Probabilidad Definiciones Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo bajo las mismas condiciones un número indefinido de veces. Experimento aleatorio: Es aquel experimento cuyo resultado no se puede predecir, es decir, conociendo el conjunto de resultados posibles, no es posible predecir cual será el resultado particular del experimento. Experimento determinístico: Es aquel experimento cuyo resultado se puede predecir. Espacio muestral: Es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. Se representa por E. Evento o suceso: Es un resultado particular de un experimento aleatorio. En otras palabras, es un subconjunto del espacio muestral. Tipos de eventos Evento o suceso cierto: Es el propio espacio muestral, es decir, es un evento que siempre ocurrirá. Evento o suceso imposible: Es aquel subconjunto del espacio muestral que no tiene elementos, es decir, es el conjunto vacío y está asociado a algun evento que nunca puede ocurrir. Eventos mutuamente excluyentes: Son aquellos en los cuales la ocurrencia de uno de ellos impide la ocurrencia de los otros (no pueden ocurrir simultáneamente). En otras palabras, cuando dos o más eventos no tienen elementos comunes. Eventos Complementarios: Son aquellos eventos que no tienen elementos comunes y la unión de ellos es el espacio muestral. Observación: En todos los experimentos que se realicen con monedas, dados, cartas, bolitas, etc..., se supondrá que no están cargados o trucados, a no ser que se indique otra cosa. Probabilidad clásica La probabilidad de ocurrencia de un suceso A se obtiene dividiendo el número de casos favorables al evento A por el número total de casos posibles (cardinalidad del espacio muestral). La probabilidad de A se denotará por P(A). Número de casos faborables para A P(A)= número total de casos posibles Observación: La probabilidad de que un suceso A ocurra es igual a uno menos la probabilidad de que no ocurra. P(A) = 1 P(A ); A = A no ocurre. 0 P(A) 1 o bien 0% P(A) 100%.
Probabilidades de eventos Si A y B son dos sucesos no excluyentes (pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la probabilidad de que ocurran A o B o ambos está dada por: P(A o B) = P(A B) = P(A)+P(B) P(A B) Si A y B son dos sucesos excluyentes (no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la probabilidad de que ocurra A o B está dada por: P(A o B) = P(A B) = P(A)+P(B) Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno no influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro. P(A y B) = P(A B) = P(A) P(B) Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. La probabilidad condicional de A, dado B, se calcula como la probabilidad del suceso A, bajo la suposición de que el suceso B ha ocurrido. P(A/B) = P(A B) P(B) Probabilidad y triángulo de Pascal (Caras y sellos) En el triángulo de Pascal se aprecia cuántas combinaciones de caras y sellos pueden salir al lanzar monedas. Así se puede averiguar la probabilidad de cualquier combinación. Por ejemplo, si se lanza una moneda tres veces, sólo hay una manera de sacar tres caras (CCC), pero hay tres maneras de sacar dos caras y un sello (CCS, CSC, SCC), también tres de sacar una cara y dos sellos (CSS, SCS, CSS) y sólo una de sacar tres sellos (SSS). En resuen la secuencia numérica en el triángulo de pascal será: 1-3 - 3-1.
Ejemplo: Cuál es la probabilidad de sacar exactamente dos caras en el experimento de lanzar 4 monedas? Hay 1+4+6+4+1 = 16 (o 4 4 = 16) resultados posibles, y 6 de ellos dan exactamente dos caras. Así que la probabilidad es 6 16, o 37,5% Triángulo de Pascal Diagrama de arbol: Representa de manera gráfica todos los resultados posibles del experimento de lanzar una moneda reiteras veces. Por ejemplo, calcular la probabilidad de obtener dos veces cara y una vez sello al lanzar tres veces seguidas una moneda. Resultados favorables: 8 (CCC - CCS - CSC - CSS - SCC - SCS - SSC - SSS) Casos favorables: 3 (CCS - CSC - SCC) Probabilidad = 3 8
La ley de los grandes números, también llamada ley del azar, afirma que al repetir un experimento aleatorio un número de veces, la frecuencia relativa de cada suceso elemental tiende a aproximarse a un número fijo, llamado probabilidad de un suceso. Observa la siguiente tabla, en la que se han anotado las frecuencias del suceso salir cara al lanzar una moneda. Lanzamientos 100 150 200 300 400 500 f i 56 68 108 132 208 255 h i 0,56 0,45 0,54 0,44 0,52 0,51 Al aumentar los lanzamientos, las frecuencias relativas se aproximan a un valor 0,5. probabilidad del suceso salir cara al lanzar una moneda. Ésa es la La probabilidad de un suceso es el número al que se aproxima su frecuencia relativa cuando el experimento se repite un gran número de veces. Ejercicios 1. La probabilidad de extraer una bola roja de una caja es 1. Cuál es la probabilidad de sacar 3 una bola que no sea roja? a) 1 3 b) 1 c) 2 3 d) 1 6 e) Falta información 2. Se lanzan dos dados de distinto color. Cuál es la probabilidad de que sumen 3 ó 4? a) 1 6 7 b) 36 4 c) 36 5 d) 36 e) 21 36
3. Una rueda está dividida en 8 sectores iguales, numeradas del 1 al 8. Cuál es la probabilidad de obtener un número impar y mayor que 3? a) 7 8 b) 1 4 c) 1 2 d) 3 8 e) 5 8 4. En una caja hay 50 fichas de igual peso y tamaño. 12 son rojas, 20 son cafés y 18 son amarillas. Cuál es la probabilidad de sacar una roja, una café, una amarilla y nuevamente una roja, en ese orden y sin reposición? a) 12 50 + 20 50 + 18 50 + 11 50 b) 12 50 + 20 49 + 18 48 + 11 47 c) 12 50 20 50 18 50 12 50 d) 12 50 20 49 18 48 12 47 e) 12 50 20 49 18 48 11 47 5. En la figura, se tiene una ruleta en que la flecha puede indicar cualquiera de los 4 sectores y ella nunca cae en los límites de dichos sectores. Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)? I) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 1 es de 1/2 II) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 2 es de 1/4 III) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 2 ó en el 3 es de 2/3 a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y II e) I, II y III
6. En una urna hay 4 fichas de colores diferentes: roja, azul, verde y amarilla. Una persona saca una a una las 4 fichas, cuál es la probabilidad de sacar la ficha verde antes de la roja? a) 1 4 b) 1 2 c) 3 4 d) 1 8 1 e) 24 7. Alberto, Bastián y Carlos juegan a lanzar un dado 2 veces y gana el que obtiene una suma par. En el primer lanzamiento Alberto obtiene un 2, Bastián un 3 y Carlos un 6. Cuál de las afirmaciones siguientes es verdadera? a) Todos tienen probabilidad 1/2 de ganar. b) Todos tienen probabilidad 1/3 de ganar. c) El que tiene más probabilidad de ganar es Carlos. d) Carlos tiene más probabilidad de ganar que Alberto. e) Bastián tiene menos probabilidad de ganar que Alberto y Carlos. 8. Cuál es la probabilidad que al lanzar 3 monedas, simultáneamente, 2 sean caras y 1 sea sello? a) 3 8 b) 1 8 c) 2 8 d) 1 3 e) 2 3 9. Cuál es la probabilidad de obtener tres números unos al lanzar tres dados? 3 a) 216 1 b) 216 c) 3 8 1 d) 18 e) Ninguno de los valores anteriores
10. En una tómbola hay 11 pelotitas de igual tamaño y peso numeradas del 1 al 11. Las primeras 5 son rojas y las otras pelotitas restantes son negras. La probabilidad de que al sacar una pelotita al azar, ésta sea roja y par es: a) 1 2 b) 2 5 c) d) 5 11 2 11 e) 1 4 11. Si la probabilidad de que ocurra un suceso es de 0,45, cuál es la probabilidad de que el suceso no ocurra? a) 0,45 b) 0,55 c) 0,65 d) -0,45 e) -0,55 12. En cual de los siguientes eventos la probabilidad de ocurrencia es igual a 1? a) Nacer en un año bisiesto b) Que al tirar una moneda salga cara c) Que al sacar 10 cartas de un naipe, ninguna sea trébol d) Que un mes tenga 30 días e) Que al tirar un dado, el número obtenido sea igual o inferior a 6 13. Un dado se lanza 100 veces y se obtienen los siguientes resultados Cara 1 2 3 4 5 6 Frecuencia 13 15 17 16 20 19 Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La probabilidad de obtener par es de un 50% II) La probabilidad de obtener las caras 1 ó 3 es de 30% III) La probabilidad de obtener la cara 5 es de 20% a) Sólo II b) Sólo III c) Sólo I y II d) Sólo II y III e) I, II y III
14. Al lanzar un dado común, cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) Que salga un 2 es más probable que salga un 6. II) La probabilidad de obtener un número impar es 1 2. III) La probabilidad de obtener un número múltiplo de 3 es 1 6. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo II y III e) I, II y III 15. Se lanza una vez un dado común, cuál es la probabilidad de que salga un número menor que 2 o mayor que 4? a) 1 6 b) 1 2 c) 1 3 d) 2 3 e) 5 6 16. En un liceo hay 180 estudiantes repartidos por nivel de la siguiente forma: PRIMERO SEGUNDO TERCERO CUARTO Niños 15 20 18 12 Niñas 30 25 27 33 Si se elige un estudiante al azar cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La probabilidad de que sea un niño es 65 180. II) La probabilidad de que sea un estudiante de tercero es 45 180. III) La probabilidad de que sea una niña y de segundo es 25 45. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo II y III e) I, II y III
17. Un competidor debe partir desde M, como se muestra en la figura, y recorrer distintos caminos para llegar a P, Q, R, S o T, sin retroceder. A cuál(es) de los puntos tiene mayor probabilidad de llegar el competidor? a) P b) Q c) R d) S e) T 18. En una caja hay 8 bolitas negras y 4 blancas, todas del mismo tipo. Cuál es la menor cantidad de bolitas de cada color que se pueden eliminar de la caja, para que al sacar una bolita al azar la probabilidad de que ésta sea negra, sea 3 4? a) 1 blanca y 0 negra b) 0 blanca y 1 negra c) 0 blanca y 5 negras d) 3 blancas y 5 negras e) 2 blancas y 2 negras 19. Se tienen nueve fichas del mismo tipo, numeradas del 1 al 9. Si se eligen al azar dos fichas, cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ellas sea diferente de 10? a) 8 9 b) 17 18 c) 16 17 9 d) 10 e) 7 8 20. Si se ha lanzado 3 veces un dado común y en las tres ocasiones ha salido un 4, cuál es la probabilidad de que en el próximo lanzamiento salga un 4? a) 1 3 b) 1 6 c) 1 4 d) 3 6 e) 4 6
21. Un club de golf tiene 1.000 socios, entre hombres y mujeres, que participan en las categorías A (adultos) y B (juveniles). Se sabe que 220 hombres juegan en B, 180 hombres en A y 250 mujeres en B. Si se elige un socio del club, cuál es la probabilidad de que sea mujer y juegue en la categoría A? a) b) 1 4 7 13 1 350 c) 3 5 7 d) 12 7 e) 20 22. Si Se lanzan dos dados comunes, cuál es la suma de puntos que tiene mayor probabilidad de salir? a) 12 b) 10 c) 9 d) 7 e) 6 23. En un automóvil viajan 5 personas, dos adelante y tres atrás. Si solo uno de ellos sabe manejar. De cuántas formas se pueden ordenar? a) 5 b) 6 c) 10 d) 24 e) 120 24. En un mazo de naipes de 52 cartas hay 4 reyes. Si se extraen dos cartas sin reposición. Cuál es la probabilidad de sacar dos reyes? 3 a) 52 2 51 4 b) 52 3 51 3 c) 52 1 51 4 d) 52 3 e) 51
25. En una urna hay bolitas blancas y grises numeradas del 1 al 9. Cuál es la probabilidad de sacar una bolita gris con un número par? a) 4 9 b) 2 9 c) 3 9 d) 1 9 e) 5 9 26. Al lanzar un dado dos veces. Cuál es la probabilidad de que salga un 5 en la primera y un 2 en la segunda? a) 1 6 b) 2 6 1 c) 12 1 d) 36 7 e) 36 27. En un juego de azar hay 30 resultados posibles y equiprobables. José tiene 10 resultados probables, Paula tiene 8 y Mauricio tiene el resto. De las afirmaciones siguientes. Cuál(es) es(son) verdadera(s)? I) Mauricio tiene la mayor probabilidad de ganar. II) La probabilidad de que Paula No gane es 4 15. III) José tiene 1 3 de probabilidad de ganar. a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I y III e) I, II y III
28. En cuál de los siguientes colegios existe mayor probabilidad de que al elegir un alumno al azar este sea extranjero? a) F b) J c) H d) I e) G Colegio Total de alumnos Extranjeros F 380 20 G 580 29 H 600 30 I 450 25 J 400 20 29. En cual(es) de las siguientes afirmaciones, la probabilidad de ocurrencia el suceso mencionado, es siempre igual a la probabilidad de no ocurrencia del mismo suceso? I) Que salga sello en el lanzamiento de una moneda. II) Que salga un número impar, al lanzar un dado común. III) Que salga una ficha verde al extraerla al azar, desde una urna que contiene solo fichas rojas y verdes, todas del mismo tipo. a) Solo en I b) Solo en III c) Solo en I y en II d) Solo en I y en III e) En I, en II y en III 30. Al lanzar cuatro dados comunes, cuál es la probabilidad de que en todos los dados salga un 4? a) b) 1 6 1 1296 c) 4 6 4 d) 1296 e) Ninguno de los valores anteriores
Estadística La estadística es una rama de la matemática que comprende Métodos y Técnicas que se emplean en la recolección, ordenamiento, resumen, análisis, interpretación y comunicación de conjuntos de datos Definiciones Población: Es un conjunto, cuyos elementos poseen alguna característica común que se quiere estudiar, ya sea de individuos, de animales, de objetos, de métodos, de medidas, de producciones, de acontecimientos o de sucesos. Las poblaciones pueden ser finitas o infinitas. Muestra: Es un subconjunto de la población, que debe ser representativa y aleatoria. Variable Cualitativa: Se refieren a un atributo (no son numéricas), por ejemplo: sexo, nacionalidad, profesión, etc. Variable cuantitativa: Tienen un valor expresado por un número real, por ejemplo: peso, temperatura, salario, etc. Las variables cuantitativas pueden ser de dos tipos: Discretas: Toman solo valores enteros, por ejemplo: número de hijos, número de departamentos en un edificio, etc. Continuas: Susceptibles de tomar cualquier valor real, por ejemplo: el peso, la estatura, etc. Tabulación de datos La tabulación consiste en presentar los datos estadísticos en forma de tablas o cuadros. Algunos conceptos importantes a considerar en ella son: Frecuencia (n i ): Número de veces que se repite un dato (también se le denomina frecuencia absoluta) Frecuencia relativa (fr): Es el cuociente entre la frecuencia absoluta de uno de los valores de la variable y el total de datos Frecuencia acumulada (fac): Es la que se obtiene sumando ordenadamente las frecuencias absolutas hasta la que ocupa la última posición Frecuencia relativa acumulada (frac): Es la que se obtiene sumando ordenadamente la frecuencia relativa hasta la que ocupa la última posición Amplitud del intervalo: Es la diferencia entre los límites superior e inferior Marca de Clase: Es el valor central (promedio aritmético) entre los límites superior e inferior de cada intervalo
Medidas de tendencia central Media aritmética: Es el cuociente entre la suma de todos los datos y el número de datos. Para encontrar la media aritmética con datos organizados en una tabla de frecuencias, siendo los datos: x 1,x 2,x 3,...,x n, y las frecuencias respectivas: f 1,f 2,f 3,...,f n, entonces la media aritmética es: X = n i=1 x i f i N Moda (Mo): Es el dato que aparece con mayor frecuencia, es decir, el que más se repite. Si no hayundatoquetengamayorfrecuenciaqueotrosedicequeladistribucióndefrecuenciaesamodal Mediana (Me): Es el dato que ocupa la posición central de la muestra cuando estos se encuentran ordenados en forma creciente o decreciente. Si la muestra tiene un número par de datos, la mediana es la media aritmética de los dos términos centrales Representación gráfica de datos Pictogramas: Se aplican a las variables de tipo cualitativo y aquellas de tipo cuantitativo que plantean comparaciones. Utilizan para su grafismo representaciones de las variables, de tamaño proporcional a la frecuencia con que aparece cada uno. Gráfico por sectores (torta): La representación gráfica se hace por medio de un círculo, dividido en sectores de áreas proporcionales a las frecuencias de la variable.
Diagrama de barras: Se utiliza para variables discretas. Los valores de la variable aparecen, junto con su frecuencia, representados en forma de barras o segmentos, de longitud proporcional a la frecuencia. Histogramas: Mediante un histograma se representa gráficamente las distribuciones de frecuencias de variables estadísticas continuas. Se construyen rectángulos que tienen como bases cada intervalo de la variable y como alturas las respectivas frecuencias de dichos intervalos. Polígono de frecuencias: Cada par ordenado (Variable,Frecuencia)=(x i,f i ) da origen a un punto del diagrama cartesiano. Al unir dichos puntos por medio de una línea poligonal, se obtiene un polígono de frecuencias.
Medidas de localización Los cuantiles son medidas de posición o localización que no necesariamente son centrales, pero informan acerca de como distribuyen los datos. Cuartiles: Son valores de la variable que dividen a la distribución en cuatro partes iguales, por lo tanto los cuartiles son tres C 1 que deja por detrás de él al 25% de la población, C 2 que divide a la población en dos partes iguales y C 3 que deja atrás al 75% de la población. Deciles: Son valores e la variable que dividen a la distribución en diez partes iguales, por lo tanto los deciles son nueve, D 1 deja al 10% antes, D 2 al 20% y así sucesivamente hasta D 9 que deja al 90% antes y al 10% después de él. Percentiles: Son valores de la variable que dividen a la distribución en cien partes iguales, por lo tanto los percentiles son 99. En realidad tanto cuartiles como deciles se calculan con el correspondiente percentil. D 1 = P 10 D 9 = P 90 C 1 = P 25 C 2 = D 5 = P 50 = ME. Medidas de dispersión Las medidas de dispersión nos indican el mayor o menor alejamiento de los valores de una variable respecto a un promedio. Casi siempre acompañando a un promedio debe ir una medida de dispersión que nos indica la mayor o menor representatividad del promedio. Las medidas de dispersión absoluta más utilizadas son: Rango o recorrido. Recorrido intercuartílico. Desviación media. Varianza. Desviación típica. Rango o recorrido: Es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable. R = x n x 1 Recorrido intercuartílico: Es la diferencia entre el tercer y primer cuartil. R I = Q 3 Q 1 Desviación media: Es la suma de los valores en valor absoluto de la diferencia entre cada valor de la variable y la media aritmética por su frecuencia y dividido por el número de datos. n ( xi X ) f i D X = i=1 N
Varianza: Corresponde al promedio de los cuadrados de las diferencias entre cada dato y el promedio del conjunto dado. n ( xi X ) 2 fi σ 2 = i=1 N Propiedades: 1. La varianza siempre es mayor o igual que cero. Tan solo hay un caso en que es cero y es cuando todos los valores de la variable son iguales. 2. Si a los valores de la variable le sumo una constante, la varianza de la nueva variable es la misma que la que tenía antes. 3. Si a los valores de la variable se les multiplica por una constante, la varianza de la nueva variable es la que tenía por el cuadrado de la constante. 4. la varianza de la variable Y = ax+b es la varianza de X multiplicada por el cuadrado de a. 5. Cálculo abreviado de la varianza que es la fórmula más utilizada: σ 2 = n i=1 n x 2 i X 2 Desviación típca o estandar (σ): Es la raíz cuadrada positiva de la varianza y es la medida de dispersión más utilizada. n ( xi X ) 2 fi i=1 σ = N Coeficiente de variación de Pearson: Nos indica la mayor o menor homogeneidad de los datos respecto de la media y por lo tanto nos entrega la representatividad de la media de la distribución. CV x = σ x X EJERCICIOS 1. Si se suman las edades de 8 personas y ese resultado se divide por 8, qué se obtiene? a) Mediana b) Media Aritmética c) Moda d) Media geométrica e) Desviación estándar
2. El promedio del peso de 5 hombres es de 76 kg. Cuánto pesa el quinto si la suma de los 4 primeros es 302? a) 78 b) 68 c) 62 d) 58 e) 72 3. La tabla adjunta muestra las edades de 220 alumnos de un colegio. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La moda es 17 años. II) La mediana es mayor que la media (promedio). III) La mitad de los alumnos del colegio tiene 17 o 18 años. a) Solo I b) Solo II c) Solo I y II d) Solo II yiii Edad ( en años ) 15 16 17 18 19 Alumnos 50 40 60 50 20 e) I, II y III 4. El gráfico circular de la figura muestra las preferencias de 30 alumnos en actividades deportivas. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s)? I) La frecuencia relativa del grupo de fútbol es de 40%. II) La frecuencia relativa del grupo de básquetbol es de 30%. III) La mitad del grupo no prefirió fútbol ni tenis. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo II y III e) I, II y III
5. El gráfico de la figura apareció en un periódico de una ciudad. En él se indica la preferencia por el noticiero central de cinco canales de televisión, según una muestra aleatoria, en un año determinado. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) De acuerdo a la muestra el noticiero central con menor probabilidad de ser visto es TV5. II) El gráfico muestra exactamente la realidad de las preferencias de los noticieros centrales de esta ciudad. III) Aproximadamente, un cuarto de la muestra no ve los noticieros centrales de estos cinco canales. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo I y III e) I, II y III 6. Si se tabularan las frecuencias de las estaturas y color de ojos de los alumnos de un curso, cuál de las opciones siguientes es siempre verdadera? a) Con la moda de las estaturas se determina la estatura promedio del curso. b) Con la mediana del color de ojos se determina el color de ojos que predomina. c) Con el promedio de las estaturas se determina la estatura más frecuente. d) Con la mediana de las estaturas se determina la estatura más frecuente. e) Con la moda del color de ojos se determina el color de ojos que predomina. 7. La tabla adjunta muestra la distribución de los puntajes obtenidos por los alumnos de un curso en una prueba de matemática. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El total de alumnos que rindió la prueba es 40. II) La mediana se encuentra en el intervalo 20-29. III) El intervalo modal (o clase modal) es el intervalo 30-39. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y III e) I, II y III Intervalos de puntaje Frecuencia 10 19 6 20 29 8 30 39 12 40 49 5 50 59 9
8. Tres cursos rindieron una misma prueba obteniéndose los resultados que se indican en la tabla adjunta. Cuál es el promedio total de la prueba? a) 4,25 b) 5,00 c) 5,16 d) 5,25 Curso Número de alumnos Promedio P 20 6 Q 18 5 R 12 4 e) 5,50 9. Los resultados obtenidos por un curso en una prueba de Física fueron: 4; 5; 6; 6; 5; 3; 4; 7; 6; 5; 4; 5; 5; 6 y 4. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? a) Sólo II b) Sólo III c) Sólo I y II d) Sólo II y III I) La mediana es 7 II) La moda es 5 III) La media aritmética (o promedio) es 5 e) I, II y III 10. El cuadro siguiente muestra el número de artículos vendidos en distintos días de la semana y uno de sus valores acumulados Cuántos artículos se han vendido en total hasta el término del día miércoles? a) 24 b) 20 c) 30 d) 8 e) Ninguna de las anteriores Días N de artículos Total acumulado Lunes Martes 12 16 Miércoles 8 Jueves 6 11. Una misma prueba se aplica a dos cursos paralelos. Uno de ellos, con 20 estudiantes, la nota promedio fue 6 y, en el otro, con 30 estudiantes, la nota promedio fue 5. Entonces, la nota promedio correspondiente al total de alumnos de ambos cursos es: a) 5,7 b) 5,6 c) 5,5 d) 5,4 e) 5,3 12. En una muestra de alumnos de un colegio se tiene la siguiente distribución de edades. La moda y la mediana de las edades de ese grupo son: moda mediana a) 16 17 b) 17 15 c) 15 17 d) 5 1 e) 17 16 Edad Frecuencia 13 5 14 11 15 1 16 5 17 13
13. Un estudiante obtiene las siguientes calificaciones: 4,8; 4,2; 4,3; 4,7; 5,0 y 4,0. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Su media aritmética (o promedio) es 4,5. II) Si elimina el 4,8 y el 4,2 su promedio no cambia. III) Si elimina dos notas cualesquiera, su promedio no cambia. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo I y III e) I, II y III 14. A dos cursos distintos se les aplicó la misma prueba en iguales condiciones, obteniéndose las desviaciones estándares que se muestran en la tabla adjunta. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El curso Q es el más homogéneo. II) El curso R es el más homogéneo. III) El curso Q presenta mayor dispersión en las notas. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo II y III e) Ninguna de ellas Curso Promedio Desviación estandar Q 4,6 1 R 5,2 0,8 15. El gráfico de la figura, representa la distribución de los puntajes obtenidos por un curso en una prueba. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El 40% de los alumnos obtuvo 30 puntos. II) 30 alumnos obtuvieron más de 20 puntos. III) 1 10 de los alumnos obtuvo 10 puntos. a) Solo I b) Solo III c) Solo I y III d) Solo II y III e) I, II y III
16. En una muestra de alumnos de un colegio se tiene la siguiente distribución de edades Cuál de las siguientes fórmulas permite calcular la edad promedio de los alumnos de esta muestra? a) E 1 +E 2 +E 3 +E 4 4 b) E 1 +E 2 +E 3 +E 4 N 1 +N 2 +N 3 +N 4 c) N 1 E 1 +N 2 E 2 +N 3 E 3 +N 4 E 4 N 1 +N 2 +N 3 +N 4 d) N 1 E 1 +N 2 E 2 +N 3 E 3 +N 4 E 4 4 Edad Frecuencia E 1 N 1 E 2 N 2 E 3 N 3 E 4 N 4 e) N 1 +N 2 +N 3 +N 4 4 17. El gráfico siguiente muestra los precios de cierto producto durante el primer semestre de este año. Cuál(es) de las afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El precio más alto fue en Abril. II) El precio más bajo se registró en Junio. III) La mayor diferencia ocurrió en Mayo. a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I y II e) Ninguna de las anteriores. 18. Dados los siguientes datos : 3-6 - 4-6 - 5-6, la desviación típica es: 2 3 3 2 a) b) 4 c) 3 d) 1 3 e) 2 3 19. Tres muestras de datos han arrojado los siguientes parametros: I) x = 30, σ = 5 II) x = 30, σ = 3 III) x = 30, σ = 10 Cual de las siguientes es(son) la(s) más dispersa(s)? a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) Solo I y II e) Todas son presentan igual dispersión.
20. Dados los datos 1,3,5,7 y 9. si a cada uno le sumamos 10, podemos decir que: a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) Solo I y II e) Solo I y III I) La nueva media aritmetica es 10. II) La nueva mediana es 9. III) La nueva desviación tipica es 8. 21. Una muestra tiene los siguinetes datos: 2, 4, 6, 8, 5, 5, 7, 3, 5, 5. Por lo tanto el valor del rango es: a) 4 b) 5 c) 6 d) 10 e) No se puede determinar 22. Si se calcula la sumatoria de todas las diferencias al cuadrado, entre el promedio y cada uno de los dartos de una muestra, y posteriormente se calcula la raiz cuadrada del cuociente entre esta sumatoria y el total de datos, se obtiene: a) La mediana. b) El rango. c) La varianza. d) La desviación estándar. e) La media ponderada. 23. Si en una muestra de datos, todos son iguales Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdaderas? I) La media aritmetica es 0. II) La media, mediana y moda son iguales. III) La desviación tipica es 0. a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) Solo I y II e) Solo II y III
24. En la siguiente tabla se muestran los resultados obtenidos por dos cursos en un examen. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdaderas? Curso Promedio Varianza A 6 0, 36 B 6,5 1 I) El curso A es el más homogéneo. II) El curso B presenta menor dispersión en las notas. III) El promedio aproximado del total de alumnos de los dos curso es 6,3. a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) Solo I y III e) Ninguna de las anteriores. 25. Si la moda de una muestra es 5, la media aritmetica es 5 y el rango es cero. De las siguientes afirmaciones no se cumple que: a) La mediana es 5. b) No se puede determinar la cantidad de datos de la muestra. c) Todos los datos son iguales. d) La varianza es cero. e) Todas las afirmaciones anteriores son falsas. 26. Dados los siguientes conjuntos de datos: A = {2,4,6,8} B = {3,5,7,9} Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) con respecto a estos conjuntos? I) La varianza del conjunto A es mayor que la del conjunto B. II) Las medianas de ambos conjuntos son iguales. III) La moda del conjunto B es menor que la moda del conjunto A. a) Solo III b) Solo I y II c) Solo II y III d) I, II y III e) Ninguna de las anteriores. 27. Si a,b,c son tres números enteros cuya desviación estándar es σ,entonces la desviación estándar de pa, pb y pc, con n un número positivo, es a) p 2 σ b) σ c) pσ d) pσ e) 3pσ