CAPÍTULO 5 5. DEFINICIÓN DEL MODELO DE ELEMENTOS FINITOS Una vez que se conocen las características del silo real que se quiere analizar (capítulo 2), las acciones que se van a desarrollar en él (capítulo 3) y las características principales del fenómeno de pandeo que queremos estudiar (capítulo 4), estamos en disposición de crear un modelo de elementos finitos para llevar a cabo los análisis oportunos. En este capítulo se va a presentar el modelo elegido y se comentarán los principales factores que han influido en su elaboración, viendo los diferentes problemas tipo que se han resuelto para controlar las dificultades relacionadas con la convergencia de los cálculos no lineales. E.T.S. INGENIEROS, UNIVERSIDAD DE SEVILLA 60
5.1. Introducción: El Método de los Elementos Finitos Tal y como se ha comentado en el capítulo 1, hoy en día se dispone de una herramienta muy potente para el cálculo de estructuras gracias al desarrollo de los ordenadores y a la consiguiente mejora en cuanto a la capacidad de cálculo: el Método de los Elementos Finitos. Puesto que no es el objetivo de este proyecto, no se va a explicar aquí con detenimiento el funcionamiento de este método. Simplemente comentar que, aplicado al cálculo estructural, consiste en discretizar la estructura analizada en un número de elementos, (cuántos más sean, más fino será el análisis), en cada uno de los cuales se plantea el problema de la elasticidad, de forma débil (variacional), con las relaciones de compatibilidad, la ley de comportamiento y las ecuaciones de equilibrio pertinentes, todo ello con los elementos sometidos a unas fuerzas externas y a unas condiciones de contorno. Esto plantea un gran número de ecuaciones que resolvemos mediante un programa de ordenador, en nuestro caso Ansys 8.0., que a su vez usa una serie de métodos numéricos internos para resolver el problema (ver capítulo 6 en que se analizan los métodos numéricos usados por Ansys). 5.2. Definición del modelo del silo 1 a) Descripción del modelo Dado que, como se ha especificado con anterioridad, el fallo de abolladura que sufrió el silo analizado se dio en las paredes de chapa cilíndrica que componen el cuerpo principal del mismo, son estas paredes cilíndricas de chapa delgada las que deben ser analizadas con detalle desde el punto de vista del pandeo. Por ello, para el análisis del comportamiento estructural del silo se ha modelado sólo el cuerpo principal del mismo. 1 Las macros usadas como input para Ansys están en el anexo III. En ellas está la definición completa del modelo: Geometría, elementos, mallado, propiedades, cargas, condiciones de contorno E.T.S. INGENIEROS, UNIVERSIDAD DE SEVILLA 61
Es decir, el modelo comprende las virolas de chapa cilíndrica de diferente espesor y los rigidizadores soldados a las mismas en cada una de las configuraciones analizadas (ver capítulo 2). Toda la parte del silo por encima del rigidizador en anillo que zuncha la parte superior de la pared de chapa, sólo se ha tenido en cuenta a la hora de establecer las cargas que actúan sobre las chapas cilíndricas (NVTECHO en las macros usadas, ver anexo III). b) Elementos utilizados El modelado de la estructura se ha llevado a cabo usando los siguientes elementos de la librería de Ansys 8.0: - Beam 188: Elemento uniaxial de dos nodos con seis grados de libertad en cada uno de ellos basado en la teoría de flexión de Timoshenko. Se ha usado para modelar los dos tipos de rigidizadores que se sueldan a las virolas. Este elemento está especialmente indicado para problemas no lineales, y permite que se le asocie un tipo de sección mediante el comando SECTYPE (y sus comandos complementarios, SECDATA, SECNUM...), además permite realizar un offset entre su centro de gravedad (dependiente del tipo de sección asignada) y la línea o elemento geométrico al que se asigna. Figura 5.1: Elemento Beam 188 E.T.S. INGENIEROS, UNIVERSIDAD DE SEVILLA 62
- Shell 181: Es un elemento de tipo lámina basado en la teoría de Reissner- Mindlin, compuesto por cuatro nodos y veinticuatro grados de libertad, seis en cada nodo. Al igual que sucede en el Beam 188, se le asignan las propiedades mediante el comando SECTYPE, en este caso el espesor de chapa. Una de las principales causas de la elección de este elemento, es su buen comportamiento frente a la convergencia en problemas no lineales de lámina delgada (como se comentará en el apartado 5.3 cuando se aborde el proceso de modelado seguido). Es el elemento que se ha usado para modelar las distintas virolas cilíndricas, es decir, prácticamente toda la estructura. Figura 5.2: Elemento Shell 181 Además de estos elementos, que han servido para modelar la rigidez y la masa de la estructura, se ha usado el Surf 154, para aplicar las presiones internas del material, tanto las normales como las tangenciales. Para ello se han asociado estos elementos, con masa nula, a todos los elementos tipo lámina de la estructura (para más detalle ver la macro presiones en el anexo III). c) Hipótesis realizadas A continuación se exponen las hipótesis más importantes realizadas para modelar el silo: E.T.S. INGENIEROS, UNIVERSIDAD DE SEVILLA 63
- El modelo del silo forma una estructura tridimensional compuesta por la pared vertical formada por virolas y los rigidizadores. - Debido a problemas con la convergencia, que se comentarán más adelante, se modela y analiza un sector de 45º en lugar del cilindro completo. El sector de 45º representa bastante bien el comportamiento del silo completo. La validación de esta elección se comenta en el último apartado del capítulo. - Las condiciones de contorno aplicadas al modelo son de empotramiento en la base de la primera virola, realizado imponiendo desplazamientos y rotaciones nulos en la línea inferior, extremo superior del cilindro libre (el rigidizador anular será el que limite el desplazamiento horizontal) y simetría en los bordes del sector de 45º modelado, impuesta en las líneas verticales situadas en dichos bordes. - Los espesores de las virolas se definen a través de la asignación de un tipo de sección al área del segmento cilíndrico que corresponde una vez generadas todas las áreas mediante el giro de una generatriz alrededor del eje del cilindro. El desfase en las uniones de virolas de distinto espesor se manifiesta a ambos lados de la línea media de la virola que se ha generado, mientras que en la realidad todo el desfase quedaba en el lado interno. - La parte superior del cilindro no se modela y se tiene en cuenta como una carga en los nodos de los elementos de la línea superior igual al peso de esta estructura, que se toma de 500 kg/m 2 (se hizo un cálculo del peso total de la estructura de la cubierta y el casetón, resultando este de 80,74 Tn, lo que supone 114,22 kg/m 2 pero teniendo en cuenta que hay maquinaria que no se incluyó en los cálculos se dejan esos 500 kg/m 2 para tenerla en cuenta y estar del lado de la seguridad). - Como ya se ha indicado en el capítulo 3 dedicado a las acciones de diseño, no se han tenido en cuenta las acciones de viento ni los efectos de la temperatura en los análisis, por considerarlos despreciables frente a los efectos de las otras acciones actuantes para la comprobación frente a pandeo (aún así se realizaron las macros correspondientes. No se adjuntan en el anexo III ya que no se han usado). E.T.S. INGENIEROS, UNIVERSIDAD DE SEVILLA 64
- En cuanto al mallado, se ha realizado mediante elementos cuadrados, en el caso de las virolas, tomando un elemento de 25 cm de lado, y lineal de la misma longitud para los rigidizadores. Siendo este tamaño de 25 cm lo suficientemente fino en la estructura analizada para que los resultados sean válidos, teniendo en cuenta que tamaños más pequeños (mallas más finas) generan más elementos que se traducen en más ecuaciones y hacen que el problema sea más lento de analizar y necesite más memoria virtual del ordenador. - Para la definición de la estructura se ha utilizado como sistema global de coordenadas el sistema de referencia ortogonal X, Y, Z, mostrado en la figura 5.3, situado en la base del silo, en el que el eje Z coincide con el eje de revolución del cilindro que supone el cuerpo principal del silo. Figura 5.3: Sistema de referencia global de la geometría en la configuración 2 E.T.S. INGENIEROS, UNIVERSIDAD DE SEVILLA 65
A continuación se muestran algunas figuras en las que se aprecian los detalles más importantes de las geometrías modeladas: Sector mallado con los rigidizadores verticales hasta abajo Detalle de unión entre los rigidizadores verticales y el rigidizador en anillo Detalle del rigidizador en anillo (UPN-300 en virola superior) Detalle de un rigidizador vertical en la base del silo (medio IPE-330) 5.3. Proceso seguido hasta la definición del modelo del silo En este apartado se va a describir el trabajo realizado previamente a la definición del modelo usado finalmente en el silo, ya que en este proceso se han encontrado diversas dificultades que tras un cierto estudio han determinado el modelado definitivo que se ha presentado en este capítulo. De todos estos problemas encontrados en el trayecto recorrido, el más destacable y que más ha costado superar ha sido el que E.T.S. INGENIEROS, UNIVERSIDAD DE SEVILLA 66
presentaba la convergencia del problema no lineal, y por ello merece un tratamiento especial en un capítulo aparte (capítulo 6). a) Aproximación inicial El modelado pensado inicialmente tenía algunas características diferentes del modelo final, las más relevantes: - La intención era analizar los 360º del cilindro modelando un sector y usando el comando CYCLIC de Ansys. - Se hizo un modelado de las acciones de viento y de los efectos de la temperatura para incluirlos en los cálculos. - Para las virolas se proponía el elemento Shell 63 y para los rigidizadores el Beam 44, pasándole a ambos las características de la sección mediante constantes reales. - No había un modelo para la introducción de las imperfecciones en el análisis no lineal (aunque se pretendía incluirlo). - No se incluía el comportamiento plástico del material. Las primeras modificaciones a este modelo, consistieron en la introducción del comportamiento plástico y la asignación de las secciones mediante el comando SECTYPE en lugar de usar constantes reales, esto hizo que se pasara del elemento Beam 44 al más moderno Beam 188. El modelo no daba problemas en cuanto al análisis de pandeo de autovalores (que nos da la carga crítica de pandeo de la estructura mediante un análisis lineal), pero no se lograba completar el análisis no lineal debido a problemas con la convergencia, por lo que en este punto la investigación se centró en la convergencia de análisis de pandeo no lineales con elementos finitos para comprender mejor los parámetros que la gobiernan. E.T.S. INGENIEROS, UNIVERSIDAD DE SEVILLA 67
En esta etapa se hicieron muchos análisis de problemas más sencillos, siendo los más destacables 2 : Estudio del pandeo en un pilar a compresión sacado de los Tutoriales para Ansys 7.0. de la Universidad de Alberta 3. Buckling of a Bar with Hinged Ends sacado de la ayuda de Ansys 8.0 (Verification Manual nº127), que a su vez procede de [S. Timoshenko. Strength of Material, Part II, Elementary Theory and Problems. 3rd Edition. D. Van Nostrand Co., Inc.. New York, NY. 1956. pg.148, article 29]. Snap-Through Buckling of a Hinged Shell sacado también de la ayuda de Ansys 8.0 (Verification Manual nº17), que a su vez procede de [C. C. Chang. Periodically Restarted Quasi-Newton Updates in Constant Arc-Length Method. Computers and Structures, Vol. 41, No. 5. pp. 963-972. 1991.]. Estos análisis, junto con un estudio de los métodos numéricos usados por Ansys en la resolución de este tipo de problemas (analizados en el capítulo 6) sirvieron para tener una idea más clara tanto de los parámetros a tener en cuenta a la hora de resolver problemas no lineales, como del comportamiento de barras y láminas frente al fenómeno del pandeo. Aún así nuestro problema seguía sin converger. En este punto se hicieron consultas entre usuarios avanzados de Ansys e incluso se llegó a contactar con J.M.Rotter, al que se debe la mayor parte de lo concerniente a estructuras metálicas laminares en los eurocódigos, llegando a dos conclusiones: 1) El elemento Shell 63 no presenta un comportamiento óptimo en lo referente a la convergencia de problemas de lámina delgada con un grado alto de no linealidad; y 2) pese a lo que pueda pensarse, la convergencia numérica del problema de pandeo no lineal del cilindro sin imperfecciones sometido a compresión pura es mucho más difícil de obtener que la del mismo cilindro cuando presenta imperfecciones geométricas. Cuanto más imperfecto geométricamente, más fácil será que converja. 2 Las macros de estos problemas pueden consultarse en el anexo II. 3 El tutorial completo se puede encontrar en www.mece.ualberta.ca/tutorials/ansys E.T.S. INGENIEROS, UNIVERSIDAD DE SEVILLA 68
b) Estudio del problema de estabilidad de láminas de la Universidad de Aalborg Llegados a este punto, además, se encuentra en la web un estudio sobre la estabilidad de láminas llevado a cabo en la Universidad de Aalborg 4 usando Ansys. Al análisis de este problema asemejándolo paso a paso al del silo se deben la mayor parte de las modificaciones finales del modelo presentado. El estudio inicial de esta macro introduce dos modificaciones fundamentales en el modelo del silo, que, por otra parte, eran aspectos que ya se había detectado que no funcionaban bien en el modelo usado en ese momento. Estos son: El cambio del tipo de elementos de lámina usado, del Shell 63 al Shell 93. La introducción de un comando de Ansys (UPGEOM) que modifica el modelo geométrico estudiado añadiéndole los desplazamientos obtenidos como resultado de un análisis previo. (Esto nos sirvió para introducir de forma sencilla las imperfecciones sobre el patrón de geometría obtenido tras hacer el análisis de pandeo de autovalores al hacer un análisis sobre la resistencia frente a pandeo, como indica el eurocódigo). Una vez introducidos estos cambios fundamentales, la estrategia fue ir introduciendo sobre la macro original de Aalborg los cambios necesarios hasta llegar al modelo del silo e ir viendo, en el proceso, el comportamiento frente a la convergencia que tenía el problema. Esto hizo que se modificaran aún otros aspectos del modelo del silo hasta llegar al modelo final que se ha analizado. Esta etapa del proceso se resume en: - Las cargas debidas al peso de la estructura superior, que hasta entonces se aplicaban como una presión en la línea superior del silo, pasaron a aplicarse directamente sobre los nodos de los elementos. Esto se debe a que si se aplicaban de la otra forma seguían la dirección deformada de la línea superior del silo en vez de conservar la dirección vertical que caracteriza al peso. 4 La macro original de la Universidad de Aalborg también puede consultarse en el anexo II y en la dirección web http://www.aaue.dk/bm/ansys/ E.T.S. INGENIEROS, UNIVERSIDAD DE SEVILLA 69
- En un principio se cambiaron los elementos originales por el Shell 93, para las virolas y Beam 189, para los rigidizadores. Ambos elementos son cuadráticos (con nodos intermedios) y compatibles entre sí, además el hecho de ser cuadráticos hacía que el tamaño de elemento no fuera tan determinante en el mallado, pero dado que al elemento Shell 93 se le asignan las propiedades a través de constantes reales y no a través de secciones con el comando SECTYPE, se hizo otro cambio de elementos: Shell 181, para las virolas (que sí admite asignación de secciones) y Beam 188, para los rigidizadores, ambos elementos compatibles entre sí y sin nodos intermedios que son los usados en el modelo final. - Se comprobó que el comando CYCLIC de Ansys no era capaz de mantener las condiciones y parámetros aplicados al sector básico cuando resolvía el sector replicado, incluso se estudiaron las macros internas a las que llama dicho comando, pero finalmente se optó por estudiar un sector representativo del silo imponiendo condiciones de simetría en los bordes y extrapolar los resultados al silo completo. - Se llegó a la conclusión de que el sector de silo estudiado sería de 45º (lo que supone 6 repeticiones del sector básico que se iba a usar con la simetría cíclica), lo suficientemente representativo y no excesivamente grande (ya que a mayor número de elementos, más ecuaciones y más lento y propenso a no converger se hace el análisis). En los bordes θ = cte, se aplican condiciones de contorno de simetría normal, no de simetría cíclica. Validación del sector de 45º La validación de la elección del sector de 45º se basa en el análisis realizado para la macro de Aalborg modificada con altura=1000mm, r=1000mm, un tamaño de elemento de 16mm y 15 substeps en el método del arc-length. Las condiciones de contorno son de empotramiento en la base y borde superior apoyado. Para esta validación se ha analizado la variación de las cargas críticas de pandeo tanto lineales como no lineales de la macro comentada, en dos configuraciones sometidas a compresión pura: una sin rigidizar y la E.T.S. INGENIEROS, UNIVERSIDAD DE SEVILLA 70
otra con 32 rigidizadores verticales uniformemente distribuidos en la pared de chapa vertical desde la base hasta el borde superior. Los resultados para la configuración sin rigidizar (en MPa) se pueden ver en la tabla 5.1, dónde se comprueba que la carga crítica calculada con MEF no cambia mucho Lámina cilíndrica sin rigidizar Sector en º Carga crítica 5,625 11,25 22,5 45 90 180 360 Valor teórico 127,050 127,050 127,050 127,050 127,050 127,050 127,050 Análisis lineal (autovalores) 127,250 127,250 127,250 126,650 126,720 126,685 126,365 Análisis no-lineal 26,175 26,099 26,163 36,475 36,495 29,961 al variar el ángulo discretizado. Tabla 5.1: Validación del sector de 45º. Chapa de espesor constante sin rigidizar. Variación de la carga crítica calculada en Ansys según el sector analizado Existe una diferencia numérica del 0,7% entre los valores máximo y mínimo de la tabla anterior. Sin embargo, aunque los valores numéricos son muy parecidos, hay una diferencia entre la forma de los modos de pandeo obtenidos con ángulos inferiores a 45º y los demás. Los tres primeros valores de la lista corresponden a modos de pandeo con simetría de revolución, mientras que los otros tres no tienen simetría de revolución. Los resultados obtenidos para la lámina cilíndrica rigidizada (en MPa) se muestran en la tabla 5.2, donde nuevamente se muestra la poca variación de la carga crítica con respecto al sector representado. Lámina cilíndrica rigidizada (32 rigidizadores en toda la altura) Sector en º Carga crítica 5,625 11,25 22,5 45 90 180 Análisis lineal (autovalores) 164,640 164,640 164,640 164,640 164,640 164,690 Análisis no-lineal 30,129 30,129 30,129 30,129 30,129 30,138 Tabla 5.2: Validación del sector de 45º. Chapa de espesor constante rigidizada. Variación de la carga crítica calculada en Ansys según el sector analizado E.T.S. INGENIEROS, UNIVERSIDAD DE SEVILLA 71