COLECCÓN DE EJECCOS TEOÍA DE CCUTOS ngeniería de Telecomunicación Centro Politécnico Superior Curso 9 /
Aspectos Fundamentales de la Teoría de Circuitos Capítulo Problema.. (*) En cada uno de los dispositivos representados en la figura calcular la intensidad de la corriente que lo atraviesa, la tensión entre sus terminales y la potencia que disipa. Problema.. (*) Encontrar en el subcircuito siguiente el valor de las intensidades i, i, y del voltaje v. i A A i v A Problema.. (*) Determinar en los siguientes circuitos el número de nudos principales y de ramas. Hallar el valor de x y x. x x A A x Problema.. (*) Hallar el valor de v. A v (*) : Ejercicios aconsejados.
Problema.. (*) Determinar la diferencia de potencial v en el siguiente circuito: Problema.6. (*) Hallar x en cada uno de los circuitos representados. Problema.7. (*) Hallar x en cada uno de los circuitos siguientes v Problema.8. (*) En el circuito de la figura, utilizar la segunda ley de Kirchoff para determinar la tensión en cada resistencia. Después utilizar la ley de Ohm y la primera ley de Kirchoff para determinar la intensidad de la corriente que circula por cada elemento. Problema.9. (*) Calcular el valor del voltaje v, y la intensidad de corriente i i 8v Problema.. (*) Encontrar el valor de la intensidad de corriente i. i A
Capítulo Análisis Elemental de Circuitos esistivos Problema.. Determinar, en cada uno de los circuitos representados, la tensión entre los terminales de cada fuente y la intensidad de la corriente que la atraviesa. Problema.. (*) Calcular el valor de la resistencia en función del resto para que el bipolo visto desde los terminales AB sea equivalente al visto entre CD. A B C Problema.. (*) A partir de la siguiente agrupación de resistencias se pretende conseguir una resistencia equivalente de valor: a) / b) / c) d) 8 /. Cómo debería conectar los terminales en cada caso, y entre qué terminales obtendría la resistencia deseada? D A B C D Problema.. (*) Se ajusta un potenciómetro para que haya entre los extremos de la carga. A qué fracción del dominio del potenciómetro hay que fijar el cursor?
Problema.. Hallar x en cada uno de los circuitos representados. Problema.6. Hallar la variable de señal indicada en cada uno de los circuitos. kω Problema.7. La hoja de especificaciones que da un fabricante de un interruptor electrónico consigna las características del interruptor indicadas: Ω nterruptor in ON Ω OFF 6 Ω Para el circuito de la figura, calcular s cuando el circuito esté cerrado (ON) y cuando esté abierto (OFF). Problema.8. Calcular la intensidad i en el siguiente circuito utilizando el principio de superposición. i Datos: = 8 v., = A, = Ω. = Ω. Problema.9. (*) Hallar la relación entre las resistencias para que las configuraciones en estrella y en triángulo sean equivalentes sabiendo que ésta se obtienen imponiendo que, para cualquier par de terminales, las resistencia equivalente en ambos circuitos sea idéntica.
Problema.. (*) En el siguiente circuito, determinar el valor de para que la tensión en la resistencia de Ω sea de 6.. Problema.. Determinar,, e, y estudiar la posibilidad de sustituir la fuente controlada por una resistencia. Problema.. (*) Aplicar las técnicas de reducción para hallar,, x y x en los siguientes circuitos. a) o = A, = = Ω, = = = Ω. b) o = A, = = Ω. c) o = A, = Ω. 6Ω Ω Problema.. a) Determinar en el siguiente circuito la tensión de salida empleando el principio de superposición. b) Hallar la misma tensión a partir de un circuito equivalente de éste. o Problema.. (*) Hallar por aplicación del teorema de Thévenin la intensidad i que circula por la resistencia en el siguiente circuito: e i i e 6
Problema.. (cont/6) Halla el valor de i (corriente que atraviesa la resistencia de carga) en el circuito de la figura. Para ello, obtén el equivalente Thévenin a la izquierda de los terminales AB. Datos: =, =6Ω, = Ω, = Ω, = Ω, q= Ω. Problema.6. Calcular el circuito equivalente de Thévenin y Norton a la izquierda de los terminales A, B. Datos: = A., = 6 Ω., = 6 v., = Ω., = Ω. Problema.7. (*) Calcular la tensión de salida aplicando únicamente el concepto de circuito equivalente. Comprobar el resultado por el teorema de superposición. A B i q B A o Problema.8. (*) Obtener el valor de la intensidad ix, mediante la aplicación del principio de superposición. i i i vx ix 6 Datos: i=6 A, i= A, i= A, = k, = k, = 6 K, = K, = K, 6= K. Problema.9. (sep/6) Calcule ix (corriente que atraviesa ) en el circuito de la figura. Compruebe que la potencia consumida por los elementos pasivos coincide con la potencia entregada por los elementos activos del circuito de la figura. ix a.ix 7
Datos: =6, = Ω, = Ω, = Ω, = Ω, a=. Problema.. Hallar la relación entre la tensión de salida o y la intensidad de entrada s. s s Problema.. Hallar el circuito equivalente de Thévenin y el de Norton correspondientes a la red representada. Problema.. Calcular el valor de para que se cumpla r =. i b i p l o Problema.. (*) Los métodos de resolución de circuitos que proporciona la Teoría de Circuitos son aplicables a circuitos lineales. No obstante, estos métodos siguen siendo interesantes y útiles en la resolución de ciertos circuitos no lineales cuando los componentes no lineales se pueden reemplazar por su equivalente lineal. Dichos circuitos equivalentes suelen ser válidos en régimen de pequeña señal y bajo ciertas hipótesis. En el circuito siguiente existe un transistor bipolar NPN. Determinar la ganancia de corriente del circuito ( o / i ) en el caso en el que el transistor se pueda reemplazar por su modelo equivalente de pequeña señal y para los dos casos: = Ω, y = Ω. Datos: = 9 Ω, = Ω, b = Ω, c = Ω y β=. 8
Problema.. (*) Determinar los circuitos equivalente de Thévenin y Norton para cada uno de los siguientes circuitos. Problema.. Calcular las variables pedidas en los siguientes circuitos Problema.6. El siguiente circuito es conocido como puente de Wheatstone y se utilizaba antiguamente como galvanómetro de precisión pues, en condiciones de equilibrio, la corriente m =. Mostrar, para un valor fijo de x, cuál es la relación que deben guardar, y para que en efecto m sea nula. Problema.7. (*) Hallar la potencia entregada a (= Ω), por aplicación del teorema de superposición. i i Datos: = Ω, = v, = 6 A. Problema.8. (cont/6) Usa el principio de superposición para calcular i (corriente que atraviesa la fuente de tensión ) en el circuito de la figura. i Datos: =86, =8A, =, =Ω, = Ω, = Ω, = Ω, = Ω. 9
Problema.9. (feb/6) Halle el valor de x (diferencia de tensión entre los extremos de ) en el circuito de la figura mediante el principio de superposición. Compruebe el resultado aplicando la técnica de transformación de fuente. x Datos: =, =8 A, =, = Ω, = Ω, = Ω, = Ω Problema.. Calcular el equivalente de Thévenin del circuito que sigue: Datos: = A., = Ω., = 6 Ω, = Ω. Problema.. (*) Encontrar el valor de o para que se produzca máxima transferencia de potencia a la carga o. i i th o Datos: = 6 Ω, = 6 Ω, = Ω, = Ω, =8 v, = A, = v. Problema.. La carga resistiva de la figura está accionada por tres fuentes diferentes. Si la carga disipa.6 W cuál es el valor de la resistencia de carga L? Problema.. (*) Hallar el valor de la resistencia para que la potencia P transferida a la carga sea máxima. Y calcular el valor del rendimiento cuando P sea máxima. ib va Datos: va= v, ib= A, = 6 Ω, = Ω, = Ω, = 6 Ω.
Problema.. (feb/6) Dado el circuito de la figura, obtenga el equivalente Thévenin en los extremos AB. Calcule la corriente que atraviesa la resistencia de carga si q=8 Ω. Encuentre el valor de q que tendría que conectar en los extremos AB para que absorbiera la máxima potencia del circuito. Determine el valor de esa potencia. Datos: = A, =, = A, = Ω, = Ω, =6 Ω Problema.. (sep/6) Dado el circuito de la figura, calcule el valor de la resistencia de carga q para el que la potencia entregada a ésta es máxima.. Obtenga la caída de tensión en los extremos de la resistencia de carga q en ese caso y la potencia transferida. Datos: =, = Ω, = Ω, a= Ω a.i q q Problema.6. Para cada uno de los siguientes circuitos hallar el equivalente de Thévenin y Norton. i A B q Problema.7. Encontrar la intensidad i que circula por la resistencia. i Datos: = v., = v., = Ω, = Ω, = Ω, = Ω.
Problema.8. Hallar los equivalentes de Thévenin y Norton del circuito respecto de los terminales C y D, comprobando los resultados por un método alternativo. g C D eg ig b i i Problema.9. (*) Hallar los equivalentes de Thévenin y Norton entre los terminales AB del circuito de la figura, y comprobar el resultado obtenido. g Eg b U A U a B Problema.. Un circuito que tiene el equivalente de Thévenin de la figura se conecta a una resistencia no lineal (NL). Con un voltímetro medimos la tensión estando conectada y desconectada la NL y obtenemos: NL = y CA (cto. abierto) =, respectivamente. Hallar el circuito de Thévenin de la fuente: Problema.. Obtener el equivalente de Thévenin en los extremos de la resistencia de carga q. Comprobando el resultado obtenido. cuál es el valor de la potencia maxima que se puede obtener en la resistencia de carga?. m iy q iy Datos: =6 v, = ma, m= Ω, = 6 kω, = kω, = kω, = kω.
Problema.. Encontrar el equivalente de Thévenin y Norton en los extremos de la resistencia. Comprobar el resultado, y utilizar el equivalente para hallar la tensión en los extremos de la resistencia. Datos: = v., = A, = Ω, = Ω, = Ω. Problema.. Encontrar la intensidad i en el siguiente circuito Datos: = cos(t) v., = kω, = 6 kω, = 8 kω. Problema.. Encontrar la tensión de salida o en términos de las tensiones de entrada y las resistencias. i o o Problema.. (*) Un amplificador debería tener una resistencia de entrada idealmente infinita a fin de no cargar la etapa previa. Los transistores de efecto de campo (Field Effect Transistors o FETs) tienen la propiedad de tener una resistencia de entrada muy alta en comparación con los transistores bipolares (Bipolar Junction Transistors o BJTs). En muchos casos y a efectos prácticos la resistencia de entrada de un FET puede incluso considerarse infinita. El siguiente amplificador de dos etapas intenta aprovechar las ventajas de propias de cada tecnología de transistores en un diseño híbrido. Calcular su relación entradasalida ( o / i ). donde
Problema.6. (*) En el circuito de la figura obtener o usar los mismos circuitos equivalentes de FET y BJT del problema anterior. Problema.7. Encontrar el valor de para que o=, siendo === kω. Problema.8. (*) Cada circuito siguiente es una variante del amplificador inversor o no inversor básico. Determinar la relación entradasalida o / s y la resistencia de entrada de cada circuito. o Problema.9. Hallar la tensión de salida si: vi= 8 Cos( t) v., = 8 Ω, = Ω, = 8 Ω. vi vo
Problema.. Encontrar la tensión de salida si la ganancia del Amplificador Operacional en lazo abierto es igual a. Datos: = Ω, = Ω, = Ω, = Ω, =6= Ω i Problema.. (sep/6) Suponiendo los amplificadores operaciones ideales, obtenga la ganancia en tensión de lazo cerrado vo/vi del circuito de la figura. vi 6 f vo o Problema.. Demostrar que los dos circuitos siguientes tienen la misma relación entradasalida. Dibujar un diagrama de bloques para cada circuito. Discutir ventajas y desventajas de cada uno. Problema.. Demostrar en el siguiente circuito que independientemente del valor de L se cumple que L = s /.
Problema.. Encontrar la tensión de salida o si la tensión de entrada es v= 8 sen(6 t) v., con = Ω, = 8 Ω, = 6 Ω, = Ω, = 8 Ω. Problema.. (*) Para los dos casos consignados dibujar la gráfica de la salida del siguiente circuito cuando las entradas son las mostradas en la figura. Analizando los casos F = y F =. o Problema.6. Los siguientes amplificadores operacionales se hallan alimentados a cc = H y cc= L. En cada caso determinar la condición que ha de cumplir la entrada para producir una salida igual a la tensión de saturación positiva, H. dem para la tensión de saturación negativa, L. 6
Problema.7. Cuando se pretende diseñar una amplificador de alta ganancia y se necesita colocar varias subetapas amplificadoras es necesario saber el efecto de carga de cada etapa sobre la anterior. Para ello es necesario calcular la resistencia de entrada de la etapa que actuará como carga. Para la siguiente etapa amplificadora: a) dibujar su circuito equivalente, b) determinar la conductancia equivalente vista desde os terminales ab (conductancia de entrada). Problema.8. (*) Hallar la relación entre la tensión de entrada y de salida o Problema.9. Dado el circuito de la figura a) Determinar la relación o /. b) El fabricante especifica que el valor máximo de i es de ma. Para = v, = Ω y α=, determinar si el circuito se comporta según lo previsto en (a). c) Determinar el valor máximo de para que las corrientes de salida en los AO no superen el máximo permitido. 7
Análisis Sistemático de Circuitos esistivos Problema.. (*) Determinar la tensión en el nudo A, mediante los dos procedimientos sistemáticos de análisis de circuitos. A Capítulo Problema.. (*) Plantear las ecuaciones necesarias para resolver el siguiente circuito por el método de corrientes de malla. Problema.. (*) Plantear un sistema completo de ecuaciones en forma matricial, por el método de tensiones de nodo que permita resolver el siguiente circuito. i i 8
Problema.. Plantear un sistema completo de ecuaciones, en forma matricial, mediante los dos procedimientos sistemáticos. 6 7 Problema.. Formular las ecuaciones de tensiones de nodo, y obtener x: s x Problema.6. (*) En el siguiente circuito, plantear en forma matricial ( para los dos métodos sistemáticos de análisis) un sistema completo de ecuaciones, indicando claramente cuales son las incognitas en cada uno de los casos. a 6 b 7 Problema.7. (*) Obtener la variable deseada ( O, E ó O ) en cada uno de los siguientes circuitos. 9
Problema.8. Determinar la tensión en el nudo B: Problema.9. (*) Calcular A, B, y C por el método de tensiones de nodo. s x u x B A B C Problema.. (*) Plantear los sistemas de ecuaciones de mallas y nodos para los siguientes circuitos. No es necesario resolverlos. Utilizar la numeración de nudos y mallas propuesta en la figura.
Problema.. Dado el circuito de la figura, determinar la tensión o (t) e o (t) en función de g (t). Problema.. El circuito representado en la figura es un modelo para amplificador con dos transistores MOS en su funcionamiento a una determinada frecuencia. Si es la señal a amplificar, cuál será la salida o? Problema.. (*) En la figura se representa un amplificador de señal débil con dos transistores. Hallar el par de tensión y corriente ( c, ce ) de cada transistor que se conoce como punto de trabajo. Suponer que β es muy grande. Problema.. Obtener la diferencia de tensión E en el siguiente circuito, por aplicación de los dos métodos sistemáticos de análisis: b x s x e e
Problema.. (feb/6) Utilice el análisis sistemático de corrientes de malla para encontrar la potencia suministrada por cada una de las cinco fuentes del circuito de la figura. a.i Datos: = ma, =, =6, = kω, = kω, a= Ω, b=. i i b.i
Cuadripolos esistivos Problema.. (*) Calcular la matriz [Z] de i.mpedancias a circuito abierto del siguiente cuadripolo: Problema.. (*) Calcular los parámetros de admitancia en cortocircuito del cuadripolo siguiente: Capítulo Datos: = Ω, = 6 Ω, = 6Ω. Problema.. (*) Para el siguiente circuito se pide: a) Obtener la relación o/i. b) Partiendo del resultado anterior, encontrar un circuito equivalente de cuatro terminales, en cada caso, que incorpore una fuente controlada. Problema.. (*) En el siguiente circuito se pide: a) Determinar los parámetros de admitancia para un transistor en emisor común (configuración mostrada). b) Determinar la relación / de un bipuerto con salida en circuito abierto en función de los parámetros admitancia.
Problema.. (*) Expresar el equivalente Thévenin respecto de los terminales, en función de los coeficientes de la matriz de transmisión : Problema.6. (*) Hallar los parámetros Y del siguiente bipuerto. ' Problema.7. (*) Obtener el equivalente Thévenin de un bipuerto, desde su salida, cuando está excitado por un generador. ' g Problema.8. (*) Calcular la matriz de impedancias en circuito abierto del cuadripolo: U U Problema.9. (*) Deducir las matrices de admitancias de los siguientes cuadripolos. A continuación, conectarlos en serie, y calcular la matriz de impedancias del cuadripolo resultante. Datos: = Ω, = Ω, = Ω, = Ω, = Ω. Problema.. (*) Hallar los parámetros hibridos h y g del siguiente cuadripolo. Datos: = Ω, = Ω.
Problema.. (*) Determinar la matriz de transmisión del cuadripolo: Datos: a=. Ω, b= Ω, c= Ω. a i Problema.. (feb/6) Calcule la matriz de admitancias del cuadripolo de la figura. Deduzca a partir del resultado anterior la matriz de transmisión del mismo cuadripolo. Datos: = Ω, = Ω o/ Problema.. (sep/6) Calcule la matriz de impedancias del cuadripolo de la figura. Deduzca a partir del resultado anterior la matriz de transmisión del mismo cuadripolo. b o c i Datos: = Ω, = Ω, = Ω, = Ω
Soluciones Capítulo Problema.. C) = ma, P = mw; C) =, P = W; C) = m, P = mw Problema.. i = A., i = A., v = 7 Problema.. a) N =, =, x = A., x = 78 b) N =, = 6, x = 8 A., x = 8 Problema.. v = Problema.. v= Problema.6. C) x = C) x = Problema.7. C) x =. ma C) x =.89 A Problema.8. = A, =, = / A, =, = / A, = (las corrientes van de derecha a izquierda) Problema.9. i = A., v = 7 Problema.. i = A Capítulo Problema.. C) s = [ ( )/( )] s C) Fuente de tensión: =.7 A, Fuente de corriente: = 8.66 C) Fuente de corriente: =, Fuente : = o, Fuente : = o Problema.. = Problema.. a) A, B, C cortocircuito, Salida AD b) A aire, BC cortocircuito, Salida BD c) A, B aire, Salida CD d) B, C cortocircuito, D aire, Salida AC Problema.. x = 6.8 % Problema.. C) x =.6 C) x = 7/ o Problema.6. C) x = C) x = A Problema.7. s, ON = 7., s, OFF = m Problema.8. i = A Problema.9. = ( x z )/( x y z ); = ( x y )/( x y z ); = ( y z )/( x y z ) Problema.. = (8/) A Problema.. = (/), = (/) A, = (/68) A, = (/) A Problema.. a) =, = b) x = A c) x = Problema.. =[( )/( )] [ / ( )] Problema.. i = [e e i ] / [ ] Problema.. i =. A Problema.6. Th = 6, Th = Ω, N =. A Problema.7. o = ( /8) ( /) ( /) Problema.8. i x = 6 A Problema.9. i x =.6 A Problema.. ( o / s )= (b p s ) / [ ( p ) ( s )] Problema.. Th =, Th = 8 Ω Problema.. = /6 Ω Problema.. o / i = ( β c ) / [ ( b β c ) ( c ) ( b )] Problema.. C) Th =, Th = Ω C) Th =, Th = Ω C) N = A, Th = Ω Problema.. C) x = C) x = Problema.6. x = Problema.7. P = 7 W Problema.8. i = 8 A Problema.9. x = 8 Problema.. Th =, Th = 6 Ω Problema.. o = Ω Problema.. L =.8 Ω, ó L =.6 Ω Problema.. Th =, Th = Ω, rendimiento = /7 Problema.. Th =, Th = Ω, i (q=8ω) = A, P max = / W Problema.. q = Th = 6 Ω, q =, P max = /6 W Problema.6. C) N = s /( ), Th = s, Th = N = 6
C) N = s /, Th = s /( ) C) N = s ( ) /[ ( ) ( )] Th = s [ ( ) ( )]/ [( ) ( )] Th = N = [ ( ) ( )]/[( )( )] C) Th = s [ ( ) ] / [ ( ) ( )] Th = N = [ ( )] /[ ( ) ( )] Problema.7. i = A Problema.8. Th = e g i g, N = (e g i g )/[(b) g ], Th = g (b) Problema.9. Th = [( b) E g ]/( g ), N = [E g (b)] / [(a)(b) g ( g )] Problema.. Th =, Th = kω Problema.. Th = /, N = 6/7 ma, P max =.67 W Problema.. Th = Ω, N = A, Th =, = Problema.. i= cos(t) ma Problema.. o = o [ ( / ) ( / ) ( / ) ] Problema.. o / i = μ ( β)/[r p ( i ( β)(r p i ))] Problema.6. o = i [μ o ( β)] / {r p [ i o ( β)] (r p )} Problema.7. = 9 kω Problema.8. C) o / i = /, in = C) o / i = /, in = C) o / i = / [ ( )], in = [ ( )] / ( ) C) o / i = ( / )( / ), in = Problema.9. o = cos(t) Problema.. o = / i Problema.. o / i = f / { [( ) f ]} Problema.. C) y C) o = s s Problema.. v o = sen(6t) Problema.. Caso F = o = ( / / /8), Caso F = o = ( / /) Problema.6. C) s < o = H, s > o = L C) s > o /( ) o = H, s < o /( ) o = L C) s > o = H, s < o = L C) s > o o = L, s < o o = H C) Siempre saturado positivamente, o = H Problema.7. th = [( ) ( i ) ( i β )] / { [ i ( i (β))]} Problema.8. o = ( / ) [( ( ))/( ( ))] Problema.9 a) o / i = (α)/(α) b) No, pues el consumo en las condiciones especificadas es superior al permitido por las especificaciones. c) i max = Capítulo Problema.. A = ( ) / ( ) Problema.. El sistema de ecuaciones de corrientes de malla es: i = i i Problema.. El sistema de ecuaciones de tensiones de nodo es: A i = B i C i Problema.. El sistema de ecuaciones de corrientes de malla es: i i = 6 6 i 6 6 7 i El sistema de ecuaciones de tensiones de nodo es: 7
8 = 7 6 C B A Problema.. El sistema de ecuaciones de tensiones de nodo es: = S S B A ) )( ( ) ( S x = Problema.6. El sistema de ecuaciones de corrientes de malla es: = b b a 7 6 7 6 El sistema de ecuaciones de tensiones de nodo es: = 7 6 6 6 6 b a C B A Problema.7. C) o = μ /[( )( ( (μ) ) )] s C) E = (β) / [( ) E (β)] s C) o = s [( r /(r )] / ( ) C) o = s [ βμ /( )] / ( ) Problema.8. B = ( μ s ) / [ (μ)] Problema.9. A = [( ) ( ) ] / ( ) B =, C = [( ) ( ) ] / ( ) Problema.. C) El sistema de ecuaciones nodales es = 6 6 6 6 7 6 7 7 8 7 N N N N N N donde es la corriente saliente de la fuente hacia el nodo. La ecuación correspondiente a ésta fila puede eliminarse ya que sólo sirve para calcular puesto que N. C) El sistema de ecuaciones de mallas es = ) ( ) ( ) ( r r β β donde se aplicó la técnica de movilidad de fuentes de corriente y transformación Norton/Thévenin para obtener una fuente de tensión en las mallas y. Posteriormente se reordenó el sistema matricial. Estas operaciones son las responsables de los términos con β en el sistema matricial. Problema.. o = g /, o = g / Problema.. o = [g m L ( g m r d )] / [r d (g m r d ) L ] Problema.. ce = [(β) T bc cc]/[(β)bc ] c = (β) (ce T )/b ce = cc β (ce T ) c / b c = β (ce T )/b Problema.. e = (b) s e / [ (b) e ] Problema.. P = 6 mw, P = 9 mw, P ai =. mw, P = mw, P bi =.6 mw
Capítulo Problema.. Z =, Z =, Z =, Z = Problema.. Y = (/6) Ω, Y = (/) Ω, Y = (/) Ω, Y = (/8) Ω Problema.. a) o /i = (α)/α b) El circuito equivalente es: Problema.. a) Y = /r i, Y =, Y = β/r i, Y =/r o, b) H(s) = Y /det(y) Problema.. Z Th = A /C, Th = [(A D/C) B] g Problema.6. Y = / Ω, Y = / Ω, Y = Ω, Y = Ω Problema.7. Th = Z /(Z r g ) g, N = Z / [(Z r g )Z Z Z ] g, Th = Z Z Z /(Z r g ) Problema.8. Z = ( ) / ( ) Z = /( ), Z = / ( ) Z = ( ) / ( ) Problema.9. Ya = /, Ω, Ya = Ω, Ya = Ω, Ya = Ω Yb = Ω, Yb = / Ω, Yb = / Ω, Yb = / Ω Z = 7/ Ω, Z = Ω, Z = Ω, Z = Ω Problema.. h = / Ω, h = /, h = /, h = /6 Ω g =. Ω, g =., g =., g =. Ω Problema.. A =, B = Ω, C =. Ω, D =. Problema.. Y = Ω, Y = / Ω, Y = / Ω, Y = / Ω A =., B = Ω, C =. Ω, D = Problema.. Z = Ω, Z = Ω, Z = Ω, Z = Ω A =, B = Ω, C = / Ω, D = / 9