ÁLGEBRA Junio 94. [,5 puntos] Comprueba que el determinante el proceso que sigues. 3 3 3 3 es nulo sin desarrollarlo. Explica Se basa en la propiedad: si a una línea le sumamos una combinación lineal de las demás paralelas, el determinante no varía. Suma a la primera columna (por ejemplo) las paralelas a ella y todos sus elementos son iguales a cero, con lo que el determinante será cero. Junio 94.. [,5 puntos] Considerar la matriz A. Probar que las matrices de la forma B = k A + r I, donde k y r son números reales e I es la matriz unidad, conmutan con la A, es decir A B = B A. [,5 puntos] Discutir y resolver el siguiente sistema dependiente del parámetro x λy 0 λx y x λz 0. Construye la matriz B y comprueba que A B = B A. Si,, 0: el sistema es compatible determinado. Soluciones: λ 4 x, y, z λ λ λ Si =, : el sistema es incompatible Si = 0: el sistema es compatible indeterminado. Soluciones: x 0, y, z = k Septiembre 94. Dada la matriz n. Calcular: 0 a) [ punto] La potencia enésima A n. b) [0,5 puntos] La inversa A. n a) A 0 b) A n 0 Septiembre 94.. [,5 puntos] Sea A una matriz cuadrada. Demuestra que las matrices A A t y A t A son simétricas, donde A t denota la matriz traspuesta de A. Son iguales?. Pon un ejemplo.
. [,5 puntos] Hallar el valor de m para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones y calcularlas. t A A (A ) A A A A A x my 4z 0 x y 7z 0 x y z 0 t t t t t t es simétrica t t t t t t t A A A (A ) A A A A es simétrica No tienen por qué ser iguales: A A t A t A. Puede comprobarse con la matriz A 0 0 9k k. m = 6. Soluciones: x, y k, z 5 5 Junio 95.. [ puntos] Sea U una matriz cuadrada n n con todos sus elementos iguales a, sea I n la matriz unidad n n, y sea un número real. Escribir la matriz U I, y calcular su determinante.. [,5 puntos] Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro, y resolver cuando sea posible αx y z x αy z α x y z α 0 α... α α 0... α. αu αi n αuαi (n ) α ( α)... α α... 0. Si α α α 0, : sistema compatible determinado. Soluciones: x, y, α α Si = 0: sistema incompatible. Si = : sistema compatible indeterminado. Soluciones: x = k, y = k, z = 0 (α )(α ) z α Junio 95. [,5 puntos] Encontrar todas las matrices A tal que 0 A. 0 0 0 0 A x y x y
Septiembre 95. Pruebas de Acceso a la Universidad de Zaragoza.. Se dice que una matriz n n cuadrada A es ortogonal si A A t = I, donde A t es la matriz traspuesta de A e I es la matriz unidad n n. Se pide: a) [ punto] Estudiar si la matriz traspuesta y la matriz inversa de una matriz ortogonal son matrices ortogonales. α 5 b) [ punto] z Si A es ortogonal, hallar A. α(3 α). [,5 puntos] Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro, y resolver cuando sea posible. x y z 4x αy 5 3x αy αz 5. a) Sí, son ortogonales. b) A 5 α α 5. Si 0, 3: sistema compatible determinado. Soluciones: x, y 3 α α (3 α) Si = 0 ó = 3: sistema incompatible. No tiene solución., α 5 Z α 3 α Septiembre 95. [ puntos] Calcular, sin desarrollar, el valor del siguiente determinante, enumerando las propiedades de los determinantes utilizadas: 0 5 5 5 3 5 4 5 5 Junio 96. [,5 puntos] Sin desarrollarlo, calcular razonadamente el valor del determinante de la matriz a b c A b c a. [ punto] Deducir de ahí los posibles valores del rango de A c b a A 0. Si a = b = c: rg (A) = ; en cualquier otro caso: rg (A) =. 3 Junio 96. [ puntos] Hallar el rango de la matriz A a a a a 4 a a. [0,5 puntos] Indicar cuándo existe la inversa de A según sea el valor del parámetro Si a, : rg (A) = 3 A Si a = : rg (A) = Si a = : rg (A) = 3
Septiembre 96. Sean A, B y O la matriz nula. Se pide: 0 a) [,5 puntos] Encontrar todas las matrices X tales que A X = B b) [ punto] Encontrar todas las matrices Y tales que Y B = O a) X 0 0 b) a a Y b b Septiembre 96. [,5 puntos] Hallar el valor o valores de a para que el sistema compatible e indeterminado. [ punto] Resolverlo en esos casos. Si a = : el sistema es compatible indeterminado. Soluciones: x =, y = 0, z = k x y x y (a )z x y (a )z a sea ax y z 0 Junio 97. [,5 puntos] Discutir el sistema x y az 3 según los valores del parámetro a. x y [ punto] Resolverlo en los casos en que admita infinitas soluciones. Si a, : sistema compatible determinado. Si a = : sistema incompatible. Si a = : sistema compatible indeterminado. Soluciones: x = k, y = k, z = k. 0 0 0 Junio 97. [,5 puntos] Dada la matriz A 0 0, encontrar todas las matrices B tales que AB = BA. 0 0 [ punto] Calcular A n con n entero positivo. a 0 0 B b a 0 c b a ; 0 0 0 0 0 0 n A 0 0 0 Septiembre 97. dada por AXA = B [,5 puntos]. Dadas las matrices 0 0 A 0 0 5 3 y 0 0 B 0 0, hallar la matriz X 0 0 0 5 3 X 6 3 0 5 4
Septiembre 97. [,5 puntos] Hallar el rango de la matriz parámetro a. Si a 0, : rg B = 3. Si a = 0 ó a = rg B = a B 0 a 0 a según sea el valor del Junio 98. [,5 puntos] Discutir el sistema x a z 0 [ punto] Hallar, si existe, la solución del mismo cuando a = 0. x (a )y az (a )y (a )z 0 según sea el valor del parámetro a. Si a, : sistema compatible determinado. Si a = : sistema incompatible. Si a = : sistema incompatible. Para a = 0 el sistema es compatible determinado y sus soluciones son: x = 0, y =, z =. 0 0 Junio 98. [,5 puntos] Determinar a, b y c para que la matriz A 0 verifique que su a b c traspuesta A t coincide con su inversa A -. [ punto] Calcular en todos esos casos la matriz A 4. a = 0, b =, c = (b y c distinto signo). A I ; 4 3 0 0 4 A 0 0 0 0 Septiembre 98. [,5 puntos] Hallar los valores del parámetro a para que el sistema de ecuaciones x z 0 ax y z 0 admita infinitas soluciones. [ punto] Resolverlo en cada uno de esos casos. x (a )y az 0 El sistema tiene infinitas soluciones cuando a = 0 y cuando a =. Para a = 0: x = k, y = k, z = k. Para a = : x = k, y = 0, z = k Septiembre 98. [ punto] Dadas las matrices A 3 y 0 B, encontrar todas las matrices 0 X tales que XA = X y [,5 puntos] todas las matrices Y tales que YA = B. a a X b b Y 3 5
3 X Y 5 Junio 99. Las matrices X e Y son las soluciones del sistema de ecuaciones matriciales. 4 X Y 3 0 Se pide [ punto] hallar X e Y y [,5 puntos] calcular si tiene sentido X e Y (razonar la posible respuesta negativa). X 0 Y ; X pues X = 0. Y pues Y 0: Y 0 Junio 99. [,5 puntos] Discutir según el valor del parámetro a el sistema lineal [ punto] resolverlo en los casos en que tenga infinitas soluciones. ax 7y 0z ax 8y 3z x az y Si a, : sistema compatible determinado. Si a = : sistema incompatible. Si a = : sistema compatible indeterminado. Soluciones: x = + k, y = 3k, z = k Septiembre 99. [,5 puntos] Hallar en función de a el rango de la matriz calcular cuando exista la matriz inversa A en los casos a = y a =. Si a, 3: rg A = 3 Si a = ó a = 3: rg A = 8 8 3 5 3 Para a = : A Para a : No existe A. 8 8 8 8 0 A 0 a 3 4 a y [ punto] Septiembre 99. [,5 puntos] Disponemos de tres lingotes de distintas aleaciones de tres metales A, B y C. El primer lingote contiene 0 g del metal A, 0 g del B y 60 del C. El segundo contiene 0 g de A, 40 g de B y 50 g de C. El tercero contiene 0 g de A, 40 g de B y 40 g de C. Queremos elaborar a partir de estos lingotes uno nuevo que contenga 5 g de A, 35 g de B y 50 g de C. Cuántos gramos hay que coger de cada uno de los tres lingotes?. 5 grs del A, 50 grs del B y 5 grs del C. 6
Junio 00. [,5 puntos] Hallar, si existe, una matriz cuadrada A que cumpla las siguientes condiciones: ) Coincide con su traspuesta. ) Verifica la ecuación matricial 3) Su determinante vale 9. 3 3 A 0 3 3 A 5 x z Junio 00. [ punto] Discutir el sistema de ecuaciones y (a )z 0 x (a )y az a parámetro a. [,5 puntos]. Resolverlo en todos los casos de compatibilidad a a Si a, : sistema compatible determinado. Soluciones: x, y, a a Si a = : sistema compatible indeterminado. Soluciones: x = k, y = 0, z = k Si a = : sistema incompatible. según los valores del z a 0 0 Septiembre 00. Dada la matriz A 0 a 0, se pide: 0 i) [,5 puntos] Hallar el valor o valores de a para que se cumpla la igualdad A + A + I = O, siendo I la matriz identidad de orden 3 y O la matriz nula de orden 3. ii) [ punto] Calcular en esos casos la matriz inversa de A. i) a = ii) 0 0 0 A 0 0 Septiembre 00. Sea A una matriz 4 4 cuyas filas, de arriba a abajo son F, F, F 3 y F 4 y cuyo determinante 0 0 0 0 0 0 vale. Sea B. Calcular razonadamente: 0 0 0 0 0 0 ) [ punto] El determinante de la matriz AB ) [0,5 puntos] El determinante de la matriz 3A 3) [ punto] El determinante de la matriz cuyas filas son (de arriba a abajo): F + F, F, 3F 4 y F 3 +F ) AB A B ( ) ) 3A 6 3) 7
0 a 0 0 0 Junio 0. Dadas las matrices A 0 0 a e I3 0 0, se pide: 0 0 0 0 0 a) [ punto] Hallar A n para todo entero positivo n. b) [,5 puntos] Calcular, si existe, la inversa de la matriz A y la de la matriz I 3 + A a) Para n = : A n 0 a 0 0 0 a ; para n = : 0 0 0 a a b) A pues A = 0. (I 3 + A) = 0 a 0 0 0 0 a 0 0 0 n A 0 0 0 ; para n 3: 0 0 0 0 0 0 n A 0 0 0 Junio 0. Tenemos una matriz 3 3 cuyas columnas son (de izquierda a derecha): C, C, C 3 y su determinante vale. a) [,5 puntos] Se considera la matriz A cuyas columnas son (de izquierda a derecha): C, C 3 +C, 3C, calcular razonadamente el determinante de la matriz A caso de que esta matriz inversa exista. b) [ punto] Sea ahora la matriz cuyas columnas son: C +C, C +C 3, C 3 C. Razonar la existencia o no existencia de la matriz inversa de la misma a) A = 6 ; A = 6 b) En este caso: A pues A = 0 Septiembre 0. Dado el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro a: ) [ punto] Discusión del mismo en función del parámetro a. ) [,5 puntos] Resolución en los casos de compatibilidad. x y z a x y az a, se pide: x 3y z a a) Si a 0: sistema compatible determinado. Si a = 0: sistema compatible indeterminado. b) Para a 0 : x = a, y = a+, z =. Para a 0 : x λ, y λ, z λ Septiembre 0. Dadas las matrices: 0 0 A 0 0 e 3 a) [ punto] Calcular A 4A + 4I 3 b) [,5 puntos] Calcular, si existe, la inversa de la matriz A. 0 0 I 0 0, se pide: 0 0 a) El resultado es la matriz nula 3 3 b) 0 0 0 0 A 4 4 8
Junio 0. a) [,3 puntos] Discute el sistema a y z 0 b) [, puntos] Halla, si existe, la solución cuando a = 4. (a )x (a )y 0 (a )x ay z según el valor del parámetro a. a) Si a, : sistema compatible determinado. Si a =, : sistema incompatible. 6 b) x, y, z 75 5 5 a b Junio 0. Sea M ; a,b. b a a) [ punto] Prueba que si A, B M también A+B y AB están en M. b) [,5 puntos] Determina las matrices C M que verifican que C = C. a) Comprueba que al sumar y multiplicar dos matrices de M sus resultados también pertenecen a M. b) C C 0 0 Septiembre 0. Sean A y B las matrices siguientes: A 0 0 B 0 0 0 0 [,5 puntos] Es fácil comprobar que ambas tiene el máximo rango, que es 3. Pero qué ocurre si las combinamos linealmente? En concreto, estudia el rango de la matriz A + B según los valores del parámetro. Si, : rg (A+ b) = 3. Si = ó = : rg (A+ B) = Septiembre 0. a) [,5 puntos] Discute el sistema de ecuaciones parámetro a. b) [ punto] Halla, si existe, la solución cuando a = 0. a) Si a 3, : sistema compatible determinado. Si a = 3: sistema incompatible Si a = : sistema compatible indeterminado. 5 b) x, y, z 3 6 6 x y z 0 ax y z a 3x az a según el valor del Junio 03. [,5 puntos] Luis, Juan y Óscar son tres amigos. Luis le dice a Juan: Si yo te doy la tercera parte del dinero que tengo, los tres tendremos la misma cantidad. Calcular lo que tiene cada uno de ellos sabiendo que entre los tres reúnen 60 euros. Luis: 30, Juan: 0, Óscar: 0 9
Junio 03. [,5 puntos] Buscar una matriz cuadrada X (pueden existir varias) cuyo primer elemento valga y tal que la siguiente suma X X 6 0 sea la matriz nula Nota: El primer elemento de una matriz es que el está en la primera fila y en la primera columna. λ X λ λ ax y z Septiembre 03. [,5 puntos] Discutir el sistema de ecuaciones x y az según los valores del x y z a parámetro a. [ punto] Entre los valores de a que hacen el sistema compatible elegir uno en particular y resolver el sistema que resulte al reemplazar a por el valor elegido. Si a, : sistema compatible determinado. Si a = : sistema incompatible. Si a = : sistema compatible indeterminado. Por ejemplo, para a = 0: x =, y = 0, z = 0 Septiembre 03. [,5 puntos] Sean las matrices A ; B. Vemos que ambas tienen 4 4 rango máximo, o sea. Determinar los valores de c tales que la matriz A + cb ya no tenga rango. [ punto] Cuál es el rango que tienen las respectivas matrices suma? c =, c = 6. El rango es. Junio 04. Cuando el año 800 Beethoven escribe su primera Sinfonía, su edad es diez veces mayor que la del jovencito Franz Schubert. Pasa el tiempo y es Schubert quien compone su célebre Sinfonía Incompleta. Entonces la suma de las edades de ambos músicos es igual a 77 años. Cinco años después muere Beethoven y en ese momento Schubert tiene los mismos años que tenía Beethoven cuando compuso su primera Sinfonía. [,5 puntos] Determinar el año de nacimiento de cada uno de estos dos compositores. Nota: Solamente se calificarán los resultados obtenidos matemáticamente, no los derivados de los conocimientos histórico-musicales del examinando. Beethoven nació en 770 y Schubert en 797. x 3y z 5 Junio 04. Sea el sistema ax z 0. ay z a [,5 puntos] Se pide clasificarlo según los valores del parámetro a y [ punto] resolverlo si en algún caso es compatible indeterminado 0
Si a 0 y 5: sistema compatible determinado. Si a = 0: sistema compatible indeterminado. Soluciones: x = 5 3, y =, z = 0 Si a = 5: sistema incompatible. x y z 0 Septiembre 04. Sea el sistema homogéneo de ecuaciones ax y z 0 x ay z 0 a) [,5 puntos] Determinar el valor o valores del parámetro a para que el sistema tenga soluciones distintas de la nula. b) [ punto] Resolver el sistema para el valor o valores de a hallados en el apartado anterior. a) a 0 ; a b) Para a 0: x y z λ ; Para 4 4λ λ a : x, y, z λ 4 3 3 Septiembre 04. [ puntos] Determinar una matriz cuadrada X que verifique AX XA siendo 3 3 0 A. [0,5 puntos] Luego analizar si la matriz X es inversible, y en el caso de serlo calcular su matriz inversa. 3 X. X es inversible: 4 X 8 4 6 Junio 05. [,5 puntos] Eva, Marta y Susana son tres jóvenes amigas que se comprometen a leer el Quijote este verano. Cada una por separado y en función del tiempo del que dispone, decide leer un mismo número de páginas cada día hasta terminar la obra. Eva leerá diariamente 5 páginas más que Marta y ésta 6 páginas más que Susana. Por ello Eva terminará la obra dos semanas antes que Marta y ésta 30 días antes que Susana. Se pregunta cuál es el total de páginas que tiene la versión de la inmortal obra cervantina que leen estas amigas. 400 páginas. x y az 0 Junio 05. La terna ( 0, 0, 0) es siempre solución del sistema ax y z 0 independientemente del valor ax y z 0 del parámetro a. a) [,5 puntos] Indicar para qué valores del parámetro la citada terna es la única solución del sistema. b) [ punto] Indicar algún valor del parámetro, si existe, para el cual el sistema tenga algunas soluciones distintas de la nula y mostrar estas soluciones. (Nota: si se encuentran varios valores del parámetro cumpliendo la condición pedida, para responder a esta cuestión basta tomar uno solo de ellos).
a) Para a 0 y a b) Para a = 0 y para a =. Para a = 0: x λ, y λ, z λ Para a = : x 0, y λ, z λ Septiembre 05. [,5 puntos] A, B y C son tres ciudades que forman un triángulo de manera que entre cada dos de ellas hay una carretera recta que las une. Se sabe que si se va de A a B dando la vuelta por C se hace un recorrido tres veces mayor que si se va directamente de A a B. Asimismo si para ir de A a C se da la vuelta por B el recorrido es el doble que si se va directamente de A a C. Calcular las distancias entre las tres ciudades sabiendo que la suma de las tres distancias es igual a 0 kilómetros. d A,B 30 kms ; da,c 40 kms ; Septiembre 05. [,5 puntos] Estudiar según el valor del parámetro, el sistema de ecuaciones λx y z x λy z λ x y z λ d B,C 50 kms. y resolverlo si en algún caso es compatible indeterminado. Si λ : el sistema es compatible determinado Si λ : el sistema es compatible indeterminado. Las soluciones son: x α β, y α, z β. 3 λ Junio 06. Se consideran las matrices A y B λ 0 0 donde es un número real. a) [,5 puntos] Encontrar los valores de para los que la matriz AB tiene inversa. b) [ punto] Dados a y b números reales cualesquiera, puede ser el sistema x a A y b z compatible determinado con A la matriz del enunciado?. a) AB tiene inversa λ, b) No, A tiene un rango máximo y el nº de incógnitas es tres. a ab ab Junio 06. Sea la matriz A ab a b ab b a a) [,5 puntos] Sin utilizar la regla de Sarrus, calcular el determinante de dicha matriz. b) [ punto] Estudiar el rango de A en el caso en que b a. a) A a a b a b b) rga
Septiembre 06. [,5 puntos] La liga de fútbol de un cierto país la juegan equipos a doble vuelta. Este año, los partidos ganados valían 3 puntos, los empatados punto y los perdidos 0 puntos. En estas condiciones, el equipo campeón de liga obtuvo 70 puntos. Hasta el año pasado los partidos ganados valían puntos y el resto igual. Con el sistema antiguo, el actual campeón hubiera obtenido 50 puntos. Cuántos partidos ganó, empató y perdió el equipo campeón? 0 partidos ganados, 0 empatados y 0 perdidos Septiembre 06. [,5 puntos] determinante sin desarrollarlo a b c Teniendo en cuenta que p q r 7, calcular el valor del siguiente x y z 3a 3b 3c ap b q c r x a y b z c x 3y z 5 Junio 07. Considerar el sistema lineal de ecuaciones en x, y y z: mx z 0 my z m a) [ punto] Determinar los valores del parámetro m para los que el sistema tiene solución única. Calcular dicha solución para m. b) [ punto] Determinar los valores del parámetro m para los que el sistema tiene infinitas soluciones. Calcular dichas soluciones. c) [0,5 puntos] Estudiar si existe algún valor de m para el cual el sistema no tiene solución. a) m 0 y m. Si m: x, y, z b) Junio 07. [,5 puntos] Un cajero automático contiene 95 billetes de 0, 0 y 50 euros y un total almacenado de 000 euros. Si el número total de billetes de 0 euros es el doble que el número de billetes de 0, averiguar cuántos billetes de cada tipo hay. 50 billetes de 0, 5 de 0 y 0 de 50 Septiembre 07. Dadas las matrices 3 0 A, I 8 3 0 a) [0,5 puntos] Comprobar que deta deta a b b) [ punto] Estudiar si para cualquier matriz M de orden se cumple que det c d M detm c) [ punto] Encontrar la relación entre los elementos de las matrices M cuadradas de orden que det MI det M det I satisfacen: 5 λ m 0. x λ, y, z 0 c) m 3 3
a) Calcular y comprobar. b) Sí se cumple (demostrar) c) a b M c a 0 α β k t Septiembre 07. Sean A 0 0 α y B 0 k 0 0 0 0 0 a) [0,5 puntos] Estudiar para qué valores de α y β la matriz A tiene inversa. b) [ punto] Calcular A 5. c) [ punto] Hallar la matriz inversa de B. a) A no tiene inversa en ningún caso. b) A 5 es la matriz nula. c) 0 0 k k t B 0 k Junio 08. Opción A. a) (,5 puntos) Sean A, B, I las matrices: Estudiar si existe algún valor de λ para el cual se satisfaga A λi B. b) ( punto) Teniendo en cuenta que x y z 0 6 3 4 0 0 A 0,B 3,I 0 0. 0 0 4 5 0 0 0, determinar el valor de 3 x 4 4 y 0 4 z a) λ b) Opción B. (,5 puntos) Dado el sistema resolverlo cuando sea compatible. x 3y az 4 ax y az 0. Discutirlo según los valores de a, y x ay a x y z 0 Para a y a 3 : sistema incompatible. Para a : sistema compatible indeterminado. Soluciones: 48λ 8 λ x, y 7 7, z λ Para a 3: sistema compatible determinado. Soluciones: x, y 0, z Septiembre 08. Opción A. (,5 puntos) Hallar una matriz 3 A y B a X c b d de orden tal que A X A B siendo 4
9 X 6 7 Opción B. a) ( punto) Probar que a b c b a c a c b a b c x y 3z 0 b) (,5 puntos) Hallar la solución del sistema de ecuaciones x 4y 9z suma de los valores correspondientes a cada una de las incógnitas es 4. que además satisface que la a) Aplicar propiedades de los determinantes. b) x 3, y 4, z 5 Junio 09. Opción A. a) [,5 puntos] Discutir y resolver en función de los valores del parámetro m el sistema lineal x y z mx m y m z mx my m z b) [ punto] Teniendo en cuenta que 0 0, determinar el valor del determinante 0 0 a a a 0 a a a 0. m a) Para m 0 y m : compatible determinado. Soluciones: x ; y 0 ; z m m Para m 0: incompatible Para m : compatible indeterminado. Soluciones: x λ μ ; y λ ; z μ b) 0 0 n Opción B. a) [,5 puntos] Dada la matriz A 0, calcular la inversa de la matriz A. 0 0 b) [,5 puntos] Estudiar para qué valores del parámetro α, existe un único polinomio P(x) abx cx que satisface P(0) α, P() 0, P( ) 0. 0 0 a) n 0 0 0 b) α 0 5
Septiembre 09. a 0 Opción A. a) [,5 puntos] Sean las matrices A, I de orden. Hallar la relación entre b c 0 los parámetros a, b y c para que se verifique que A I A. b) [ punto] Calcular, en función de los valores del parámetro k, el rango de la matriz B 3. 5 k a) ab, c 0 b) Si k : rgb 3. Si k : rgb Opción B. a) [,5 puntos] Resolver el siguiente determinante sin utilizar la regla de Sarrus: a b c a c b a c b. a c b a c b 3 4 n b) [,5 puntos] Para M, calcular M con n. a) 0 b) I si n es par n M M si n es impar Junio 0. a) (,5 puntos) Estudiar para qué valores de a el determinante de la matriz nulo. Para a 3, obtener el determinante de la matriz A. a 0 a A 0 a 0 a 0 a es no b) ( punto) Sean las matrices A 0 0 3 y B 0 3. Calcular el rango de T AB. a) Para a 0 y a b) rg AB T Junio 0. x a) (,5 puntos) Estudiar para qué valores de x, la matriz inversa de coincide con su opuesta. 5 x b) ( punto) Dos hermanos de tercero y cuarto de primaria iban camino del colegio con sus mochilas cargadas de libros todos del mismo peso. Uno de ellos se lamentaba del peso que transportaba y el otro le dijo: De qué te quejas? Si yo te cogiera un libro, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio si te diera un libro, tu carga igualaría a la mía. Cuántos libros llevaba cada hermano? a) x 3 b) 7 y 5 libros. 6
Septiembre 0. a) (,75 puntos) Discutir y resolver cuando sea posible el siguiente sistema lineal: ax y 0 x y az y az b) (0,75 puntos) Existe algún valor del parámetro a para el cual el vector sea solución del sistema 0 anterior? a) - Si a 0: Sistema compatible determinado. Soluciones: - Si a 0 : Sistema incompatible b) No. x 0 ; y 0 ; z a Septiembre 0. cosα senα 0 Dada la matriz A senα cosα 0 0 0 β a) ( punto) Estudiar si existen valores de α y β para los cuales la matriz A sea simétrica. Será la matriz B b) (0,75 puntos) Razonar cuál es la relación entre el determinante de A y el de B. x c) (0,75 puntos) Discutir y resolver cuando sea posible el sistema B y. z T A A igual a la matriz identidad en algún caso? a) α kπ, β. Cuando β b) c) - Si β 0: Sistema compatible determinado. Soluciones: x ; y ; z β - Si β 0: Sistema incompatible B A Junio. a) (,5 puntos) Estudiar para qué valores de el determinante de la matriz tiene rango máximo. b) (,5 puntos) Siendo a) α, 0 b) A la inversa de la matriz A, calcular A 0 3 0 A para α. 0 A α α α 7
Junio. a) ( punto) Sean las matrices β hacen que sea cierta la igualdad: cosα A senα cosα 0 senα senα y B 0 β 0 cosα. Estudiar qué valores de α y senα 0 cosα det A det A det B 0 b) (,5 puntos) Utilizar las propiedades de los determinantes para calcular el valor de con a, b, c, d a) α ;β b) ad bc 3 4 a3 b 4 c 3 d4 Septiembre. α Sea la matriz A. 0 α T a) (0,75 puntos) Calcular el determinante de la matriz AA con T A la traspuesta de A. b) (0,75 puntos) Estudiar para qué valores del parámetro se satisface la ecuación T 4 A A α 0 con A deta c) ( punto) Obtener la inversa de A cuando sea posible. a) 4 α b) α 0 c) α α A para α0 0 α Septiembre. (,5 puntos) Utilizar las propiedades de los determinantes para obtener los valores de a y b que satisfacen simultáneamente las ecuaciones ab a a ab 0 0 y 0 a ba ab 3 a 0,b 0 ; 5 a,b Junio. ax y z Sean a un número real y el sistema lineal x ay z a x y az a a) (,5 puntos) Calcule el determinante de la matriz de los coeficientes y determine para qué valores de a el sistema anterior es incompatible, compatible determinado y compatible indeterminado. b) ( punto) Resuelva el sistema anterior en el caso a 0 8
3 a) A a 3a. Para a y a : compatible determinado b) Para a : compatible indeterminado Para a : incompatible x, y, z Junio. 0 a) (,5 puntos) Comprueba que la matriz M es inversible y calcule su inversa, donde M b) ( punto) Encuentre las matrices A y B que cumplen las siguientes ecuaciones a) M es inversible porque M 0 b) 3 0 4 0 8A 5B 3, A B 3 0 3 3 0 0 8 0 A 6 3 6, B 0 5 9 0 0 0 5 5 5 5 M 3 5 5 Septiembre. 0 a) (0,5 puntos) El determinante de la matriz A que aparece a continuación es A 0 Sin utilizar la regla de Sarrus, determine cuánto vale el determinante de la matriz B siguiente (enuncie las propiedades que utilice): 0 B 4 0 0 senx cosx 0 b) ( puntos) Sea C la siguiente matriz: C cosx senx 0 senx x Determine los valores de x para los que la matriz C tiene inversa y calcularla cuando sea posible. a) B b) C x 0 senx cosx 0 senx cosx sen x cosx x x x C cosx senx 0 9
Septiembre. a) (,5 puntos) Determine para qué valores de m el siguiente sistema de ecuaciones: mx y 6z 0 x my 4z x my 6z m es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible. b) ( punto) Se sabe que una matriz simétrica B de dimensión 3 3 tiene como determinante 3. t t Determine el determinante de la matriz B B donde B denota la traspuesta de B. a) Para m : compatible determinado Para m : incompatible Para m : incompatible b) t B B 4 Junio 3. 5 m 3 Sea A la matriz: A 0 m a) (,5 puntos) Discuta el sistema que aparece a continuación, para cada uno de los valores de m y resuélvalo para los valores de m siguientes: m y m. 0 x A X 0 donde X y 0 z b) ( punto) Determine la inversa de la matriz A cuando m 0. a) Si m y m 3: sistema compatible determinado. Si m o m 3: sistema compatible indeterminado. Para m : x y z 0 Para m : x y λ, z λ b) 0 3 5 6 5 6 A 0 Junio 3. a) ( punto) Determine el rango de la matriz A, que aparece a continuación, según los diferentes valores de a: a a 6 A 4 a 5 0 b) (,5 puntos) Determine, si existe, una matriz A,, que verifique la siguiente ecuación matricial: Cuál es el rango de la matriz A? 0 3 3 A 0 3 3
a) Para a 3: rg A 3 Para a 3: rg A b) 6 A 9 8 ; rga Septiembre 3. Considere el siguiente sistema de ecuaciones: λx 4y z 0 x y 4z λ λx y 6z 0 a) ( punto) Determine los valores de λ para los que el sistema de ecuaciones tiene solución única. b) (,5 puntos) Resuelva el sistema, si es posible, cuando λ 4 y cuando λ 0. a) λ 4 b) Para λ 4: no tiene solución. Para λ 0: x y z 0 Septiembre 3. a 0 Sean A y B las dos matrices siguientes: A, B 0 0 3 a a) ( punto) Para qué valores de a existe la inversa de AB? Y la de BA? b) (,5 puntos) Encuentre la inversa de la matriz: 3 3 C 4 3 3 4 Compruebe que cuando la matriz encontrada se multiplica por la izquierda por C, se obtiene la identidad. 3 a) a y No existe inversa de BA. 7 3 3 b) C 0 0 Junio 4. (,5 puntos) Sea m un número real y considere la matriz: 0 m A m 0 a) ( punto) Determine todos los valores de m para los que la matriz A tiene inversa. b) ( punto) Determine, si existe, la inversa de A cuando m 0. c) (0,5 puntos) Determine, si existe, la inversa de A cuando m 0.
a) Existe inversa m. b) 0 0 0 0 A 0 0 A 0 c) Junio 4. (,5 puntos) Considere las matrices de orden siguientes: 4 4 A, B, D 0 3 AMBN D a) (,5 puntos) Determine dos matrices M y N de orden tales que: AM N b) ( punto) Se considera una matriz G de orden 3 3, cuyas columnas se representan por C, C, C 3 y cuyo determinante vale. Considere ahora la matriz H cuyas columnas son C 3, C 3 +C, 3C, cuál es el determinante de esta nueva matriz H? 9 3 a) M, N 4 9 3 0 b) H 6 Septiembre 4. (,5 puntos) a) (,5 puntos) Sean A y B matrices. Determine dichas matrices sabiendo que verifican las siguientes ecuaciones: 4 A 3B 3 4 3 A B b) ( punto) Sean C y D las matrices: C, D 0 0 Determine el determinante: 5CD, donde CD es la matriz inversa de CD. a) A, 0 B b) 5 5 CD Septiembre 4. (,5 puntos) Determine para qué valores de a el sistema que aparece a continuación es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible ax 3y 6z 3 ax 3y az 6 ax 6y 9z 0
Si a 4 y a 0: compatible determinado. Si a 4: incompatible. Si a 0 : incompatible. Junio 5. (3 puntos) Sea λ un parámetro real cualquiera. Considere la matriz: λ λ 0 λ 0 λ a) ( puntos) Determine el rango de esa matriz según los valores de λ b) ( punto) Determine para qué valores de λ existe la inversa de esa matriz y determine la inversa, si existe, para λ. a) Si λ, 0,: rga 3 Si λ : rga Si λ 0: rga Si λ : rga b) A λ, 0, 3 0 3 3 3 A 0 0 Junio 5. (3 puntos) a) (,5 puntos) Considere la matriz y los vectores siguientes: x y z a M y z x, A b, B 0 donde x, y y z son números reales. z x y c Determine x, y y z para que el vector A sea solución del sistema MA B. 3 b) (,5 puntos) Sean ahora la matriz y vectores siguientes: a b c x N b c a, X y, B 0 c a b z donde a, b y c son números reales que verifican que a 0, ab 0, c a. Determine si el sistema NX B es compatible determinado. 4 a) x, y, z b) Es compatible determinado. 9 9 9 3
Septiembre 5. (3 puntos) a) ( puntos) Sea λ un parámetro real cualquiera. Determine para qué valores de λ el sistema de ecuaciones que aparece a continuación es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible: b) ( punto) Determine la inversa de la matriz: λx y λz λx y z 5 3λx 4y λ z λ 5 3 M 0 0 a) Si λ 0 y : compatible determinado. Si λ 0: incompatible. Si λ : b) 0 3 0 3 M 0 incompatible. Septiembre 5. (3 puntos) a) ( puntos) Sea λ un parámetro real cualquiera y considere la matriz y vector siguientes: 3 0 λ x A 5 λ 5 X y λ 0 3 z ) ( punto) Para qué valores de λ existe la matriz inversa A I, siendo I la matriz identidad de orden 3? ) ( punto) Si λ 0, encuentre los valores de x, y, y z que satisfacen la ecuación AX X b donde b y b) ( punto) Sean F, F y F 3 la primera, segunda y tercera filas, respectivamente, de una matriz M de orden 3 3 cuyo determinante es. Calcule el determinante de una matriz cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente: 5F F,3F y F. 3 3 a) ) b) 30 A I λ,, ) 0 x, y, z 3 4
Junio 6. (3 puntos) a) ( puntos) Sea λ un parámetro real cualquiera, determine para qué valores de λ el sistema que aparece a continuación es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible: b) ( punto) Resuélvalo, si es posible, para λ. x λy λz 4 λx λy z 6 λx λy λz 3 λ a) Compatible determinado para λ 0 y λ. Compatible indeterminado para λ. Incompatible para λ 0. 3 b) x, y, z 5 Junio 6. (3 puntos) a) ( puntos) Sea a un parámetro real cualquiera. Determine el rango de la matriz siguiente según los diferentes valores del parámetro a. a a A 0 0 a b) ( punto) Se considera una matriz de orden 3 3 cuyas columnas son C, C y C 3 y cuyo determinante es. Se define ahora la matriz B cuyas columnas son C, C 3 + C y 3C. Determine el determinante de la inversa de B, si existe. a) Para a y λ : rga 3 Para cualquier otro valor de a: rga. b) B 6 Septiembre 6. (3 puntos) a) ( puntos) Determine para qué valores de k el sistema que aparece a continuación es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible: x y kz 6 b) ( punto) Resuélvalo, si es posible, cuando k x ky z 0 kx y z 6 a) Compatible determinado para k, 0, Compatible indeterminado para k 0 y para k Incompatible para k b) x 3, y 3 λ, z λ 5
Septiembre 6. (3 puntos) a) (,5 puntos) Determine la matriz inversa, si existe, de la matriz siguiente: M 0 0 b) (,5 puntos) Determine la matriz A B siendo A y B las matrices solución del siguiente sistema: 4 A B 0 AB 0 3 a) M 0 0 b) 4 9 0 A B 3 6