ÁLGEBRA (Selectividad 015) 1 ALGUNOS PROBLEMAS DE ÁLGEBRA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 015 1 Aragón, junio 15 1 (3 puntos) a) (1,5 puntos) Considera la matriz y los vectores siguientes: x y z a 1 M = y z x, A= b, B = 0 z x y c 1 donde x, y y z son números reales 1 Determina x, y y z para que el vector A = sea solución del sistema MA = B 3 b) (1,5 puntos) Sean ahora la matriz y vectores siguientes: a b c x 1 N = b c a, X = y, B = 0 c a b z 1 donde a, b y c son números reales que verifican que a 0, a + b = 0, c = a Determine si el sistema NX = B es compatible determinado a) Para los vectores dados: x y z 1 1 x+ y+ 3z x+ y+ 3z MA = B y z x = 0 y + z + 3x = 0 z x y3 1 3x+ y+ z = 0 z + x + 3y x+ 3y+ z Sistema que puede resolverse aplicando Gauss: x+ y+ 3z x+ y+ 3z x+ y+ 3z 3x+ y+ z = 0 E 3E1 5y 7z = 3 E 5E3 18z = x+ 3y+ z E3 E1 y 5z = 1 y 5z = 1 x+ y+ 3z x+ y+ 3z x+ 8/9+ 3/9 x= /9 z /9 z /9 y 5z 1 = y 5/9= 1 y = 4/9 b) Si a 0, a + b = 0 b = a, c = a, con la matriz y los vectores dados se tiene: a b c x 1 a a a x 1 NX = B b c a y = 0 a a a y = 0 c a b z 1 a a a z 1 1 1 1 x 1 a 1 1 1 y = 0 1 1 1 z 1
ÁLGEBRA (Selectividad 015) 1 1 1 El sistema será compatible determinado si la matriz 1 1 1 tiene inversa Par ello es 1 1 1 necesario que su determinante sea distinto de 0 1 1 1 Como 1 1 1 = = 4, es sistema será compatible determinado 1 1 1 Asturias, junio 15 a b c Dados los números reales a, b, c, x, se considera la matriz A= a x c a b x a) Halla los valores de x para los cuales el determinante de A es nulo para cualesquiera valores de a, b, c (0,75 puntos) b) Si x y b = c =, halla los valores de a para los cuales A tiene inversa (0,75 puntos) c) Halla, si es posible, la inversa de A cuando x = 0 y b = c = a =1 (1 punto) a) Aplicando las propiedades de los determinantes se tiene: a b c a b c A = a x c = F F10 x b 0 = a ( x b) ( x c) a b x F3 F10 0 x c ( ) ( ) A= 0 a x b x c = 0 a= 0; x= bx ; = c Luego, los valores de x para los cuales el determinante de A es nulo para cualesquiera valores de a, b, c, son: x = b o x = c (En el supuesto de a = 0, x podría tomar cualquier valor) A = a = a Por tanto, si x y b = c =, la matriz A tendrá inversa siempre que a 0 b) Si x y b = c = 1 ( 1 ) ( ) 1 1 1 c) Cuando x = 0 y b = c = a =1, la matriz es: A 0 1 1 1 0 La matriz inversa será: 1 1 1 1 1 t A = ( A ij ) 1 0 A 1 0 1 ; el valor de A ( 1 ) ( 1)
ÁLGEBRA (Selectividad 015) 3 3 Baleares, junio 15 a) El sistema será compatible cuando el rango de la matriz de coeficientes, A, sea igual al rango de la matriz ampliada, M a 1 1 a 1 1 1 1 A= = M 3 1 1 1 6 1 1 3a Haciendo el determinante de M se tiene: M a 1 1 a a 1 1 a 1 1 a a 1 a 1 1 1 1 1 1 1 1 = = = 1 1 1 1 1 1 = 3 1 1 1 F3 F 0 0 0 0 3a 1 5 0 3a 1 6 1 1 3a F4 F 5 0 0 3a 1 ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 4 3a 1 a 3a+ 1 3a 1 5 + 5a = 4 a Por tanto: Si a, el rango de M es 4 El sistema será incompatible, pues r(a) 3 siempre Si a =, las matrices quedan: 1 1 4 1 1 4 1 1 1 1 F+ F1 3 0 5 A= = M A= = M 3 1 1 1 F3+ F1 5 0 0 5 6 1 1 6 F4 F1 8 0 1 + 0 1 1 Puede observarse que F4 = F + F3, y como 3 0 0 0 r(a) = r(m) = 3 5 0 0 Luego, si a = el sistema será compatible determinado, pues el rango es igual al número de incógnitas b) Si a =, el sistema inicial es equivalente a: x+ y+ z = 4 y 3x+ z = 5 z 5x 5 = x= 1
ÁLGEBRA (Selectividad 015) 4 4 Cantabria, junio 15 1 3 1 Considera la matriz A = 4 6 3 6 7 4 x a) Calcula los vectores v = y tales que Av = v z b) Calcula la matriz inversa de A a) Av = v Av v = 0 A I v = 0 ( ) Esto es: 1 3 1 1 0 0 x 0 3 1 x 0 4 6 3 0 1 0 y = 0 4 5 3 y = 0 6 7 4 0 0 1z 0 6 7 5 z 0 x+ 3y+ z = 0 Se trata del sistema homogéneo: 4x + 5y + 3z = 0 6x 7y 5z = 0 Se transforma por Gauss como sigue: x+ 3y+ z = 0 x+ 3y+ z = 0 x= t z+ 3y+ z = 0 4x + 5y + 3z = 0 E E1 0 y+ z = y = t 6x 7y 5z = y = z 0 E3+ 3E1 y z 0 = z = t Luego, los vectores que cumplen la condición pedida son: v = t 1 1 b) 1 1 3 8 A = Adj ( A) t A A = 1 ( 3) 3 ( ) + 1 ( 8) ; AdjA = 5 11 3 1 6 Por tanto: 3 5 3 1 A = 1 8 11 6 5 Cantabria, septiembre 15 Considere el siguiente sistema de ecuaciones dependiendo del parámetro a ax + ay + az = a + 1 x + ( a + 1) y + ( a) z = a a) (1,75 puntos) Calcule los valores de a para que el sistema tenga solución b) (1,5 puntos) Calcule todas las soluciones cuando a y cuando a = 1
ÁLGEBRA (Selectividad 015) 5 a) El sistema será compatible cuando el rango de la matriz de coeficientes, A, sea igual al rango de la matriz ampliada, M a a a a+ 1 A= = M 1 a+ 1 a a a a Para determinar el rango de A pueden elegirse los menores A1 = = a a y 1 a + 1 a a A = = a + a 1 a Ambos se anulan cuando a = 0 o a En esos dos casos el rango de A es 1; en caso contrario, el rango valdrá Por tanto: Si a 0 y, el rango de A es ; y lo mismo sucede con el rango de M El sistema será compatible indeterminado, con un grado de indeterminación 0 0 0 1 Si a = 0, las matrices quedan: A= = M 1 1 0 Resulta evidente que: r(a) y r(m) = En este caso, el sistema será incompatible 1 1 Si a, las matrices quedan: A= = M 1 1 Resulta evidente que: r(a) y r(m) En este caso, el sistema será compatible con dos grados de indeterminación b) Para a, el sistema queda: { x+ y+ z = Su solución puede escribirse también en la forma x= y z y = y, o bien: z = z x= h t y = h (Es un plano de soluciones) z = t Para a = 1, el sistema queda: x y z = 0 x+ 3z = E1+ E y+ z = y + z (Si z = t) x+ 3z = x= 3z x= 3t y + t z = t 6 Cantabria, septiembre 15 El precio de 1 kilo de manzanas, de peras y una docena de huevos es de 5 euros El precio de kilos de manzanas, 4 kilos de peras y tres docenas de huevos es de 1 euros El precio de 5 docenas de huevos y kilos de peras es de 11 euros y 50 céntimos a) [ PUNTOS] Calcule el precio del kilo de peras, el kilo de manzanas y la docena de huevos b) [1,5 PUNTOS] Pedro ha comprado dos kilos de manzanas y tres kilos de peras Carmen ha comprado un kilo de manzanas, una docena de huevos y dos kilos de peras Quién ha gastado más dinero? a) Si m, p y h son los precios de un kilo de manzanas, un kilo de peras y de una docena de huevos, respectivamente, se tiene el siguiente sistema:
ÁLGEBRA (Selectividad 015) 6 m+ p+ h= 5 m+ 4 p+ 3h= 1 p+ 5h= 11,50 Aplicando transformaciones de Gauss: m+ p+ h= 5 m+ p+ h= 5 m+ 4 p+ 3h= 1 E E1 h= (Sustituyendo) p+ 5h= 11,50 p+ 5h= 11,50 5 1, 50 5 1, 50 m+ p+ h= m+ + = m= h = p + 10 1,50 p = 0,75 b) Pedro gasta 1,50 + 3 0,75 = 5,5 Carmen gasta 1,50 + + 0,75 = 5 7 Castilla La Mancha, junio 15 a) Despeja X en la ecuación matricial orden 3 (1 punto) 0 0 0 b) Calcula X, siendo A 0 0 1 0 a) XA B X XA + B= X, donde A, B y X son matrices cuadradas de 0 3 y B = 1 4 0 (1,5 puntos) 1 1 + = ( ) ( ) 1 Esta solución supone que existe ( A I) 1, lo que exige que A I 0 X A X = B X A X I = B X A I = B X = B A I Si la condición anterior no se cumpliera, el valor de la matriz X habría que determinarlo planteando un sistema de ecuaciones 0 0 0 1 0 0 1 0 0 b) Para las matrices dadas: ( A I) 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 Como A I = 1, la matriz tiene inversa La inversa es: ( ) 1 1 ( ( ) ) 1 0 0 1 0 0 A I = A I t 1 1 0 1 1 0 ij A I ( 1) = 3 1 1 3 1 1 Por tanto: X = B ( A I) 1 0 3 1 0 0 3 1 3 1 X = 1 4 0 1 1 0 = 3 4 0 = 3 4 0 1 1 3 1 1 6 3 1 6 3 1
ÁLGEBRA (Selectividad 015) 7 8 Castilla La Mancha, junio 15 He pensado un número de tres cifras tal que la cifra de las decenas es la media aritmética de las otras dos Además, si a dicho número se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, la diferencia es 198 Por último, las tres cifras de mi número suman 1 a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que recoja la información anterior y clasifícalo Para ello, puede serte útil observar que el número cuya cifra de las centenas es x, la de las decenas y, y la de las unidades z, puede expresarse como 100x + 10y + z (1,5 puntos) b) Determina, si el problema tiene solución, el número de tres cifras que he pensado (1 punto) Si el número buscad se escribe como xyz y se entiende que invertir el orden de sus cifras es escribirlo como zyx, entonces los datos se pueden expresar como sigue: x+ z y = ; " xyz " " zyx" 98 ; x+ y+ z x+ y+ z x+ y+ z Esto genera el sistema: x y+ z = 0 x y+ z = 0 100x 10y z ( 100z 10y x) 198 + + + + = 99x 99z 98 Por Gauss: x+ y+ z x+ y+ z E1 E + E3 x= 5 E E1 3y = 1 y = 4 y = 4 99x 99z 198 x z = = x z = z = 3 El número buscado es 543 9 Castilla La Mancha, septiembre 15 a) Despeja X en la ecuación matricial AX A= A, donde A y X son matrices cuadradas de orden 3 (1 punto) 1 0 b) Calcula X, siendo A 1 0 (1 punto) 0 0 1 c) Calcula los determinantes de las matrices A 101 y A 1000 (0,5 puntos) a) AX A= A A ( X I) = A (Si A tiene inversa) X I = A X = A+ I 1 0 b) La matriz A 1 0 tiene inversa, pues A = 1 0 0 0 1 La adjunta de A es: 1 1 0 1 0 1 0 1 1 t ( A ij ) = 0 1 0 A = ( A ij ) = 1 1 1 1 0 A = 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 3 0 4 Por tanto: X = A+ I = 1 1 + 0 1 0 = 3 4 0 0 1 0 0 1 0 0 1
ÁLGEBRA (Selectividad 015) 8 c) Como A = 1 y n A n 101 101 101 = A A A ( ) 1000 1000 1000 = = 1 = 1 y A = A = ( 1) 10 Castilla y León, junio 15 m + 0 0 Dada la matriz A= 3 m+ 1 1, se pide: 1 0 m 1 10 a) Halla los valores de m para que la matriz A tenga inversa b) Para m = 0, calcula, si es posible, la matriz inversa de A a) La matriz 10 A tendrá inversa cuando m + 0 0 Como A = 3 m+ 1 1 = ( m+ )( m+ 1)( m 1) 1 0 m 1 Luego la matriz tendrá inversa siempre que m, 1 y 1 10 A 0 Esto es, cuando A 0, pues 10 A A 0 si m ; 1;1 10 = A 0 0 b) Para m = 0, la matriz es A = 3 1 1, siendo A = 1 0 1 1 0 0 La matriz de los adjuntos es: ( A ij ) = 1 0 La inversa: 1 1 1 0 0 1/ 0 0 t A 1 = ( A ij ) = 1 1 1 A ( ) = 1 0 1/ 0 1 11 Castilla y León, junio 15 x + my = 1 Dado el sistema de ecuaciones lineales, se pide: (1 mx ) y = m a) Discutir el sistema según los valores del parámetro m (1,5 puntos) b) Resolver el sistema en los casos en que la solución no sea única (0,75 puntos) c) Calcular los valores de m para que x = 3, y = sea solución (0,5 puntos) a) Voy a aplicar el método de reducción (Gauss) x + my = 1 x + my = 1 (1 mx ) y = m me m(1 m) x my = m x + my = 1 x + my = 1 E + E1 m(1 mx ) + x= m 1 ( m + m + 1) x = m 1 La segunda ecuación: ( m m 1 ) x m 1 ( m 1 )( m 1/ ) x ( m 1 )( m 1 ) + + = + = +
ÁLGEBRA (Selectividad 015) 9 ( m+ 1)( m 1) ( m )( m ) x = 1 + 1/ Si se observa la solución obtenida se concluye: Si m 1 y m 1/ no hay ninguna dificultad para calcular x: el sistema será compatible determinado Si m, el valor de x queda indeterminado: la segunda ecuación quedaría 0x = 0, que es cierto para cualquier valor de x Si m = 1/, el valor de x no tiene sentido: la segunda ecuación quedaría 0x = 3/4, que es absurdo Observación: Aplicando Rouché se llega a lo mismo 1 m 1 Las matrices de coeficientes y ampliada son: A= = M 1 m 1 m 1 m A m m ( m 1)( m 1/) 1 m 1 = + = + Por tanto: Si m 1 y m 1/ r(a) = = r(m): el sistema será compatible determinado Si m, las matrices quedan: 1 1 1 A= = M r(a) = r(m): el sistema es compatible indeterminado 1 1 1 1 1/ 1 Si m = 1/, A= = M r(a), r(m) = : es sistema es 1 1/ incompatible b) La solución no es única cuando m En este caso, el sistema queda: x+ y = 1 x= t x y y = 1 t c) Si los valores x = 3, y = son solución del sistema, entonces: 3+ m= 1 m= m (1 m)3 = m 6m 5 = m Luego, x = 3, y = es una de las infinitas soluciones el sistema, ya que cuando m el sistema es compatible indeterminado 1 Castilla y León, septiembre 15 x+ y+ 3z = 4 Consideremos el sistema ( a+ 3) y = 0 ( a+ ) z a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a b) Resolverlo cuando sea posible a) El sistema puede discutirse despejando en la segunda y tercera ecuación
ÁLGEBRA (Selectividad 015) 10 x+ y+ 3z = 4 x+ y+ 3z = 4 0 ( a+ 3) y = 0 y = a 3 ( a+ ) z + 1 z = a + En la segunda ecuación se observa que y = 0 siempre que a 3 En la tercera ecuación se observa que z no está definida cuando a = Por tanto: Si a = el sistema no tiene solución: es incompatible Si a = 3, la incógnita y queda indeterminada: y = t El valor de z será, z = 1; mientras que de x+ t 3= 4 x= 7 t El sistema resulta compatible indeterminado Para cualquier otro valor, a y 3, el sistema será compatible determinado b) Por lo dicho más arriba, el sistema es compatible cuando a x= 7 t En el caso particular de a = 3, la solución es la dada: y = t z = 1 Para cualquier otro valor, a y 3, sustituyendo en la primera ecuación, x+ y+ 3z = 4, 0 1 los valores y = = 0, z = a+ 3 a+, se tendrá: 3 4a + 5 x+ = 4 x= a+ a+ Observación: Es obvio que la discusión puede hacerse aplicando el teorema de Rouché El lector podría intentarlo 13 Castilla y León, septiembre 15 a( a 4) a 4 Consideremos la matriz M = a 4 a( a 4) a) Calcular el rango de M en función del parámetro a x x b) Para a, resolver la ecuación M = 6 y y a( a 4) a 4 a) ( ) ( ) ( ) M = = a a 4 a 4 = a 4 ( a 1) a 4 a a 4 ( ) El determinante vale 0 cuando a = 4, a = 1 o a 0 0 Para a = 4, la matriz es M =, cuyo rango es 0 0 0 En los otros dos casos el rango de la matriz es 1 Para a 4, 1 y 1, el rango de M vale x x 3 3 x x b) Para a, la ecuación M = 6 queda: = 6, que es y y 3 3y y 3x 3y = 6x 3x 3y = 0 equivalente a: x y = 0, cuya solución es x = y 3x 3y = 6y 3x+ 3y = 0
ÁLGEBRA (Selectividad 015) 11 Esto es, x t 1 = = t y t 1 14 Cataluña, junio 15 1 a 1 a 1 a 1 0 1+ a a 1 a 1 0 a) Si A A= I = = 1 01 0 1 0 0 1 1 a 1 0 0 1 a 0 1 0 1 1 = a Por tanto, la matriz es: A = 0 a 0 1 1 0 = A( A I) = I ( ) 1 1 1 b) De A A I A A A I = A I A I = A 1 1 1 1 0 0 1 Esto es: A = A I = = 1 0 0 1 1 1 Calculando la inversa directamente se tiene: 1 1 A ( A ) t 1 0 1 0 1 = ij = = A ( 1) 1 1 1 1 15 Comunidad Valencia, junio 15 (1 ) ( 1) ( ) Se da el sistema de ecuaciones α x+ α+ y+ α+ z =α α x +α y = α+, donde α es un x+ ( α+ 1) y+ ( α 1) z =α α+ 9 parámetro real Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) Todas las soluciones del sistema cuando α (3 puntos) b) La justificación razonada de si el sistema es compatible o incompatible cuando α = (3 puntos) c) Los valores de α para los que el sistema es compatible y determinado (4 puntos) 3y+ 4z a) Si α, el sistema queda: x+ y = 4, que tiene dos ecuaciones iguales Por tanto, será x+ y = 8 compatible indeterminado
ÁLGEBRA (Selectividad 015) 1 3y+ 4z Equivalente a (Se despeja x y z en función de y) x+ y = 4 x= 4 t Haciendo y = t se puede escribir: y = t 1 3 z = t 4 4 1 3y z = 4 x= 4 y x+ 5y+ 6z = b) Si α =, el sistema queda: x+ y = 6 x+ 3y+ z = 9 Si se transforma por Gauss: x+ 5y+ 6z = x+ 5y+ 6z = x+ 5y+ 6z = x+ y = 6 E + E1 1y+ 1z 0 E /1 y+ z 0 /1 x+ 3y+ z = 9 E3+ E1 13y 13z 13 E3 /13 + = y+ z Resulta un sistema incompatible, pues las ecuaciones segunda y tercera son contradictorias c) El sistema será compatible determinado cuando el rango de la matriz de coeficientes sea 3; para ello su determinante debe ser distinto de 0 1 α α+ 1 α+ 1 α 3α α+ 1 α α α+ α α 0 = ( C C1) = α 0 0 = ( C C3) = α 0 0 α+ 1 α 1 α 1 α 1 0 α 1 (Se han restando las columnas ª y 1ª; y ª y 3ª) = α( α )( α 1) Para que tal determinante sea distinto de 0 es necesario que α 0, α 1 y α = Por tanto, cuando α 0, 1,, el sistema será compatible determinado 16 Extremadura, junio 15 Determina la relación que debe existir entre los parámetros x e y para que las matrices x 1 1 x A = y B = conmuten, es decir, para que AB = BA 1 y y 1 x 1 1 x 1 x x 1 x + y x + 1 x 1+ xy AB = BA = = 1 yy 1 y 11 y 1 y x y + + yx + 1 y x + y = ; x x + 1+ xy x = y 1 + y = xy + 1; x + y = y
ÁLGEBRA (Selectividad 015) 13 17 La Rioja, junio 15 a 1 1 1 1 a 1 1 Para cada número real a, la matriz A = tiene determinante A = 1 1 a 1 ( a 1) 3 1 1 1 1 A partir de este hecho, halla el determinante de las siguientes matrices: 0 1 1 1 a + 1 1 1 1 a 1 0 1 1 B = a 1 1, C 1 a 1 1 =, D = 1 1 0 1 1 a 1 1 1 a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 En los tres casos hay que aplicar alguna propiedad de los determinantes En el caso de la matriz B se ha dado a a el valor 0, luego: B = ( 0 1) 3 = 1 a+ 1 1 1 1 a+ 1 1 1 1 a 1 1 1 1 1 1 1 a 1 1 1+ 1 a 1 1 1 a 1 1 1 a 1 1 C = = = + = A + 0= a 1 1 a 1 1+ 1 1 a 1 1 1 a 1 1 1 a 1 1 1 1 1+ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a 1 1 1 1 a 1 1 1 a 1 1 D = A a 1 1 1 a 1 1 a 1 = = 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 3 ( ) 3 18 Madrid, junio 15 0 0 1 3 0 0 Dadas las matrices: A = 0 1 0, B = 0 3 0, se pide: 1 0 0 0 0 3 15 0 a) Calcula A y A b) Resolver la ecuación matricial 6X = B 3AX, donde X es una matriz cuadrada de orden 3 3 a) Se calcula A, A 0 0 1 0 0 1 1 0 0 3 A = 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0 = I A = A A= IA = A; 1 0 01 0 0 0 0 1 4 3 A = A A= AA = A = I n Resulta evidente que: ( ) n n n n 1 A = A = I = I y A + = ( A ) A= IA = A Por tanto: 15 0 A = A; A = I
ÁLGEBRA (Selectividad 015) 14 b) 6X = B 3AX 6X 3AX B ( I + A) X = I X ( I A) 1 + = ( 6I + 3A) X = B ( ) = + 3I + A X = 3I 0 0 0 0 1 0 1 6 0 3 I + A= 0 0 + 0 1 0 = 0 3 0 Su adjunta es: 0 3 0 0 0 1 0 0 1 0 3 0 6 Por tanto: 6 0 3 0 1 1 1 t 1 1 X = ( I + A) = Ad ( ji + A) X = 0 3 0 0 1 0 I + A 9 = 3 3 0 6 1 0 19 Madrid, septiembre 15 a b c Sabiendo que d e f = 3 y usando las propiedades de los determinantes, calcular el valor 1 3 de los siguientes determinantes: a b c 5b a) (1 punto) d e f 5e 3 10 b) (1 punto) a 1 b c 6 4 1 d e f a) Si se extrae factor común de la primera columna y 5 de la tercera, se tiene: a b c 5b a b c b d e f 5e = 5 d e f e 3 10 1 3 a c b = (sumando a la primera columna la tercera) = 0 d f e = (Se intercambian las columnas ª y 3ª, lo que cambia el signo del 1 3 a b c determinante) = 10 d e f = 10 3 = 30 1 3 b) Se extrae factor común de la segunda fila; a continuación se sumará a la primera fila la a 1 b c 6 a 1 b c 6 F1+ F a b c segunda) 4 1 = 1 6 6 = d e f d e f d e f = (se extrae factor común de la tercera columna; y se intercambian las filas ª y 3ª) = a b c a b c = 4 1 3 = 4 d e f = 4 3 = 1 d e f 1 3
ÁLGEBRA (Selectividad 015) 15 0 Madrid, septiembre 15 3 1 Dada la matriz A a b =, hallar todas las matrices B = que conmutan con A, es 1 0 c d decir que cumplen AB = BA 3 1 a b a b 3 1 3a+ c 3b+ d 3a+ b a AB = BA = = 1 0c d c d1 0 a b 3c+ d c 3a+ c= 3 a+ b; 3b+ d = a (la solución debe darse en función de dos parámetros, a = 3c+ d b= c a = 3b+ d b= b 3b+ d b de b y de d) B = c= b b d d = d 1 Murcia, junio 15 a) [1,5 puntos] Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a: x + y + az x + ay + z = a ax + y + z b) [1 punto] Si es posible, resuélvalo para el valor de a = Sea A la matriz de coeficientes y M la matriz ampliada El sistema será compatible determinado cuando el rango de ambas matrices sea 3, que es el número de incógnitas; será compatible indeterminado si tienen el mismo rango, pero menor 3; y será incompatible cuando el rango de A sea menor que el rango de M 1 1 a 1 Las matrices son: A a 1 a= M a 1 1 1 Como la columna de los términos independientes es igual a la de los coeficientes de la incógnita y, el sistema siempre será compatible, pues el rango de M no puede ser mayor que el de A 1 1 3 El determinante de A, A a 1 = a + 3a = ( a 1 ) ( a+ ) a a 1 1 Este determinante vale 0 si a o a = Con esto: Si a 1 y r(a) = 3 = r(m) El sistema será compatible determinado 1 1 1 1 Si a se tendrá: A 1 1 1= M r(a) = r(m) El sistema será compatible 1 1 1 1 indeterminado con dos grados de indeterminación
ÁLGEBRA (Selectividad 015) 16 1 1 1 Si a = se tendrá: A= 1 1 = M r(a) = r(m) = El sistema será 1 1 1 compatible indeterminado con un grado de indeterminación b) En este caso, a =, el sistema queda: x+ y z x+ y z x+ y + z x y + z = x y+ z = x y = z x y z 1 + + = x= t x+ y + z y + t y + z z = t x+ y + z E E1 3y = 3 3z Navarra, junio 15 Encuentra los valores de t R para los que el determinante de la matriz AB vale 0, siendo 1 3 + t 1 0 A= 0 t y B t 0 ( puntos) 0 1+ t 3 4 7 t Como AB = A B, para que el determinante del producto valga 0 es necesario que A = 0 o B = 0 1 3 A = 0 t = 3t t = t 0 1+ t 3 + t 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ), que se anula cuando t = B t 0 = t t+ t + 1 = t t+ 1, que se anula cuando t = 0 o t = 1 4 7 t Por tanto, AB = 0 cuando t = 1, t = 0 o t = 3 País Vasco, junio 15 a b c Se sabe que p q r 0 x y z Calcula, de manera razonada, aplicando las propiedades adecuadas, el valor de los siguientes determinantes: a b c 3p 3q 3r A= a+ p b+ q c+ r B= a b c x+ a y+ b z+ c x y z Se aplicarán las transformaciones de Gauss, que se indican en cada caso:
ÁLGEBRA (Selectividad 015) 17 a b c A= a+ p b+ q c+ r x+ a y+ b z+ c a b c = a+ p b+ q c+ r x+ a y+ b z+ c = (se extrae el factor de la primera fila) = = (se resta la fila 1ª a la ª y a la 3ª) = a b c = (se extrae el factor 1 de la 3ª fila) = ( 1) p q r = ( 1) 10 = 0 x y z a b c p q r x y z = 3p 3q 3r B= a b c x y z p q r = (se extraen los factores 3, y 1 de las filas 1ª, ª y 3ª, respectivamente) = 3 ( 1) a b c = (se intercambian las filas 1ª y ª) = x y z a b c = 3 ( 1) p q r = 3 ( 1) 10 = 60 x y z 4 País Vasco, junio 15 Escribimos en orden creciente 50 múltiplos seguidos de 5 comenzando por el 50 Ahora suprimimos los 90 primeros Cuánto vale la suma de los restantes números? Los números forman una progresión aritmética de diferencia 5 El término general de esta progresión es: an = 50 + ( n 1 ) 5 an = 45 + 5n Los números son: 50, 55, 60,, a 90 = 495, a 91 = 500,, a 50 95 Se pide la suma de 160 términos: 500 + 505 + 510 + + 195 ( 500 + 195 ) 160 Su valor es: S = 43600 5 País Vasco, junio 15 Con los dígitos y 3, cuántos números distintos de 5 cifras se pueden formar? Se trata de un problema de combinatoria, relativamente fácil La primera respuesta, inmediata, es decir que su número son las variaciones con repetición de 5 elementos ( y 3) tomados 5 a5 Esto es: VR,5 = = 3 La misma respuesta se obtiene haciendo un diagrama de árbol: del primer nudo pueden salir dos ramas: o 3; de cada uno de los nuevos nudos salen dos nuevas ramas; y así sucesivamente Por tanto, las posibilidades totales son = 3