Señal analógica es aquella que puede tomar infinitos valores para representar la información. Señal digital usa solo un número finito de valores. En los sistemas binarios, de uso generalizado en los circuitos digitales, estos valores se reducen a dos: el y el. Los circuitos digitales son aquellos que comunican y procesan información de tipo digital. La información de tipo digital resulta más precisa que la analógica y es menos sensible al ruido (perturbaciones), siendo además muy pequeño el número de operaciones que se realizan con las variables digitales. Por este motivo, sólo se necesita un número muy reducido de circuitos básicos que se repiten muchas veces, y cuya correcta interconexión permite el funcionamiento de los sistemas digitales.
SISTEMAS DE NUMERACIÓN Número: sucesión de dígitos colocados a la izquierda (siempre finito) y a la derecha (infinitos) de un punto de referencia (la coma). Base de un sistema al número de posibles dígitos que se utilizan en dicho sistema de numeración. Base o sistema Decimal:,,2,3,4,5,6,7,8,9. El valor de cada uno de ellos depende de su posición respecto de la referencia. Sistema de numeración de base b cada uno de los b dígitos posibles tiene un valor dado por : p.bi, siendo p el dígito, b la base, i el número de orden de la posición que ocupa respecto de la referencia (negativo a la derecha y positivo a la izquierda), siendo i= la primera posición a la izquierda de la referencia.
En un sistema de base b un número N se puede representar como el desarrollo polinómico siguiente: N= pn.bn+ pn-.bn-+... + p.b+ p.b+ p-.b-+... Como los componentes electrónicos que intervienen en los circuitos digitales se caracterizan por presentar dos estados estables perfectamente diferenciados, el sistema de numeración utilizado por los mismos es el Binario. SISTEMA BINARIO Solo existen dos dígitos posibles: el información se conoce como bit. y el. Esta unidad mínima de Al expresar un número binario, el bit más a la izquierda (el de mayor peso) se llama bit más significativo, mientras que el de la derecha se conoce como bit menos significativo.
Pasar de Binario a Decimal: se expresa el binario en forma de polinomio desarrollado. Decimal = pn.2n+ pn-.2n-+... + p.2+ p.2+ p-.2-+... siendo p = dígito binario Ejemplo: Expresa en decimal el siguiente binario,,=.27+.26+.25+.24+.23+.22+.2+.2+.2-+.2-2+.2-3= 28+6+8+2+,5+,25= 54,625
Pasar un Decimal a Binario : - se divide el decimal por dos, siendo el resto de esta operación el bit menos significativo (p) - el cociente de esta división se vuelve a dividir por dos, siendo el resto el nuevo dígito - se continua hasta que el cociente no sea divisible por 2, siendo este cociente el bit más significativo - el binario esta constituido por el último cociente seguido de los restos en orden inverso al obtenido. Ejemplo: Expresa el 25 en su equivalente binario. Comprueba la operación inversa..24+.23+.22+.2+.2=6+8+=25
Si el número decimal no es entero (tiene decimales) tiene parte fraccionaria, se multiplica esta parte fraccionaria por dos, multiplicando después la parte fraccionaria del resultado por dos nuevamente así sucesivamente hasta que no se obtenga nueva fracción (se repita ) o se consiga la precisión deseada. La sucesión de valores enteros generada de esta forma es el número binario equivalente a la parte fraccionaria del número decimal Ejem: Expresa el número decimal,36 en su equivalente binario con seis dígitos de precisión. Expresa también el número 25,36.,36.2=,72,72.2=,44.,44.2=,88.,88.2=,76,76.2=,52...,52.2,4..,36()=, 25,36()=,
OPERACIONES EN EL SISTEMA BINARIO Suma Se realiza de manera análoga a la decimal. Se comienza sumando individualmente los dígitos binarios que corresponden al bit menos significativo y que ocupan la misma posición, teniendo en cuenta el acarreo resultante de la suma correspondiente a la posición anterior. En la siguiente tabla se recogen todas las posibilidades en la suma de dos binarios:
En la siguiente tabla se recogen todas las posibilidades en la diferencia de dos binarios: Ejemplo : Realiza la suma binaria de los números decimales 543 mas 226 543 = acarreo 226 = + 543 +226 = 769 suma
Convenio de complementos En la realización de las operaciones básicas (suma y resta) en el sistema binario es necesaria distinta circuiteria física para cada caso. Este problema se soluciona usando los convenios de complementos, que permiten realizar ambas operaciones por medio de un circuito sumador.
Complemento a dos de un número binario N de n dígitos enteros y k fraccionarios es su diferencia con 2n; esto es 2n -N. Se obtiene cambiando los ceros por unos y los unos por ceros, y sumando a este resultado el valor. Así el 5 en binario es, su complemento a dos es el (representación binaria del número decimal ). En efecto, 24-5 = Para indicar si el número binario es positivo o negativo, se utiliza el bit de signo que se coloca a la izquierda del número y presenta el valor cero si es un número positivo y el valor uno si es un número negativo. La diferencia según el convenio de complemento a dos: Se suma al minuendo el complemento a dos del sustraendo. Si la diferencia es positiva, a la salida se obtiene el valor correcto, en caso contrario, aparece representada según el convenio de complemento a dos.
Ejem: Realiza la resta 5-26 5-26=- En binario: 5=
Complemento a uno de un número binario N de n dígitos enteros y k fraccionarios es su diferencia con 2n - 2-k ; esto es 2n - 2-k -N. Se obtiene cambiando los ceros por unos y los unos por ceros. Así el 5 en binario es, su complemento a uno es el (representación binaria del número decimal ). En efecto, 24-2 - 5 = La diferencia según el convenio de complemento a uno: Se suma al minuendo el complemento a uno del sustraendo y se suma además al bit menos significativo del resultado el acarreo de orden superior obtenido. Si la diferencia es positiva, a la salida se obtiene el valor correcto con bit de signo, en caso contrario, aparece representada según el convenio de complemento a uno el bit de signo igual a.
Ejem: Realiza la resta 5-26
CÓDIGOS BINARIOS En los circuitos digitales la información ha de ser codificada de manera que exista una correspondencia biunívoca y sistemática entre el valor de la información que se procesa y una cierta combinación de dígitos. Esta correspondencia se conoce con el nombre de código. Los códigos binarios se pueden clasificar de la siguiente forma:
Código Binario Natural Consiste en la representación directa de la información por medio del equivalente, en el sistema de base dos, del número decimal que representa el valor de la misma. Este código se usa extensamente en las unidades de cálculo de los sistemas digitales. Códigos decimales codificados en Binario En muchas aplicaciones diarias se hace necesario mostrar la información por medio del número decimal que la representa, por ejemplo en una calculadora. En las calculadoras se emplea el indicador de 7 segmentos, por tanto es necesario usar códigos que representen por separado cada uno de los dígitos del número decimal. Estos códigos se conocen como códigos decimales codificados en binario (códigos BCD).
Con estos códigos se representan los diez dígitos decimales por medio de una codificación binaria. Para esto es necesario cuatro bits, con los que se pueden formar 24 = 6 combinaciones, de las que sólo se utilizan diez, quedando el resto libre, esto se traduce en una mayor complejidad del circuito. Los códigos decimales se pueden dividir en códigos ponderados y códigos no ponderados. Los códigos BCD ponderados son aquellos cuyo número decimal equivalente se obtiene mediante la suma ponderada de los dígitos binarios que forman el código. Entre ellos destacan: Código BCD natural : los pesos son 8,4,2,. A este código también se le llama código 842. Código Aiken: los pesos son 2,4,2,. Un código BCD no ponderado es el código exceso tres, que consiste en asignar a cada dígito decimal su equivalente binario sumándole a continuación tres.
Se llama peso de cada dígito al coeficiente que lo multiplica para obtener su representación decimal. Por ejemplo: -Código BCD natural (842) El numero =.8+.4+.2+.=9 -Código Aiken (242) El número =.2+.4+.2+.=9 La siguiente tabla muestra la correspondencia entre el código decimal y estos dos códigos BCD ponderados:
EL SISTEMA HEXADECIMAL Es el sistema de base 6. Sirve para representar de forma simplificada números en binario. Se usa con gran frecuencia en los microprocesadores. Se utilizan los diez dígitos decimales y las letras del alfabeto A,B,C,D,E,F para su representación. La equivalencia entre el sistema hexadecimal y el decimal es: Para convertir un número hexadecimal en su equivalente decimal basta realizar las operaciones indicadas en su polinomio equivalente (como binario) Para pasar de decimal a hexadecimal se sigue un proceso análogo al del sistema binario, dividiendo sucesivamente entre 6 hasta un cociente inferior al mismo. El numero hexadecimal estará compuesto por el último cociente seguido de los restos obtenidos en orden inverso.
Para pasar de un Binario a hexadecimal: se hacen grupos de cuatro bits hacia la izquierda comenzando por la primera cifra situada a la izquierda de la coma. Si el último grupo formado está incompleto, se añaden ceros por la izquierda. Cada uno de estos números (grupos de cuatro bits) se transforma en el correspondiente número decimal y éstos a continuación en el hexadecimal. Para pasar de Hexadecimal a Binario se sigue el proceso inverso.
ALGEBRA DE BOOLE George Boole, británico que realizó una gran labor en el campo de la lógica matemática. Esta álgebra maneja variables que representan proposiciones que pueden tomar solo dos valores: verdadero y falso. El álgebra de Boole opera con variables - variables booleanas- que únicamente pueden tomar dos valores, que se designan por cero y uno ( y ). Estos valores no representan números, sino estados diferentes de un dispositivo; así pueden simbolizar un interruptor abierto o cerrado (el circuito conduce o no conduce), el encendido o apagado de una lámpara, que en un punto determinado del circuito haya o no haya tensión...
Algebra de Boole aplicada a los circuitos digitales, donde se distingue dos tipos de lógica: Lógica positiva : al nivel de tensión más elevado se le asigna el estado y al nivel más bajo el. Será la que emplearemos de aquí en adelante. Lógica negativa : el estado corresponde con el nivel más elevado de tensión y el al más bajo.
OPERACIONES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE Se denomina función lógica a toda variable binaria cuyo valor depende de una expresión algebráica formada por dos variables binarias que están relacionadas entre sí por las operaciones «más» y «por». Por ejemplo se puede considerar la siguiente expresión: f(a,b,c) = A.B +C Significa: - la función valdrá si A y B valen o si C vale, o bien si se cumplen ambas condiciones a la vez. - la función valdrá cero si A o B valen cero y C vale cero, o si las tres variables valen cero a la vez.
El comportamiento de las funciones lógicas se expresa mediante las llamadas Tablas de Verdad. En ellas tendremos una zona de entrada (izda) donde se representan todas las posibles combinaciones de las variables de entrada y una zona de salida (dcha) en la que se indica el valor de la función lógica para cada combinación. El número de combinaciones posibles en una tabla de verdad de n entradas será 2n Entrada Salida A B C Para una tabla de verdad de dos entradas A y B, el número posible de combinaciones es 22. Cada fila de la tabla representa una condición particular de los diferentes estados y la salida correspondiente.
OPERACIONES CON FUNCIONES LÓGICAS Función Suma o Puerta Lógica O (OR) Representando el cierre del interruptor por (apertura ). Encendido bombilla por (apagado ). El circuito electrónico que realiza la misma función que el circuito superior se llama Puerta Lógica O (puertas OR) : La salida de una puerta lógica OR es si una o más de las entradas es Para una puerta OR con dos entradas, la tabla de verdad y su representación simbólica de la puerta de acuerdo a la norma American Standard es: Entrada Salida A B C
Función Producto o Puerta Lógica Y (AND) Los circuitos electrónicos que realizan directamente la función producto se conocen como Puertas Lógicas Y (puertas AND), cuyo funcionamiento es el siguiente: La salida de una puerta lógica AND se halla en el estado sólo si están en estado todas las entradas. Para una puerta AND con dos entradas, la tabla de verdad y su representación simbólica de la puerta de acuerdo a la norma American Standard es: Entrada Salida A B C
Función Complemento o Negación NO (NOT) Los circuitos NO o NOT tienen una sola entrada y una sola salida, y responden a la negación lógica, de acuerdo con lo siguiente: La salida del circuito NOT tiene el estado sólo si la entrada toma el estado, y tiene el valor si la entrada es. Entrada El circuito que cumple la negación lógica se denomina puerta Not, pero, como invierte el sentido de la salida con respecto a la entrada, también se le conoce como Inversor. La tabla de verdad y su representación simbólica de la puerta de acuerdo a la norma American Standard es: Salida A C
PROPIEDADES DEL ALGEBRA DE BOOLE Propiedad Interna : el resultado de una operación entre dos variables booleanas es otra variable booleana. Propiedad Idempotencia: si A es una variable booleana, se cumple: A.A=A A+A=A Ley de involución : para una variable booleana A, se cumple La doble negación se representa con una doble raya sobre la variable y representa una afirmación.
Propiedad Conmutativa : si A y B son dos variables booleanas se verifica: A+B=B+A A.B=B.A Mediante circuitos:
Propiedad Asociativa : si A, B y C son variables booleanas se verifica: A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C) A. B. C = (A. B). C = A. (B. C) Propiedad Distributiva : si A, B y C son variables booleanas se verifica:
Existencia del Elemento Neutro : existe un elemento que operado por cualquier otro lo reproduce. Existe uno para la suma y otro para el producto: Existencia del Elemento Opuesto : existe un elemento opuesto para la suma y otro para el producto, es aquel que operado con dicho elemento da como resultado el elemento neutro (de la operación contraria)
Ley de absorción: para las variables booleanas A y B se cumple A+A.B=A A. (A + B) = A LEYES DE MORGAN Se pueden generalizar a más de dos variables
PUERTAS LÓGICAS UNIVERSALES Las funciones OR, AND y NOT son funciones elementales del álgebra de Boole. Pero existen otras puertas, llamadas universales, cada una de las cuales permite reproducir todas las operaciones del álgebra de Boole.
PUERTA NOR Es una puerta OR seguida de una negación. La tabla de verdad y la representación simbólica, según la norma American Standard son: Entrada Salida A B C
Universalidad de la puerta NOR Si unimos las dos entradas en una sola se obtiene la función NOT. Entrada Salida A B C Corresponde a las filas cuando las entradas son iguales. (en la NOR)
La función OR se obtiene, por la propia definición de la puerta NOR, negando la salida de esta última: Función AND a partir de puertas NOR:
PUERTA NAND Es una puerta AND seguida de una negación. La tabla de verdad y la representación simbólica, según la norma American Standard son: Entrada Salida A B C Para dos variables la expresión matemática es: C = A B Que, según las leyes de Morgan, también se puede expresar así: C=A+B
La función lógica NAND puede ser simbolizada con el siguiente circuito:
Universalidad de la puerta NAND Si unimos las dos entradas en una sola, se obtiene la función NOT. Entrada Salida A B C Cuando las entradas son iguales.
La función AND se obtiene por la propia definición de la puerta NAND, negando la salida de esta última: Implementación de una función OR a partir de puertas NAND: A.B = A + B = A + B
OTRAS PUERTAS LÓGICAS LA PUERTA O-EXCLUSIVA (EXOR) La salida de un O-Exclusivo de dos entradas permanece en estado si una, y sólo una de las entradas está en estado. Entrada Salida A B C
LA PUERTA EQUIVALENCIA Es la negada de la O-Exclusiva : la salida de una puerta equivalencia de dos entradas permanece en estado si ambas entradas son iguales. Entrada Salida A B C
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS Una misma función lógica puede representarse mediante varias formulaciones matemáticas equivalentes, siendo la tabla de verdad la misma para todas. Siempre se debe usar la expresión matemática más sencilla, para que su manejo sea más simple y por que su realización física por medio de circuitos será por tanto más económica cuanto más sencilla sea. Para obtener la expresión algebraica de una función a partir de su tabla de verdad, se escriben sus términos como suma de aquellos cuyas combinaciones (filas) de la tabla de verdad tengan como salida el valor. Cada término será un producto de todas las variables de las que depende la función, de forma directa o negada, según que en la combinación de la tabla aparezcan con un o un respectivamente.
FORMAS CANÓNICAS DE UNA FUNCIÓN Entre las representaciones matemáticas que puede tomar una función, existen dos llamadas Formas Canónicas. Primera Forma Canónica o Suma de Minterms es una suma de productos lógicos en los que intervienen todas las variables de la función, de forma directa o negada. Cada término o producto canónico (fila en la tabla de verdad) se representa por mi, donde i es el valor desde hasta 2n-, que corresponde con el orden de las combinaciones posibles existentes en la tabla de verdad (filas). Fijándose en la tabla de verdad, se deberán escoger aquellas combinaciones cuya salida es, sustituyendo las variables que aparecen con valor por su forma directa y las que aparecen con por su forma negada. La combinación: M5.. A B C D f representa la suma (A. B. C. D )
Segunda Forma Canónica o Producto de Maxterms es un producto de sumas en las que intervienen todas las variables de la función, ya sea de forma directa o de forma negada. Cada termino (fila) se representa por Mi, siendo el valor de i el mismo que el de la primera forma canónica. Fijándose en la tabla de verdad, se deberán escoger aquellas combinaciones cuya salida es, sustituyendo las variables que aparecen con valor por su forma negada y las que aparecen con por su forma directa. La combinación: M5.. A B C D f representa la suma (A + B + C + D )
Paso de una forma canónica a otra, se puede aplicar la siguiente regla Si en la primera forma canónica aparece el término mi, en la segunda forma no aparecerá el término M n2 - -i, siendo n el número de variables.
MAPA DE KARNAUGH La simplificación de funciones lógicas es fundamental para hacer más fáciles las operaciones que se van a efectuar con ellas y para que el coste de los circuitos digitales sea el mínimo posible. La simplificación se puede realizar mediante operaciones algebraicas basadas en las propiedades del álgebra de Boole, pero esto puede ser muy laborioso, por lo que se sustituye por un procedimiento gráfico llamado Mapa de Karnaugh y que se aplica a un número de variables no superior a seis. Es un método que partiendo de la tabla de verdad, se obtiene otra tabla llamada mapa de Karnaugh, que se construye situando como entradas todas las posibles combinaciones de las variables de las que depende la función que se intenta simplificar, de manera que al pasar de una columna o de una fila a la contigua sólo cambie de valor una variable.
Los mapas de Karnaugh para funciones de dos, tres y cuatro variables son: BA 2 3 C AB CD AB 4 2 8 5 3 9 3 7 5 2 6 4 2 6 4 3 7 5 Las variables correspondientes a las 4 esquinas se consideran adyacentes en vertical y en horizontal.
Cada cuadrícula de la tabla corresponde a una combinación de las variables cuya representación decimal se suele indicar en el ángulo inferior derecha de cada casilla. Para representar una función en el mapa de Karnaugh partiendo de la primera forma canónica basta con escribir un en las cuadrículas correspondientes a los términos que estén presentes. Las demás casillas se dejan en blanco. La función: f(a,b,c) =m2+m3+m4+m5 C AB 2 6 4 3 7 5 A B C F
Está representación es equivalente a la que se obtiene trabajando a partir de la tabla de verdad, ya que el mapa de Karnaugh no es sino la tabla de verdad representada de manera distinta. Sabemos que la primera forma canónica es una suma de productos. Sabemos que en el mapa de Karnaugh, dos cuadrículas adyacentes no difieren entre sí más que en el valor de una variable. Por tanto, en este ejemplo, si consideramos los términos m2 y m3, vemos que la función toma el valor, independientemente de los valores ( ó ) que pueda tomar la variable C. Por lo tanto, como esta variable no afecta, podemos prescindir de ella, y teniendo en cuenta que : m2 = A.B.C m3 = A.B.C La suma de ambos términos equivale a: m2 + m3 = A.B
De forma general esto se simplifica en el mapa de Karnaugh estableciendo asociaciones de 2n términos, siendo n el número de variables de las que depende la función. Así en el caso de n=3 pueden realizarse agrupaciones de dos, cuatro u ocho términos, y no es válido, por ejemplo, agrupar seis términos aunque sean adyacentes. Cada asociación debe contener el mayor número posible de cuadros, y el número de asociaciones debe ser mínimo. En el ejemplo: C AB 2 6 4 3 7 5 Casillas 2 y 3 eliminan la variable c, el resultado es A.B Casillas 4 y 5 eliminan la variable c. El resultado es A.B con lo que resulta f ( A, B, C ) = A.B + A.B
Al realizar la minimización se debe tener en cuenta: Que puede ocurrir que existan varias asociaciones posibles de complejidad equivalente: en este caso, puede elegirse una cualquiera de ellas. Que puede suceder que quede algún aislado, sin posibilidad de reducción con ningún término adyacente. En este caso, su representación en la expresión de la función será el producto canónico completo. El mismo puede ser utilizado en varias agrupaciones diferentes, si esto resulta conveniente para el proceso.
REALIZACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS MEDIANTE FUNCIONES ELEMENTALES Cuando se pretende diseñar un circuito lógico, el primer paso consiste en confeccionar la tabla de verdad del circuito. A partir de ella se puede obtener la función lógica, la cual debe ser minimizada o simplificada para que de esta manera el coste del circuito resulte mínimo. Esta función mínima puede descomponerse en funciones elementales susceptibles de implementación por medio de las puertas básicas explicadas anteriormente. Por lo general, la realización de una función mediante operadores elementales no es única. La forma más económica dependerá de la experiencia del diseñador. Por razones tecnológicas, las puertas más utilizadas son las NAND, seguidas a continuación por las NOR. La expresión de la función NAND para dos variables es: C = A B
que según las leyes de Morgan también se puede expresar así: C=A+B Por lo tanto, para implementar una función a base de puertas NAND es necesario representarla en forma de suma de términos, y si no es posible hacerlo directamente, realizar dos inversiones para tal efecto. Cada término de esta suma se introduce invertido en una entrada de una puerta NAND. En el caso de la puerta NOR, para dos variables la expresión matemática es: C=A+B que según las leyes de Morgan, también se puede expresar de la manera: C = A B Por lo tanto, el caso es análogo al de las puertas NAND; sólo que se deben usar productos de términos. Estos términos son los que se introducen invertidos en las entradas de las puertas NOR