1.1 Definición de un vector en R², R³ y su Interpretación geométrica. 1.2 Introducción a los campos escalares y vectoriales. 1.3 La geometría de las operaciones vectoriales. 1.4 Operaciones con vectores y sus propiedades. 1.5 Descomposición vectorial en 3 dimensiones. 1.6 Ecuaciones de rectas y planos. 1.7 Aplicaciones físicas y geométricas. Primeramente debemos aclarar que unicamente los vectores se pueden visualizar graficamente en estos dos casos, cuando n=2 y n=3, pero en general los vectores se pueden denotar con la expresión Rⁿ donde la letra n denotara un numero natural, entonces consideremos el conjunto de todas las n-adas ordenadas de números reales, que denotaremos por Rⁿ (y leemos "erre ene"). Rⁿ = {(x 1, x 2,,, x n ) x 1, x 2,, x n R} Ejemplo 1 Un hecho de fundamental importancia en el conjunto Rⁿ es que podemos definir en él dos operaciones entre sus elementos, las cuales cumplen con ciertas propiedades que veremos a continuación. Este hecho hace que tal conjunto tenga una estructura algebraica llamada espacio vectorial y que, por tanto, nos podamos referir a él no sólo como el "conjunto Rⁿ ", sino como el "espacio Rⁿ". Las operaciones que definimos en Rⁿ son: 1. Suma de n-adas ordenadas. Si (x 1, x 2,,, x n ), (y 1, y 2,,, y n ) son dos elementos de Rⁿ, definimos su suma, denotada por (x 1, x 2,,, x n ) + (y 1, y 2,,, y n ) como (x 1, x 2,,, x n ) + (y 1, y 2,,, y n ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,, x n + y n ) Producto de una n-ada ordenada por un escalar. Si (x 1, x 2,,, x n ) es un elemento de Rⁿ, y c es un número real (en álgebra lineal se usa la palabra escalar para designar a un elemento de un campo, que en
nuestro caso es R; siguiendo esta nomenclatura, tambien nosotros llamaremos escalar a un número real). El producto de la n-ada (x 1, x 2,,, x n ) por el escalar c, denotada por c(x 1, x 2,,, x n ), se define como c(x 1, x 2,,, x n )= (cx 1, cx 2,,, cx n ) Obsérvese que, según estas definiciones, tanto la suma de n-adas como el producto de una de ellas por un escalar, son nuevamente n- adas del conjunto Rⁿ. Por ello se dice que estas operaciones son cerradas en Rⁿ. Ejemplo 2 (Estas operaciones cumplen con los axiomas de espacio vectorial) Definición 1 de vector. Definición 4 de vector Vectores geométricos: un vector o vector desplazamiento puede considerarse como una flecha que conecta dos puntos A y B en el espacio. La cola de la fecha se llama punto inicial, y la punta de la fecha se denomina punto final. Definición 2 de vector. Definición 3 de vector Notación y terminología: La distancia entre los puntos inicial y final de un vector AB se denomina longitud, magnitud o norma del vector y se denota mediante AB. El negativo de unvector AB, escrito AB, es un vector que tiene la misma magnitud que AB pero la dirección opuesta. Si k=0 es un escalar, el múltiplo escalar de un vector kab, es un vector que es k veces la longitud de AB. Si k >0, entonces kab tiene la misma dirección que el vector AB ; si k<0, entonces kab tiene la dirección opuesta a la de AB. Cuando k=0, afirmamos que 0AB = 0 es el vector cero.
Dos vectores son paralelos si y sólo si no son múltiplos escalares uno del otro. Sin embargo, como muestra la siguiente figura la misma diferencia vectorial también puede interpretarse como el tercer lado de un triángulo con los lados AB y AC. Interpretación Geometrica de Suma y resta: Es posible considerar a dos vectores con el mismo punto inicial común, tal como u= 2, 3 y v= 5, 1. Si estos vectores no paralelos AB y AC, son los lados de un paralelogramo, se dice que el vector que está en la diagonal principal, es la suma de u+v. Aritmetica de componentes: Sean a= a 1, a 2 y b= b 1, b 2 vectores en el espacio bidimensional. i) Adición: a + b = a 1 + b 1, a 2 + b 2 (1) ii) Multiplicación escalar: k a = ka 1, ka 2 (2) Igualdad: a=b si y sólo si a 1 = b 1, a 2 = b 2 (3) Suma de vectores Esta suma se escribe AD =AB +AC. En ciencia y en ingeniería, si dos vectores representan fuerzas, entonces su suma se denomina la fuerza resultante. La diferencia de dos vectores AB AC se define mediante AB AC =AB + ( AC ). Como se observa en la siguiente figura, la diferencia AB AC puede interpretarse como la diagonal principal del paralelogramo con lados AB y AC.
Introducción a los Campos Escalares y Vectoriales: El movimiento del viento o el flujo de fluidos pueden describirse mediante un campo de velocidades en el que es posible asignar un vector en cada punto representando la velocidad de una partícula en el punto. Esta figura muestra el flujo de aire alrededor de un ala de avión en donde V a > V b F(x, y, z)=p(x, y, z)i Q(x, y, z)j R(x, y, z)k (1) que asocia un único vector tridimensional F(x,y, z) con cada punto (x, y, z) en una región D del espacio tridimensional con el sistema de coordenadas xyz. La mejor manera de representar un campo vectorial es dibujar la flecha que representa al vector F(x, y) que inicie en el punto (x, y). Naturalmente, es imposible hacerlo para todos los puntos (x, y), pero puede conseguir una representación razonable de F trazando la flecha para algunos puntos representativos en D como en la siguiente imagen Otro ejemplo muy sencillo de observar es el de las corrientes oceánicas, pero en general, un campo vectorial es una función cuyo dominio es un conjunto de puntos en R² o bien en R³, y cuyo rango es un conjunto de vectores en V 2 o en V 3. Puesto que F(x, y) es un vector bidimensional, puede expresarlo en términos de sus funciones componentes P y Q como en (1) o bien, simplificando: F=Pi + Qj + Rk. Observe que P, Q y R son funciones escalares de tres variables y, algunas veces, se les llama campos escalares para distinguirlos de los campos vectoriales. Un campo Vectorial en F en R³ se representa en la anterior figura: En general, es difícil dibujar campos vectoriales a mano y por ello debemos confiar en la tecnología. Por ejemplo a continuación se muestra un Campo Vectorial en 3d Definición 1: Sea D un conjunto (una región plana) en R². Un campo vectorial sobre R² es una función F que asigna a cada punto (x, y) en D un vector bidimensional F(x,y). De manera similar, Sea E un subconjunto de R³. Un campo vectorial sobre R³ es una función F que asigna a cada punto (x, y, z) en E un vector tridimensional F(x, y, z). Definición 2: Un campo vectorial es el espacio bidimensional en una función de valores vectoriales. F(x, y)= P(x, y)i + Q(x, y)j que asocia un único vector bidimensional F(x, y) con cada punto (x, y) en una región R en el plano xy sobre el cual están definidas las funciones componentes escalares P y Q. De manera similar, un campo vectorial en el espacio tridimensional es una función. Campos vectoriales gradiente: La diferencia entre un campo vectorial y uno escalar, es que el campo escalar representa en una coordenada a un vector perteneciente al campo vectorial.
Un gradiente es: f:u Rⁿ R una función diferenciable definida en el conjunto U de Rⁿ. Se define el (vector gradiente) de la función f en el punto x 0 U, denotado por grad f(x 0 ) o f(x 0 ), como el vector de Rⁿ dado por (1) Grad f(x 0 ) = ( f (x x 0 ), f (x 1 x 0 ),, f (x 2 x 0 )) n f x = (xyz) = yz (x) x x = yz f y = (xyz) = xz (y) y y = xz f z = (xyz) z (2) f(x, y, z) = yzi + xzj + xyk = xy (z) z = xy Porque representar Campos Vectoriales? Porque nos permite describir, por ejemplo, campos de velocidades: piense en un líquido que fluya de un tubo. El gradiente es un vector que índica como varia el vector escalar en las proximidades de un punto Por lo tanto se deduce que, para que exista una máxima variación del campo, para un valor fijo dr, el coseno del ángulo formado por dr y el grad V, debe ser uno y el ángulo que forman dichos vectores, nulo. Definición de gradiente. El gradiente es un vector que tiene la dirección de la máxima variación del campo y va en el sentido de los valores crecientes de v. (ESTOS TEMAS SON DE LA UNIDAD IV)
Producto Cruz: Consideremos un paralelepípedo en el espacio determinado por tres vectores no coplanares u, v, w R³, como se ve en esta figura. El volumen del paralelepípedo es, i j k V = w (u v) = u 1 u 2 u 3 w v 1 v 2 v 3 Rectas en el espacio tridimensional: La clave para escribir la ecuación de una recta en el plano (R²) es la noción de la pendiente. La pendiente de una recta (o su ángulo de inclinación) proporciona un indicio de la dirección. Una recta en el plano se determina especificando ya sea un punto y una pendiente o cualesquiera dos puntos distintos. Básicamente lo mismo es cierto en el espacio tridimensional (R³). A continuación verá que los conceptos de vectores son una ayuda importante en la obtención de la ecuación de una recta en el espacio. Ecuación vectorial: Una recta en el espacio (R³) se determina especificando un punto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) y un vector distinto de cero v. A través del punto P 0 pasa sólo una recta L paralela al vector dado. Suponga que P(x, y, z) es cualquier punto sobre la recta. Si r = OP y r 0 = OP 0 son el vector posición de P y P 0, entonces debido a que r r 0 es paralelo al vector v existe un escalar t tal que r r 0 = tv. Esto proporciona una ecuación vectorial r = r 0 + tv de la recta. Al emplear componentes, r = x, y, z, r 0 = x 0, y 0, z 0 y v = a, b, c advertimos que la ecuación de la recta es igual a Ecuación vectorial x, y, z, = x 0 + at, y 0 + bt, z 0 + ct x = x 0 + at Ecuaciones paramétricas y = y 0 + bt z = z 0 + ct Línea que pasa por P 0 paralela a v Dos rectas L 1 y L 2 con vectores direccionales v 1 y v 1, respectivamente, son Perpendiculares si v 1 v 2 = 0 Paralelas si v 2 = kv 1, para algún escalar k distinto de cero Ecuaciones simétricas x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c Rectas perpendiculares y paralelas: La siguiente definición proporciona una manera de usar los vectores direccionales de dos rectas para determinar si las rectas son perpendiculares o paralelas
Ecuación del plano (este tema no existe para R², directamente pasamos a R³). Comencemos por la idea más simple: un plano Π en R³ queda completamente determinado si se conocen: Un punto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) por el que pasa Un vector normal (ortogonal), digamos n = a, b, c ax + by + cz + d = 0