Transformaciones lineales y matrices

CAPíTULO 5 Transformaciones lineales y matrices 1 Matriz asociada a una transformación lineal Supongamos que V y W son espacios vectoriales de dimensión finita y que T : V W es una transformación lineal Si fijamos bases en V y en W, podemos identificar estos espacios con k n y k m respectivamente, donde n = dim(v y m = dim(w De esa forma, la transformación lineal T se identifica con un elemento de Hom(k n, k m, que a su vez de acuerdo con los resultados del Capítulo 4, se identifica con una matriz de n columnas y m filas, o sea con un elemento de M m n (k A continuación describiremos explícitamente dicha matriz Supongamos que B = {v 1,, v n } V y C = {w 1,, w m } W son bases de V y W respectivamente Sean c B : V k n, v i e i, y c C : W k m, w i e i, las identificaciones entre V y k n y W y k m respectivamente determinadas por las bases dadas notar que a los efectos que siguen nos interesa escribir los elementos de k n y k m como columnas Definición 51 En la situación anterior definimos la matriz C M m n, llamada matriz asociada a la transformación lineal T en las bases B y C C M m n como C = [ c C (T (v 1,, c C (T (v n ] Observación 52 (1 En términos más explícitos, si escribimos T (v i = a 1i w 1 + + a mi w m, 1 i n, entonces la matriz C se escribe como: C = a 11 a m1 a 1n a mn (2 Más formalmente, podemos decir que la matriz asociada C es la única matriz que hace el diagrama de abajo conmutativo V T W c B c C (11 k n k m L C La transformación lineal L C considerada arriba es un caso particular de la siguiente construcción, ya efectuada en el Capítulo 4 A una matriz A M m n (k le asociamos una transformación lineal L A : k n k m dada por la siguiente fórmula: 45

46 5 TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES L A x 1 x 2 = x n y 1 y 2 y m (12 con ( x1 x 2 x n k n y ( y1 y 2 y m y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n y m = a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n k m Frecuentemente se abrevia L A x 1 x 1 x 2 = A x 2 (13 x n x n y decimos que estamos multiplicando la matriz A por el vector Ese producto se puede pensar como un producto de matrices por vectores que da lugar a vectores, o sea matrices A M m n se multiplican por elementos de k n para producir elementos de k m Este producto verifica las siguientes propiedades, que quedan como ejercicio: A(v + w = Av + Aw, A(av = aa(v, (A + B(v = Av + Bv, (aav = a(av, (Idv = v, 0v = 0 Se calcula explícitamente mediante la fórmula (12, que es la dada por el producto de matrices, pensando el vector como una matriz columna de n filas (ver sección 2 (3 Usando la notación anterior, la conmutatividad del diagrama (11 se puede escribir de la siguiente manera: c C ( T (v = C c B (v Observación 53 Notar que la matriz asociada a una transformación lineal depende del orden en que se toman los vectores de las respectivas bases En definitiva, en este contexto las bases se deben pensar como listas o sea como conjuntos ordenados, y esta es la convención que usaremos en lo que sigue, sin mencionar explícitamente este hecho Ejemplo 54 Sea T : k 2 [X] k 1 [X] definida como T (p = p y consideremos las bases B = {1, 1 + X, 1 + X + X 2 }, C = {1 + X, 1 X} De las ecuaciones T (1 = 0, T (1 + X = 1 /2(1 + X + 1 /2(1 X, T (1 + X + X 2 = 3/2(1 + X 1 /2(1 X, deducimos que la matriz asociada a T en las bases B y C tiene la siguiente forma ( 0 C = 1/2 3/2 0 1 /2 1 /2 ( x1 x 2 x n

2 OPERACIONES CON MATRICES 47 2 Operaciones con matrices En esta sección presentamos las operaciones básicas entre matrices suma, producto, etc de un modo explícito Suma de matrices Sean A = (a ij i=1,,n, B = (c ij i=1,,n M n m (k dos matrices Entonces A + B = j=1,,m j=1,,m (c ij i=1,,n M n m (k, donde c ij = a ij + b ij para todo i = 1,, n, j = 1,, m En j=1,,m otras palabras, a 11 a 1m + b 11 b 1m a 11 + b 11 = a 1m + b 1m a n1 a nm b n1 b nm a n1 + b n1 a nm + b nm Obsérvese que sólo es posible sumar matrices con igual cantidad de filas y columnas Notaremos (c ij i=1,,n = (a ij + b ij i=1,,n j=1,,m j=1,,m Observación 55 Sean A, B M n m (k y Si consideramos las correspondientes transformaciones lineales L A, L B, L A+B : k m k n, se tiene que L A + L B = L A+B La verificación de esa igualdad queda como ejercicio Producto de una matriz por un escalar Sea A(a ij i=1,,n M n m (k y α k Definimos la matriz αa = (d ij i=1,,n, con j=1,,m j=1,,m d ij = αa ij para todo i = 1,, n, j = 1,, m En otras palabras, α a 11 a 1m = αa 11 αa 1m a n1 a nm αa n1 αa nm Notaremos (d ij i=1,,n = (αa ij i=1,,n j=1,,m j=1,,m Observación 56 Sean A M n m (k y α k Entonces αl A = L αa : k m k n La verificación de esa igualdad queda como ejercicio Producto de matrices Sean A = (a ij i=1,,n M n m (k y B = (b ij i=1,,m M m l (k, es decir la cantidad j=1,,m j=1,,l de columnas de A es igual a la cantidad de filas de B Definimos AB = (c ij i=1,,n j=1,,l M n l (k, donde c ij = m a ikb kj = a i1 b 1j + + a im b mj para todo i = 1,, n, j = 1,, l En otras palabras,

48 5 TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES a 11 a n1 a 1m a nm b 11 b m1 b 1l b ml = m a 1kb k1 m a nkb k1 m a 1kb kl m a nkb kl Notaremos (c ij i=1,,n = ( m a ikb kj i=1,,n j=1,,m j=1,,l Si llamamos β 1,, β l a los vectores de k m dados por las columnas de la matriz B, la matriz AB puede escribirse como AB = ( Aβ 1, Aβ 2,, Aβ l Observación 57 Sean A M n m (k y B M m l (k y la correspondiente matriz AB M n l (k Si consideramos las correspondientes transformaciones lineales L A : k m k n, L B : k l k m y L AB : k l k n, se tiene que L A L B = L AB La verificación de esa igualdad queda como ejercicio Observación 58 Hemos visto que existe fijadas bases un isomorfismo entre transformaciones lineales entre espacios de dimensión finita y matrices Es fácil probar que toda matriz es asociada a alguna transformación lineal en bases adecuadas Esto se demuestra probando que si A M m n entonces si B k n y C k m son las bases canónicas de k n y k m respectivamente, entonces dada L A : k n k m, tenemos que C [L A] B = A El álgebra M n (k En el caso particular en que las matrices son cuadradas, el producto es asociativo y verifica la propiedad distributiva respecto de la suma 1 0 0 0 La matriz Id = (δ ij i,j=1,,n = 0 M n(k, donde δ ii = 1 y δ ij = 0 si 0 0 1 i j, es un neutro para el producto: IdA = (δ ij i,j=1,,n (a ij i,j=1,,n = ( n δ ik a kj i,j=1,,n = (1a ij i,j=1,,n = A De forma análoga se prueba que AId = A Observación 59 (1Las siguientes propiedades se verifican inmediatamente Si Id n M n n es la matriz identidad de tamaño n, entonces L Idn = Id k n : k n k n En forma parecida si 0 n M n n es la matriz identidad de tamaño n, entonces L 0n = 0 k n : k n k n (2 El isomorfismo A L A entre las matrices y las transformaciones lineales de los espacios k n y las observaciones anteriores, junto con el hecho de que las operaciones de suma producto por un escalar y composición entre transformaciones lineales verifican las propiedades algebraicas usuales entre sumas y productos conmutativa, asociativa,

2 OPERACIONES CON MATRICES 49 distributiva, etc nos permite concluir que las operaciones entre matrices verifican las mismas propiedades Para ilustrar la operatoria entre matrices verificaremos directamente la propiedad asociativa del producto para las matrices A = (a ij i,j=1,,n, B = (c ij i,j=1,,n, C = (c ij i,j=1,,n M n (k Entonces (ABC = (( n a ik b kj (c ( n ( n i,j=1,,n ij i,j=1,,n = a ik b kh chj i,j=1,,n = ( n k,h=1 h=1 a ik b kh c hj = ( n ( n a i,j=1,,n ik b kh c hj i,j=1,,n = h=1 ( n (a ij i,j=1,,n b kh b hj k,j=1,,n = A(BC h=1 Del mismo modo, se prueba la propiedad distributiva: (A + BC = (a ij + b ij i,j=1,,n (c ij i,j=1,,n = ( n (a ik + b ik c kj i,j=1,,n = ( n a ik c kj + b ik c kj = ( n a i,j=1,,n ik c kj + ( n b i,j=1,,n ik c kj i,j=1,,n = AC + BC Debe tenerse presente que el producto de matrices NO es conmutativo, como el siguiente ejemplo lo ilustra: Ejemplo 510 Consideramos en M 2 (k los productos: ( ( ( ( ( 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 = = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ( 0 0 1 0 Es un ejercicio fácil ver encontrar ejemplos de matrices A, B M n (k, de tamaño arbitrario n > 1, tales que AB BA Observación 511 Sea A una k algebra cualquiera Se define el centro del álgebra que se denota como Z(A = {c A : ca = ac, para todo a A} Es claro que el centro del algebra A es una subálgebra Observemos que αa = α(ida = (αida = A(αId De este modo, tenemos un morfismo injectivo del cuerpo k y la subálgebra Z(M n (k Se puede probar que Z ( M n (k = {αid : α k} y de este modo, Z(M n (k puede identificarse con el cuerpo k Observación 512 Podemos resumir las propiedades que verifican la suma y el producto de matrices diciendo que las matrices cuadradas ie con igual número de filas y columnas forman una k álgebra Las Observaciones 55, 56, 57 pueden resumirse entonces así: El mapa L : M n (k End(k n, L(A = L A, es un isomorfismo de k-álgebras

50 5 TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES 3 Operaciones con transformaciones lineales y matrices asociadas En esta sección completamos las propiedades básicas de la correspondencia entre transformaciones lineales y matrices mostrando que las operaciones entre unas y otras se corresponden Teorema 513 Sean V, W, U espacios vectoriales de dimensión, n, m, l respectivamente y equipados con bases B V, C W, D U, y sean T, T : V W y S : W U Valen las siguientes fórmulas: (1 C [T + T ] B = C + C [T ] B (2 C [at ] B = a C para todo a k (3 D [ST ] B = D [S] C C Demostración Probaremos solamente la tercera propiedad Las otras se pueden verificar por el mismo método o directamente a partir de la definición de matriz asociada (3 La conmutatividad de los diagramas de abajo caracterizan las matrices asociadas a T y S respectivamente V T W W S U c B c C k n L C k m c C c D k m k l L D [T ] C De la conmutatividad de esos diagramas se deduce la conmutatividad del diagrama: V S T U c B c D k n k l L D [S] C L C Como L D [S] C L C = L D [S] C C deducimos que L D [ST ] B = L D [S] C C Finalmente, como la transformación lineal L : M l m (k Hom k (k m, k l es inyectiva, deducimos que: D [ST ] B = D [S] C C Ejemplo 514 Se consideran en el espacio R 3 la base B = {e 1, e 2, e 3 } canónica y las transformaciones lineales S y T definidas de la siguiente forma: S es la rotación con ángulo π/2 de eje e 1 y en la dirección antihoraria para un observador orientado en la dirección de e 1 y T es la rotación con ángulo π/2 de eje e 3 y en la dirección antihoraria para un observador orientado en la dirección de e 3 Las matrices asociadas a S y T en la base B que denotamos con las letras A y B respectivamente son A = ( 1 0 0 0 0 1 0 1 0 B = ( 0 1 0 1 0 0 0 0 1 De lo anterior deducimos que la matriz asociada a ST en la base B es AB = ( 0 1 0 0 0 1 1 0 0

4 CAMBIO DE BASE 51 4 Cambio de base Hemos visto que la correspondencia sobreyectiva que a las transformaciones lineales les asocia matrices fijadas bases en el dominio y en el codominio es una herramienta de gran utilidad para trabajar con transformaciones lineales En esta sección estudiaremos más a fondo esa correspondencia, describiendo la forma en que la matriz asociada cambia al cambiar las bases Definición 515 Sea V un espacio vectorial de dimensión finita n Si B y B son bases de V definimos la matriz de cambio de base de B a B como B [Id V ] B Lema 516 Las matrices de cambio de base verifican las siguientes propiedades (1 B [Id] B B [Id] B = B [Id] B (2 B [Id] B = Id n M n (3 La matriz de cambio de base B [Id] B es invertible y su inversa es B [Id] B Demostración (1 La demostración se deduce inmediatamente del Lema 513, parte (3 (2 La demostración se deduce inmediatamente de la definción de matriz asociada (3 Es inmediato aplicando las partes anteriores Sean V y W espacios vectoriales, sean B, B V bases de V y C, C W bases de W Si T : V W es una transformación lineal, queremos relacionar las matrices C y C Teorema 517 Sean B, B V y C, C W bases respectivamente de dos espacios vectoriales de dimensión finita V y W Si T : V W es una transformación lineal, entonces C = C C D 1 donde C es la matriz de cambio de base en el espacio W de la base C a la base C y D es la matriz de cambio de base en el espacio V de la base B a la base B Demostración De la fórmula que nos da la matriz asociada a una composición de transformaciones lineales tenemos que C = C [Id W ] C C B [Id V ] B Como B [Id V ] B = ( B [Id V ] B 1, deducimos el teorema El teorema anterior justifica la siguiente definición Definición 518 Sean A, A M m n (k dos matrices Decimos que A y A son semejantes, y denotamos esa relación como A A si existen dos matrices invertibles, C M m y D M n tales que A = CAD 1 Observación 519 Queda como ejercicio para que el lector verifique que la relación A A es una relación de equivalencia en el espacio vectorial M m n (k Observación 520 Observar que el Teorema 517 se puede enunciar de la siguiente forma: las matrices asociadas a una transformación lineal en diferentes bases son semejantes Sabemos además que las matrices que realizan la semejanza son las matrices de cambio de base El teorema 517 admite un recíproco Si dos matrices son semejantes existe una transformación lineal y bases del dominio y codominio de modo que cada una de las matrices es la asociada a dicha transformación lineal en las bases dadas

52 5 TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES Lema 521 Sean A, A M m n (k dos matrices semejantes Entonces existen espacios vectoriales V y W, bases B, B V y C, C W y una transformación lineal T : V W tal que A = C y A = C Demostración Sean C M m (k y D M n (k tales que A = CAD 1 Sea V = k n y W = k m y consideremos B = {e 1,, e n } y C = {f 1,, f m }, las bases canónicas de V y W respectivamente Sean las bases B = {D 1 e 1,, D 1 e n } k n y C = {C 1 f 1,, C 1 f m } k m Ya probamos que A = C Probaremos que A = C [L A ] B De acuerdo con la definición de matriz asociada tenemos que C [L A ] B [ = cc (L A (D 1 e 1,, c C (L A (D 1 e n ] Por ejemplo, si la primera columna de A son las coordenadas del vector A e 1 = a 11f 1 + + a m1f m, entonces C 1 A e 1 = a 11C 1 f 1 + + a m1c 1 f m De ahí se deduce, por la propia definición del mapa c C, que c C ( LA (D 1 e 1 = a 11 a 21 a m1 Consideremos el caso particular de transformaciones lineales de un espacio de dimensión finita en sí mismo, T : V V y supongamos que tomamos siempre matrices asociadas con respecto a la misma base en el dominio y en el codominio Observación 522 (1 En ese caso si B y B son bases en V, entonces B = C B C 1 donde C es la matriz de cambio de base de B a B en el espacio V En particular una relación como la anterior también se llama una relación de semejanza (2 Recíprocamente, ya hemos probado que si A, A son dos matrices cuadradas de tamaño n tales que existe una matriz invertible C tal que A = CAC 1 entonces, existe una transformación lineal T de k n y una base de k n que llamamos B tal que B = A y B = A