EDUCATION REVISTA EXICANA DE FÍSICA 61 (2015) 6 10 JANUARY JUNE 2015 Obtención y solución a la ecuación de movimiento de un cohete, actuando sobe él las fuezas extenas del campo gavitacional constante y el ozamiento del aie popocional a la velocidad A.V. Kaff a, G.S. Vázquez a, R.R. ijangos b y J.A. Heedia-Cancino b a Depatamento de atemáticas e Ingenieía, Instituto Tecnológico de Sonoa, 5 de Febeo 818 Su Col. Cento, 85000, Cd. Obegón, Sonoa, éxico. e-mail: abaham.velazquezk@coeoa.uson.mx; selene.vazquez.g@gmail.com; b Depatamento de Investigación en Física, Univesidad de Sonoa, Apatado Postal 5-88,83190, Hemosillo, Sonoa, éxico. e-mail: mijangos@cifus.uson.mx; jahc 88@hotmail.com Received 26 ay 2014; accepted 13 Januay 2015 Estudiaemos los sistemas de masa vaiable paa el caso paticula del poblema del cohete, donde se petende enconta la ecuación que ige su movimiento y posteiomente esolvela bajo las condiciones del campo gavitacional homogéneo y la esistencia del aie, paa pode conoce las cantidades físicas como lo son la velocidad y la posición en todo momento. Además de enconta la solución del cohete paa el caso en el que sólo actúa la fueza gavitacional sobe él pudiendo obseva la difeencia ente ambas soluciones. La solución encontada en este tabajo paa este poblema no se encuenta en la bibliogafía, de manea que este tabajo petende deslumba la solución del enigmático poblema del cohete. Desciptoes: Sistema de masa vaiable; consevación del momento. In this wok will be studied the vaiable mass system fo the paticula case of ocket poblem, with intend obtain the equation that goven its movement and solve afte unde homogeneous gavitational field conditions and ai esistance, know to allow the physics quantities, like velocity and position in all time. Futhemoe get the ocket solution fo the case that only acts the gavitational foce on it, that allows to obseve the diffeence between both solution. The found solution in this pape fo this poblem doesn t appea in the liteatue, such that this wok pupot dazzle the enigmatic solution of ocket poblem. Keywods: Vaiable mass system; consevation of momentum. PACS: 45.20.D-; 45.20.d 1. Intoducción Este tabajo se centa pincipalmente en obtene y esolve la ecuación de movimiento de un cohete consideando las fuezas extenas que actúan sobe él (la solución obtenida seá la dependiente del tiempo), fundamentalmente las del campo gavitacional homogéneo y la fueza de ozamiento con el aie popocional a la velocidad, además cabe ecalca que este estudio es basado en el maco de los límites cuando el cohete aun no ha tomado una gan altua y conseva velocidades elativamente bajas compaadas con las velocidades que puede llega a alcanza (bajos númeos de Reynolds Re < 1) [5, así como una beve intoducción a los sistemas de masa vaiable [2; este poblema de inteés geneal en el campo de la astonáutica ha sido estudiado a lo lago de los años po algunos científicos como po ejemplo el tabajo de K. E. Tsiolkovski publicado en mayo de 1903 en la evista científica [4, en donde obtiene la ecuación de movimiento y la solución paa el caso de las fuezas extenas nulas, o el atículo de atin S. Tiesten publicado en Ameican Jounal of Physics en eneo de 1969 [1. También hemos tomado como efeencias algunos libos como Física Vol. 1 de Robet Resnick [2 o cuso beve de mecánica teóica de S. Tag [4. La impotancia de este estudio es fundamental paa nosotos ya que todos los sistemas de comunicación hoy en día se basan en pone a los satélites en óbita y la exploación de otos mundos paa investigación científica, así que en este tabajo nos encagamos de explica de manea muy didáctica como se obtienen algunas cantidades físicas como lo son la velocidad y posición en todo instante de tiempo como también compaa los casos cuando inteviene o no la fueza de ficción del aie. 2. Deducción de la ecuación de movimiento Paa estos sistemas tenemos que pati de la foma más geneal posible de la segunda ley de newton, pemitiendo que actué una fueza extena F ext en el sistema. Esta fueza no es la fueza que impulsa al cohete (la cual es una fueza intena paa el sistema s ), si no es más bien la fueza poducida de algún agente exteno al sistema, que pueden se la fueza de gavedad que ejece la tiea o el ozamiento con el aie. El momento total del sistema s (como se obseva en la Fig. 1) es P, entonces la segunda ley puede expesase como: P F ext = lím t 0 t. (1) En el intevalo de tiempo t, el cambio del momento, P es:
OBTENCIÓN Y SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DE OVIIENTO DE UN COHETE, ACTUANDO SOBRE ÉL,... 7 FIGURA 1. (a) Un sistema s en el instante de tiempo t tiene una masa que se mueve a velocidad v. (b) En un instante de tiempo posteio t, la masa que oiginalmente había ha aojado cieta cantidad de masa. La masa estante +, la cual llamamos subsistema s, se mueve ahoa con una velocidad v + v [2. P = p f p i. (2) Donde p f es el momento final del sistema s, en el instante de tiempo t + t, y p i el momento inicial de s en el instante de tiempo t, y sus expesiones son entonces espectivamente: p i = v p f = ( + )( v + v) + ( ) u. De manea que el cambio del momento es: P = ( + )( v + v) + ( ) u v. (3a) (3b) (3c) Sustituyendo la expesión (3c) del cambio del momento en la Ec. (1), obtenemos: [ F ext = lím v + v + v t 0 t t t u. (4) t Haciendo un poco de algeba y aplicando los límites a la expesión (4) se obtiene: F ext = d v dt + ( v u)d dt. (5a) Hay que nota que el tece témino de la expesión (4) no apaece en la Ec. (5a), debido a que es un témino infinitesimal de segundo oden y es despeciado, podemos identifica que el pime témino d v/dt es la aceleación del sistema S cuando empieza a pede masa a una velocidad u a una cantidad d/dt [2. Paa ve si en vedad la Ec. (5a) es la más geneal de la segunda ley de Newton, basta con identifica algunos téminos y ponelos como la deivada de el poducto de las funciones de v y. Paa así obtene: F ext = d dt ( v) ud dt. (5b) Podemos nota que tanto u = 0, o = cte, se obtiene la Ec. (1), de tal manea que la Ec. (5b) es más geneal que la Ec. (1). Ahoa volvamos al poblema de un cohete, de manea que su ecuación de movimiento estaá gobenada po la Ec. (5a), en donde el témino ( v u) es una velocidad elativa de los gases expulsados con elación al cohete. Así que podemos escibi la Ec. (5a) como: F ext = dt + u d dt. (5c) Y el poblema se educe ahoa a esolve la Ec. (5c) intoduciendo las fuezas que se ejecen sobe el cohete [2. 3. Solución a la ecuación de movimiento Supongamos que el cohete está en pesencia del campo gavitacional constante de la tiea y que su movimiento se estinge sólo a la diección ĵ, de tal manea que la expesión (5c) nos queda como: g = d v dt + v d dt (5d) Dividiendo la Ec. (5d) po y despejando d v/dt tenemos que: dt = v 1 d dt g. (5e) De manea que integando especto al tiempo la Ec. (5e) paa pode conoce la velocidad en cualquie instante de tiempo tenemos que intoduci las condiciones iniciales del poblema. En el instante de tiempo t = 0, = m 0 y v = v 0, paa obtene: t dt dt = v 1 d dt dt g dt. De manea que nos queda: v(t) = v o gt v ln 1 D t m 0. (6a) De manea que ya conseguimos la velocidad del cohete paa cualquie instante de tiempo habiendo hecho = m 0 Dt, donde D = d/dt es la velocidad con que se quema el combustible del cohete y es po lo geneal constante. Nos queda po sabe cómo cambia su posición en el tiempo, note que si la masa no cambia en el tiempo el segundo temino se hace ceo y obtenemos una de las
8 A.V. KRAFF, G.S. VÁZQUEZ, R.R. IJANGOS Y J.A. HEREDIA-CANCINO ecuaciones de cinemática paa una patícula en caída libe expuesta al campo gavitacional constante [2-5. Paa obtene la posición usamos: v y = dy dt. (6b) Así que sustituyendo lo anteio en la Ec. (6a) e integamos especto el tiempo obtenemos: dy t dt dt = v 0 dt 1 v D t ln m 0 d g tdt. y(t) = y 0 + (v 0 + v )t 1 2 gt2 m 0 Dt + v ln D 1 D t m 0. (7) FIGURA 2. Gafica de las velocidades del cohete con ficción y sin ficción en función del tiempo. La cuva de la línea punteada es la velocidad del cohete consideando la fueza de ficción popocional a la velocidad, mientas que la cuva con la línea continua es la velocidad del cohete sin considea la fueza de ficción. FIGURA 3. Gafica de las posiciones del cohete con ficción y sin ficción en función del tiempo. La cuva de la línea punteada es la posición del cohete consideando la fueza de ficción popocional a la velocidad, mientas que la cuva con la línea continua es la posición del cohete sin considea la fueza de ficción.
OBTENCIÓN Y SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DE OVIIENTO DE UN COHETE, ACTUANDO SOBRE ÉL,... 9 Así hemos encontado la posición del cohete paa todo instante de tiempo de su tayectoia. Podemos obseva también que si = m 0, entonces obtenemos una de las ecuaciones de cinemática paa la posición de una patícula en caída libe que es lo que sucede una vez que el cohete quema todo su combustible [2-5. Ahoa intoduciendo en la Ec. (5c) la fueza de ozamiento del aie popocional a la velocidad, ya que este estudio es paa velocidades y altuas bajas del cohete, es deci, paa instantes de tiempo no muy lagos, y la fueza del campo gavitación constante en la diección ĵ. Obtenemos: bv g = dt + v d dt Reacomodando la Ec. (8) de la foma: dt + b v = v d dt g Toma la foma de una ecuación difeencial lineal de pime oden cuya solución es: v(t) = v [1 m b D 0 (m 0 Dt) b D + g [ (m 0 Dt) m 1 b D 0 (m 0 Dt) b D D b (8) + v 0 m b D 0 (m 0 Dt) b D (9) De manea que hemos obtenido la velocidad del cohete paa todo instante de tiempo t [5. Así que si sustituimos v = dy/dt en la Ec. (9) paa detemina la posición del cohete en la diección ĵ nos queda como: y = y 0 + D b v t + v ( D 2 [ (m 0 Dt) 1+ b D m b D 0 m 0 ) b D v 0 (D b) + gm 0 D 2 b 2 g [ (m0 Dt) 2 m 2 0. (10) 2(D b)d Así hemos hallado la posición en la diección ĵ paa todo instante de tiempo t [5. De tal manea que tenemos completo nuesto poblema físico del cohete bajo las condiciones que establecimos de las fuezas extenas que actúan sobe él, donde podemos nota que tanto la velocidad como la posición del cohete son matemáticamente difeentes al caso de la fueza extena del campo gavitacional. Si intoducimos cietos valoes paa calcula las cantidades físicas obtenidas de velocidad y posición de las ecuaciones (6), (7), (9) y (10) espectivamente obtenemos que la velocidad del cohete consideando la esistencia del aie es de v = 212.44 m/s mientas que la posición es de y = 1100 m suponiendo que el cohete pate del eposo, ahoa bien, paa el caso en donde no consideamos la fueza de ficción del aie obtenemos que la velocidad es de v = 307 m/s mientas que paa la posición es de y = 1400 m. Se puede ve que sí existe un notoio cambio en la velocidad y la posición cuando no se considea la esistencia del aie de tal foma que los esultados obtenidos son de impotancia paa la páctica de estudio de este poblema. Los valoes que se intodujeon paa calcula lo anteio fueon: m 0 = 3 kg (2 de caga util y 1 de combustible). v = 1000 m/s, velocidad de salida de los gases expulsados, especto del cohete. D = 0.1 kg/s, azón con la que es quemado es combustible en el tiempo. b = 0.2 kg/s, coeficiente de ozamiento del aie. g = 9.8 m/s 2, aceleación de la gavedad a nivel del ma. Los siguientes esultados fueon obtenidos con el gaficado Gaph. Son las gaficas de velocidad conta tiempo, posición conta tiempo, espectivamente, paa pode compaa los esultados obtenidos tanto analíticamente como cuantitativamente. 4. Conclusión Se logó obtene y esolve las ecuaciones de movimiento que igen al cohete, ya que este poblema no es del todo sencillo en muchos de los tabajos que pudimos ve no lo abodan con las fuezas extenas con las que se tabajó en este atículo, además que algunas soluciones son apoximadas, si compaamos las dos soluciones que obtuvimos del poblema del cohete con ficción y sin ella, podemos nota que ambas ecuaciones llevan logaitmos, esto hace una similitud en ambas soluciones puesto que este facto logaítmico es típico del movimiento de sistemas de masa vaiable. Cabe ecoda que si se compaan las ecuaciones paa la velocidad y posición en los dos poblemas esueltos en este tabajo se veá que hay un cambio muy gande en la foma de las soluciones, entonces se cee que este tabajo puede se de impotancia. Cabe ecalca que aun en este tabajo ealizado hace falta agega más condiciones a las que el cohete en la ealidad está expuesto, peo ceemos que éste es un buen inicio al poblema. Teminamos agegando que cuando se agota el combustible del cohete la velocidad temina siendo igual a la velocidad inicial y la posición temina siendo igual a una posición inicial, y esto tiene coheencia ya que en los estudios que hizo K.E. Tsiolkovski [4, intodujo la idea de que el cohete debeía de componese de vaios contenedoes de combustible y así una vez que se agote el combustible en un contenedo el poblema se einicia con una velocidad y posición iniciales espectivamente.
10 A.V. KRAFF, G.S. VÁZQUEZ, R.R. IJANGOS Y J.A. HEREDIA-CANCINO 1..S. Tiesten, Ameican Jounal of Physics 37 (1969) 82. 2. R. Resnick, D. halliday y K.S. Kane, Física, 5a. Ed., Vol. 1 (CECSA, éxico 2005), pp. 149-151. 3. F.W. Seas,.W. Zemansky, H.D. Young y R.A. Roge, Física univesitaia, Décimo pimea Ed. Vol. 1 (Peason Educación, éxico, 2004), pp. 311-313. 4. S.. Tag, Cuso beve de mecánica teóica, pimea Ed. (Editoial i 1976), pp. 377-381. 5. H. Rodigues,.O. de Pinho, D. Potes J, and A. Santiago, Eu. J. Phys. 30 (2009) 185-190.