1.4. Trabajo en un campo eléctrico. Potencial Clases de Electromagnetismo. Ariel Becerra Al desplazar una carga de prueba q en un campo eléctrico, las fuerzas eléctricas realizan un trabajo. Este trabajo en un desplazamiento Δ es igual a (fig. 1.4.1): o en forma diferencial Δ Δ cos Δ cos Δ, d cosdcos d. Figura 1.4.1. Trabajo de las fuerzas eléctricas al desplazar en Δ la carga q. En una traslación finita de la carga q desde un punto (1) hasta un punto (2), el trabajo será cos El campo electrostático tiene una propiedad muy importante: El trabajo de las fuerzas del campo electrostático al desplazar una carga de un punto a otro no depende de la forma de la trayectoria, y se determina solamente por la posición de los puntos final e inicial y la magnitud de la carga. Una propiedad análoga tiene el campo gravitacional, lo cual no nos debe sorprender ya que las fuerzas gravitacionales y las coulombianas se describen con relaciones matemáticas similares. La siguiente afirmación es consecuencia de la independencia del trabajo con respecto a la trayectoria: El trabajo de las fuerzas del campo electrostático al desplazar una carga a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es igual a cero. Los campos que tienen esta propiedad se llaman potenciales o conservativos. En el dibujo 1.4.2 se ilustran las líneas de campo de Coulomb de una carga puntual Q y dos trayectorias diferentes de desplazamiento de la carga de prueba q desde el punto inicial (1) hasta el punto final (2). Sobre una trayectoria se señala un desplazamiento infinitesimal Δ. El trabajo Δ de las fuerzas coulombianas sobre este desplazamiento es igual a Δ Δ cos Δr 1 Qq Δr 4 r Como se puede apreciar, el trabajo por este desplazamiento depende solamente de la distancia r entre las cargas y su cambio Δ. Si esta expresión la integramos en el intervalo de r = r 1 hasta r = r 2, entonces podemos obtener 1
1 1 4 Clases de Electromagnetismo. Ariel Becerra Dibujo 1.4.2. El trabajo de las fuerzas coulombianas al desplazar una carga q depende solamente de las distancias r 1 y r 2 de los puntos inicial y final de la trayectoria. El resultado obtenido no depende de la forma de la trayectoria. En las tayectorias I y II del dibujo 1.4.2, el trabajo de las fuerzas coulombianas es el mismo. Al cambiar la dirección de desplazamiento de la carga q a la contraria, el trabajo cambia su signo. De aquí se deduce que a lo largo de una trayectoria cerrada, el trabajo de las fuerzas coulombianas es igual a cero. Si el campo eléctrico lo genera un grupo de cargas puntuales entonces, al desplazar una carga de prueba q el trabajo del campo resultante, de acuerdo al principio de superposición va a ser igual a la suma de los trabajos de los campos coulombianos de las cargas puntuales: 1 1, 4 donde y son las distancias desde la carga hasta las posiciones inicial y final de la carga q. Debido a que cada miembro de la suma no depende de la forma de la trayectoria, el trabajo total del campo resultante no depende del camino y se determina solamente por las posiciones inicial y final. Energía potencial La propiedad de potencialidad del campo eléctrico nos permite introducir el concepto de energía potencial de la carga en el campo eléctrico. Para ello, escojamos cierto punto (0) en el espacio, y la energía potencial de la carga q, situada en este punto, la tomamos como igual a cero. La energía potencial de la carga q, situada en cualquier punto (1) del espacio, con relación al punto predeterminado (0) es igual al trabajo W 10, que realiza el campo eléctrico al desplazar una carga q del punto (1) al punto (0): 2
Clases de Electromagnetismo. Ariel Becerra Así como en mecánica, la energía potencial está definida con exactitud hasta de una constante, la cual depende de la elección del punto de referencia (0). Esto de ninguna manera conlleva a malentendidos, ya que sentido físico tiene no la energía potencial como tal, sino la diferencia de sus valores en dos puntos del espacio. El trabajo que realiza el campo eléctrico al desplazar una carga puntual q desde el punto (1) hasta el punto (2), es igual a la diferencia de valores de la energía potencial en estos puntos y no depende del camino de desplazamiento de la carga, ni del punto (0) que se ha elegido. Δ Si una carga puntual q es trasladada por la acción de las fuerzas electrostáticas en el campo de una carga puntual Q, la variación de su energía potencial para una traslación infinitesimal es 4 La energía potencial de la carga q, situada en un campo eléctrico es proporcional a la magnitud de esta carga. Para hallar el valor absoluto de la energía potencial que tiene una carga eléctrica en un punto dado de un campo electrostático hay que elegir el punto de referencia de la energía potencial. La integración de la ecuación anterior nos da, 4 donde es una constante arbitraria. Si 0 cuando r entonces 0 y obtenemos entonces la expresión para la energía potencial de la carga q que se encuentra en el campo de la carga Q a la distancia r de ella. Cuando q y Q son del mismo signo, la energía potencial es positiva y crece cuando las cargas se aproximan entre sí y decrece al alejarse. En las cargas de signo contrario la energía potencial es negativa y aumenta hasta cero cuando una de las cargas se aleja hasta el infinito. Cuando la carga q se encuentra en el campo de un sistema de cargas puntuales, Potencial de un campo electrostático, 4 La magnitud física que es igual a la relación de la energía potencial de la carga eléctrica en un campo electrostático con la magnitud de esta carga, se denomina potencial del campo electrostático: 4 El potencial es una característica energética del campo electrostático y no depende de la magnitud de la carga q. El trabajo que realiza el campo al desplazar una carga eléctrica q del punto (1) al punto final (2) es igual al producto de la carga por la diferencia de potencial de los puntos final e inicial: En el Sistema Internacional (SI) la unidad del potencial es el voltio (V): 1 1J/1C En muchos problemas de electrostática, para calcular el potencial es conveniente tomar como punto de referencia (0) un punto en el infinito. En este caso el concepto de potencial puede ser definido de la siguiente manera: 3
Clases de Electromagnetismo. Ariel Becerra El potencial del campo en un punto determinado del espacio es igual al trabajo que realizan las fuerzas eléctricas al alejar una carga puntual unitaria desde ese punto hasta el infinito. El potencial del campo electrostático creado por una carga puntual Q a la distancia r de ella, con respecto a un punto en el infinito, se calcula de la siguiente manera: 1 4 1 4 Como se puede observar del teorema de Gauss, esta misma fórmula expresa el potencial del campo de una superficie esférica con cargada homogéneamente (o de una esfera) cuando r = R, donde R es el radio de la esfera. Del principio de superposición de los campos generados por cargas eléctricas se deduce el principio de superposición para los potenciales: El potencial en un punto dado del campo generado por un sistema de cargas puntuales es igual a la suma de potenciales de los campos de cada una de las cargas: 1 4 donde es la carga número y la distancia desde esta carga hasta el punto dado. Para tener una concepción clara del campo eléctrico, junto con las líneas de campo se introducen también las llamadas superficies equipotenciales. La superficie, en todos los puntos de la cual el potencial del campo eléctrico tiene valores iguales, se denomina superficie equipotencial o superficie de igual potencial. Las líneas de campo siempre son perpendiculares a las superficies equipotenciales. Las superficies equipotenciales del campo coulombiano de una carga puntual son superficies esféricas concéntricas. En el dibujo 1.4.3 se ilustran las líneas de campo y las superficies equipotenciales de algunos campos electrostáticos simples. Dibujo 1.4.3. Superficies equipotenciales (líneas que no se cruzan con las cargas) y lineas de campo (líneas que se cruzan con las cargas de campos eléctricos simples: a carga puntual; b dipolo eléctrico; c dos cargas iguales positivas. En un campo homogéneo las superficies equipotenciales representan un sistema de planos mutuamente paralelos. Si la carga de prueba +q realiza un desplazamiento muy pequeño en la dirección desde el punto (1) al punto (2), entonces podemos escribir: Δ 4
Clases de Electromagnetismo. Ariel Becerra donde Δ es la diferencia de potencial entre los puntos 1 y 2. Δ Δ Esta expresión en forma escalar expresa la relación entre el campo y el potencial. Aquí es la coordenada a lo largo de la línea de campo. En el caso general de campos heterogéneos, los puntos 1 y 2 se deben elegir lo suficientemente cerca uno del otro, para que se pueda considerar el campo constante en el segmento Δ. Pasando al límite Δ 0, obtenemos:. La derivada que aquí aparece expresa la rapidez del cambio de potencial en la dirección dada. Vemos que la proyección del vector campo en la dirección dada es igual a rapidez del cambio de potencial en esta dirección con signo contrario. La relación entre el campo y el potencial se puede expresar por medio del gradiente del potencial. Se llama gradiente de la magnitud escalar al vector, cuya dirección coincide con la dirección de mayor crecimiento de la magnitud. La magnitud de este vector es igual al cambio de al desplazarse en una unidad de longitud en la dirección de mayor cambio. Este vector se denota por grad. Entonces la intensidad del campo eléctrico es igual al gradiente del potencial con signo menos: grad En conclusión, sabiendo la distribución del potencial, siempre se puede determinar la proyección del campo en cualquier dirección, es decir se pueden hallar las proyecciones,,, y por consiguiente el vector. De la formula / se deduce que la magnitud del campo es igual a la tensión en unidad de longitud de línea de campo. Por ello siempre se puede determinar el campo midiendo la tensión entre los conductores cargados que generan el campo. Si el campo es homogéneo, por ejemplo en el caso del campo de un condensador plano, si es la tensión entre las placas y la distancia entre ellas, tenemos Esta relación se utiliza para definir la unidad del campo. Una unidad de campo es aquel campo en el cual la tensión en un metro de longitud de línea de campo es igual a un voltio. Esta unidad se le denominó voltio sobre metro: V/m. Ecuación de Laplace: Al reemplazar las componentes del campo en la fórmula de Poisson obtenemos Si en el punto (x,y,z) no hay cargas, entonces 0 Esta ecuación se denomina ecuación de Laplace. El problema general de la electrostática se reduce a hallar la función U(x,y,z) en todo el espacio, la cual satisface la ecuación de Laplace. 5
Recomendaciones a la solución de problemas utilizando la ley de Gauss: Clases de Electromagnetismo. Ariel Becerra 1. Leer el problema y sacar del texto la mayor cantidad de datos posible. 2. Tener en cuenta que el potencial es una magnitud escalar, es decir no hay necesidad de descomponerlo como un vector. El potencial total de un sistema de cargas es simplemente la suma escalar de los potenciales correspondientes a cada una de las cargas. 3. El potencial de una carga positiva es positivo y el de una carga negativa es negativo. En la suma de potenciales se respeta el signo. Problemas: 1. Hallar el potencial de una carga puntual q a una distancia r de la carga, conocido el campo. 2. Condensador esférico. Se tienen dos electrodos en forma de superficies esféricas concéntricas con radios a (interna) y b (externa). El campo E entre los electrodos se expresa por la fórmula /4, y varía en el espacio de la misma manera que una carga puntual. Hallar la diferencia de potencial entre la esfera interna y cualquier punto del espacio entre los electrodos, a una distancia r del centro del condensador. 3. Condensador plano. Hallar la diferencia de potencial entre la placa positiva y cualquier punto alejado de ella a una distancia x. 4. Condensador cilíndrico. Hallar el potencial entre dos electrodos cilíndricos coaxiales. 5. Deducir la fórmula integral para calcular el potencial de una distribución volumétrica de carga, en un punto dado. Asimismo para la distribución superficial. 6