1 GRAVIACIÓN UNIVERSA 1.1 Evolución históica a gavitación da cuenta de la fueza de inteacción ente las asas del univeso. Su conociiento ha peitido ente otas aplicaciones, la descipción del oviiento de los astos en el espacio, lo que peocupó a los hobes del undo antiguo, desde los babilonios, hasta egipcios y giegos. El pie análisis iguoso, del oviiento de los planetas en el Sistea Sola fue ealizado po oloeo en Alejandía, situando a la iea en el cento del Univeso, (eoía Geocéntica), peo sin ofece ninguna explicación física, su auge alcanzó hasta el siglo XVI. Sin ebago, en 154 sugió una nueva teoía debida a Nicolás Copénico (astónoo polaco) que colocaba al Sol en el cento del Univeso y a los planetas descibiendo óbitas ciculaes a su alededo, (eoía Heliocéntica), fig..1. Iagen del sistea sola con las tayectoias elípticas de los planetas. Fig..1. odelo copenicano del sistea sola ás tade Keple ostó que las óbitas de los planeta ean elípticas y que cuplían tes leyes que expesó en dos libos, Astonoía nova (1609) y Haonices undi, ibi (1619). Avanzado el siglo XVII, Newton descubió la azón física que explicaba el oviiento de los planetas, ea una fueza atactiva que sobe ellos ejecía el Sol y lo expesó en una ecuación ateática, conocida coo ey de Gavitación Univesal. Fue su fie ceencia de que las fuezas que ueven los astos en el Univeso, son de la isa natualeza que las que ueven a los cuepos en la iea y obedecen, po tanto, a sus isas leyes la que le llevó a tan ipotante descubiiento. a tadición habla de la caída de una anzana que estiuló la iaginación de Newton, llevándole a pensa que la una debeía cae sobe la iea siguiendo la isa ley, peo sigaos el azonaiento de Newton. Este deteinó ve apéndice de esta unidad- que en un segundo la una caía hacia la iea una distancia de h = 1,, ientas que un objeto situado en la supeficie teeste en el iso tiepo, caeía h = 4,9. Newton obsevó : que la elación ente estas dos longitudes ea: 1
h 1,.10 1 = h 4,9 700 y sabía adeás que la distancia desde la una al cento de la iea ; ea unas 60 veces el adio teeste: 60 R.a elación ente sus cuadados R R 1 = = 600 60 R Que es un valo uy póxio al anteio. Coo el oviiento de caída de estos cuepos es unifoeente aceleado, esulta que h = ½ gt, y de aquí concluyó que la aceleación de caída que sufía cada uno, debeía se invesaente popocional al cuadado de su distancia al cento de la iea. g g R = [.1] EJERCICIO RESUEO Johannes Keple (1571-160) astónoo aleán fouló tes faosas leyes sobe el oviiento de los planetas en el sistea sola. Newton basándose en ellas fouló la ley de gavitación univesal. a aceleación de la gavedad en la supeficie de la iea vale 9,8 /s. Sabiendo que la distancia de la una al cento de la iea es 60 veces el adio teeste, deteina la aceleación de la gavedad debida a la iea, a la distancia a que se encuenta la una del cento de nuesto planeta. g R 9,8 s = ; g =,7.10 / s 9,8 / s 60 R 60 ( ) 1.1 eyes de Keple S a Hasta el Renaciiento, las teoías que explicaban el oviiento de los astos se basaon en pocediientos de obsevación poco pecisos. En el siglo XVI el astónoo ycho Bahe, (1546-1601), ealizó una seie de edidas de las posiciones de los cuepos celestes, extaodinaiaente pecisas, y las dispuso en tablas de datos que fueon utilizadas as tade po su discípulo Johannes Keple Con estos datos pudo establece las ecuaciones ateáticas que desciben el oviiento de los planetas, toando el sistea de efeencia en el Sol. Estas leyes son tes: iea ley : os planetas desciben óbitas elípticas alededo del Sol, que se encuenta en uno de los focos, fig... Segunda ley : os adios vectoes de las óbitas que van del Sol al planeta baen áeas iguales en tiepos iguales. En la fig.., el adio vecto 1 cube en el iso tiepo, igual supeficie que el adio y coo consecuencia la velocidad del planeta en su óbita es ayo cuando está ás ceca del Sol, que cuando está ás alejado, v1 > v. ecea ley : Establece la elación ente los seiejes ayoes de las óbitas a fig.. y los peiodos de los planetas. Su enunciado es el siguiente: El cociente ente los cubos de los seiejes ayoes de las óbitas de los planetas y los cuadados de sus peiodos, es el iso paa todos los planetas que gian alededo del asto cental. a C Cons tante = = Estos cocientes con popocionales a la asa del asto cental. Fig.. os planetas desciben óbitas elípticas alededo del Sol v 1 1 v S Fig.. En igual tiepo, el adio vecto cube la isa áea, con independencia de la distancia del planeta al Sol. En la figua, las dos áeas han sido baidas po el adio vecto en tiepos iguales. C = k [.]
1. ey de Gavitación Univesal El Sol tiene un diáeto d S = 1,9.10 6 k. El planeta Júpite que es el ayo del Sistea Sola, tiene un diáeto d J = 14,7. 10 k, siendo el seieje ayo de su óbita a J = 777,4.10 6 k. Copaando los diáetos del Sol y Júpite, con el seieje a J, es coo tene una esfea de 1 de diáeto a una distancia de 800 de ota esfea de diáeto 0,1. Resulta azonable po lo tanto paa estudia el oviiento de los astos, considealos coo patículas ateiales oviéndose en el espacio. El caino que se va a segui paa deteina a pati de las leyes de Keple la ey de Gavitación Univesal, es supone que las óbitas son ciculaes de adio = a. v F Sea un planeta de asa, que con velocidad v, descibe una cicunfeencia de adio alededo del Sol, el cual supondeos fijo y situado en el cento del ciculo. Coo el planeta cabia la diección de su vecto velocidad, sobe él tiene que actua una fueza centípeta F C que apuntaá hacia el Sol en todos los puntos de la tayectoia, fig..4. Esta fueza es popocionada pecisaente po la atacción sola. Si el peiodo del planeta es (tiepo que eplea en da una vuelta alededo del Sol), la velocidad del planeta se puede deteina coo el cociente ente la longitud de la óbita ecoida en una vuelta y el tiepo epleado. π v = Y el valo de la fueza centípeta: v π 1 π F = = = 4 aa elacionala con la tecea ley de Keple [.] vaos a ultiplica y dividi po ; consideando a coo si fuea el seieje ayo de la óbita. F Fig..4 Sobe el planeta debido a la atacción gavitatoia, apaece una fueza F siepe diigida hacia el Sol y pependicula a su vecto velocidad v, po lo que actúa coo una fueza centípeta. Sobe el Sol actúa la paeja de eacción F F, en la isa diección, con el iso ódulo y de sentido contaio. 1 4π 4π F = 4π = C = k = 4 k S S π [.4] El pie facto que figua en [.4] es un poducto de constantes independiente de las asas de los cuepos, se designa coo G, constante de Gavitación Univesal. G = 4 π k [.5] El valo de G fue edido expeientalente po piea vez, po Heny Cavendish (171-1810) en 1798 usando una balanza de tosión, dispositivo inventado po John ichell,(174-179) y que tabién utilizó Coulob en 1784 paa deteina la ley de las fuezas elécticas. Cavendish obtuvo el valo: G =6,67.10 11 N. / kg edidas uy ecientes han confiado el valo, con una apoxiación que alcanza hasta la décio sexta cifa decial. En Astonoía se suele toa coo unidad de distancia, la sepaación edia de la iea al Sol, conocida coo una unidad astonóica (UA). 1 UA = 150.10 6 k Sustituyendo [.5] en [.4] se obtiene finalente el ódulo de esta fueza: F G S = [.6]
Se ha obtenido la ley de Gavitación Univesal consideando el sistea foado po el Sol en eposo y un planeta giando a su alededo, sin ebago, sabeos po la expeiencia que esta ley deteina la inteacción gavitatoia ente dos asas cualesquiea del univeso. a ley de Gavitación Univesal se enuncia: a fueza de gavitación univesal ente dos asas es siepe atactiva, popocional al poducto de las asas e invesaente popocional al cuadado de su distancia. a constante de gavitación univesal G, es independiente del edio ateial que sepaa las asas. De un odo geneal se puede escibi una expesión vectoial paa la fueza de gavitación univesal ente dos asas y, utilizando un vecto unitaio u con oigen en la asa, fig..5. F = G u [.7] Deteinación de la constante de la tecea ley de Keple Despejando k de [.5] y llevándola a [.], teniendo en cuenta que la asa cental es la del Sol, S, se obtiene el valo de la constante C que figua en la tecea ley de Keple. G S C = k S = 4π EJERCICIO RESUEO Fotogafía de una balanza de tosión paa la deteinación de la constante de gavitación univesal. a atacción gavitatoia ente las esfeas gandes de ploo y las otas ás pequeñas suspendidas de la baa hoizontal, poduce una tosión del hilo de aceo, debido al pa de fuezas que apaece sobe estas últias. Con un espejito situado en el hilo que es iluinado po un haz de luz, se deteina el ángulo giado po el hilo y en función de este dato y de cietas constantes del hilo, se calcula la constante de gavitación univesal G. *Deteina el valo de la constante C, paa todos los planetas del Sistea Sola. a asa del Sol es de 1,98.10 0 kg. G 6,67.10 N kg 1,98.10 kg N C = = =,5.10 =,5.10 4π 4π kg s 11 0 S 18 18 *Deteina el valo de la constante C, paa todos los satélites que gian alededo de la iea, con independencia de que sean atificiales lanzados po el hobe o la popia una. G 6,67.10 N kg 5,98.10 kg C = = = 1,01.10 4π 4π s 11 " 4 1 v u F F 1. El peso en la supeficie de la iea a ley de gavitación univesal explica poque cuando un cuepo se deja libe en la iea, apaece sobe él una fueza atactiva que lo lleva hacia la isa, genealente lo designaos coo peso del cuepo. Sin ebago, vivios en un planeta que está giando alededo de su eje, y esta cicunstancia tiene su influencia en la edida expeiental que haceos del peso de un cuepo, consideando que está en eposo en la iea. Fig..5 Vecto unitaio u y fueza de inteacción gavitatoia ente dos asas. aa avanza en estas cuestiones consideaeos coo piea hipótesis, que la iea es pefectaente esféica y que no gia alededo de su eje, 4
constituyendo un sistea inecial. Después, valoaeos el efecto que poduce la otación alededo de su eje, en la edida del peso. Consideando una iea esféica y sin otación, constituiía un sistea inecial de efeencia. Si su asa es y su adio R, sobe un cuepo de asa situado en su supeficie, es deci a la distancia R de su cento, la fueza de atacción gavitatoia es: F = G R Este valo de la fueza atactiva sobe la asa, es el iso en cualquie luga de la supeficie teeste, ve fig..6 O F Si teneos ahoa en cuenta, que la iea gia alededo de su eje dando una vuelta po día, tiene una velocidad angula ω y los ejes situados en el cento de la iea al gian con ella, constituyen un sistea no-inecial, de odo que sobe el cuepo que consideaos en eposo, actúan dos fuezas, la fueza de gavitación F y una fueza centífuga de inecia F C ; que depende de la latitud λ del luga en que se encuenta el cuepo, fig..7. Z Fig..6. En una iea que no estuviese giando alededo de su eje de otación, los objetos libes solo estaían soetidos a la fueza de gavitación F, que es una fueza adial hacia O. ω λ F F C F C lano del Ecuado X O λ Y F λ Fig..7. a iea gia alededo de su eje de otación y con ella los ejes situados con oigen en el cento de la iea O. Constituye un sistea no-inecial. El peso de un cuepo que deteinaos ediante una pesada (dinaóeto), es el vecto sua o esultante, de las dos citadas fuezas, de odo que la vetical de un luga no coincide exactaente con la diección del adio de la iea. = F + F C [.8] Fig..8. Fuezas que actúan sobe un cuepo en eposo situado en la iea giando. o acción de la atacción gavitatoia apaece F y po la otación de la iea actúa la fueza centífuga F C. Su sua popociona el valo del peso. En la fig..8 se han dibujado y auentado el taaño de las dos fuezas y se ha señalado el ángulo de la latitud λ. aa halla el ódulo del peso, aplicaeos a los tiángulos de la figua el teoea del coseno esultando: = F + F F F cos λ [.9] C C 5
El peso de un cuepo depende de la latitud. Ahoa estaos en disposición de calcula el peso de un cuepo en distintos sitios de la iea. Cada eplazaiento se caacteiza po su latitud λ, que es ángulo que foa el adio de la iea R del luga, con el Ecuado teeste, fig..7 Coo ejeplo vaos a considea un cuepo en tes lugaes distintos, coo el Ecuado teeste, alloca y el olo Note. En el Ecuado la latitud es λ = 0 así que sustituyendo en [.9]: ( ) = F + F F F cos0 = F + F F F = F F C C C C C Resultando paa el peso: = F - F C. En el Ecuado el peso es eno que la fueza de atacción gavitatoia. En alloca cuya latitud es λ = 9º el peso es: = F + F F F cos 9º C C SOBRE A FUERZA CENRÍFUGA En el tea de Dináica estudiaos que la fueza centífuga se calcula con la ecuación: F C = ω Donde ω es la velocidad de otación y la distancia desde el luga donde se encuenta la asa, hasta el eje de gio. Con ayuda de la figua vaos a expesa la distancia, en función del adio teeste R y de la latitud λ. ω En el olo Note la latitud vale λ = 90º y la fueza centífuga es nula poque al esta el cuepo sobe el eje teeste su distancia al iso es ceo y de [.9] esulta que el peso es igual a la fueza de la gavedad: = F = G R R λ R cos λ EJEO RESUEO Consideando a la iea coo una esfea, de adio edio R = 671.10 y asa = 5,98.10 4 kg, que tiene una velocidad angula ω = π ad/día. Deteina el peso de un cuepo de asa 5 kg cuando se taslada desde el Ecuado, hasta alloca y después al olo Note. G = 6,67.10-11 N kg -. a) El cuepo está en el Ecuado de latitud λ = 0 : 4 11 π ω 5,98.10 5 = G R cos 0 = 6,67.10 5 671.10 R ( 671.10 ) 4 600 = R cos λ Sustituyendo esulta paa la fueza centífuga la expesión: F C = ω = ω R cos λ = 45,67 0,84 = 44,8 N b) El cuepo está en alloca de latitud λ = 9º = 9,55º ( ) 45,67 0,84 cos 9,55º 45,67 0,84 cos 9,55º = + = 45,17 N c) En el olo Note es la latitud λ = 90º y la F C = 0 = G = 45,67 N R RESUIENDO: Aunque la asa de un cuepo es la isa en cualquie luga de la iea, sin ebago, su peso vaía con la latitud del luga donde se encuenta y va auentando al desplazalo desde el Ecuado a los olos. abién disinuye el peso de un cuepo al subilo po encia de la supeficie teeste, pues la distancia al cento de la iea es ayo que el valo del adio teeste R... 6
E CAO GRAVIAORIO as asas de los cuepos pesentan una popiedad que se extiende po el espacio odificando sus caacteísticas, y haciendo que sobe otas asas allí situadas apaezca una inteacción (fueza atactiva). El capo gavitatoio se popaga sin líites. En adelante solo consideaeos asas puntuales o asas esféicas, pues entonces todo sucede coo si toda la asa de la esfea estuviese concentada en su cento..1 Intensidad del capo gavitatoio aa deteina el valo del capo gavitatoio ceado po una asa en un punto exteio, es deci la petubación que ésta ha poducido, se define un vecto llaado intensidad del capo gavitatoio g, coo el valo de la fueza que actúa sobe la asa unidad, situada en este punto del capo. Si en luga de la unidad de asa se sitúa cualquie asa, la intensidad del capo gavitatoio g es de acuedo con la definición, el cociente ente la fueza gavitatoia y la asa. G u F g = = = G u [.10] N Sus unidades son: g kg Obseva que son equivalentes a las de una aceleación. En efecto: g Fig..10. a líneas de fueza del capo gavitatoio son tangentes en cada punto al vecto capo gavitatoio g y entantes hacia la asa ceadoa del capo. N kg s = = kg kg s a intensidad del capo gavitatoio, que en adelante llaaeos po bevedad capo gavitatoio, es una popiedad que en cada punto solo depende de la asa ceadoa del capo y de la distancia de la asa al punto. Coo g es una agnitud vectoial fig..9, su diección, es la de la ecta que va de la asa al punto y su sentido entante hacia la asa. asa ceadoa u g Fig..9. El capo gavitatoio g en un punto, es un vecto de diección adial y entante hacia la asa ceadoa del capo. íneas de fueza del capo gavitatoio. aa visualiza el aspecto del capo gavitatoio, se epesentan las líneas de capo o de fueza. Estas líneas se tazan de odo que sean tangentes en todos los puntos, al vecto capo gavitatoio g, fig..10. a fueza gavitatoia sobe una asa testigo, situada en el capo de ota, donde la intensidad vale g, se deduce de [.10]. Resulta F = g. 7
.1 abajo de la fueza gavitatoia Consideeos una asa que cea un capo gavitatoio, si dento del iso situaos ota asa testigo, se encontaá soetida a una fueza, que hace tabajo sobe ella. Si el gavitatoia cuya diección es adial F ( ) desplazaiento ealizado es dl el tabajo eleental efectuado po la fueza. dw = F dl ( ) (1) () F ( ) dl En la fig..11 el vecto desplazaiento dl se ha descopuesto en la sua de dos vectoes, uno en la diección adial d u y oto en la diección pependicula a la adial dn. Q Q u F ( ) d u dn dl Fig..11. El desplazaiento dl se puede descopone en dos coponentes, una adial d u y ota tansvesal dn. Esta últia no efectúa tabajo sobe po se. pependicula a la fueza gavitatoia F ( ) a ecuación del tabajo eleental esulta: dw = F( ) dl = F d u + dn = F d u + F dn = F d u ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) En consecuencia, solaente efectúa tabajo la fueza gavitatoia F ( ), cuando el desplazaiento dl de la asa, tiene alguna coponente en la diección adial. El tabajo ealizado po la fueza del capo, ente dos puntos y Q se deteina suando todos los tabajos eleentales y ateáticaente se calcula ediante una integal definida desde hasta Q. Q Q Q d 1 W Q = F ( ) d u = G u d u = G = G 1 1 W Q = G Q [.11] Q Q Fig..1. El tabajo de la fueza gavitatoia ente dos puntos y Q, es el iso po cualquiea de los cainos que llevan de a Q. En la figua el tabajo po el caino (1) en línea continua, vale igual que el tabajo po el caino () en línea discontinua. Si el tabajo ealizado po la fueza del capo se efectúa a lo lago de una cuva ceada, entonces la asa sale de un punto y egesa al iso punto. Aplicando la ecuación [.11] queda: 1 1 W = G = 0 El tabajo ealizado po la fueza del capo gavitatoio que es consevativa, a lo lago de una línea ceada es nulo. Obseva, que en la ecuación [.11] del tabajo ealizado po la fueza apaecen solaente las posiciones final e inicial, epesentadas po los ódulos de los vectoes de posición de los puntos y Q, fig..1. En consecuencia el tabajo ealizado po la fueza gavitatoia ente dos puntos, no depende del caino seguido ente ellos, solaente de la posición inicial y final. Se dice que es una fueza consevativa. 8
. otencial gavitatoio Cuando una asa, se encuenta en el espacio odifica sus popiedades y oto odo de asigna un valo a la petubación en cada punto, es ediante una agnitud escala llaada potencial. Sea un punto, definido po un vecto de posición especto de la asa ceadoa del capo. Se define el potencial gavitatoio en un punto, coo el valo del tabajo que efectúa la fueza del capo paa taslada a la unidad de asa, desde el citado punto hasta el infinito, al que se le asigna un valo nulo al potencial. En ealidad, si en luga de la unidad de asa se taslada ota asa cualquiea, desde el punto al infinito, el potencial gavitatoio se puede deteina de acuedo con la definición anteio, coo la azón: W ( sobe la asa ) VG ( ) = Sus unidades en el Sistea Intenacional son: J/kg aa calcula el tabajo que hace la fueza del capo gavitatoio ente dos puntos, podeos aplica la ecuación [.11] consideando que el segundo punto está en el infinito. 1 1 G W VG ( ) = = = G Obseva que el potencial gavitatoio es una popiedad que solo depende de la asa ceadoa del capo y de la distancia del punto a la asa ceadoa. Adeás, vaía con el inveso de la distancia al punto, toando su valo áxio en el infinito y haciéndose cada vez ás negativo (eno), a edida que disinuye la distancia a la asa ceadoa del capo. a difeencia de potencial ente dos puntos del capo gavitatoio y Q, es igual al tabajo que efectúa la fueza del capo, paa lleva a la unidad de asa desde el pie punto al segundo. aa calculala, basta con esta los potenciales de los dos puntos, aplicando la ecuación anteio. 1 1 VG,Q VG, = G G = G Q Q a) Deteina el potencial gavitatoio que cea la iea en los puntos de la óbita luna, situados a una distancia edia del cento de nuesto planeta de 80.000 k. b) Difeencia de potencial ente el punto anteio y oto de la supeficie teeste situado a 671 k del cento de la iea. a) El potencial: b) a difeencia de potencial: Ejecicio Resuelto 4 11 6 G, = = N 5,98.10 kg J V 6,67.10 1,05.10 kg 80 000.10 kg 11 N 4 1 1 6 J VG,Q VG, = 6,67.10 5,98.10 kg 61,6.10 kg 80 000.10 671.10 = kg Supeficies equipotenciales El luga geoético de aquellos puntos del capo gavitatoio, en los que el potencial gavitatoio tiene el iso valo, constituye una supeficie equipotencial. Expesaeos está popiedad diciendo que todos los puntos de la supeficie veifican. V G(x,y,x) = Cte Consideando que la asa tiene foa esféica y se encuenta aislada, entonces las supeficies equipotenciales son supeficies esféicas con cento en la asa. V G = C V G= C V G,1= C 1 En la figua se han epesentado tes supeficies equipotenciales, en cada una de las cuales el potencial vale lo iso, peo es distinto del valo que toa en las deás. Ecuación ás geneal del potencial gavitatoio Sustituyendo la ecuación del tabajo de la fueza gavitatoia y de (.10). V G V G FG dl = = g + n s = g d + g dn g d = ( d d ) oque el poducto escala del segundo suando es nulo. oando difeenciales de la ecuación anteio, esulta en foa difeencial la elación siguiente: v dv G = g d 9
.. Relación ente el capo gavitatoio y el potencial El capo gavitatoio es un vecto y paa deteinalo es necesaio conoce su ódulo, diección y sentido. El potencial gavitatoio V G es una función escala po lo que queda identificado ediante un valo nuéico, sin ebago, estas dos agnitudes del capo gavitatoio están elacionadas ente sí, ediante un opeado llaado gadiente. Consideeos el capo gavitatoio ceado po una asa y en él dos supeficies equipotenciales uy póxias, de adios y +d; que están espectivaente a potenciales gavitatoios V G,y V G + dv G véase fig..?. uuuuuu Se define el gadiente del potencial, gad VG, coo un vecto pependicula a las supeficies equipotenciales, cuyo sentido es hacia los valoes cecientes del potencial. Físicaente, el gadiente del potencial en un punto, popociona la áxia vaiación que expeienta el potencial gavitatoio po unidad de longitud ecoida. Si la difeencia de potencial ente las dos supeficies es: (V G + dv G ) V G = dv G ; y d su distancia, el ódulo del gadiente es el cociente dv G /d. Si u es un vecto unitaio en la diección adial, el vecto gadiente del potencial gavitatoio se puede expesa: uuuuu dvg gad VG = u [.?] d Donde el signo del gadiente viene deteinado po la deivada dv G /d. d V G V G +dv G u + d uuuuu gad V G d o ota pate, el capo gavitatoio g poducido po una asa es adial y entante, fig..??, de odo tiene sentido contaio al vecto gadiente. De la definición de difeencia de potencial se deduce que dvg dv G = g d = g d cos180 = g d y de aquí g = - d ultiplicando los dos iebos po el unitaio u esulta: v g u Obsevando la ecuación del gadiente, se acostuba a escibi: g uuuuu = gad V G = dv d G u Fig..? El gadiente del potencial va en el sentido de los potenciales cecientes. El capo gavitatoio es igual al gadiente del potencial gavitatoio cabiado de signo. El signo enos indica que el capo gavitatoio va en el sentido de los potenciales dececientes, es deci, en sentido contaio al del gadiente del potencial gavitatoio. Ejecicio esuelto V G V G +dv G u + d d gad VG g Sabiendo que el potencial gavitatoio es: V gavitatoio. G = G deteina el vecto capo uuuuu dvg d d 1 G g = gad VG = u = G u = G u = u d d d Fig..??. El capo gavitatoio va en el sentido de los potenciales dececientes, es deci, en sentido opuesto al gadiente del potencial. 10
.4 Enegía potencial gavitatoia Cuando una asa, se encuenta en el capo gavitatoia de ota asa, posee una enegía que depende de la posición que ocupa en el capo. Se designa coo enegía potencial gavitatoia y se define coo el tabajo ealizado po la fueza del capo paa taslada a la asa desde el luga que ocupa hasta el infinito, donde se le asigna una enegía potencial ceo. d 1 U = W = F G d = G u d = G = G U(enegía potencial) 1 1 G U = G = [.1] a enegía potencial gavitatoia de, es nula en el infinito y decece (es ás negativa) al disinui su distancia a la asa ceadoa del capo. a epesentación gáfica de la enegía potencial de, en función de la distancia a la asa ceadoa, es una hipébola equilátea, fig..1. Vaiación de la enegía potencial. En la páctica los cuepos se van a ove ente dos puntos del capo gavitatoio y lo que vaos a considea es la vaiación de la enegía potencial que expeientan. Consideeos una asa, que se ueve desde un punto hasta oto Q, en el capo gavitatoio de una asa. a vaiación de la enegía potencial gavitatoia se acostuba a escibi señalando la difeencia ente la enegía potencial que tiene en el últio punto Q, enos la que tenía en el pieo. De acuedo con la ecuación [.1] esulta: 0 -U -U 1 -U 1 G G G G 1 1 U = UQ U = = = G Q Q Q Si se copaa esta últia ecuación, con la [.11], que deteina el tabajo ealizado po la fueza gavitatoia paa taslada a la asa, desde un punto Q, se veifica que U = W Q. Esta ipotante ecuación se escibe: W Q = - U [.1] El tabajo ealizado po la fueza gavitatoia sobe una asa, es igual a enos el inceento de su enegía potencial. Si una asa se deja libe en un capo gavitatoio, se pondá en oviiento de foa espontánea en el sentido de disinui su enegía potencial, es deci, tatando de acecase a la asa ceadoa del capo. Fig..1. Repesentación de la enegía potencial gavitatoia U, de una asa en función de su distancia a la asa ceadoa del capo que está situada en O. uedes obseva que cuando auenta, 1 < tabién lo hace la enegía potencial U, que esulta enos negativa. a enegía potencial gavitatoia de es siepe negativa, toando su valo áxio que es ceo, cuando se encuenta en el infinito =. Obseva en la figua, coo los ejes y -U, son asíntotas de la hipébola equilátea. EJERCICIO RESUEO a asa de la una es 7,4.10 kg y su distancia edia a la iea de 84.10 6. a asa de la iea es 5,98.10 4 kg y la constante de gavitación univesal G = 6,67,10-11 N kg -. Deteina con estos datos la enegía potencial gavitatoia de la una en el capo de la gavedad teeste. G 6,67.10 5,98.10 7,4.10 84.10 11 4 8 U = = = 7,6.10 J 6 11
EJERCICIO RESUEO Un satélite atificial de asa 1000 kg, gia en una óbita ecuatoial geoestacionaia a una distancia del cento de la iea de 4 50 k. Si llegase a cae sobe el a, deteina su vaiación de enegía potencial. El adio de la iea es de 6 71 k. u 1 1 1 1 11 4 U = G = 6,67.10 5,98.10 1000 R obita 671.10 450.10 10 U = 5,1.10 J EJERCICIO RESUEO Deteina el tabajo ealizado po la fueza del capo gavitatoio sobe el satélite, en su apoxiación a la supeficie de la iea. W Q = - U = - (-5,1.10 10 J) = 5,1.10 10 J.5 Relación ente la fueza gavitatoia y la enegía potencial a fueza gavitatoia es una fueza consevativa y po este otivo en el capo gavitatoio de una asa, se puede defini la enegía potencial de cualquie ota asa testigo. a fueza del capo gavitatoio sobe la asa testigo está diigida adialente hacia la asa ceadoa del capo, fig..14 y vaía con el inveso de. abién, la enegía potencial de cabia únicaente en la diección adial, dependiendo en este caso del inveso de, ec [.1]. Si calculaos la deivada de la enegía potencial especto de ; se obtiene la vaiación de la enegía potencial po unidad de longitud ecoida en la diección adial, esultando: du d G d 1 G = = = G d d d F Fig..14 a fueza gavitatoia sobe una asa, tiene diección adial y únicaente vaía con el inveso del cuadado de la distancia. Así iso, la enegía potencial de solo depende del inveso de la distancia a la asa. 0 U(enegía potencial) El valo obtenido es el ódulo de la fueza gavitatoia F G. Reeplazando este valo en la ecuación vectoial de la fueza gavitatoia ec. [.7] esulta: du F = G u = u d [.14] a fueza gavitatoia es la deivada cabiada de signo, de la enegía potencial especto de la distancia, edida en la diección adial. Esta popiedad es exclusiva de las fuezas consevativas. En el gáfico de la fig..15, la pendiente de la ecta tangente tazada en un punto de la cuva de la enegía potencial en función de, es justaente du, es deci, el ódulo de la fueza del capo gavitatoio en el punto d coespondiente. -U α du tgα = d Fig..15. a pendiente de la tangente a la cuva en un punto, vale du d. 1
.7 Enegía ecánica de un cuepo en un capo gavitatoio equeños desplazaientos en la supeficie teeste Calcula la vaiación de enegía potencial de una asa, que se desplaza veticalente una distancia h pequeña, ente dos puntos y Q, situados en la supeficie de la iea. Consideeos que el punto, se encuenta especto del cento del planeta justo en la supeficie a una distancia R ; ientas que el punto Q está po encia a una distancia R + h, fig..16. a vaiación de enegía potencial: G G 1 1 U = UQ U = = G R + h R R R + h R + h R h U = G G = R + R h R + R h Ahoa bien, si h es una distancia pequeña fente al adio teeste po ejeplo 100, copaando con el adio de la iea, R = 6 71 000. Entonces es h R y R h R po lo que esulta despeciable. Consideando estos aguentos esulta: h U = G = G h R R h Q R + h Donde G g g R = = ; es el ódulo de la intensidad del capo gavitatoio, ec.[.10]. Resulta finalente paa la vaiación de la enegía potencial: U = g h a aplicación de esta ecuación queda liitada a pequeños desplazaientos veticales, fente al valo del adio de la iea. Resulta de gan utilidad en la ecánica, coo heos visto en unidades anteioes. O R o siple obsevación del cielo copobaos que los planetas odifican su posición especto de las estellas, lo que nos induce a pensa que éstos están en oviiento y que tienen enegía cinética. Adeás, coo se ueven en el capo gavitatoio del Sol y de los deás cuepos del univeso, tienen enegía potencial gavitatoia. En consecuencia, cualquie cuepo que está en el espacio tiene tabién enegía ecánica, que es la sua de la enegía cinética especto de un sistea de efeencia, ás la potencial gavitatoia. Fig..16. Al desplaza un cuepo una distancia h, pequeña fente al valo del adio de la iea, la vaiación de la enegía potencial es puede expesa coo: U = g h Ya heos estudiado en lecciones anteioes el pincipio de consevación de la enegía ecánica, que afia: cuando un cuepo se ueve bajo la acción de fuezas consevativas, su enegía ecánica peanece constante, ecuación [1.9]. Ahoa puede escibise paa el oviiento planetaio del odo siguiente: G 1 U + Ec = + v = Cte [.15] Coo aplicación se van a analiza vaios casos posibles: 1
Satélite que gia en una óbita elíptica alededo de la iea. Cuando éste se aleja, fig..17, la enegía potencial gavitatoia ec.[.1] auenta con la distancia al planeta, de odo que al se la enegía ecánica constante, debeá disinui la enegía cinética y po tanto su velocidad, cuanto ás se aleja de la iea ás lento se ueve. 1 v F v v 1 v Fig..18. Si la óbita es una cicunfeencia, la fueza gavitatoia siepe apunta hacia el cento de la iea y actúa coo una fueza centípeta. Fig..17 A edida que auenta la distancia del satélite eno es su velocidad E <0. Consideeos el caso paticula de que la óbita del satélite sea una cicunfeencia de adio, fig..18, y vaos a calcula sus enegías, cinética y potencial gavitatoia. Haeos la apoxiación de supone unos ejes fijos en el cento de la iea que no gian y de este odo solo es necesaio considea sobe el satélite la fueza gavitatoia F. Coo la fueza gavitatoia actúa de fueza centípeta, podeos expesala coo F = F C. Igualando los ódulos es posible despeja la velocidad v del satélite, en su óbita alededo de la iea. G v = ; v = G 1 1 G 1 a enegía cinética: EC = v = = G a enegía potencial gavitatoia: U = G a enegía ecánica: 1 1 U + EC = G + G = G El satélite que está atapado y giando en el capo gavitatoio teeste tiene una enegía total (ecánica), eno que ceo. Esta es la condición que debe satisface cualquie cuepo celeste paa gia en una óbita ceada sea elíptica o cicula, alededo de oto asto. Si consideaos ahoa un cuepo libe, no estaá soetido a la acción de ningún oto cuepo y su enegía potencial gavitatoia seá ceo. Coo adeás puede tene velocidad, poseeá enegía cinética que siepe es positiva, esultando su enegía ecánica ayo que ceo. Si un asto se encuenta en un oento deteinado en el capo gavitatoio de oto, siendo su enegía cinética ayo que el valo absoluto de su enegía potencial, entonces puede ás la piea que la segunda y se escapa de la atacción gavitatoia. Si la enegía ecánica es positiva la óbita es abieta (paábola E =0 o hipébola E >0). Sucede con algunos coetas que entan en el sistea sola, teniendo una fase de apoxiación al Sol y luego alejándose de él indefinidaente, o con los sondas espaciales que desde la iea enviaos a otos planetas. as óbitas de los planetas son ceadas, peo los deás cuepos celestes pueden tene óbitas ceadas o abietas, alededo de un asto cental, coo los coetas o las sondas espaciales. 14
EJERCICIO RESUEO Deteina la velocidad de escape necesaia paa que una sonda espacial salga de la iea. Datos: = 5,98.10 4 kg ; R = 6 71 k ; G = 6,67.10-11 N kg - Se conoce coo velocidad de escape la velocidad ínia con que se debe lanza un satélite desde una cieta posición en la iea, paa que salga de su capo gavitatoio. Consideaos que el lanzaiento se hace desde el suelo, es deci a una distancia del cento de la iea igual a su adio R. as condiciones necesaias paa popociona a la sonda la eno enegía posible, son aquellas que la peiten llega al infinito y adeás alcanzalo con velocidad nula. Entonces se cuple que po esta en el infinito la enegía potencial es ceo U = 0 y po llega paada tabién la enegía cinética E C = 0, y consecuenteente la enegía ecánica: U + E C = 0. Coo la enegía ecánica de la sonda se conseva, tabién debe vale ceo antes del lanzaiento en la supeficie teeste. Así que llaando v a la velocidad de lanzaiento se veifica: 1 G R R t G + v = 0 ; v = 11 4 6,67.10 5,98.10 Sustituyendo los datos: v = = 11190 / s = 11, k / s 671.10 a velocidad de escape lanzando la sonda desde la supeficie de la iea es de 11, k/s. S Capo gavitatoio dento de una esfea g Hasta ahoa heos deteinado la petubación que poduce una asa esféica en los puntos del espacio exteioes a ella, ediante el vecto intensidad del capo gavitatoio g, sin ebago todavía no nos heos planteado cuanto vale el capo gavitatoio en puntos inteioes a la popia esfea. aa esponde con sencillez a esta cuestión heos de estudia peviaente la ley de Gauss. g u g.1 ey de Gauss paa el capo gavitatoio g Consideeos una asa puntual. El ódulo del capo gavitatoio en puntos situados a la isa distancia, debe tene el iso valo, debido a la sietía del espacio alededo de la asa puntual, fig..19. Es deci, en aquellos puntos situados sobe la supeficie de una esfea de adio, con cento en. Fig..19. odos los puntos situados sobe la esfea de adio, se encuentan a la isa distancia de, con lo que el capo gavitatoio en todos ellos, toa igual valo en ódulo. a supeficie de la esfea de adio cuya áea vale 4π, vaos a conveni epesentala po un vecto S pependicula ella, con sentido positivo hacia fuea, fig..19, y cuyo ódulo es igual al valo del áea. Si ahoa ultiplicaos escalaente los vectoes capo gavitatoio g y el vecto supeficie S, se obtiene una nueva agnitud conocida coo flujo del capo gavitatoio Φ a tavés de la supeficie de la esfea. Φ = g S = G u 4π u = 4π G [.16] 15
a ecuación es conocida coo la ey de Gauss paa el capo gavitatoio, donde es solaente la asa contenida dento de la esfea Obseva que el esultado es independiente del adio de la esfea y si en luga de halla el flujo a tavés de esta esfea se hubiea calculado a tavés de ota cualquiea de adio ayo o eno, el valo obtenido seía el iso. S El esultado obtenido paa el flujo es de aplicación paa cualquie asa sea o no puntual, que este situada dento de la esfea. a ventaja de la ey de Gauss es que peite deteina el valo del vecto intensidad del capo con ucha facilidad, en aquellos casos en los que la asa ceadoa del capo pesenta ucha sietía coo es el caso de las asas esféicas. R g O.1 Capo gavitatoio de una esfea hoogénea Consideeos una esfea hoogénea de densidad ρ, asa y adio R. Vaos a deteina el capo gavitatoio en un punto inteio, situado a distancia del cento, tal que < R y después en el exteio paa R. oaeos una supeficie esféica concéntica con la esfea hoogénea que pasa po el punto, fig..0, y le aplicaeos la ley de Gauss, teniendo en cuanta que la asa que debeos considea, es únicaente la que está dento de la esfea de adio, cuyo valo seá: asa total = densidad x V ( esfea de adio ) = x V ( esfea de adio ) voluen total Aplicando la ley de Gauss esulta: 4 π 4 R π R = x = Φ = g S = g S cos180 = 4π G 4π G 4π G R g = = = G [.17] S 4π R Fig..0. aa deteina el capo gavitatoio en un punto del inteio de una esfea hoogénea, se taza una supeficie esféica de adio, (de puntos en la figua), concéntica con la anteio y que pase po el punto. uego se aplica la ley de Gauss. g as agnitudes G, y R son constantes paa una deteinada asa esféica, sin ebago vaía a edida que cabia la distancia del punto al cento de la esfea. En definitiva, el capo gavitatoio en puntos inteioes de una esfea hoogénea vaía linealente con la distancia la cento. En puntos situados desde la supeficie = R, hasta el infinito, paa calcula el flujo se toa una supeficie de adio R; que contiene po tanto la asa total. El flujo a tavés de esta esfea exteio vale: Φ = g S = g S cos180 = 4π G 4 π g = G = G 4π ; aa R El esultado es el iso que si toda la asa de la esfea, estuviese concentada en su cento, coo una asa puntual. O R Fig..1. Vaiación de la intensidad del capo gavitatoio, con la distancia al cento de una esfea hoogénea. Obseva que g toa su valo áxio en la supeficie de la popia esfea de adio R. Si se epesenta el capo gavitatoio de una esfea hoogénea de adio R, en función de la distancia a su cento O, se obtiene una ecta paa puntos situados ente 0 < R y una cuva paa valoes de R, véase la fig..1 16
EJEO RESUEO Deteina la intensidad del capo gavitatoio teeste en el inteio de nuesto planeta, en función de la distancia a su cento. Consideando a la iea coo una esfea hoogénea podeos aplica la ecuación [.17] y esulta: 4 11 N 5,98.10 kg 6 N g = G = 6,67.10 = 1,54.10 R kg 6 71.10 kg ( ) a) Valo del capo gavitatoio a una pofundidad de 100 k. g a distancia al cento del planeta es = 671 k 100 k = 671 k. N N kg kg s 6 g = 1,54.10 671.10 = 9,67 9,67 b) A qué pofundidad la intensidad del capo gavitatoio se educe a la itad de N su valo en la supeficie?. Valo estánda de g = 9,81. kg 1 N 9,81 g kg = = = 185.10 = 185 k 6 N 6 N 1,54.10 1,54.10 kg kg a pofundidad se ide desde la supeficie teeste y po lo tanto es: Cento de la iea O g u u g h = R - = 671 k 185 k = 186 k. o que ea de espea pues al vaia el capo gavitatoio popocionalente a la distancia al cento de la iea, toaá la itad de su valo en la supeficie, apoxiadaente a la itad del valo del adio teeste. g EJEO RESUEO Consideando hipotéticaente que fuea posible ealiza un túnel que atavesaa el planeta iea pasando po su cento, desde un luga de la supeficie hasta oto situado en las antípodas, escibe una expesión vectoial paa la aceleación de caída paa un óvil que se abandonase en la supeficie del túnel. Fig..1. En un hipotético túnel que atavesaa la iea desde un luga hasta las antípodas, la aceleación de la gavedad apuntaía siepe hacia el cento de la iea O. Consideando un vecto unitaio u con oigen en el cento de la iea, el vecto aceleación de la gavedad g tiene sentido opuesto y coo en el ejeplo anteio heos deducido su ódulo esulta: 6 g = 1,54.10 u Es un vecto que vaía popocionalente con la distancia al cento de la iea y que su sentido siepe va hacia el cento del planeta. En la fig.. se epesenta el vecto g en distintos puntos a lo lago del túnel, obseva que hasta el cento de la iea tiene un sentido, peo al oto lado del cento el sentido es el opuesto. Si se lanzaa un objeto, ganaía velocidad hasta el cento O y después disinuiía hasta alcanza la supeficie po el oto lado, con la isa velocidad de lanzaiento. 17
4 El péndulo siple aa la edida expeiental de la intensidad del capo gavitatoio se puede utiliza un péndulo. Vaos a descibi el llaado péndulo siple. Consiste en una asa de pequeñas diensiones, suspendida de un hilo inextensible de longitud y de asa despeciable fente a la anteio. Si se desplaza la asa de la posición de equilibio, fig..; auenta su enegía potencial y al dejala libe tiende espontáneaente a disinuila tansfoándola en cinética y de este odo se pone en oviiento. Coo la única fueza que efectúa tabajo sobe el péndulo es su peso, que es consevativo, su enegía ecánica se conseva y en consecuencia oscilaa una y ota vez tansfoando su enegía potencial en cinética, ésta en potencial y así sucesivaente. Un análisis dináico del péndulo cuando está en oscilación indica que las fuezas que actúan son la tensión de la cueda y su peso. En este estudio consideaos despeciable la esistencia del aie. O E θ Fig... Al sepaa el péndulo de la posición de equilibio, auenta su enegía potencial, a costa de la cual al dejalo libe puede oscila a uno y oto lado de la posición de equilibio OE,. Se descopone el peso en dos coponentes, fig.., una en la diección del hilo y ota en la diección pependicula sen θ ; tangente a la tayectoia. Después se aplica la ecuación de la dináica [1.9], obteniéndose que la esultante de las fuezas hacia O popocionan a la asa oscilante la fueza centípeta paa cabia la diección del vecto velocidad, ientas que la coponente tangencial sen θ popociona una aceleación tangencial a. cosθ = F C a = senθ = g senθ cosθ = a C a = g senθ a = g senθ Ahoa bien, en la fig.., obsevaos que sen θ tiene un sentido que es contaio al positivo de θ, (a la deecha de OE). aa tene en consideación esta cicunstancia, se debe escibi en la ecuación un signo enos delante. O E θ(+) senθ θ cosθ a aceleación tangencial es popocional al sen θ, sin ebago si se hace oscila al péndulo con pequeñas oscilaciones y θ se expesa en adianes, se puede hace la apoxiación: sen θ θ y esulta siplificada la expesión de la aceleación. Si adeás se pone θ en función de la longitud del aco x ; y de la longitud del hilo, fig..4, esulta: x g a = g θ = g = x a azón g/ es constante, peo la aceleación que sufe la asa es vaiable con la distancia x al punto de equilibio E. Se dice que efectúa un oviiento vibatoio aónico, véase la unidad 4. En este oviiento la 4π aceleación vale a = x ; siendo el peiodo de oscilación, o tiepo que eplea el péndulo en da una oscilación de ida y vuelta copletas. Igualando: g 4 π x = x; = π [.18] g aa pequeñas oscilaciones, el peiodo del péndulo solo depende de la longitud del hilo y de la intensidad del capo gavitatoio. Si se iden expeientalente y aplicando [.18] se pude despeja el valo de g. Fig... El péndulo oscila bajo las fuezas y. a coponente del peso sen θ actúa tangencialente a la tayectoia y popociona la aceleación tangencial a = - g sen θ. O E θ x = θ Fig..4. Relación aco-ángulo. 18
AÉNDICE Aceleación de caída de un cuepo en el capo gavitatoio teeste Consideando a la una en un punto de la óbita que descibe alededo de la iea, si estuviese libe ecoeía la línea ecta tangente a la tayectoia en, peo sin ebago debido a la atacción teeste sigue el aco N. Si en O se encuenta situado el cento de la iea alededo del cual gia, cuando alcanza el punto N, la una ha caído la distancia h, aunque su distancia al cento O no vaía. Está distancia es la que vaos a tata de calcula en la fig..5, siendo las distancias = QN = d; y OQ = h. Aplicando el teoea de itágoas al tiángulo OQN esulta: ( ) h + d = ; h + h + d = ; - h + h + d = 0 Siepe que el ángulo θ sea pequeño, sucede que h y el suando h se puede despecia fente a los deás, con lo que esulta h = d /. Adeás, la longitud de tayectoia ecoida po la una s, ente los puntos y N, no es uy distinta de la distancia d, así que sustituyendo d po s : g g R = h = s Q d h En la época de Newton ya se conocían el adio de la óbita luna edida con elación al cento de la iea, =,8.10 8 y el peiodo del satélite = 7, días =,4.10 6 s. Consideando que la óbita de la una es cicula esulta paa su velocidad: 8 longitud de la obita π π,8.10 v = = = 1000 6 peiodo,4.10 s s - h θ N Ahoa podeos peguntanos po la distancia ecoida po la una en un segundo de tiepo y esulta: s = v t = 1000 s 1s 1000. Newton pensaba que del iso odo que una anzana cae hacia la iea 1 en un segundo una distancia h = 9,8 s 1s = 4,9 ; la una debe cae una distancia: ( 1000 ) s,8.10 h = = = 1,.10 = 1, 8 O Fig..5 a una sigue la tayectoia N, con elación al cento de la iea O. a distancia O = ON =. Newton obsevó que la elación ente estas dos longitudes ea: h 1,.10 1 = h 4,9 700 y sabía adeás que la distancia desde la una al cento de la iea ; ea unas 60 veces el adio teeste: 60 R.a elación ente sus cuadados R R 1 = = 60 R 600 Que es un valo uy póxio al anteio. Coo el oviiento de caída de estos cuepos es unifoeente aceleado, esulta que h = ½ gt, y de aquí concluyó que la aceleación de caída que sufía cada uno, debeía se invesaente popocional al cuadado de su distancia al cento de la iea. g R = [.1] g 19
lanetas pincipales Notas: Una distancia de 1 unidad astonóica (UA) equivale a unos 150 illones de k. Un cículo tiene una excenticidad de 0,0 y una paábola 1,0. a inclinación de una óbita planetaia se ide con especto al plano de la óbita de la iea. a asa de la iea es de 5,98 x 10 4 kg, su adio edio es de 6.71 k y su capo agnético es de 0,1 gauss. a otación de Venus (*) es etógada; los peiodos de otación de Júpite ( ) y Satuno (**) vaían con la latitud, peo la otación del inteio se puede edi obsevando la adioeisión y se efleja aquí. 0