Espacios Vectoriales Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1

Espacios Vectoriales 201 6Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1

Índice 1 Espacios Vectoriales... 4 1.1 Definición de espacio vectorial... 4 1.2 Definición de subespacio vectorial... 5 1.3 Definición general de Subespacio Vectorial... 5 2 Combinación lineal de vectores... 6 2.1 Ejemplos resueltos de combinaciones lineales... 7 3 Dependencia e independencia lineal de vectores... 9 3.1 Vectores linealmente independientes o sistema libre... 9 3.2 Vectores linealmente dependientes... 9 3.3 Ejemplos resueltos de dependencia lineal... 10 02 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

Objetivos En esta lectura vamos a estudiar la noción de espacio vectorial, así como los conceptos que de dicha noción se derivan. A su vez trataremos de asentar los conceptos por medio de ejercicios prácticos, que nos ayudarán a asimilar lo aprendido. Nomenclatura y terminología Conjuntos de números reales = por R Espacios vectoriales= E e, e = e, e E Son dos vectores pertenecientes el espacio vectorial E (E,+, ) Terna, Espacio vectorial con dos operaciones suma y producto =para todo =perteneciente = Existe / = tal que = ley de composición interna = ley de composición interna 03 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

1 Espacios Vectoriales En el tema anterior vimos que en los conjuntos numéricos R 2, R 3,..., R n, las operaciones de suma y producto por números reales cumplen unas determinadas propiedades, denotando al conjunto de una cierta estructura, que recibe el nombre de espacio vectorial. 1.1 Definición de espacio vectorial Si entendiste, en el tema anterior, los conjuntos de R 2, R 3, R n, y las propiedades que se derivan a partir de las operaciones de suma y producto, te resultará más fácil comprender la definición general de espacio vectorial. Un espacio vectorial sobre un cuerpo k es una terna (E,+, ) formada por un conjunto E y dos operaciones +,, suma y producto por escalares (números reales) que verifican las siguientes propiedades: a. Propiedades para la ley de combinación interna "Suma" (E,+) : e, e E (e,e' son dos vectores del espacio vectorial E) se verifica que: 1. Asociativa e + (e + e ) = (e + e ) + e 2. Elemento neutro: 0 E tal que e es e + 0 = 0 + e = e 3. Elemento simétrico (opuesto) e E tal que e + e = e + e = 0 4. Conmutativa: e + e = e + e b. Propiedades para la ley de combinación interna "producto" (E, ) : e, e E, λ, μ k, se verifica que: 1. λ(e + e ) = λe + λe 2. (λ, µ)e = λe + µe 3. λ(µe) = λµe 4. 1 e = e Vamos a realizar unas observaciones a esta definición. 1. La suma de vectores es una operación interna en E y por verificar las 4 primeras propiedades, el par (E,+) es un grupo abeliano. 2. La diferencia de dos vectores e y e se representa por e-e, y se define como la suma de e con respecto a al opuesto de e ; es decir: 04 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

e - e = e + (-e ) 3. La operación producto de vectores por números reales se llama también operación externa. 1.2 Definición de subespacio vectorial Antes de generalizar la definición de subespacio vectorial vamos a explicar que es un subespacio vectorial considerando un espacio vectorial real R 3. Consideramos el espacio vectorial R 3 y el subconjunto W formado por los vectores cuya tercera componente es nula, es decir: W verifica las siguientes condiciones: W = {(x, y, 0) tal que x, y R} 1. Es un subconjunto no vacio de R 3, ya que, al menos el vector nulo pertenece a W. 2. La suma de dos vectores cualesquiera de W es otro vector de W. 3. El producto de un número real cualquiera por un vector de W es otro vector de W W Subespacio vectorial de R 3 R 3 (2,5, 1 3 ) ( 2, 1,7) (0,0,0) (x, y, z) W (3,5,0) ( 3, 1 7, 0) (0,0,0) (x, y, 0) Así pues, el conjunto W es un espacio vectorial con las operaciones incluidas por R 3, por eso se dice que W es un subespacio vectorial de R 3. 1.3 Definición general de Subespacio Vectorial Sea E un espacio vectorial. Un Subconjunto E E (E, subconjunto vectorial contenido en E) se dice que es un subespacio vectorial contenido en E cuando: e, e E, y λ k se verifica que: 05 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

e + e E, (1) λe E, (2) LEMA: E E es un subespacio vectorial de E precisamente si λ, µ k, y e, e E se verifica que: λe + µe E (Este lema se encuentra demostrado en el anexo de teoremas y demostraciones) OBSERVACIÓN 0 E para todo subespacio E E Esto quiere decir que siendo E un espacio vectorial real se dice que E es un subespacio vectorial de E si se verifica que 1. E es un subconjunto no vacio de E La suma de dos vectores cualesquiera de E es otro vector de E (1). 2. El producto de un número real cualquiera por un vector de E es otro vector de E (2). A partir de la definición de subespacio vectorial, se deduce de forma inmediata que todo espacio vectorial E admite, al menos, dos subespacios vectoriales: el subespacio formado únicamente por el vector nulo y el propio espacio E. A estos subespacios se les llama triviales o impropios y a todos los demás, si existen, se les llama subespacios propios. 2 Combinación lineal de vectores Un vector e de un espacio vectorial E es combinación lineal de los vectores de e 1, e 2, e 3,, e n de E si puede expresarse de la siguiente forma: e = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + λ 3 e 3 + + λ n e n Con λ i k, i = 1,2,3, n es decir λ 1, λ 2, λ 3,, λ n son números reales. Y se puede expresar de la siguiente forma: n λ i e i λ i k, i=1 i = 1,2,3, n Así pues para formar una combinación lineal de vectores se utilizan las dos operaciones lineales de vectores: 06 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

Suma de vectores Producto de vectores por un número real Evidentemente, como consecuencia de la definición se verifica: 1. Todo vector es combinación lineal de sí mismo e = 1 e 2. El vector 0 es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores: 0 = 0 e 1 + 0 e 2 + + 0 e n 2.1 Ejemplos resueltos de combinaciones lineales Ejercicio 1 Calcular el vector dado por la siguiente combinación lineal: Solución: 3(2,3,4) - 5(1,0,-1) + 5(-1,-1,3) Para obtener el vector dado por esta combinación lineal de vectores, solo hay que realizar las operaciones suma y producto que se indican, si multiplicamos cada vector por el escalar obtenemos: (6,9,12) (5,0,-5) + (-5,-5,15) Para obtener el vector final realizamos la operación suma (que se puede presentar con valor negativo), luego el vector final es: Ejercicio 2 (-4,4,32) Averiguar si el vector u =(2,2,2) es combinación lineal de v =(1,1,1) Solución: El vector u sí es combinación lineal de v puesto que Ejercicio 3 u = 2v Expresar (3,4) como combinación lineal de los vectores (1,0) y (0,1) Solución: La combinación lineal es (3,4) = 3(1,0) + 4(0,1) Ejercicio 4 Dado el siguiente espacio vectorial, formado por los vectores e 1 = (1, 3), e 2 = (3, 4) comprueba que el vector e 3 (7,11) se puede expresar como combinación lineal de los otros 2 vectores. 07 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

Solución Expresamos (7, 11) = λ(1, 3) + β(3, 4) Si igualamos por componentes podemos expresar la ecuación anterior en forma de sistema de ecuaciones lineales 7 = λ + 3β { 11 = 3λ + 4β Resolvemos el sistema por reducción. Aplicamos los criterios de equivalencia de producto en la primera ecuación, multiplicándola por 3 y obteniendo un sistema equivalente. 21 = 3λ + 9β { 11 = 3λ + 4β Resolvemos por reducción, restamos 1ª ecuación menos 2ª ecuación. 21 = 3λ + 9β 11 = 3λ 4β 10 = 5β β = 2 Sustituyendo β = 2 en una de las dos ecuaciones obtenemos el valor de λ. Ejercicio 5 21 = 3λ + 9 2 λ = 1 Determinar el valor de y para que el vector (1,y,5) R 3, pertenezca al subespacio vectorial E formado por los vectores (1,2,3),(1,1,1) Solución: Para que el vector (1,y,5) pertenezca al E={(1,2,3),(1,1,1)} si y solo si (1,y,5) ha de poder escribirse como combinación lineal del los vectores de E, es decir, si existen αyβ R tales que: Resolviendo el sistema tenemos que: Si resolvemos el sistema tenemos que (1,y,5)= α (1,2,3)+ β (1,1,1) 1= α+ β y= 2α + β 5= 3α + β α = 1- β 08 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

5= 3(1- β) + β luego β=-1 y α=2 y= 3 El valor de x para que (1,y,5) pertenezca a E={(1,2,3),(1,1,1)} es y=3 3 Dependencia e independencia lineal de vectores Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si uno cualquiera de ellos se puede expresar como combinación lineal de los restantes. En caso contrario se dice que son linealmente independientes, es decir, cuando ninguno de los vectores que forman el conjunto se puede expresar como combinación lineal de los vectores restantes. A continuación veremos la forma general de expresar la definición de vectores linealmente dependientes e independientes 3.1 Vectores linealmente independientes o sistema libre Un conjunto de vectores {e 1,, e n } es un conjunto linealmente independiente o un sistema libre cuando se verifica que: n λ i e i = 0 λ i = 0 i=1 i = 1,, n Explicación: el conjunto de vectores es linealmente independiente cuando el sumatorio de λ i e i para todo i que adquiere un valor desde 1 hasta n es igual a cero si y solo si λ i =0. Si se dan estas condiciones entonces tendremos al menos un vector 0 y como ya hemos explicado, el vector 0, se puede expresar como combinación lineal de cualquier conjunto de vectores. Nota: se tiene que cumplir la doble condicional si y solo si que en numerosas ocasiones la podemos ver representada con la siguiente simbología,, 3.2 Vectores linealmente dependientes Un conjunto de vectores {e 1,, e n } es un conjunto linealmente dependiente cuando existe una combinación lineal tal que: n λ i e i = 0 con i=1 λ i 0 para algún i Explicación: los vectores {e 1,, e n } son linealmente dependientes si cualquiera que sea la combinación lineal de la forma: λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + + λ n e n = 0 con algún λ i 0 09 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

3.3 Ejemplos resueltos de dependencia lineal Tres formas de resolver un problema de dependencia lineal: Aplicando la definición de dependencia lineal Poniendo un vector como combinación lineal de los restantes. Resolviendo el determinante que forman los vectores. Ejercicio 1 Estudia la dependencia lineal del conjunto de vectores {(4, 12), (2, 6)} 1º Forma: Aplicando la definición de dependencia lineal. En este caso vemos claramente que los vectores son linealmente dependientes puesto que uno el doble del otro, sin embargo vamos a desarrollar la forma de proceder para aprender a resolver este tipo de ejercicios: Una forma de resolver este ejercicio es aplicando la definición de dependencia lineal, así pues tenemos: (0,0, ) = λ 1 (4,12) + λ 2 (2,6) Igualamos por componentes y obtenemos un sistema de ecuaciones 0 = 4λ 1 + 2λ 2 Resolviendo el sistema: 0 = 12λ 1 + 6λ 2 λ 2 = 2λ 1 0 = 4λ 1 + 2( 2λ 1 ) Dando valores a λ 2 = 2λ 1 vemos que se cumplen las ecuaciones Por ejemplo si λ 1 = 1 entonces λ 2 = 2 0 = 4 + 2( 2) = 0 0 = 12 + 6( 2) = 0 Así pues por la definición de dependencia e independencia lineal vemos que cumple lo siguiente: n i=1 λ i e i = 0 con λ i 0 para algún i y por tanto los vectores son linealmente dependientes. 2º Poniendo uno de los vectores como combinación lineal de los restantes Otra forma de resolver este tipo de problemas es poniendo un vector como combinación lineal del resto: 010 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

(4,12) = λ 1 (2,6) Si igualamos cada término a término (es decir componente por componente) obtenemos un sistema que se resuelve de forma directa. componente x: 4 = 2λ 1 obtenemos λ 1 = 2 componente y: 12 = 6λ 1 obtenemos λ 1 = 2 Resolviendo cualquiera de las dos ecuaciones obtenemos un valor λ 1 = 2 0 Luego los vectores son linealmente dependientes y 2 es la constante de proporcionalidad. También podría ser 1 que es la constante de proporcionalidad que nos permite pasar del 2 segundo vector al primero, es decir si hubiéramos planteado el problema de esta otra forma: (2,6) = λ 1 (4,12) 3º Forma: Resolviendo el determinante que forman los vectores. Otra forma para resolver este tipo de ejercicios es resolviendo el determinante que forman los vectores. Si el determinante es distinto de cero, los vectores serán linealmente independientes. Si el determinante es igual a cero entonces los vectores serán linealmente dependientes. 2 6 4 12 = 2 12 6 4 = 0 Luego los vectores son linealmente dependientes. Ejercicio 2 Estudiar la dependencia lineal del conjunto de vectores: {(1, 2), (3, 4)} Planteamos el problema de la misma forma que el anterior. 1º Forma: Aplicando la definición de dependencia independencia lineal (0,0) = λ(1,2) + β(3,4) Montamos el sistema 0 = λ + 3β 0 = 2λ + 4β 011 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

Resolvemos el sistema λ = 3β sustituimos en la 2º ecuación n 0 = 6β + 4β 0 = β y 0 = λ Se cumple que: i=1 λ i e i = 0 λ i = 0 i = 1,, n Luego podemos decir que los vectores son linealmente independientes puesto que cumplen con la definición de Independencia lineal. 2º Forma: Poniendo uno de los vectores como combinación lineal del resto de vectores que forman el espacio vectorial (1,2) = λ 1 (3,4) componente x: 1 = 3λ 1 obtenemos λ 1 = 1 3 componente y: 2 = 4λ 1 obtenemos λ 1 = 1 2 Como vemos hay una incongruencia pues λ 1 no puede tomar dos valores, esto significa que no se puede verificar que exista ningún número real distinto de 0 que verifique (1,2) = λ 1 (3,4) luego los vectores son linealmente independientes. 3º Forma: Resolviendo el determinante que forman los vectores del espacio vectorial. det = 1 2 3 4 = 1 4 3 2 = 4 6 = 2 Podemos observar que el determinante es distinto de 0 de forma que los vectores son linealmente independientes. Ejercicio 3 Estudiar la dependencia lineal del conjunto de vectores: {(3, 3, 2), (1, 1, 1), (2, 2, 3)} 1º Forma: aplicando la definición de dependencia independencia lineal. Montamos el sistema de ecuaciones: (0, 0, 0) = λ(3, 3, 2) + β(1, 1, 1) + α(2, 2, 3) 0 = 3 λ + β + 2α 0 = 3 λ + β + 2α 0 = 2 λ β + 3α 012 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

Vemos que las dos primeras ecuaciones son iguales. (Con este dato podemos hacernos una idea de cómo van a ser los vectores) Resolvemos el sistema. 0 = 2 λ β + 3α β = 2 λ + 3α Sustituimos en una de las otras ecuaciones Luego λ = α 0 = 2 λ + β + 3α 0 = 3 λ + 2 λ + 3α + 2α = 5 λ + 5α Dada esta igualdad si sustituimos en β = 2 λ + 3α que habíamos despejado al principio del ejercicio obtenemos lo siguiente. Luego β = α β = 2 ( α) + 3α = α Como podemos observar las 3 constantes dependen las unas de las otras. En este caso se cumple que n λ i e i = 0 con i=1 λ i 0 para algún i Y los vectores son linealmente dependientes. Vamos a verlo de una forma más clara dando valores distintos de cero a las constantes λ, β y α Por ejemplo si λ = 2 entonces α = 2 y comoβ = α β = 2 0 = 3 λ + β + 2α 0 = 6 2 4 = 0 0 = 3 λ + β + 2α 0 = 6 2 4 = 0 0 = 2 λ β + 3α 0 = 4 ( )2 6 = 0 Queda demostrado que se cumple la definición de dependencia lineal. n λ i e i = 0 con λ i 0 para algún i i=1 2º Forma: Expresamos uno de los vectores como combinación lineal del resto. (3, 3, 2) = λ 1 (1, 1, 1) + λ 2 (2, 2, 3) Montamos el sistema de ecuaciones igualando componente a componente: componente x: 3 = λ 1 + 2λ 2 013 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

componente y: 3 = λ 1 + 2λ 2 componente z: 2 = λ 1 + 3λ 2 Tenemos un sistema de 3 ecuaciones y 2 incógnitas, su solución es directa, si restamos a la primera (o segunda) expresión la tercera (cambiamos de signo a la tercera ecuación entonces: 3 = λ 1 + 2λ 2 2 = λ 1 3λ 2 Luego despejando λ 2 1 = 0 + 1λ 2 λ 2 = 1 Sustituyendo λ 2 en una de las dos ecuaciones y despejando λ 1 obtenemos: 3 = λ 1 + 2 1 λ 1 = 1 Como podemos ver no existe ningún λ i = 0 por lo tanto los vectores son linealmente dependientes. 3º Forma: Resolviendo el determinante que forman los vectores: 3 3 2 det = 1 1 1 = 2 2 3 1 1 2 2 = 3 1 3 + 2 3 = 3(5) 1(5) + 2( 5) = 15 5 10 = 0 2 3 2 3 1 1 Como el determinante es igual a cero entonces los vectores son linealmente dependientes. Ejercicio 4 Demostrar la dependencia lineal del siguiente conjunto de vectores. {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} Expresamos uno de los vectores como combinación lineal del resto. (1, 0, 0) = λ 1 (0, 1, 0) + λ 2 (0, 0, 1) Montamos el sistema de ecuaciones igualando componente a componente: componente x: 1 = 0 componente y: 0 = λ 1 componente z: 0 = λ 2 014 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

Salta a la vista que hay una incoherencia puesto que 1 no puede ser igual a cero, con lo cual los vectores son linealmente independientes. Ejercicio 5 Son los vectores (1,2,3) y (1,1,1) combinación lineal de la familia de vectores S (1, 0, 1), (0, 2, 2)? Solución Primero vemos si el primer vector es combinación lineal de S (1, 0, 1), (0, 2, 2) (1, 2, 3) = λ 1 (1, 0, 1) + λ 2 (0, 2, 2) Igualamos por componentes y determinamos λ 1 y λ 2 1 = λ 1 2 = 2λ 2 λ 2 = 1 3 = λ 1 + 2λ 2 = 1 + 2 1 = 3 Luego (1,2,3) puede escribirse como combinación lineal de S (1, 0, 1), (0, 2, 2) A continuación comprobamos si el segundo vector es combinación lineal de S (1, 0, 1), (0, 2, 2) 1 = λ 1 1 = 2λ 2 λ 2 = 1 2 1 = λ 1 + 2λ 2 = 1 + 2 1 = 2 1 2 Para los valores de λ 1 y λ 2 obtenidos no se verifican las tres ecuaciones es decir no existe ningún λ i que cumpla con las tres ecuaciones con los cual este vector no se puede poner como combinación lineal del conjunto S (1, 0, 1), (0, 2, 2). 015 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016