Análisis político II Jorge M. Streb Clase 4 24 de agosto de 2016 Temas 1. Racionalidad: dominancia estricta y dominancia débil 2. Criterio de solución básico: equilibrio de Nash en estrategias puras 3. Equilibrio de Nash con estrategias mixtas Desarrollo 1. Racionalidad: dominancia estricta y dominancia débil Como criterio de solución, se puede usar la racionalidad de los jugadores. Sin embargo, a diferencia de los dos ejemplos que vamos a ver, no siempre dan una respuesta clara a cómo se va a jugar el juego. En las definiciones, nos apoyamos en Gibbons (1992). A. Dominancia estricta Def. dominancia estricta: una estrategia si Si está estrictamente dominada por la estrategia si Si si se cumple que ui (si, s-i ) < ui (si, s-i ) para todo s-i S-i. Ejemplo con el dilema del prisionero Esto lo podemos ilustrar con el dilema del prisionero que vimos. Cuadro 1. Dilema del prisionero no confesar confesar no confesar -1,-1-6, 0 confesar 0,-6-3,-3 1
La racionalidad individual lleva al equilibrio (confesar, confesar) donde ambos purgan 3 años de condena que va en contra del interés conjunto de los dos prisioneros dado que ambos estarían mejor guardando silencio con el resultado (no confesar, no confesar). B. Dominancia débil Def. dominancia débil: una estrategia si Si está débilmente dominada por la estrategia si Si si se cumple que ui (si, s-i ) ui (si, s-i ) para todo s-i S-i y además ui ( si, s-i) < ui (si, s-i ) para al menos un s-i S-i. Ejemplo con prisionero sin ley del arrepentido En el dilema del prisionero la ley del arrepentido cambia los pagos con respecto a un juego donde no hay una reducción de penas por cooperar con la justicia (ver Baird, Gertner y Picker 1994, capítulo 1, sobre cómo un cambio de las reglas de juego cambia el juego). Bajo ese régimen legal, los pagos son como sigue, donde el preso 1 es el jugador fila y el preso 2 es el jugador columna: Cuadro 2. Prisioneros sin ley del arrepentido no confesar Confesar no confesar -1,-1-6,-6 confesar -6,-6-6,-6 Sin reducción de penas, no confesar ya no es una estrategia estrictamente dominada. En cambio, confesar está débilmente dominada: es igual si el otro confiesa, pero es peor si el otro no confiesa (ver los pagos subrayados en el cuadro 2). Si uno supone que jugadores racionales no juegan estrategias débilmente dominadas, se puede eliminar la estrategia confesar. Sin embargo, en juegos más grandes donde este criterio de dominancia débil se aplica iterativamente, puede dar distintas respuestas según el orden de eliminación de las estrategias débilmente dominadas. La selección de equilibrios se puede lograr por otros medios: para Thomas Scheliing, (no confesar, no confesar) sería un punto focal y ambos pueden coordinar tácitamente en 2
ese equilibrio. O si pudieran musitar algo antes de que los lleven a las celdas separadas, uno le puede decir al otro que se va a quedar callado: si el otro le cree, terminan en el equilibrio optimista (para los prisioneros) de que ninguno confiesa. Después vamos a discutir el rol del lenguaje natural como mecanismo de coordinación. C. Otro ejemplo de dominancia estricta: mafiosos presos En el dilema del prisionero hay una ley del arrepentido detrás. La mafia, una organización paralegal, cambia eso con su código de omertà: si alguien denuncia a otro miembro de la familia, es castigado. Planteamos los pagos como sigue: Cuadro 3. Mafioso preso no confesar confesar no confesar -1,-1-6,-20 confesar -20,-6-20,-20 Esto hace cambiar los incentivos: la estrategia óptima es el silencio. 2. Criterio de solución básico: equilibrio de Nash en estrategias puras Este es el criterio básico para resolver juegos. A. Definición Def. equilibrio de Nash en estrategias puras: las estrategias puras (si *, s-i * ) son un equilibrio de Nash en estrategias puras si ui(si *,s-i * ) ui(si, s-i * ) para todo si Si y para cada jugador i. El equilibrio de Nash generaliza el criterio de optimización individual, requiriendo que las estrategias sean respuestas óptimas mutuas. Operativamente, para marcar las respuestas óptimas en la matriz de juego normal se pueden subrayar las respuestas óptimas de cada jugador a las estrategias del otro jugador, como se hizo en los cuadros anteriores. Esto 3
determina una función de reacción de cada jugador. Aquellos pares ordenados donde aparecen subrayados los pagos de ambos jugadores son un equilibrio de Nash ya que corresponden a respuestas óptimas mutuas. 3. Equilibrios de Nash con estrategias mixtas No siempre existen equilibrios de Nash en estrategias puras. En juegos con un número finito de estrategias puras, Nash (1950) demostró que siempre existe un equilibrio si se pueden usar estrategias mixtas. Vamos a ver varios ejemplos de equilibrios en estrategias mixtas, es decir, equilibrios donde las diferentes estrategias puras se juegan con una probabilidad que no es ni cero ni uno. Las estrategias puras están en el soporte de las estrategias mixtas. A. Definición de equilibrio de Nash permitiendo estrategias mixtas Consideramos la definición de equilibrio para el caso de un número finito de estrategias puras, como la de los ejemplos anteriores. Vamos a introducir vectores pi que están definidos sobre el conjunto finito de estrategias puras Si, donde cada componente representan la probabilidad de una determinada estrategia pura: Definición de estrategias mixtas: las estrategias mixtas son pi P(Si) definidas sobre las K estrategias puras si Si, donde se cumple que p i ( pi 1, pi2,..., pik ) 0, y p ik 1 para k 1 cada jugador i. Dado esto, se puede generalizar el equilibrio de Nash a estrategias mixtas: Definición de equilibro de Nash: Las estrategias mixtas (pi *, p-i * ) son un equilibrio de Nash si para cada jugador i se cumple que E[ui ( pi *,p-i * )] E[ui ( pi,p-i * )] para todo pi. Ahora pasamos a varios ejemplos. B. Juegos de coordinación Juegos de coordinación puros: sirven para discutir problemas comunicación. 4
Cuadro 4. Juego de coordinación puro izquierda derecha izquierda 1,1 0,0 derecha 0,0 1,1 Hay dos equilibrios en estrategias puras (izquierda, izquierda) y (derecha, derecha), que se pueden escribir en estrategias mixtas como (p, q) = (0, 0) y (p, q) = (1, 1), donde p y q se refieren a probabilidades de la estrategia izquierda de los jugadores 1 y 2. Además hay un equilibrio de Nash en estrategias mixtas, (p, q) = (½, ½). El equilibrio en estrategias mixtas se puede interpretar como una falla de coordinación. Consideremos otro juego donde los equilibrios en estrategias puras no son indiferentes: Cuadro 5. Juego de coordinación con equilibrio Pareto dominante izquierda Derecha izquierda 100,100 0,0 derecha 0,0 1,1 Si bien hay dos equilibrios de coordinación, el equilibrio (derecha, derecha) podría describir una trampa de pobreza, ya que depende de expectativas muy pesimistas, mientras que el otro es el óptimo de Pareto. Acá hay además un equilibrio en estrategias mixtas con (p, q) = (1/101,1/101), pero no parece muy razonable que las expectativas sean tan pesimistas (lo mismo que derecha, derecha). Incluso jugadores acotadamente racionales sólo terminarían en este mal equilibrio con probabilidad 1/101 (esto se ve en teoría de juegos evolutiva como estrategias evolutivamente estables ). Después lo vamos a volver a discutir al hablar de selección de equilibrios. C. Batalla de los sexos 5
Es una versión algo remozada de la tradicional batalla de los sexos, donde ambos jugadores prefieren estar juntos antes que separados, pero difieren en su ordenamiento de la actividad preferida. Cuadro 6. Batalla de los sexos shopping fútbol shopping 2,1 0,0 fútbol 0,0 1,2 Hay dos equilibrios en estrategias puras: (shopping, shopping), (fútbol, fútbol), ya que son respuestas óptimas mutuas. Cuando generalizamos el espacio de estrategias a las estrategias mixtas, p es la probabilidad de que el jugador 1 juegue shopping y 1-p la probabilidad de que juegue fútbol; q la probabilidad de que jugador 2 elija shopping, y 1-q la probabilidad de que elija fútbol. El equilibrio en estrategias puras (shopping, shopping) se puede expresar en términos de estrategias mixtas como (p,q)=(1,1). El equilibrio (futbol, futbol) es en cambio (p,q)=(0,0). Si uno analiza al equilibrio en estrategias mixtas, resulta que para el jugador 1, su utilidad esperada de jugar shopping, que es la esperanza de la utilidad de los resultados, está dada por E[ shopping, q)] qu1 ( shopping, shopping ) (1 q) shopping, fútbol) 2q (1) En tanto, su utilidad esperada de jugar fútbol está dada por E[ fútbol, q)] qu1 ( fútbol, shopping ) (1 q) fútbol, fútbol) 1(1 q) (2) ser: Su utilidad esperada de jugar con probabilidad p shopping y probabilidad 1-p fútbol va a E[ u( p, q)] pe[ shopping, q)] (1 p) E[ fútbol, q)] p2q (1 p)(1 q) (3) 6
Si la utilidad esperada de (1) es mayor, juega shopping, si la de (2), juega fútbol. El jugador 1 sólo va a estar indiferente entre ambas estrategias para q=1/3, caso contrario juega una estrategia pura. Haciendo lo mismo para el otro jugador, el equilibrio en estrategias mixtas está dado por (p,q)=(2/3,1/3). De todos modos, si lo que se modela es una pareja, a menos que no pueda comunicarse uno no esperaría que terminaran en un equilibrio con estrategias mixtas: una alternativa, por ejemplo, es que tiraran una moneda, para ver si hacen una actividad o la otra. Es lo que Aumann llama estrategias correlacionadas. Referencias Baird, Douglas, Robert H. Gertner y Randall C. Picker, Game theory and the law, Cambridge: Harvard University Press, 1994. Gibbons, Robert, Game theory for applied economists, Princeton, NJ: Princeton University Press, 1992 (traducida al castellano en 1992 como Un primer curso de teoría de juegos, Barcelona: Bosch). 7