2. LA FUNCIÓN VOLUMEN Definición 9. Volumen de un poliedro convexo Sea P el conjunto de todos los poliedros convexos del espacio, esto es P X / X es un poliedro convexo, X E. Definimos una función que llamaremos volumen y que designaremos por V, con dominio en el conjunto P y codominio en el conjunto IR + (números reales positivos) con las siguientes propiedades: V : P IR + donde V( ) se lee el volumen del poliedro Esta función satisface cuatro propiedades así: P. A todo cubo de arista con longitud igual a l se le asigna como volumen l. En particular a un cubo de arista con longitud igual a unidad de longitud, su volumen corresponde a esto es a una unidad cúbica. En este caso decimos que el cubo es unitario. P 2. Si dos poliedros convexos son congruentes, entonces tienen el mismo volumen. P. Si un poliedro convexo se particiona en un número finito n de poliedros convexos,,..., n, entonces V V V 2... V n. Esta propiedad se designa también como Postulado de adición del volumen. Nota: X V(X ) La intersección de dos poliedros cualesquiera de la partición es el conjunto vacío, un punto, un segmento (arista) ó un polígono. 2 P 4. Sean y dos poliedros convexos, un plano dado. Si todo plano paralelo a y que interseca a y a determina en esto secciones transversales de igual área, entonces V V. Esta propiedad se llama también el Postulado de Cavalieri.
Nota: Utilizamos también los términos capacidad o medida de un poliedro convexo para indicar su volumen. Así dado un poliedro convexo... 2 k designamos V A... A2 Ak ó C AA... 2 Ak ó m AA... 2 Ak su volumen. Definición 92. Poliedros convexos equivalentes Son aquellos poliedros convexos que tiene el mismo volumen. Convención. Si V Observación: V, esto lo notaremos X A continuación presentamos los teoremas que nos precisan los volúmenes de los poliedros convexos en las dos categorías establecidas para su clasificación, todos ellos se pueden demostrar utilizando básicamente las cuatro propiedades de la función volumen, en forma análoga al procedimiento que empleamos en su momento para demostrar las áreas de los polígonos convexos, utilizando únicamente las propiedades de la función área. Por las razones indicadas previamente solo procederemos a la demostración de algunos teoremas, pero el orden lógico propuesto, permite la demostración de todos y cada uno de ellos. Corolario. A A A El volumen de un cubo es igual al producto del área de una cualquiera de sus caras por la distancia a la cara opuesta. Figura 24
Demostración Sea el cubo de vértices ABCDEFGH como se indica en la figura 24 de longitud de arista l. Hipótesis El volumen de este cubo es igual a hipótesis, esto es V ABCDEFGH l. A su vez l l 2. l por propiedad asociativa del producto, pero por propiedad P de la función volumen y la por el teorema correspondiente al área de un cuadrado y l AE, siendo AE la distancia entre las caras opuestas ABCD y EFGH por definición de cubo. En consecuencia Se designan como dimensiones del paralelepípedo rectángulo las longitudes de dos aristas adyacentes de la base y una arista lateral, estas usualmente se denominan también: largo, ancho y alto. Corolario 2. l El volumen de un cubo es igual al área de la base por la altura. 2 cuadrado A cuadrado ABCD l V ABCDEFGH A ABCD distancia entre estas dos caras opuestas. Corolario. Volumen de un paralelepípedo rectángulo El volumen de un paralelepípedo rectángulo es igual al producto de sus tres dimensiones. TEOREMA 9. El volumen de un paralelepípedo rectángulo es igual al producto del área de la base por la altura.
Figura 25 Demostración Sea el paralelepípedo rectángulo de vértices ABCDEFGH de aristas en la base de longitudes a y b, y de arista lateral de medida c, como se indica en la figura 25. Hipótesis. Consideremos el caso más simple en el cual a, b, c Z (positivos). Podemos particionar el rectángulo ABCD en un total de a b cuadrados unitarios, y dividir el segmento AF en c segmentos unitarios y por cada una de estas divisiones trazamos un plano paralelo a la base ABCD. De esta manera podemos particionar el paralelepípedo rectángulo en un total de a b c cubos unitarios y por la propiedad P de la función volumen, tenemos que V ABCDEFGH abc Área ab c ABCD Por la propiedad asociativa en producto Área de la base por la altura En el caso general se toman segmentos unitarios más pequeños que permitan determinar finalmente un cubo unitario y llegar a la misma expresión. c
Este tema tiene que ver con la teoría de la medida y la expresión de un número real como una aproximación de números racionales, en el capítulo 4 correspondiente a los axiomas de medida se puede analizar este proceso. TEOREMA 20. Volumen de un paralelepípedo recto (Ortoedro). El volumen de un paralelepípedo recto es igual al producto del área de la base por la medida de la altura. Figura 26 Demostración Sea el paralelepípedo ABCDEFGH de la figura 26a recto, con aristas adyacentes a la base de dimensiones a y b, con dimensión c. Hipótesis. Por los vértices A y B de la base determinemos AD ' DC y BC ' DC. Figura 26b. Por los vértices E y F de las bases determinemos EH ' HG y FG ' HG. Los triángulos rectángulos: ADD ' BCC ' EHH ' FG ' G por el caso hipotenusa cateto, a partir de la hipótesis y en consecuencia el prisma triangular BC ' CFGG ' ADD ' EHH ', de donde se desprende que BC ' CFGG ' ADD ' EHH ', figura 26b.
Ahora V ABCDEFGH V ABC ' DEFG ' H V BC ' CFG ' G su vez: por la propiedad P, a ' ' ' ' V ABCDEFGH V ABC DEFG H V ADD EHH ' ' ' ' ' ' ' ' ' V ABC DEFG H V ADD EFG H V ABC D EFG H por propiedad P 2, pero nuevamente por la propiedad P, pero ABC D EFG H es un paralelepípedo rectángulo y en consecuencia ' ' ' Área ' ' V ABC D EFG H ABC D AE por el corolario del teorema 9, las congruencias anteriores establecidas para los triángulos BC ' C y ADA ' nos permite afirmar que ABC ' D' ABCD y por lo tanto V ABC ' D' EFG ' H ' Área ABCD AE y finalmente por la transitividad V ABCDEFGH Área ABCD AE. Demostración TEOREMA 2. Volumen de un paralelepípedo El volumen de un paralelepípedo es igual al producto del área de la base por la medida de la altura. Figura 27 Sea el paralelepípedo ABCDEFGH de base con aristas de magnitud a y b, con arista lateral de medida c y altura de medida h como se indica en la figura 27a. Hipótesis. En el mismo plano que contiene la base ABCD, construyamos la base del paralelepípedo A B C D E F G H recto, esta base es congruente al paralelogramos ABCD y en
consecuencia de aristas con dimensiones a y b, la arista lateral de este último igual a h y por consiguiente su altura también tiene como medida h. En obvio que todo plano paralelo a y que intercepta a ambos paralelepípedos lo hace determinando secciones transversales equivalentes (paralelogramos congruentes a ABCD y a A B C D respectivamente) por lo tanto por la propiedad P 4 (Postulado de Cavalieri) ambos paralelepípedos son equivalentes y concluimos que: V ABCDEFGH Área ABCD h. TEOREMA 22. Volumen de un prisma triangular recto El volumen de un prisma triangular recto es igual al producto del área de la base por la altura. Demostración Sea el prisma triangular recto ABCDEF como se indica en la figura 28a. Figura 28
Construyamos el prisma triangular recto ACT DFQ congruente con el prisma ABCDEF como se indica en la figura 248b, luego ABCDEF ACT ' DFQ ' por la propiedad P 2 de la función volumen. A su vez el poliedro ABCT DEFQ es un paralelepípedo recto y en consecuencia tenemos V ABCT ' DEFQ ' Área ABCT ' AD por el Teorema 20. ' ' 2V ABCDEF V ABCT DEFQ equivalencia de volúmenes establecida. Pero 2V ABCDEF Área ABCT' 2 Esto es V ABCDEF Nota: Área ABC V ABCDEF AD Área de la base por la propiedad P de la función volumen y la AD altura Corolario. Volumen de un prisma triangular cualquiera El volumen de todo prisma triangular es igual al producto del área de la base por la medida de su altura Corolario 2. Volumen de un prisma cualquiera El volumen de todo prisma, cualquiera que sea su base, es igual al producto del área de la base por la medida de su altura. Para su demostración utilice el Teorema 22, Corolario. Ver la figura 29.
Figura 29 Teorema 2. Volumen de una pirámide triangular (tetraedro) El volumen de una pirámide triangular es igual a la tercera parte del volumen de un prisma triangular de la misma base y de la misma altura Sea la pirámide triangular D-ABC como se muestra en la figura 240a con altura de medida h. Figura 240
La demostración se puede desarrollar en dos etapas así:. Se demuestra que dos tetraedros que tienen la misma base e igual altura son equivalentes, en las figuras 240a y 240b se ilustran dos tetraedros con estas condiciones. 2. Se construye el prisma de base en el ABC a partir del tetraedro D-ABC como se indica en la figura 240a y se particiona este prisma en los tetraedros D-ABC, C-DTS y D-ACS, como se muestra en las figuras 24a y 24b y se prueban que estos tetraedros son equivalentes. Se concluye en consecuencia que V D ABC Área ABC h V D ABC V ABCSDT, esto es, Téngase en cuenta que la altura del tetraedro D-ABC es la misma que la del prisma ABCSDT (distancia entre dos planos paralelos) Figura 24 Corolario El volumen de una pirámide de base triangular es igual a la tercera parte del área de la base por la medida de su altura.
Teorema 24. Volumen de la pirámide El volumen de una pirámide cualquiera que sea su base es igual a un tercio del área de la base por la medida de su altura. Demostración Consideremos dos casos generales así: Caso. Pirámide de base triangular. Esta situación se consideró en el teorema 2, volumen del tetraedro. Caso 2. Pirámide de base no triangular. Sea la pirámide V-ABCDEFG de altura con medida h. (Hipótesis) como se indica en la figura 242a. Figura 242 Particionemos la pirámide V-ABCDEFG en los cinco tetraedros de vértice común en el punto V, V-AFG, V-AEF, V-ADE, V-ACD y V-ABC respectivamente como se indica en la figura 242b. V V ABCDEFG V V AFG V V AEF V V ADE V V ACD V V ABC Por la propiedad P de la función volumen. A su vez tenemos para cada uno de los tetraedros anteriores:
V V AFG A AFG h V V AEF A AEF h V V ADE A ADE h V V ACD A ACD h V V ABC A ABC h 2 4 5 Teorema 2, volumen del tetraedro Sumando miembro a miembro las ecuaciones () a (5) obtenemos: V V AFG V V ADE V V ACD V V ABC = A AFG A AEF A ADE A ACD A ABC h = A ABCDEFG h Corolario Dos pirámides con bases equivalentes y de igual medida en sus alturas son equivalentes.