ANÁLISIS DE LA TRAYECTORIA DE LA GRIETA EN FRETTING PARA UN CONTACTO NO CONFORME I. Llavori 1, *, A. M. Altuna Zugasti 2, X. Gomez 1 1 Escuela Politécnica Superior Mondragon Unibertsitatea Loramendi 4, Arrasate-Mondragón (Gipuzkoa) * E-mail: illavori@mondragon.edu 2 Orona EIC, Polígono Industrial Lastaola s/n, 20120 Hernani (Gipuzkoa) RESUMEN En este trabajo, se presenta un análisis numérico de la trayectoria de la grieta en fretting para una configuración 2D de un cilindro sobre un plano, bajo una carga tangencial en condiciones de deslizamiento parcial. Por un lado, mediante el método de los elementos finitos se han comparado las estimaciones de los parámetros multiaxiales Smith-Watson-Topper y Fatemi-Socie para el ángulo de iniciación de grieta. Por otro lado, mediante el método de los elementos finitos extendido que permite el contacto entre las caras de grieta, se han comparado los criterios de la máxima tensión circunferencial y la mínima variación de la tensión tangencial para la propagación de grieta. Por último, los resultados obtenidos mediante simulación numérica han sido comparados con trabajos de bibliografía, con el fin de analizar la validez de los modelos desarrollados. ABSTRACT In this paper, a 2D cylinder on flat numerical analysis of the crack path in plain fretting is presented. On one hand, the Smith-Watson-Topper and the Fatemi-Socie multiaxial parameters have been used to estimate the crack initiation plane. On the other hand, the maximum tangential stress criterion and the minimum range of shear stress criterion have been employed to drive the crack orientation, by means of the extended finite element method. Finally, numerical results are compared with experimental data to analyze the validity of the models. PALABRAS CLAVE: Criterio Multiaxial, Orientación de grieta, X-FEM. 1. INTRODUCCIÓN Componentes mecánicos, como soportes de rodamientos, acoplamientos flexibles, estructuras articuladas o cables metálicos, se encuentran sometidos en uso a fenómenos de fretting. El fretting surge cuando dos cuerpos que se encuentran en contacto experimentan un movimiento relativo de pequeña amplitud, produciendo un daño en la superficie de contacto [1]. Dependiendo de la magnitud de las solicitaciones, este fenómeno puede causar la rotura catastrófica de dichos componentes mecánicos. De forma general, el estudio de los fenómenos de fretting se divide en dos etapas, la iniciación y la propagación. Por una parte, debido al estado multiaxial y, en consecuencia de la distribución de tensiones generadas en el contacto, el uso de los parámetros multiaxiales junto a la técnica del plano crítico se ha convertido en el método más empleado a la hora de predecir el número de los ciclos hasta la iniciación de la grieta en fatiga por fretting [2]. Por otro lado, diversos trabajos estudian la fase de propagación, en términos de la mecánica de la fractura elástico lineal (MFEL) [3,7,12]. Dependiendo del tipo de material, el estado tensional, la amplitud de deslizamiento o el desgaste generado, entre otras variables, la dispersión de resultados puede variar de manera considerable. Debido a los diferentes modos de fallo posibles, los diferentes modelos propuestos estiman resultados de vida a fatiga diferentes. Tal como indican Socie y Marquis [4], el parámetro multiaxial adecuado debe ser aquél que estime de forma correcta tanto la vida a fatiga como el plano dominante de fallo.
El objetivo del presente trabajo es, por un lado, estudiar mediante el método de los elementos finitos (FEM) la eficacia de dos parámetros multiaxiales en la estimación del plano de iniciación de grieta, para un contacto no conforme sometido a una carga tangencial Q alterna. Por otro lado, el objetivo es estudiar la eficacia de dos criterios de orientación para estimar la trayectoria de la fisura en la fase de propagación, mediante el método de los elementos finitos extendido (X-FEM), en combinación con el método level set (LSM). Los resultados obtenidos se han comparado con los resultados experimentales reportados por Pannemaecker et al. [5]. La organización de este trabajo es el siguiente: en la siguiente sección se define el ensayo experimental utilizado para comparar con los resultados numéricos. En la sección tres y cuatro se revisan los diferentes criterios empleados, así como una breve introducción al X-FEM y el LSM. Posteriormente, se presenta el modelo numérico empleado. En la sección seis se comparan los resultados numéricos con el experimental, para finalizar con las conclusiones. 2. DESCRIPCIÓN DE LOS ENSAYOS EXPERIMENTALES El ensayo experimental de plain fretting seleccionado ha sido uno de los realizados por Pannemaecker et al. [5]. En la Fig.1 se observa el banco de ensayos utilizado. En estos ensayos se ejerce una fuerza normal P entre el indentador y una muestra plana. Posteriormente, se aplica un desplazamiento alternativo en la parte móvil, de acuerdo a la lectura de la fuerza tangencial Q deseada. En la Tabla 1 se recoge las propiedades de los materiales empleados. ausencia de esfuerzos axiales, deja de propagarse produciendo el cierre de grieta. En la Tabla 2 se recogen las características del ensayo experimental considerado para realizar la comparación con los resultados numéricos. Tabla 1. Propiedades mecánicas. Ti-6Al-4V () 7075 Τ6 (Plano) E (GPa) 119,5 70 ν 0,287 0.33 Tabla 2. Características y resultado del ensayo experimental. R mm 80 P N/mm 461 Q N/mm 334 a µm 979 µ superficie - 1,17 µ caras grieta - 0,8 L µm 49 1 θ 1 º 45 L 2 µm 112 θ º 20 2 L 3 µm 384 θ º 0 3 3. REVISIÓN DE LOS CRITERIOS DE INICIACIÓN Y PROPAGACIÓN DE GRIETA 3.1 Criterios de iniciación de grieta Tal como se ha mencionado en la introducción, debido al estado multiaxial no proporcional del campo de tensiones, el uso de los parámetros multiaxiales se ha convertido en la técnica más empleada. En este trabajo, para estimar el plano de inicio de grieta se analizan los criterios Smith-Watson-Topper (SWT) y Fatemi-Socie (FS) [4]. Fig. 1. Banco de ensayos de fretting y geometría de la grieta [5]. En la Fig. 1, se muestra la geometría final de la grieta. Por una parte, se distinguen tres zonas con diferentes ángulos de propagación, todas ellas orientadas hacia el interior de la zona de contacto. Por otra parte, cuando la grieta se encuentra lejos de la zona de contacto y en El criterio energético SWT se aplica en aquellos materiales donde el crecimiento de grieta sucede principalmente en modo I. El plano crítico se define como aquél en el que el producto de la tensión de tracción (σ máx, ) y el rango de deformaciones de tracción (Δε) es máximo, SWT Δε = σ máx 2 máx, (1) El criterio FS se emplea en aquellos materiales donde el crecimiento de grieta sucede en modo II. En este caso, el plano crítico es aquél en el que el rango de
deformaciones tangenciales es máximo. En este caso, debido a la naturaleza de las deformaciones tangenciales, existen dos planos críticos, con lo que mediante el término de la tensión normal perpendicular al plano crítico se selecciona el más severo, Δ γ máx n,máx FS = 1+ 2 σ y k σ, (2) donde Δγ máx es el máximo rango de deformación tangencial, σ n,máx es la tensión normal perpendicular al plano crítico, σ y es el límite de fatiga y k es una constante que se obtiene mediante ensayos experimentales de fatiga uniaxial y de torsión. Varios autores argumentan que el término σ y /k a menudo se aproxima al coeficiente de resistencia a fatiga σ f [4]. 3.2 Criterios de orientación para propagación de grieta Generalmente, la elección de un criterio sobre otro depende de los mecanismos de daño de cada material y de la evolución de las tensiones a lo largo de un ciclo de fatiga. Para ciclos de carga y descarga proporcionales, uno de los criterios más empleados es el de la máxima tensión circunferencial (MTS) [6], definido como, θ 3K + K + 8K K 2 4 2 2 II I I II 0 =± arccos 2 2 KI + 9KII, (3) donde el valor negativo de θ 0 se toma cuando K II es positivo. Se debe mencionar que, aunque siendo un criterio para casos de campos de tensiones proporcionales, recientemente algunos autores lo han empleado en fenómenos de fatiga por fretting [3]. solución numérica se enriquece con grados de libertad adicionales en los nodos de los elementos por donde pasa la grieta. La formulación X-FEM introduce dos tipos de enriquecimientos. Por una parte, mediante la función salto denominada Heaviside y definida como H(x)=±1 (en función del lado de la grieta cambia de signo) se introduce la discontinuidad en el medio continuo debido a la fisura. Por otra parte, para el comportamiento singular en tensiones alrededor del frente de grieta, para el caso de la mecánica de la fractura elástico lineal (MFEL), se emplean cuatro funciones que incorporan el campo de desplazamientos del extremo de grieta, que se definen como, θ θ θ θ Fj ( r, θ) = r sin, cos, sin sin θ, cos sin θ, 2 2 2 2, (4) para j = 1 4. En consecuencia, la aproximación del campo de desplazamientos en el X-FEM, para el caso 2D se define como, ( ) ini( ) ini( ) H( ) xfem u x d x b x x = + + i I i L 4 l l + Ni( x) cif ( x) i K l= 1, (5) donde I son los nodos de la malla, d i es el grado de libertad FEM en el nodo i, N i es la función de forma asociada al nodo i y por último, J y K hacen referencia a los nodos enriquecidos. En la Fig. 2 se observan los dos tipos de enriquecimientos del X-FEM. Para casos no proporcionales, el criterio seleccionado es el basado en la mínima variación de la tensión tangencial, propuesto por Giner E. et al. [7]. En este caso, se analiza el estado tensional en los diferentes planos candidatos, en el elemento ubicado delante del frente de grieta. Como en el caso del criterio FS, de los dos planos indicados con la mínima variación, se selecciona el plano con mayor rango de tensión normal. Enriquecimiento extremo de grieta Enriquecimiento Heaviside 4. MÉTODO X-FEM Y LEVEL SET El principal inconveniente del estudio de la grieta mediante el método de los elementos finitos (FEM) es el remallado necesario cada vez que avanza la grieta. Como solución a este problema, Möes et al. [8] introducen el método de los elementos finitos extendido (X-FEM), con el objetivo de simplificar algunos de los problemas asociados al mallado alrededor de la fisura, manteniendo al mismo tiempo la robustez del FEM. El X-FEM, haciendo uso de la técnica de la partición de la unidad, permite realizar una representación de la grieta que es independiente de la malla. De esta manera, la Fig. 2. Selección de nodos enriquecidos por la función Heaviside o frente de grieta para el cálculo X-FEM. Para determinar los elementos enriquecidos, se ha implementado el método level set (LSM), desarrollado por Osher y Sethian [9] y aplicado por primera vez en el X-FEM por Stolarska et al. [10]. El LSM se basa en la representación implícita de una ecuación, de forma que puede representarse la geometría de la grieta definiendo la distancia a los puntos discretos del dominio, en este caso la distancia a los nodos. En este trabajo, se ha empleado la variante de banda estrecha (del inglés,
narrow band level set method) donde la grieta se define solamente en una banda, disminuyendo el coste computacional. 5. MODELO NUMÉRICO El modelo mostrado en la Fig. 3 se ha desarrollado en el código comercial ABAQUS. El modelo consta de elementos cuadriláteros lineales de 4 nodos (CPE4), con un mayor refinamiento de la zona de contacto mediante la técnica de particiones. Para la resolución del problema de contacto tangencial, se ha utilizado el modelo de Coulomb y el método de los multiplicadores de Lagrange, con el fin de obtener una resolución precisa de la distribución de deslizamientos. En cuanto a las condiciones de contorno, se ha utilizado la restricción multipunto (MPC) en la parte superior del indentador, evitando así el giro al aplicar la fuerza de contacto P y la carga tangencial Q, además de restringir el movimiento en el eje X e Y, en la parte inferior de la muestra. Este tipo de modelo se ha empleado en trabajos como [11]. MPC P Fig. 4. Modelo X-FEM con elementos que permiten simular el contacto entre paredes de grieta. Leer *.inp y reordenar malla Generar *inp y crear carpetas Simulación FEM ABAQUS Q Cálculo del ángulo de inicio de grieta mediante parámetro multiaxial Determinar primer segmento de grieta Análisis level set y determinar enriquecimiento Añadir segmento Simulación X-FEM ABAQUS U x = U y = 0 Fig. 3. Modelo numérico desarrollado. Para el modelado de grieta (Fig. 4), se ha empleado la implementación X-FEM desarrollada por Giner E. et al. [12] que permite el contacto entre las paredes de grieta [7], aspecto importante en situaciones donde las paredes permanecen en contacto durante el ciclo, como en el caso analizado en este trabajo. En la Fig. 5 se muestra el algoritmo desarrollado. Destacar los cuadros marcados en verde, donde se seleccionan los distintos criterios a estudiar. Cálculo del ángulo de propagación de grieta mediante criterios de orientación L propagación = L final? Sí Fin de la simulación No Fig. 5. Algoritmo empleado en el análisis numérico.
6. RESULTADO DE LA SIMULACIÓN Y CORRELACIÓN EXPERIMENTAL 6.1 Ubicación de inicio de grieta Observaciones experimentales muestran que el inicio de grieta se ubica en los extremos del contacto, propagándose hacia el interior de la zona de contacto. En la Fig. 6 se muestra la localización estimada mediante los criterios multiaxiales (en este caso, los criterios se han normalizado con el objetivo de compararlos), donde x/a=±1 son los extremos del contacto. Se observa la buena correlación de los dos criterios. En la Fig. 8 se muestra la estimación del criterio FS. Tal como se ha mencionado en el apartado 3.1, existen dos planos con el máximo rango de deformación tangencial. En este caso, la máxima tensión normal perpendicular al plano crítico se orienta en 155º. θ=0 + Fig. 8. Estimación de la orientación del plano de inicio de grieta para el criterio FS. Este resultado podría indicar que, para este tipo de material y configuración de ensayo, el criterio FS puede dar como resultado planos de inicio de grieta más realistas que el criterio SWT. Fig. 6. Estimación de la ubicación de inicio de grieta de los criterios SWT y FS. 6.2 Orientación del plano de inicio de grieta En la Fig. 7 se observa la predicción del ángulo de inicio del criterio SWT. Debe mencionarse que el convenio de signos difiere ligeramente con el presentado en la Fig.1. El parámetro predice un ángulo casi vertical (175º), y ligeramente hacia el interior de la zona de contacto. El ensayo seleccionado recogido en la Tabla 2, muestra que el plano de inicio de grieta es de 135º. Sin embargo, debe mencionarse que, en los ensayos realizados en [5], el rango de ángulos de inicio de grieta oscila entre 135º-175º. 6.3 Orientación de propagación de grieta En la Fig. 9 se muestra el valor del ángulo para cada incremento de simulación, estimado mediante el criterio MTS. Se observa que, para cada incremento, el ángulo estimado es distinto, con lo que queda la incertidumbre de saber qué ángulo se debe seleccionar. En este trabajo, se ha decidido seleccionar el ángulo estimado en el incremento con el mayor factor de intensidad de tensiones. θ=0 + Fig. 9. Estimación de la orientación de propagación del segundo segmento de grieta mediante el criterio MTS, para cada incremento de simulación. Fig. 7. Estimación de la orientación del plano de inicio de grieta para el criterio SWT. La Fig.10 muestra tanto la trayectoria de la grieta del ensayo experimental, como la estimada mediante los dos criterios empleados. Por un lado, se observa la mala correlación de la trayectoria estimada del criterio MTS.
Debido a problemas de convergencia, no se ha podido continuar con la simulación. Por otro lado el ángulo estimado por el criterio de la mínima variación de la tensión tangencial muestra una muy buena correlación en los primeros incrementos de propagación. Posteriormente, la simulación diverge de la trayectoria experimental. Esto puede ser debido a que, una vez alejada de la superficie de contacto, los mecanismos de daño cambien. Sin embargo, se debería profundizar más en este estudio. REFERENCIAS [1] O. Vingsbo, D. Soderberg, On fretting maps, Wear 126, 131-147, 1988. [2] C. Navarro, S. Muñoz, J. Dominguez, On the use of multiaxial fatigue criteria for fretting fatigue life assessment, International Journal of Fatigue, 30, 32-44, 2008. [3] R. Hojjati-Talemi M.A. Wahab, J.D. Pauw, P.D. Baets, Prediction of fretting fatigue crack initiation and propagation lifetime for cylindrical contact configuration, Tribology International, 76, 73-91, 2014. [4] D. Socie, G. Marquis, Multiaxial Fatigue, SAE Book, 181-198, 2000. [5] A. de Pannemaecker, S. Fouvry, J.Y. Buffiere, Reverse identification of short-long crack threshold fatigue stress intensity factors from plain fretting crack arrest analysis, Engineering Fracture Mechanics, 134, 267-285, 2015 Fig. 10. Estimación de la propagación de grieta y comparación con la trayectoria real. 7. CONCLUSIONES En este trabajo, se ha presentado el análisis de la predicción de varios criterios de iniciación y propagación para estimar la trayectoria de la grieta en un problema de fretting sometido a una carga tangencial alterna. Posteriormente, los resultados han sido comparados con un ensayo de la bibliografía. Por un lado, para el caso analizado los resultados obtenidos sugieren que, la predicción del criterio FS es más realista que el criterio SWT, para el plano de iniciación de grieta. Por otro lado, el resultado obtenido mediante el criterio MTS, puede sugerir que, para casos de campo de tensiones no proporcionales, este parámetro no es adecuado. Finalmente, el criterio de la mínima variación de la tensión tangencial estima de forma correcta la primera fase de propagación, aunque diverge en la segunda fase. AGRADECIMIENTOS Los autores desean agradecer al Departamento de Educación, Política Lingüística y Cultura del Gobierno Vasco por la financiación concedida al proyecto RUCODEG (Ref. UE2013-7) a través del programa Universidad-Empresa, y al Dr. Eugenio Giner Maravilla por la inestimable ayuda en la realización del modelo numérico. [6] G.C. Erdogan, F. Sih, On the crack extension in plates under plane loading and transverse shear, Journal of Fluids in Engineering, 85, 519-525, 1963. [7] E. Giner, M. Sabsabi, J.J. Ródenas y F.J. Fuenmayor. Direction of crack propagation in a complete contact fretting-fatigue problem, International Journal Fatigue, 58, 172-180, 2014. [8] N. Möes, J. Dolbow y T. Belytschko. A finite element method for crack growth without remeshing, International Journal of Numerical Methods in Engineering, 46, 131-150, 1999. [9] S. Osher y J.A. Sethian, Fronts propagating with curvature-dependent speed: Algorithms based on Hamilton-Jacobi formulations, Journal of Computational Physics, 79, 12-49, 1988. [10] M. Stolarska, D.L. Chopp, N. Möes, T. Belytchko, Modelling crack growth by level sets in the extended finite element method, International Journal of Numerical Methods in Engineering, 51, 943-969, 2001. [11] O. McCarthy, A Study of Microstructure-Sensitive Crack Nucleation and Wear in Fretting, Tesis Doctoral, National University of Ireland, Galway, 2013. [12] E. Giner, N. Sukumar, J.E. Tarancon, F.J. Fuenmayor, An Abaqus implementation of the extended finite element method, Engineering Fracture Mechanics, 76, 347-368, 2009.