1 Monomios Un monomio es una expresión algebraica formada por: - una parte numérica, llamada coeficiente, y - una parte literal, formada por letras y sus exponentes. Coeficiente Parte literal Coeficiente Parte literal x 6 am El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las letras que lo forman: x: grado 1 6am : grado Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal: 6a b y -a b son semejantes x y y xy no son semejantes 1 Indica la parte literal y los coeficientes de los siguientes monomios: a) -a bx Parte literal: c) x z Parte literal: Coeficiente: Coeficiente: b) 7xyz Parte literal: d) xm Parte literal: Coeficiente: Coeficiente: Indica el grado de los siguientes monomios: a) - xy z c) - 7 xy z 8 e) a bc b) a bc d) xyz f) xy z Calcula el valor de m en los siguientes casos, para que cada par de monomios tengan el mismo grado: a) -x m yz 6a bc m = d) xy z -x m y m = b) 6rs t x m yz m = e) abc r m b c m = c) a m c xz m = f) x yz rs m m = Une con flechas los monomios semejantes de las dos filas: -xyz a bc -6r st xy z 7a m n 6xy xyz 6m na -bz a -6rst Calcula el valor de m, en los siguientes casos, para que cada par de monomios sean semejantes. a) -xyz 6xy m z m = d) 6x yz m 8x yz m = b) 6xz 7x m z m = e) -r st m r st m = c) -a bc -7a bc m m = f) x zy x yz m m =
Operaciones con monomios - Suma de monomios semejantes: x + x = x - Resta de monomios semejantes: 6x - x = x - Producto de monomios: x x = 10x - Cociente de monomios: 6x : x = x - Potencia de un monomio: (x ) = x = x 6 6 Efectúa las siguientes sumas de monomios: a) x + 6x + x = d) 6z y + yz + 1 yz = b) 7x + x + 1 x = e) z y + 1 z y + z y = c) 6xy + xy + xy = f) 7 ab + ab + 9 b a = 7 Efectúa las siguientes restas de monomios: a) x - 9 6 x = c) xy - xy = e) 7ba - a b = b) x 7 8x 7 = d) 6ab - ab = f) 7 xy - y x = 8 Efectúa los siguientes productos de monomios: 6 7 a) x x = c) xy x y = e) ab ab (-)ab = 7 b) x x 1 = d) 10x y (-6x y) yx = f) -x 1 x 9 Efectúa los siguientes cocientes de monomios: a) 0x : x = c) -1x 6 : x 7 = e) x 6 : 10x = b) 6x : 6x = d) 7x : x = f) 1x : 6x = 10 El cociente de dos monomios a(x):x es igual a -x. Cuánto vale el monomio a(x)? 11 El cociente de dos monomios 6x b(x) es igual a x. Cuánto vale b(x)? 1 Efectúa las siguientes potencias de monomios: a) (-x ) = c) b) 1 x = e) (-ab) = x = d) (6xy) = f) ab = = Polinomios
Un polinomio es una expresión algebraica formada por: - la suma o diferencia de dos o más monomios no semejantes, o - la suma o diferencia de un número y uno o más monomios. Ejemplos: x + x - 1, x y - xy + 1 El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman. Ejemplos: x + x - 1: polinomio de grado x y - xy + 1: polinomio de grado 1 Indica el grado de cada uno de estos polinomios: a) x - x + x - e) 6x - xy + y b) 8x - x + x + x 6 f) xy - x + 7x c) 8xy - 7xyz + 7x y + g) x 6-7x 7 + 6x + 1 d) x 6-7xy + 6xy - h) x - x + x - 1 Halla el valor numérico del polinomio p(x) = x - x + x - 1 para x = 1, x =, x = -1, x = - y x = 0. p(1) = p() = p(-1) = p(-) = p(0) = 1 Halla el valor numérico del polinomio q(x) = x x + x - x + para x = 1, x =, x = 0, x = -1 y x = -. q(1) = q() = q(0) = q(-1) = q(-) = 16 Halla el polinomio de primer grado tal que su valor numérico para x = 1 es -, y para x = 0 es. 17 Halla el polinomio de segundo grado tal que el coeficiente del término de mayor grado es 1 y su valor numérico para x = 1 es y para x = 0 es 6. 18 Calcula el valor de a para que los polinomios p(x) = x - y q(x) = x + a sean iguales. 19 Calcula el valor de a para que los polinomios p(x) = x + 9x - y q(x) = x + a x sean iguales.
Suma y resta de polinomios - Para sumar dos polinomios se suman los monomios semejantes: (x - x + ) + (x + x + x) = x + x - x + - Para restar dos polinomios se suma al polinomio minuendo el opuesto del polinomio sustraendo: (6x + x - x + 1) - (x - x + x + 1) = (6x + x - x + 1) + (-x + x - x - 1) = x + x - x 0 Siendo p(x) = x - x + x, q(x) = x + x - x - y r(x) = x - 7x + 6, calcula: a) p(x) - q(x) + r(x) = c) p(x) - [q(x) + r(x)] = b) p(x) + q(x) - r(x) = d) r(x) - [p(x) - q(x)] = 1 Dados los polinomios a(x) = -x - x + 1, b(x) = x - 6x +, c(x) = x x - x + 6 y d(x) = -x + 6x +, calcula: a) [a(x) + b(x)] - [c(x) + d(x)] = c) [c(x) - d(x)] - [a(x) - b(x)] = b) [a(x) + d(x)] - [b(x) + c(x)] = d) [d(x) - b(x)] + [a(x) - c(x)] = Siendo p(y) = y - y + y -, q(y) = -y + y - y + y r(y) = y + y - 6y +, calcula: a) p(y) + q(y) + r(y) = d) p(y) [q(y) - r(y)] = b) p(y) + [q(y) - r(y)] = e) q(y) - r(y) - p(y) = c) p(y) - q(y) + r(y) = f) q(y) [r(y) + p(y)] = Dados p(t) = t - t +, q(t) = t - t + t - 6, r(t) = t t + 8 y s(t) = t - t + t - 1, calcula: a) [p(t) + q(t)] [r(t) + s(t)] = c) q(t) - p(t) + r(t) - s(t) = b) p(t) - [q(t) - r(t)] - s(t) = d) q(t) + [p(t) - r(t)] - s(t) = Dados p(x) = x - x +, q(x) = x - x + y r(x) = x - x + 1, calcula: a) p(x) - q(x) - r(x) = c) q(x) - [r(x) + p(x)] = b) q(x) - [p(x) - r(x)] = d) r(x) - [q(x) - p(x)] = Qué polinomio hay que sumar al polinomio x - x + x - 1 para que su suma sea x - x + x - 1? 6 Qué polinomio hay que restar al polinomio p(x) = x - 6x + 1 para obtener x - x + 6x - 1?
7 Qué polinomio hay que restar al polinomio p(x) = x x + x para obtener el polinomio x x + x x + 1? 8 Dados los polinomios p(x) = mx - x - y q(x) = -x - x + 7, calcula m sabiendo que p(x) + q(x) = -x - 10x +. 9 Dados los polinomios p(x) = x - nx + y q(x) = x + x - 1, calcula n sabiendo que p(x) - q(x) = -x - x +. 0 Dados los polinomios p(x) = x - x + x - 1, q(x) = mx - x + 1 y r(x) = x - x +, calcula m sabiendo que p(x) + q(x) - r(x) = x - 6x + x -. 1 Dado el polinomio: p(x) = x - x + 6x - halla otro polinomio q(x) tal que: p(x) + q(x) = x - x + 6x - 1 Dado el polinomio: p(x) = x - x + x - 1 halla otro polinomio q(x) tal que: p(x) - q(x) = x x + x - x + 1 La diferencia de dos polinomios es: p(x) - q(x) = x - x - 7x +. Calcula q(x) sabiendo que p(x) = x + x + x - 1. Qué polinomio hay que sumar al polinomio p(x) = x - x + x para obtener el opuesto del polinomio q(x) = x - x + x -? Qué polinomio hay que restar al polinomio p(x) = x - 1 x + x - para obtener el opuesto del polinomio q(x) = x - x + x - 7?
6 Producto de polinomios - Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica dicho monomio por cada uno de los monomios del polinomio: (x + x - x + 1) x = 6x + 9x - 6x + x - Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por el otro polinomio y se suman los polinomios resultantes: (x - x + 1) (x - ) = (x - 6x + ) + (x - 6x + x ) = = x x + x - 6x + 6 Halla los siguientes productos: a) (x ) (x - x + x - 1) = d) (x - x + x - 1) (-x) = b) (-x ) (x - x + x - 1) = e) (-x + x - x + 1) (x) = c) (x - x + x - 1) (x) = f) (-x + x - x + 1) (-x) = 7 Observa los siguientes productos y completa los términos que faltan: a) ( + x - - x + ) (x) = 6x + - 6x - + x b) (x - + x + - ) (-x) = + 8x - - x + c) (x + x - + x - ) (-x ) = - 8x 7 + + x - + 8x 8 Completa la siguiente tabla: Grado p(x) Grado q(x) Grado p(x) q(x) 1 1 1 6 9 Halla el producto p(x) q(x) para cada uno de los siguientes casos: a) p(x) = x + x - e) p(x) = x - x + 1 x - q(x) = x q(x) = x - 7 x + x - 7 x p(x) q(x) = p(x) q(x) = b) p(x) = x - x + 1 f) p(x) = -x + x + x - q(x) = x 1 q(x) = -x - x + p(x) q(x) = p(x) q(x) = c) p(x) = x - x + g) p(x) = x - x + 7 q(x) = -x + q(x) = x + x + 1 p(x) q(x) = p(x) q(x) = d) p(x) = x - x + x + 1 h) p(x) = 6x + x - x + q(x) = x + 1 q(x) = x + x - 1 p(x) q(x) = p(x) q(x) =
7 0 Dados los polinomios: calcula: p(x) = x + 6x - q(x) = x - x + r(x) = x - 6x - 1. a) [p(x) + q(x)] r(x) = b) p(x) r(x) + q(x) r(x) = c) [p(x)] + [q(x)], sabiendo que [p(x)] = p(x) p(x) y [q(x)] = q(x) q(x). [p(x)] + [q(x)] = d) Cómo son los resultados de los apartados a y b? 1 Completa la siguiente tabla: Grado p(x) Grado q(x) Grado p(x) q(x) Grado [p(x)] Grado [q(x)] 6 8 8 6 Dados los polinomios: p(x) = x - x + 1 q(x) = x + 1 r(x) = x - x calcula: a) p(x) q(x) - r(x) = b) p(x) r(x) - q(x) = c) [p(x)] q(x) = d) [q(x)] r(x) = e) [p(x)] - [q(x)] = f) [q(x)] - [r(x)] =
8 Productos y potencias notables - Cuadrado de una suma: (x + a) = x + ax + a - Cuadrado de una diferencia: (x - a) = x - ax + a - Suma por diferencia: (x + a) (x - a) = x - a Calcula los siguientes cuadrados de sumas y diferencias: a) (x + y) = d) (x + ) = g) (a + b ) = b) (x - ) = e) ( x + ) = h) (-a + x) = c) (ax - ) = f) ( x - 1) = i) ( x + y ) = Completa los términos que faltan en las siguientes expresiones: a) (a + b ) = a + + b c) (y + xz) = + 1xyz + b) (x - y) = x - 6xy + d) (x - y z) = x 6 - + Calcula los siguientes productos: a) (x + y) (x - y) = f) ( 1 x + 1) ( 1 x 1) = b) (x + ) (x - ) = g) (a + b ) (a - b ) = c) (x + ) (x - ) = h) (-a + x) (a + x) = d) (ax + ) (ax - ) = i) ( x + y ) ( x - y ) = e) ( x + ) ( x - ) =
9 Descomposición factorial - Factorizar sacando factor común: x 0x + x = x (x - 6x + 1) x es el factor común - Factorizar aplicando el cuadrado de una suma o de una diferencia: x + x + = (x + ) 16x + x + 9 = (x + ) - Factorizar aplicando suma por diferencia: (x - 9) = (x + ) (x - ) 7 Descompón en producto de factores, sacando el factor común de las siguientes expresiones algebraicas: a) x - x + x = f) x y - 8x y + x y = b) x - x + x = g) x y + 9x y - xy + y = c) x y - 9xy + 7x y = h) 6xy + x y - xy = d) y x - 1yx + y x = i) 16x y + xy - 8x y = 1 e) 6x y - 9x y 6 + 7xy = j) xz 1 1 + x z - x z = 6 10 8 Descompón en producto de factores, en forma de cuadrado de una suma o en forma de cuadrado de una diferencia: a) x - x + = e) x - 6x + 9 = b) x + 6x + 9 = f) x - 0x + 100 = c) x - x + 1 = g) x 6-1x + 9 = d) x + 10x + = h) x 8 - ax + a = 9 Descompón los siguientes binomios en producto de factores: a) 6x 9/ = f) 6a b - 81b = b) x - x = g) x - 81 = c) x a - x 6 a = h) x 6-1 = d) 81 x 6 - x = i) 16x - 9 = e) x - 16 = j) x - x 6 = 0 Completa los términos que faltan de las siguientes expresiones algebraicas: a) x - + 16 = (x - ) c) 16x - + 9 = ( - ) b) x + + 1 = (x + ) d) x + 81x - 9x = (x + - )