θ entre ambos vectores: cos θ = a b / a b. A.2.2. Producto vectorial El producto vectorial o producto cruz entre a y b está definido como a ˆx ŷ ẑ b = a x a y a z. b x b y b z Por definición el producto vectorial cumple con las siguientes propiedades: i a b = b a, ii α a b = α a b = a α b, siendo α un escalar, iii a b + c = a b + a c, iv a b = a b sin θ, siendo θ el ángulo entre ambos vectores. Algunas propiedades de los productos vectoriales a b c = b c a = c a b, a b c = a c b a b c, a b c d = a c b d a d b c. A.3. Diferenciación sobre curvas y superficies Una función entre las tres coordenadas x, y, z de un punto del tipo fx, y, z = c, siendo c una constante, describe a una superficie en el espacio de tres dimensiones. La intersección de dos superficies describe a una curva en tres dimensiones. Un ejemplo de superficie es la esfera de radio r dada por la ecuación x 2 + y 2 + z 2 = r 2. La intersección de la esfera con el plano z = 0 nos da un círculo curva en el plano xy. Curvas en el espacio pueden definirse también de manera paramétrica, como trayectorias definidas con las tres coordenadas como tres funciones 3

xt, yt, zt de un mismo parámetro t. Por ejemplo, el círculo de radio r en el plano xy puede describirse como: r cos t, r sin t, 0 con 0 t 2π. La longitud de arco l de una trayectoria rt para a t b se define como b b l = r dt = ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 dt, donde ẋ dx/dt. A.3.1. a Derivada parcial y gradiente a Las derivadas parciales se definen con respecto a cada una de las coordenadas de acuerdo a f x = lím f r + ɛˆx f r ɛ 0 ɛ donde r = xˆx + yŷ + zẑ y las derivadas parciales f/ y y f/ se definen substituyendo x por y o z. Se definen las segundas parciales mediante derivaciones subsecuentes: 2 f x y = x f = y y f = 2 f x y x, con la notación 2 f/ x 2 = 2 f/ x x. Se puede definir la derivada de f con respecto a un parámetro t, donde suponemos r = xt, yt, zt, a través de la regla de la cadena:, df dt = f dx x dt + f dy y dt + f dz dt. Para la ecuación z = fx, y el plano tangente a la superficie descrita en el punto z 0 = fx 0, y 0 estádado por [ ] [ ] f f z = fx 0, y 0 + x x 0 + y y 0, x 0 y 0 las derivadas parciales siendo evaluadas en x 0, y 0. Definiendo el gradiente de la función f como f = f f ˆx + x y ŷ + f ẑ, el plano tangente a la superficie φx, y, z = 0 en el punto r 0 corresponde entonces con φ 0 r r 0 = 0. El gradiente corresponde con la dirección de mayor crecimiento de f y es ortogonal a las curvas de nivel f = constante. 4

A.3.2. Teorema de Taylor y extremos El teorema de Taylor se generaliza para funciones f r con la expresión a segundo orden f r 0 + h = f r 0 + f r 0 h + 1 [ 2 ] f h ı h j +.... 2! ı,j x ı x j r 0 Los puntos extremos de la superficie corresponde a f r 0 = 0. La determinación de si un punto extremo es máximo o mínimo requiere la evaluación del Hessiano en dicho punto ver el Marsden, Tromba. A.4. Campos vectoriales Un campo vectorial es una función en un espacio de misma dimensión que el de coordenadas n = 3 por lo general: F r = F x x, y, zˆx+f y x, y, zŷ + F z x, y, zẑ. La divergencia de F se define como F = F x + F y + F, y el rotacional como F ˆx ŷ ẑ = x y F x F y F z Fz = ˆx y F y Fx +ŷ F z Fy +ẑ x x F x. y A partir de la divergencia se define el operador Laplaciano, derivada de segundo orden de una función escalar: 2 f = f = 2 f x 2 + + 2 f y 2 + 2 f 2. 5

Algunas propiedades de los operadores vectoriales f = 0, F = 0 F = F 2 F ψf = F ψ + ψ F ψf = ψ F + ψ F E B = E B + B E + E B E B = B E E E B = E B B E B + B E + B E E B A.5. Integración A.5.1. Integral de área Para una función fx, y podemos definir la integral de f sobre una región R, contenida en el plano xy I = fx, y da, R con da = dx dy, siendo implicito que la integración es doble sobre dx y sobre dy. En el caso de una región definida por intervalos de la forma a 1 x b 1, a 2 y b 2 un rectángulo la integral se calcula sobre cada una de las variables b2 b1 I = fx, y dx dy. a 2 a 1 Regiones mas complejas pueden ser descritas acotando y mediante dos funciones φ 1 x y φ 2 x, la integral se calcula de acuerdo con I = b1 a 1 φ2 x fx, y dy dx. φ 1 x 6

A.5.2. Integral de volumen La integral de volumen es una generalización a tres dimensiones de la integral de área. Para una función fx, y, z y una región R del espacio de tres dimensiones podemos definir I = fx, y, z dv, R con dv = dx dy dz a veces se emplea la notación dv = d 3 r. La integral es triple y se calcula definiendo la región R, ya sea con intervalos de x,y y z un paralepípedo o con funciones que describan la región, por ejemplo I = b1 a 1 φ2 x ψ2 x,y fx, y, z dz dy dx. φ 1 x ψ 1 x,y Muchas veces es conveniente un cambio de variables o de sistema de coordenadas. La integral, originalmente sobre {x, y, z} se calcula en el nuevo sistema de coordenadas {u, v, w} empleando el determinante x, y, z u, v, w = x/ u x/ v x/ w y/ u y/ v y/ w / u / v / w llamado el Jacobiano de la transformación de coordenadas. Tenemos I = R fx, y, z dx dy dz = R x, y, z fu, v, w u, v, w du dv dw, requiriéndose la definición de la región R en términos de {u, v, w}. Ejemplos útiles de transformaciones de coordenadas son los correspondientes a los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas. A.5.3. Integral de trayectoria Para una función fx, y, z y trayectoria parametrizada mediante el vector σt podemos definir la integral de la función sobre dicha trayectoria como b I = f xt, yt, zt σt dt, donde a t b, ds = σt dt = es la diferencial de trayectoria. a dσ x /dt 2 + dσ y /dt 2 + dσ z /dt 2 dt, 7

A.5.4. Integral de línea Para un campo vectorial F x, y, z podemos definir la integral de línea sobre una trayectoria parametrizada por σt, donde a t b, como A.5.5. I = b a F [ σt] σt dt. Teoremas de análisis vectorial Teorema de Gauss Sea Ω una región de tres dimensiones contenida dentro de la superficie cerrada Ω. Para un campo vectorial E tenemos E dv = E d a. Teorema de Stokes Ω Para un campo vectorial F definido sobre una región S, siendo ésta una superficie abierta dentro del espacio de tres dimension y acotada por la curva cerrada S, tenemos F d a = F d l. S S Un campos conservativo es aquél que puede derivarse de un potencial, es decir F = φ. Como consecuencia de las expresiones del cálculo vectorial, para un campo conservativo tenemos F = 0 y F d l = 0. Ω A.6. Sistemas de coordenadas El sistema fundamental de coordenadas es el cartesiano, donde los vectores de base son constantes en el espacio. En los demás sistemas de coordenadas la orientación de los vectores depende del vector de posición. Dado un sistema de coordenadas {ξ 1, ξ 2, ξ 3 } definimos los factores de escala {h 1, h 2, h 3 } que nos permiten encontrar las expresiones de operadores las y diferenciales de línea, d 3 3 l = h i ˆξi dξ i = dl 2 = h 2 i dξi 2, i=1 i=1 A.8 8

siendo ˆξ i los vectores ortonormales del sistema de coordenadas y x 2 y 2 2 h 2 i = + +, A.9 ξ i ξ i ξ i anulándose los términos cruzados para un sistema de coordenadas ortonormal. Los operadores ψ, A, A se definen a través de su expresión en coordenadas cartesianas, escribiendo A = ˆξ i /h i h i A i y empleando las expresiones de cálculo vectorial de A.1, de donde salen las formas para sistemas arbitrarios de coordenadas: ψ = 3 i=1 ˆξ i ψ h i ξ i A = [ 1 h2 h 3 A 1 h 1 h 2 h 3 A = [ ˆξ 1 h 3 A 3 h 2 h 3 ξ 2 + [ ˆξ 3 h 2 A 2 h 1 h 2 ξ 1 2 ψ = ψ [ 1 h2 h 3 = h 1 h 2 h 3 ξ 1 h 1 + h 3h 1 A 2 + h 1h 2 A 3 ξ 1 ξ 2 ξ 3 ] ξ 3 h 2 A 2 ξ 2 h 1 A 1 ], + ˆξ 2 h 3 h 1 ], [ ξ 3 h 1 A 1 ] h 3 A 3 ξ 1 ψ + h3 h 1 ψ + ] h1 h 2 ψ. ξ 1 ξ 2 h 2 ξ 2 ξ 3 h 3 ξ 3 Aparte de las expresiones en cada sistema, tenemos la diferencial de volumen dv = h 1 h 2 h 3 dξ 1 dξ 2 dξ 3, y las relaciones generales r = 3 y r = 0. A.6.1. Coordenadas cartesianas x, y, z Factores de escala: h 1 = h 2 = h 3 = 1. diferencial de línea: d l = ˆx dx + ŷ dy + ẑ dz = dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2. derivadas vectores de base: dˆx = dŷ = dẑ = 0. vector posición: r = xˆx + yŷ + zẑ; vector velocidad: r = ẋˆx + ẏŷ + żẑ; vector aceleración: r = ẍˆx + ÿŷ + zẑ; diferencial de volumen: d 3 r = dx dy dz. 9

Operadores vectoriales: ψ = ˆx ψ x + ŷ ψ y + ẑ ψ A = A x x + A y y + A z A Az = ˆx y A y Ax + ŷ A z Ay + ẑ x x A x y 2 ψ = 2 ψ x 2 + 2 ψ y 2 + 2 ψ 2 A.6.2. Coordenadas cilíndricas R, φ, z Transformación de coordenadas: { x = R cos φ, y = R sin φ. factores de escala: h 1 = 1, h 2 = R, h 3 = 1. diferencial de línea: d l = ˆRdR + ˆφ R dφ + ẑ dz dl 2 = dr 2 + R 2 dφ 2 + dz 2. transformación de vectores: { ˆR = ˆx cos φ + ŷ sin φ ˆφ = ˆx sin φ + ŷ cos φ. derivadas vectores: d ˆR = ˆφdφ, d ˆφ = ˆRdφ, dẑ = 0. vector posición: r = R ˆR + zẑ; vector velocidad: r = Ṙ ˆR + R φ ˆφ + żẑ; vector aceleración: r = R R φ2 ˆR + R φ φ + 2Ṙ ˆφ + zẑ; diferencial de volumen: d 3 r = R dr dφ dz. 10

Operadores vectoriales: ψ ψ = ˆR R + ˆφ 1 ψ R φ + ẑ ψ A = 1 R A R R R + 1 A φ R φ + A z A = ˆR 1 A z R φ A φ + ˆφ 2 ψ = 1 R R R ψ R AR + 1 2 ψ R 2 φ 2 + 2 ψ 2 A.6.3. Coordenadas esféricas r, θ, φ A z + ẑ RAφ R R R Relacionadas con las cilındricas a partir de R = r sin θ, z = r cos θ: A R φ transformación de coordenadas: x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ. Factores de escala: h 1 = 1, h 2 = r, h 3 = r sin θ. diferencial de línea: d l = ˆrdr + ˆφ r sin θ dφ + ˆθ rdθ dl 2 = dr 2 + r 2 sin 2 θ dφ 2 + r 2 dθ 2. transformación vectores: Podemos partir de ˆr = ˆR sin θ + ẑ cos θ: ˆr = ˆx sin θ cos φ + ŷ sin θ sin φ + ẑ cos θ, ˆθ = ˆx cos θ cos φ + ŷ cos θ sin φ ẑ sin θ, ˆφ = ˆx sin φ + ŷ cos φ. derivadas vectores: dˆr = ˆθ dθ + ˆφ sin θ dφ, dˆθ = ˆr dθ + ˆφ cos θ dφ, d ˆφ = ˆr sin θ + ˆθ cos θ dφ. 11

vector posición: r = rˆr; vector velocidad: r = ṙˆr r θˆθ + r sin θ φ ˆφ; vector aceleración: r = r + r θ 2 r φ 2 sin 2 θˆr 2ṙ θ + r θ + r φ 2 sin θ cos θˆθ + 2ṙ φ sin θ + r φ sin θ ˆφ; diferencial de volumen: d 3 r = r 2 sin θ dr dθ dφ. Operadores vectoriales: ψ = ˆr ψ r + ˆθ ψ r θ + ˆφ r sin θ A = 1 r 2 A r r 2 + 1 r r sin θ [ A ˆr Aφ sin θ = r sin θ 2 ψ = 1 r 2 r r 2 ψ r θ + ψ φ sin θa θ + 1 A φ θ r sin θ φ A ] [ θ + φ ˆθ 1 A r r sin θ φ 1 ra φ r R sin θ ψ 1 2 ψ + θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 1 r 2 sin θ ] + ˆφ [ raθ r r A ] r θ 12

Bibliografía [1] Cálculo Vectorial, Marsden & Tromba, ed. Fondo Educativo Interamericano [2] Mathematical Methods in the Physical Sciences, M. L. Boas, ed. Wiley [3] Classical electrodynamics, J.D. Jackson, ed. Wiley 13