Septiembre 2. Ejercicio 4B. Calificación máxima: 2 puntos El cajero automático de una determinada entidad bancaria sólo admite billetes de 5, de 2 y de euros. Los viernes depositan el en cajero 225 billetes por un importe total de 7 euros. veriguar el número de billetes de cada valor depositado, sabiendo que la suma del número de billetes de 5 y de euros es el doble que el número de billetes de 2 euros. x Número de billetes de 5 y Número de billetes de 2 z Número de billetes de - Se depositan el en cajero 225 billetes : x + y + z 225 - Importe total de 7 euros : 5x + 2y + z 7 - La suma del número de billetes de 5 y de euros es el doble que el número de billetes de 2 euros : x + z 2y Ordenando y simplificando se obtiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. x + y + z 225 5x + 2y + z 7 x y + z Para comprobar que el sistema es compatible determinado se calcula el determinante de la matriz de coeficientes. det 5 2 2 Sistema compatible determinado x y z x z y 225 7 5 5 2 2 225 7 2 2 2 2 2 9 75 2 225 7 5 2 ( Cramer) billetes de 5, 75 billetes de 2 y 5 billetes de. Septiembre 2. Ejercicio B. Calificación máxima: 2 puntos Un mayorista del sector turístico vende a la agencia de viajes, billetes a destinos nacionales, billetes a destinos extranjeros europeos comunitarios, y billetes a destinos internacionales no comunitarios, cobrando por todo ello 2. euros. una agencia B le vende billetes a destinos nacionales y 2 a internacionales no comunitarios, y cobra. euros. una tercera agencia C le vende billetes a destinos nacionales y a destinos europeos comunitarios, cobrando 7. euros. Se pide:
a. ( 5 puntos) Hallar el precio de cada tipo de billete b. ( 5 puntos) Por razones de mercado, el mayorista se ve obligado a bajar un 2 por ciento el precio de todos los billetes nacionales. Hallar en qué porcentaje debe incrementar el precio de todo los billetes extranjeros comunitarios (suponiendo que mantiene constante el precio de todos los billetes internacionales no comunitarios) para mantener constante sus ingresos totales por las ventas a las tres agencias. Se pide plantear y resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. a. x Precio billete nacional y Precio billete extranjero comunitario z Precio billete extranjero no comunitario x + y + z 2. x + 2z. x + y 7. Simplificando : x + y + z.2 x + 2z x + y 7 Dada la simplicidad del sistema, por sustitución se resuelve fácil y rápidamente. Sustituyendo la tercera ecuación en la primera, se obtiene el valor de z 7 + z.2 : z 5 Sustituyendo z en la segunda ecuación se calcula x x + 2 5. : x Sustituyendo x en la tercera ecuación se calcula y + y 7 : y 4 b. Denominando como λ al factor de conversión de los precios de los billetes extranjeros comunitarios, y teniendo en cuenta que la cantidad total recaudada por la venta es la misma: 444444 GENCI 7444444 444 GENCI 74444 B 4444 GENCI 74444 C ( ' + 4 λ + 5) + ( ' + 2 5) + ( ' + 4 λ) 2. +. + 7. operando y ordenando 22.2 +. λ 2. λ 225 El precio de los billetes extranjeros comunitarios debe aumentar el 22 5 % Junio 22. Ejercicio. (Puntuación máxima: 2 puntos). Calcular las edades actuales de una madre y sus dos hijos sabiendo que hace 4 años la edad de la madre era 5 veces la suma de las edades de los hijos en aquel momento, que dentro de años la edad de la madre será la suma de las edades que los hijos tendrán en ese momento y que cuando el hijo mayor tenga la edad actual de la madre, el hijo menor tendrá 42 años. 2
Solución x Edad de la madre y Edad del hijo mayor z Edad del hijo menor Si hace catorce años, la edad de la madre era 5 veces la suma de las edades de sus hijos, y teniendo en cuenta que hace catorce años las edades de cada uno eran: Madre: x 4 Hijo mayor: y 4 Hijo menor: z 4 parece la primera ecuación: x 4 5 [( y 4) + ( z 4) ] ordenando x 5y 5z 2 Dentro de años la edad de cada uno será: Madre: x + Hijo mayor: y + Hijo menor: z + Y en ese momento la edad de la Madre será la suma de las edades de sus hijos x + ( y + ) + ( z + ) ordenando x y z Cuando el hijo mayor tenga la edad de la madre, por todos ellos habrán pasado x y años, diferencia de edad entre la madre y el hijo mayor, lo tanto la edad del hijo menor será z + ( x y) que da lugar a la ecuación: z + ( x y) 42 ordenando x y + z 42 Con las tres ecuaciones se plantea el sistema: x 5y 5z 2 x y z x y + z 42 5 5 Dado que el, el sistema es compatible determinado Resolviendo por Cramer x x 2 42 5 5 52 44 y y 2 42 5 44
z z 5 2 42 2 Septiembre 999. 2. Calificación máxima: 2 puntos. Un cajero automático contiene 95 billetes de, 2 y 5 ptas. Y un total de 2. ptas. Si él número de billetes de. ptas. es el doble que él número de billetes de 2., averiguar cuantos billetes hay de cada tipo. x número de billetes de ptas. y número de billetes de 2 ptas. z número de billetes de 5 ptas. ª ecuación: Un cajero automático contiene 95 billetes x + y + z 95 2ª ecuación: Un total de 2. ptas. x + 2y + 5z 2 Simplificando por x + 2y + 5z 2 2. ª ecuación: él número de billetes de. ptas. es el doble que él número de billetes de x 2y Las tres ecuaciones plantean un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. x + y + z 95 x + 2y + 5z 2 x y Resolviendo por el método de Cramer: x 5; y 25; z 2 Septiembre 99. (Calificación máxima: puntos). Se dispone de tres cajas, B y C con monedas de pesetas. Se sabe que en total hay pesetas. El número de monedas excede en 2 a la suma de monedas de las otras dos cajas. Si se traslada una moneda de la caja B a la caja, ésta tendrá el doble de monedas que B. veriguar cuántas monedas había en la caja x número de monedas que hay en la caja y número de monedas que hay en la caja B z número de monedas que hay en la caja C ª Ecuación: Se dispone de tres cajas, B y C con monedas de pesetas, y se sabe que en total hay pesetas x + y + z Simplificando por x + y + z 4
cajas 2ª ecuación: El número de monedas excede en 2 a la suma de monedas de las otras dos x y + z + 2 ª ecuación: Si se traslada una moneda de la caja B a la caja, ésta tendrá el doble de monedas que B x + 2 (y ) Ordenando las ecuaciones se obtiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. x + y + z x y z 2 x y Resolviendo por el método de Cramer: x 9; y ; z Junio 99. EJERCICIO 4B. Un almacenista dispone de tipos de café: él, a 9 Ptas./Kg. ; el B a 75 Ptas./Kg. ; y el C a 95 Ptas./Kg. Desea hacer una mezcla con los tres tipos de café para suministrar un pedido de 5 Kg a un precio de 94 Ptas./Kg. Cuántos kilogramos de cada tipo de café debe mezclar sabiendo que debe poner del tercer tipo el doble de lo que ponga del primero y del segundo juntos? Septiembre 995. Opción B. PROBLEM. Un especulador adquiere objetos de arte por un precio total de 2 monedas de oro. Vendiéndolos, espera obtener unas ganancias del 2 %, del 5% y del 25 %, respectivamente, con lo que su beneficio total seria de monedas de oro. Pero consigue más (cosa que hoy no llama mucho la atención), pues con la venta que obtiene de ellos ganancias del %, del 9 % y del 5 %, respectivamente, lo que arroja un beneficio total de 7 monedas de oro, cuánto le costó cada objeto? Junio 995. Opción B Problema. Cierta empresa periodística tiene 5 millones de entradas al año entre ventas, publicidad y subvenciones. Si aumenta el 5% en la publicidad, esto le ocasiona un incremento del % en las ventas y una cierta disminución de la subvención, con lo cual las entradas disminuyen en 45 millones. fin de mantenerse en los 5 millones de entradas, el director piensa tomar una de las dos decisiones siguientes: a) Reducir la publicidad inicial al %, con lo cual disminuiría la subvención en un % y las ventas se mantendrían. b) Reducir la publicidad inicial en un 4%, con lo cual las ventas se mantendrían y la subvención aumentaría en un 2 %. Cuál de las dos decisiones es la correcta? Justifíquese cada una de las afirmaciones que se hagan. Los resultados de la empresa, pueden expresarse mediante las siguientes ecuaciones. V Ventas V + P + S 5 P Publicidad : ' V + '5 P + α S 5 S Subvenciones Las previsiones pueden expresarse: a) V + P + 9 s 5 5
b) V + P + 2 S 5 La opción a, no es posible, ya que no se pueden mantener los ingresos disminuyendo la publicidad y las subvenciones y manteniendo las ventas constantes La opción b es posible, ya que manteniendo las ventas, disminuye la publicidad pero aumenta la subvención. Con los datos propuestos se estudia el sistema: V + P + S 5 V + P + S 5 ' V + '5 P + α S 5 : V + 5 P + α S 5 V + 'P +,2S 5 V + P + 2S 5 definido por las matrices 5 5 α : ' 5 α 5 2 2 5 El rango de la matriz es tres independientemente del valor que tome α, ya que existe un menor de orden tres que no depende de α y es distinto de cero. 5 El rango de depende de α 5 5 5 44 5 α 4 2 ( α 9) i. Sí α 9 el sistema es incompatible. rg rg ii. Sí α 9 el sistema es compatible determinado. rg rg n plicando la discusión del sistema al enunciado del problema, la propuesta b solo será admisible cuando la rebaja en la subvención propuesta en la segunda ecuación sea distinta al %. Sí la rebaja es diferente al %, las distintas partidas de ventas, publicidad y subvenciones vendrán expresadas el función de α según: V P S V : P : S 5 5 5 V 4 5 α 2 : P 5 5 5 α : S 5 ( α 9) 4 ( α 9) 4 ( α 9) 2 5 5 5
V ( 5α 42) ( α 9) 4 4 2 P 4 44 S 4 ( α 9) ( α 9) Resolviendo las inecuaciones: i. 42 Para que V > : α < ' 4 ó α > 9 5 ii. Para que P y S > : α < 9 Para que los tres valores V, P, y S sean positivos y la propuesta b sea aceptable, la disminución en la subvención correspondiente a la segunda ecuación, debe ser suprior al %. Septiembre 994. 4B ((Puntuación máxima: 4 puntos) Se va a confeccionar una dieta con tres clases de alimentos,, B y C. El alimento tiene calorías por cada gr, el B tiene calorías por cada gramos y el C 4 calorías por cada gr. a) Si la dieta consta de G gramos de alimento por día, está restringida a exactamente 4 calorías y la cantidad de alimento ingerida debe ser doble en peso que la de C, hallar en función de G las cantidades que debe ingerirse de cada no de los alimentos. b) Hallar los valores entre los que está comprendido G para que las condiciones exigidas a la dieta se puedan cumplir. Solución ) Se pide plantear y resolver un sistema de tres incógnitas en función de un parámetro G, para ello se da información para plantear tres ecuaciones. x Gramos de alimento y Gramos de alimento B z Gramos de alimento C x + y + z G x + y + z G Estudio del sistema: x 2z > > > ' x + 'y + '4z 4 ordenando: 4 ' 4 rg rg' n. x x G 4 4 x + y + 4z 4 4 x z G 4 S.C.D. (Método de Cramer) G G 7
y y G 4 4 G 52 252 G G 4 z 4 G z G 4 2) En este apartado se pide calcular el intervalo entre el que se debe encontrar el valor de G. Para ello habrá que tener en cuenta que los valores de x, y, z, deben ser positivos: G G 2 252 G, resolviendo : G 42 G 4 G 2 Por lo tanto para que las tres variables sean positivas: 2gr. G 42gr. Junio 994. 4B PROBLEM (Puntuación máxima: 4 puntos) Una fábrica de electrodomésticos tiene una producción semanal fija de 42 unidades. La fábrica abastece a establecimientos que demandan toda la producción. En una determinada semana, el primer establecimiento solicitó tantas unidades como el segundo y tercero juntos, mientras que el segundo establecimiento pidió un 2 % mas que la suma de la mitad de lo pedido por el primero mas la tercera parte de lo pedido por el tercero. Cuáles fueron las cantidades solicitadas por los tres establecimientos? Solución Se trata de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que se debe plantear: x Número de unidades con que se abastece al primer establecimiento y Número de unidades con que se abastece al segundo establecimiento z Número de unidades con que se abastece al tercer establecimiento x + y + z 42 x + y + z 42 x y + z Ordenando el sistema: x y z 2 x z y + + x 5y + 2z 2 Resolviendo por Cramer: x2; y5; z