FRANCISCO PARRA RODRÍGUEZ (Docor en Economía. Unversdad Naconal de Educacón a Dsanca) ECONOMETRÍA APLICADA I Economera Aplcada I by Francsco Parra Rodríguez s lcensed under a Creave Commons Reconocmeno-NoComercal-ComparrIgual 4. Inernaconal Lcense.
ÍNDICE Pare I PRESENTACIÓN... 4. LA ECONOMETRÍA: HISTORIA Y METODOLOGÍA... 6.. LOS ORÍGENES DE LA ECONOMETRIA... 6.. LOS MODELOS ECONOMÉTRICOS....3. LA METODOLOGÍA ECONOMÉTRICA... 4. EL MODELO LINEAL GENERAL... 8.. INTRODUCCIÓN... 8.. REGRESIÓN LINEAL SIMPLE. EL MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS.... 8.3. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE... 5.4. PROPIEDADES ESTADISTICAS DEl ESTIMADOR MÍNIMO CUADRADO.... 3.5. COEFICIENTES DE DETERMINACIÓN Y CORRELACIÓN PARCIAL... 3.5.. Coefcene de deermnacón... 3.5.. Coefcene de correlacón parcal... 35.6. INFERENCIA ACERCA DE LOS ESTIMADORES... 35.6.. Inervalos De Confanza... 36.6.. Conrases de Hpóess... 39.7. TABLA DE ANALIS DE LA VARIANZA (ANOVA)... 43.8. PREDICCIÓN EN EL MODELO DE REGRESIÓN... 44.9. ESTIMACIÓN DE UN MODELO DE REGRESIÓN LINEAL CON ECEL... 46.. ESTIMACIÓN DE UN MODELO DE REGRESIÓN LINEAL CON R... 54.. PROBLEMAS... 59 3. ETENSIONES AL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL... 6 3.. INTRODUCCIÓN... 6 3.. HETEROSCEDASTICIDAD... 65 3... Tes de Barle... 65 3... Conrase de Goldfeld-Quan... 66 3..3. Conrase de Whe... 69 3.3 AUTOCORRELACIÓN... 7 3.3.. Conrase de Durbn-Wason... 7 3.3.. Conrase de Breush-Godfrey... 75 3.4. DEFICIENCIAS MUESTRALES: MULTICOLINEALIDAD... 76 3.5. ERRORES DE ESPECIFICACIÓN... 79 3.5.. Omsón de una varable relevane... 8 3.5.. Inclusón de una varable nnecesara... 8 3.5.3. Especfcacón funconal ncorreca... 8 3.5.4. Conrase de errores de especfcacón... 83 3.6. MINIMOS CUADRADOS GENERALIZADOS... 84 3.7. PROBLEMAS... 9 4. MODELOS CON ERRORES EN LAS VARIABLES... 95 4.. INTRODUCCIÓN... 95 4.. TIPOS DE ERRORES DE MEDIDA... 96 4... Errores de medda en la varable endógena... 96 4... Errores de medda en la varable exógena... 97 4.3. ESTIMACIÓN DE MODELOS CON ERRORES EN LAS VARIABLES... 4.4. APLICACIÓN PRÁCTICA... 4.5. PROBLEMAS... 4 5. MODELOS CON VARIABLES CUALITATIVAS... 7 5.. MODELOS CON VARIABLES CUANTITATIVAS Y CUALITATIVAS COMO REGRESORES.... 7 5... Modelos ANOVA... 8 5... Modelos ANCOVA... 3
5.. EL EMPLEO DE VARIABLES CUALITATIVAS PARA EL TRATAMIENTO DE LA ESTACIONALIDAD... 5.3. APLICACIONES DE LAS VARIABLES CUALITATIVAS A LA REGRESIÓN POR TRAMOS.... 9 5.4. EL MODELO PROBABILÍSTICO LINEAL... 3 5.5. EL MODELO LOGIT... 3 5.6. EL MODELO PROBIT... 37 5.7. PROBLEMAS... 4 6. MODELOS CON DATOS DE PANEL... 45 6.. INTRODUCCIÓN... 45 6.. ESPECIFICACIÓN GENERAL DE UN MODELO DE DATOS DE PANEL... 46 6.3. VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LOS MODELOS DE DATOS DE PANEL... 49 6.4. MODELO DE EFECTOS FIJOS... 5 6.5. MODELO DE EFECTOS ALEATORIOS... 54 6.6. ELECCIÓN DE MODELO DE EFECTOS O EFECTOS ALEATORIOS... 56 6.7. PROBLEMAS... 63 7. MODELOS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS... 65 7.. INTRODUCCIÓN... 65 7.. FORMA ESTRUCTURAL Y REDUCIDA... 67 7.3. DETECCIÓN DE LA SIMULTANEIDAD. PRUEBA DE HAUSMAN... 7 7.4. IDENTIFICACIÓN DEL SISTEMA... 77 7.4.. Condcones de Orden y Rango en la Idenfcacón... 79 7.5. PROBLEMAS... 83 8. MÉTODOS DE ESTIMACIÓN DE MODELOS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS... 85 8.. INTRODUCCIÓN... 85 8.. MÍNIMOS CUADRADOS INDIRECTOS (MCI)... 85 8... Esmacón de curvas de ofera y demanda por MCI... 88 8... Esmacón de Haavelmo de la propensón margnal al consumo por MCI... 9 8.3. VARIABLES INSTRUMENTALES (VI)... 94 8.3.. Esmacón una funcón keynesana de consumo por VI... 98 8.4. MÍNIMOS CUADRADOS EN DOS ETAPAS (MCE)... 8.4.. Esmacón de un modelo de gasos e ngresos por MCE... 4 8.5. MODELOS RECURSIVOS... 8.5.. Esmacón de un Modelo Recursvo de Deermnacón de Precos y Salaros... 3 8.6. EJEMPLO PRÁCTICO: ESTIMACIÓN DE UN MODELO EACTAMENTE IDENTIFICADO POR MCI, VI Y MCE... 6 8.7. PROBLEMAS... 3 9. MÉTODOS DE ESTIMACIÓN NO LINEALES... 6 9.. INTRODUCCIÓN... 6 9.. ESTIMACIÓN DE UN MODELO DE MODELOS NO LINEALES POR MINIMOS CUADRADOS ORDINARIOS.... 7 9.3. MÍNIMOS CUADRADOS NO LINEALES... 9 9.3.. Algormo de Newon-Raphson... 3 9.4. EL ESTIMADOR DE MÁIMA VEROSIMILITUD... 34 9.5. APROIMACIÓN LINEAL DE TAYLOR... 36 9.6. PROBLEMAS... 4. MÉTODOS DE ESTIMACIÓN NO PARAMÉTRICOS... 4.. INTRODUCCIÓN... 4.. FUNCIÓN NUCLEO... 44.3. ESTIMADORES DE FUNCIÓN NUCLEO Y POLINOMIOS LOCALES... 49.4. REGRESIÓN POR SPLINES... 59.5. APROIMACIÓN POR SERIES DE FOURIER... 68.6. PROBLEMAS... 74 ANEO I. NOCIONES DE ALGEBRA MATRICIAL... 77 ANEO II. TABLAS ESTADÍSTICAS... 93 BIBLIOGRAFÍA... 3
PRESENTACIÓN En el año 4 el Deparameno de Economía Aplcada y Esadísca de la Unversdad Naconal de Educacón a Dsanca (UNED) encargó a los enonces profesores de la asgnaura economería I de Admnsracón y Dreccón de Empresas y Económcas, elaborar un exo de economería que srvera de bblografía básca para la msma, dcho exo que se publcó en Edcones Académcas bao el íulo de economería, fue revsado y acualzado en 7 y edado de nuevo por Edcones Académcas pero con un nuevo íulo: Economería Aplcada. En lo que sé, el manual sgue ulzándose como bblografía en la UNED, ya que en sepembre del 6 dee de ser profesor de dcha asgnaura. No obsane, durane el empo de docenca en la UNED ambén parcpe en oros cursos de posgrado para los cuales ambén elaboré dferene maeral docene: Curso de Conabldad Naconal y Tablas Inpu-Oupu y Curso de Efcenca y Producvdad, denro del Programa de Docorado del Deparameno de Economía Aplcada y Esadísca, y Máser en Economía Aplcada y Programa Modular Economía Aplcada. La pare que redacé de manual de Economería y Economería Aplcada se había basado a su vez en los apunes de oro curso de esadísca y economería para empleados públcos que mparí uno a Maurco Belrán Pascual denro de los programas de formacón de funconaros de la Juna de Caslla y León. El curso se denomnaba: Esadísca Aplcada a la Admnsracón Públca, y los maerales del curso acabaron edándose por la Juna de Caslla y León, sn ISBN, en una sere de Meodologías Esadíscas, bao el íulo: Apunes de Análss Esadísco Aplcados a la Admnsracón Públca. La sere uvo cora vda, a solo dos números, y con el empo el curso pasó a denomnarse Aplcacones Esadíscas en las Hoas de Cálculo, y Curso de Esadísca Descrpva y Análss de Daos con la Hoa de Calculo Excel, cuando se ncluyó en el año 7 en los programas de formacón del Cenro de Esudos de la Admnsracón Regonal del Goberno de Canabra. En el se programó el úlmo de aquellos cursos, ya que en el pase a mparr la asgnaura de Economería denro de la lcencaura y grado de Admnsracón y Dreccón de Empresas de la Unversdad de Canabra y andaba escaso de empo. Dado que había reundo un amplo maeral de recursos docenes ano de la asgnaura de economería I UNED, los cursos de posgrado en los que parcpe, como en los cursos mpardos para las admnsracones públcas, en 7 abrí un blog en wordpress: Hp://economera.wordpress.com/ en el que reuní una pare de aquellos documenos, que poserormene fu amplando ben con el maeral de oros cursos que me fueron encargados (Curso de Conabldad Trmesral) y análss esadíscos propos basados en Seres de Fourer. Del blog, los recurso más descargados fueros un curso de economería básca, y oro de
economería avanzado, que ha sdo sucesvamene acualzado con los análss esadíscos basados en seres de Fourer. Dado que ha sdo ya sufcene el empo que ha pasado desde la aparcón del prmer manual de economería edado por edcones académcas, me propuse acualzar ese con los conendos que se dfunden a ravés del blog, amplando los capíulos ya publcados, redacando nuevos capíulos sobre economería no parámerca, conegracón, regresón en dnámca de la frecuenca y el uso de flros desesaconalzadores, e ncorporando uno a los eemplos desarrollados en Excel oros desarrollados en R, sofware que esá ganando mucho erreno en la docenca de la economería. Enre dchos maerales se ncluye la base eórca de lbrería en R descomponer que elaboré para exraer endencas y esaconaldades en seres de empo en base al perodograma de la sere emporal. Dado que uno de los conendos de los cursos de formacón para las Admnsracones Públcas era la elaboracón de números índces de precos y candades, se ha ncludo oro capulo con esos conendos, a pesar de que los números ndces no es maera de las enseñanzas de economería. Al haber aumenado de forma noable el ndce de capíulos, se ha dvddo ese en dos pares, en la prmera se ncluyen los capíulos más generales sobre la écnca economérca y en una segunda pare los más específcos relavos a las seres emporales. Desde que cree el blog de economería aplcada, he comprobado que la mayor pare de las descargas proceden de Amérca Lana, supongo que esos maerales esán faclando de alguna u ora manera que los óvenes lanoamercanos puedan dsponer de maerales de economería en Casellano para complear sus esudos. Ese es en defnva el obevo úlmo de ese manual faclar el esudo y la aplcacón de la economería a la comundad de hspana de la manera más abera posble.
. LA ECONOMETRÍA: HISTORIA Y METODOLOGÍA.. LOS ORÍGENES DE LA ECONOMETRIA La Economería es una dscplna ndependene de la Esadísca medane la que se raa de conrasar la valdez empírca de la eoría económca medane modelos maemácos y esadíscos. Para lograr ese obevo se ulza como nsrumeno básco el modelo economérco, el cual raa de ser una represenacón smplfcada del mundo real medane la que es posble reproducr el comporameno y las nerrelacones que se dan enre dversas varables económcas. El érmno 'economería' fue ulzado por prmera vez por Pawel Compa en 9, sendo rescaado por Frsch en su arículo de 936 ulado Noe on erm Economercs ; ese auor, soco fundador de la Economerc Socey, le asgna el sgnfcado que arbumos en la acualdad a ese érmno. Dcho sgnfcado queda recogdo en el prmer arículo de los esauos de la menconada socedad, y en el msmo se mencona la necesdad del progreso de la eoría económca medane la ulzacón del análss esadísco y maemáco. En un sendo más formal, se han propueso a lo largo de la hsora dferenes defncones que apunan en la msma dreccón e negran los msmos elemenos (maemácas, esadísca y daos económcos). Samuelson, Koopmans y Sone (954) defnen la Economería como el análss cuanavo de fenómenos económcos acuales, basado en el desarrollo congruene de eoría y observacones, y relaconado por méodos apropados de nferenca ; Inrlgaor (978) señala que es la rama de la economía relaconada con la esmacón empírca de las relacones económcas. Chow (983) la defne como el are y cenca de usar méodos para la medda de relacones económcas. Sewar y Walls (984) consderan que la Economería es aquella cenca que se ocupa de la medcón de las relacones enre las varables económcas y de la confronacón de la eoría con la evdenca empírca. Fnalmene, Greene (993) señala que es el campo de la Economía que se refere a ésa como aplcacón de la Esadísca Maemáca y los nsrumenos de la Esadísca Inferencal a la medcón empírca de las relacones posuladas por la Teoría Económca.
S ben el érmno economería fue reconocdo en 936, se consdera a Henry Moore (94, 97) el prmer auor en efecuar una esmacón de relacones económcas de demanda a parr de esadíscas económcas. Las regresones lneales de Moore crearon escuela y enre sus segudores cabe desacar a Henry Schulz, Holbrook Workng y Paul Douglas, enre oros. Workng (97) planeó la esmacón de mercados en equlbro, descubró en sus rabaos los problemas asocados a los errores en las varables y planeó ncalmene la mporanca de las expecavas. Schulz (938) publcó un lbro ínegramene dedcado a la eoría y análss de la demanda en Esados Undos, demosrando una preocupacón permanene por la unón enre eoría y medda. La ora área de esudo con nerés para los poneros del análss esadísco económco, la consuían los cclos económcos. S ben en los rabaos ncales de Sr Wllam Pey se deaba consanca de los cclos, no será hasa el sglo I cuando renacerá la curosdad por su esudo. Así, el físco francés Clemen Juglar (89-95) es el prmero en ulzar las seres hsórcas para el esudo del cclo en los negocos, descubrendo un cclo para la nversón de 7 a años de duracón. A ese rabao le sguen los de Kchn, Kuznes y Kondraeff, denfcando un cclo de los nvenaros de 3 a 5 años, un cclo de la consruccón de 5 a 5 años y un cclo de acvdades a largo de 45 a 6 años. En general esos esudos de los cclos y los emprenddos poserormene por Mchell (97) y Burns y Mchell (947) en el Naonal Bureau of Economc Research, fueron de po morfológco y descrpvo, por lo que las relacones enre varables consuían un segundo plano de nerés. No servrán, por ano, de ayuda para el empue del análss economérco ya que sus obevos y meodología son dferenes. Por el conraro, los rabaos de Wrgh (95, 98), Workng (97), Tnbergen (93) y Frsch (933) sobre análss de la demanda, planeando el problema de la denfcacón en las relacones esrucurales enre varables económcas, senan las bases para el desarrollo economérco que culmnaría en la creacón de la Economerc Socey en 93, de la mano de Fsher, Frsch y Roos. Dcha socedad, uno con los rabaos de la Cowles Commsson, senaran las bases de la Economería acual. La mporanca asgnada a la creacón de la Economerc Socey se debe a la obencón de una agrupacón de economsas con preocupacones de po cuanavo, creando un nsrumeno de expresón de los msmos medane la revsa Economérca. En ese momeno la Economería dea de ser una acvdad dspersa, faclándose el nercambo de nformacón enre nvesgadores, convréndose así en un movmeno organzado con un medo para el nercambo de deas y
resulados. Una vez creada la Economerc Socey era mporane dsponer de una nsucón donde localzar y cenralzar las nvesgacones sobre la nueva dscplna; ése será el papel a desempeñar por la Cowles Commsson. La Cowles Commsson for Research n Economcs, era una nsucón sn fnes lucravos fundada por Alfred Cowles III, presdene de una socedad de nversores. Su obevo era la aplcacón de las maemácas a la economía con el fn de obener buenas predccones de las cozacones en Bolsa. Sn embargo, no ardarán en aparecer las prmeras crícas a los méodos ulzados por los prmeros económeras, Así, podemos enconrar la del propo Keynes uzgando a la economería como próxma a la alquma y sn resulados fables al consderar el conexo económco dfíclmene modelzable por relacones maemácas, o la de Mlon Fredman dudando del méodo de Tnbergen para selecconar una eoría económca enre varas esmadas empírcamene. Asmsmo, un alumno de Frsch, Trygve Haavelmo (943,944) demuesra la nconssenca de la esmacón por Mínmos Cuadrados Ordnaros (MCO) y la smulanedad en los ssemas macroeconómcos, ponendo de manfeso la necesdad de cuesonar los procedmenos basados en MCO. Haavelmo propone la nroduccón del modelo probablísco para susenar la base de la meodología economérca, modelo que será adopado ncalmene por la Cowles Commsson para realzar esmacón e nferenca. En 95 la Cowles Commsson publcó la obra "Sascal Inference n Dynamc Economc Models", obra elaborada por un equpo de presgosos nvesgadores del que formaron pare Marschak, Tallng, Koopmans, Hurwcz, Rubn, Klen y Anderson, que recogía odos los rabaos y avances realzados en años anerores y esablece las normas báscas de la nvesgacón economérca. Todo el conocmeno acumulado en los años rena y cuarena conduce un especacular desarrollo de la Economería durane los años cncuena; de enre los avances que se producen en la época cabe desacar los sguenes: A medados de los años cncuena aparece el méodo de esmacón por Mínmos Cuadrados en Eapas (MCE), desarrollado por Thel (954, 958) y Bassmann (957), el cual debdo a su sencllez y facldad de cálculo gozará de una gran acepacón como
méodo de esmacón de modelos de ecuacones smuláneas frene a los méodos de Máxma Verosmlud con Informacón Complea (MVIC), propueso por Koopmans (95), y con Informacón Lmada (MVIL), propueso por Anderson y Rubn (949); poserormene, a fnales de esa década, aparecerá el méodo de las Varables Insrumenales (VI) propueso por Sargan (958). Klen y Goldberger (955) desarrollan y perfecconan su rabao aneror, dando lugar a uno de los modelos más populares enre los económeras: el modelo Klen-Goldberger, el cual ncorpora novedades a las especfcacones de los modelos macroeconómcos precedenes, deermnando el consumo no solamene a ravés de la rena, sno ambén a ravés de los efecos rqueza e mpuesos, e ncorporando por prmera vez funcones de produccón. Oro aconecmeno de mporanca capal en el desarrollo de la economería y los grandes modelos esrucurales se produce en 958, cuando los edores de Economerca promueven un Congreso bao el íulo de Esmacón de ecuacones smuláneas: Alguna senenca? y con el que se preendía esablecer un debae sobre el méodo propueso por la Cowles Commsson. Como era de esperar, en dcho Congreso hubo dferenes poscones, desacando las de Lu (96), Hldreh (96), Chrs (96) y Klen (96). Sn embargo, el esplendor de que gozó la Economería en los años cncuena prono se vería eclpsado por la crss que se produo a comenzos de los años seena a causa de la elevacón de los precos energécos, hecho que no pudo ser prevso por nngún modelo economérco. Ello afecó drecamene al pensameno económco general y al desarrollo poseror de la Economería. Una de las prmeras crícas que se lanzó en conra de los modelos economércos era que se habían deado de lado los planeamenos mcroeconómcos, por lo que los modelos economércos que sólo ulzaban agregados macroeconómcos no podían represenar de forma conssene la conduca raconal y opmzadora de los agenes económcos. Esa críca propcó la ncorporacón de daos y relacones mcroeconómcas, dando lugar a la rama conocda como Mcroeconomería. Enre los prncpales desarrollos alcanzados en esa área cabe desacar los sguenes: Por un lado, los Modelos con Varable Dependene Cualava, en los que se consdera que la varable dependene adme un conuno acoado de valores dscreos,
generalmene ó, medane los que es posble represenar cualdades de los ndvduos. Enre los rabaos poneros en ese campo esán los de McFadden (974, 976) y Amemya (978), en los que se consdera una aproxmacón logísca en la esmacón de esos modelos (modelo Log), menras que en Albrgh, Lerman y Mansk (977) se esuda la aproxmacón medane una dsrbucón Normal (modelo Prob). Por oro lado, los Modelos de Daos de Panel en los que se ncluye nformacón de una muesra de agenes económcos (ndvduos, empresas, bancos, cudades, países, ec.) durane un deermnado período de empo, combnando así la dmensón emporal y la dmensón esrucural de los daos. Enre los rabaos más noables de esa línea, cabe menconar a Kuh (959), Balesra y Nerlove (966), Rosenberg (973) y Swamy y Menha (977). Mencón apare merece el especacular desarrollo que se produce en esa década del análss economérco de seres emporales, ano de po mulvarane como, especalmene, unvarane. Los modelos unvaranes de seres emporales gran, de forma mayorara, en orno a la meodología desarrollada por Box y Jenkns (97). Dchos auores proponen la consruccón de modelos sobre una varable emporal, raándola como un mecansmo auónomo, cuya gran venaa es la meora de las predccones a coro plazo. La meodología Box-Jenkns supone la rupura con la economería clásca y con el pensameno económco en general al no exsr una relacón con la eoría económca, por lo que no pueden ser consderados como una alernava a los modelos esrucurales mulecuaconales. Sn embargo, la prncpal críca realzada durane los años seena de los méodos economércos se cenra en la denfcacón y esmacón de modelos mulecuaconales. Parendo del rabao de Muh (96), Lucas (97, 973), Sargen (973) y Sargen y Wallace (975), abanderados de la escuela de las expecavas raconales, planean la duda sobre la permanenca a lo largo del empo de los parámeros esrucurales ncludos en los modelos macroeconómcos, ane cambos en la políca económca del goberno. Es decr, no exse nada que nos garance que la esrucura de las reglas de decsón de los agenes económcos quedará nalerada al modfcar las reglas de políca económca; y dado que esa esrucura es la que represena el modelo, no hay razón para pensar que los parámeros del msmo sean fos. Por ano, s no separamos los parámeros de las decsones polícas de los de las relacones económcas, los modelos que esmemos no podrán ser ulzados en la oma de decsones.
La solucón adopada para resolver ese problema ha sdo la nclusón del proceso de formacón de las expecavas raconales en los modelos economércos, asegurando la coexsenca enre expecavas y smulacones medane la mposcón de resrccones paramércas enre ecuacones. Fnalmene, ora críca mporane a la economería clásca es la planeada por Sms (98, 98) a comenzos de los años ochena. La dea cenral de Sms es que no es necesara la exsenca de una eoría económca a pror para esablecer las resrccones que hagan posble la denfcacón de modelos esrucurales, ya que no es necesaro para la prevsón y smulacón. Sms propone una nueva clase de modelos como alernava a los modelos de ecuacones smuláneas, los Vecores Auorregresvos (VAR), en los que no es necesaro clasfcar las varables en endógenas y exógenas. Sn embargo, el desconocmeno que los modelos VAR conllevan sobre las relacones de po esrucural (varables endógenas, exógenas, forma esrucural) no perme realzar una aproxmacón a los efecos producdos por cambos en la políca económca, con lo que su campo de aplcacón se lma a la smple prevsón. A fnales de la década pasada. Granger y Newbold (974) advreron sobre el pelgro que supone especfcar relacones espúreas, es decr, relacones no de causaldad sno de casualdad. Sus esudos aumenaron el nerés por la modelzacón dnámca y las propedades a largo plazo de los modelos economércos. Su conrbucón ha dado lugar a los concepos de conegracón (Granger, 98), el es de raz unara (Dckey y Fuller, 979) y los modelos de correccón de error (Sargen, 984). En los úlmos años, en paralelo al avance de las nuevas ecnologías de la nformacón y al desarrollo de las grandes bases de daos, assmos a un nuevo cambo concepual de la eoría economérca, ponendose en cuesón los supuesos sobre la normaldad de la dsrbucón de probabldad de las varables sueas al análss. Oros problemas que enfrenan los nvesgadores hoy día son la exsenca de daos mperfecos con poca correspondenca con las varables defndas en los modelos económcos y el poco enendmeno del verdadero sgnfcado de algunas pruebas de hpóess. En consecuenca, se esan producendo desarrollos eórcos que permen un mayor acercameno a los procesos económcos al y como se presenan y que no exgen el supueso de normaldad de las varables bao esudo (o del érmno de error). Enre los avances eórcos más recenes que merecen ser menconados se encuenran el desarrollo de la economería no paramérca y la economería de seres de empo no lneales.
.. LOS MODELOS ECONOMÉTRICOS El méodo cenífco en las Cencas Socales se basa ano en la deduccón como en el conocmeno empírco. La deduccón es el proceso de razonameno lógco que conduce a unas conclusones parendo de unas premsas o nformacones ncales. El conocmeno empírco obeva el conocmeno a ravés de la experenca, de los hechos y de la Hsora. El puno de parda del nvesgador es la realdad, los hechos económcos al y como se producen en la socedad. La lecura de esos daos y el conocmeno general de la realdad sugerrán al nvesgador alguna hpóess explcava de las razones por las que los daos ofrecen una deermnada magnud o evolucón. Esas hpóess son las que permen organzar los daos y dan lugar a la formulacón de leyes, eorías y modelos. Las leyes expresan las regulardades enconradas en las seres de daos. Las eorías son una forma de organzar las hpoécas leyes y faclan la comprensón del funconameno de la economía. Fnalmene, los modelos son consruccones nelecuales basadas en las eorías que permen realzar esmacones de los efecos que pueden dervarse de cambos en los daos reales. Los modelos consuyen por ano un puene enre la eoría pura y el mundo real, pudendo conrasarse s una deermnada eoría es una buena represenacón de los hechos que raa de explcar o no. En el caso de la cenca económca, los modelos esán basados generalmene en supuesos smplfcadores de la realdad y esán formados generalmene por ecuacones maemácas que relaconan dsnas varables. Dchas varables pueden dvdrse en varables exógenas, que son aquellas cuyos valores deben ser omados de la realdad; y varables endógenas, que son aquellas cuyo valor es deducdo al operar con las ecuacones del modelo. Ambos pos de varables se relaconan medane un conuno de parámeros, los cuales deben ser esmados. Los modelos permen realzar predccones económcas suscepbles de ser conrasadas con la realdad. Dchas predccones son probablíscas y no deermnsas; es decr, que con los modelos económcos no es posble predecr con precsón cuál será, por eemplo, el consumo exaco que realzará un deermnado ndvduo, pero sí se puede prever el comporameno de grandes agregados de consumdores esablecendo unos márgenes de error enre los que esará comprenddo, o lo que es lo msmo, esmando la probabldad de que esa predccón se cumpla. Según el obeo de análss, podemos dsngur dversos pos de modelos económcos: Modelos Macroeconómcos, cuando los modelos represenan la economía en su oaldad; se raa de modelos en los que generalmene exse poco dealle secoral con los que se
preende cuanfcar los resulados de las polícas macroeconómcas, como puede ser un aumeno del gaso públco o de la mposcón dreca. La mayoría de los economsas que realzan predccones ulzan ales modelos. Modelos Mcroeconómcos, los cuales analzan la suacón de una cera ndusra, mercado o nsucón. Asmsmo, aendendo al po de relacones que se esablecen enre las varables del modelo podemos dsngur enre: Modelos Deermnsas, en los que las relacones exacas enre las varables del modelo son exacas. Se raa generalmene de modelos en los que se pare de una o varas varables, denomnadas npus, a parr de las cuales se nena conocer el comporameno de oras varables, denomnadas oupu, medane dversas ransformacones maemácas. Un eemplo de ese po de modelos son las ablas npu-oupu de Leonef. Modelos Esocáscos, en los que las relacones enre las varables no son exacas, ya que exse un componene de carácer aleaoro, denomnado érmno de error o perurbacón aleaora, que forma pare de las ecuacones del modelo. Dcho componene aleaoro recoge odos aquellos aspecos que no quedan especfcados en la relacón causal esablecda en el modelo ales como deermnadas crcunsancas aconecdas de carácer mpredecble (shocks) que nfluyen en la relacón esudada y los errores en la medcón, documenacón y compuacón de las varables observables que aproxman las varables eórcas del modelo. En la leraura económca, la mayor pare de los modelos economércos son de ese po esocásco. Según el po de daos de las varables ulzadas en el modelo, podemos dsngur enre: Modelos de Seres Temporales, en los que se ulzan daos recogdos a lo largo de un deermnado perodo de empo: días, semanas, meses, rmesres o años. Eemplos de ese po de varables son las cozacones daras de las accones, el Índce de Precos al Consumo, la Encuesa de Poblacón Acva, los daos anuales y rmesrales del Produco Ineror Bruo, ec. Modelos de Seres de Core Transversal, en los que se ulzan daos referdos a dferenes ndvduos en un msmo momeno del empo. Eemplos de daos ransversales serían los producos consumdos por dferenes famlas en un deermnado año, las venas que
realzan dversas empresas que forman una deermnada ndusra en un deermnado rmesre, el paro regsrado en los muncpos españoles en un deermnado semesre, ec. Modelos de Daos de Panel, en los que se combnan daos de dversos ndvduos recogdos a lo largo del empo. Consderando la exsenca o no de reardos de las varables ncludas en el modelo podemos dferencar enre: Modelos Esácos, cuando las relacones enre las varables del modelo enen lugar en el msmo nsane del empo ano para la varable endógena como para odas las varables explcavas del modelo. Modelos Dnámcos, cuando las relacones enre las varables del modelo esán referdas a dferenes momenos en el empo, de forma que un modelo dnámco se consruye con varables reardadas. Fnalmene, según el número de varables endógenas que deseemos explcar podemos dsngur enre: Modelos Unecuaconales, que consan de una únca varable endógena. Modelos Mulecuaconales, que poseen varas varables endógenas, algunas de las cuales pueden ser a su vez varables explcavas en oras ecuacones..3. LA METODOLOGÍA ECONOMÉTRICA En érmnos generales, la meodología economérca radconal consdera los sguenes pasos en lo referene a la elaboracón de modelos:. Planeameno de la eoría o hpóess: generalmene se ulza una consruccón eórca de la Macroeconomía y/o Mcroeconomía, como por eemplo la funcón keynesana de consumo, la curva de Phllps, la eoría de la demanda del consumdor, ec.. Especfcacón: el sguene paso es esablecer la relacón formal enre las varables a que da lugar la eoría. Dcha relacón se esablece en forma maemáca funconal, medane una ecuacón o un ssema de ecuacones. Las varables que recben los efecos son las varables endógenas, las cuales fguraran a la zquerda de las gualdades, menras que las que producen los efecos, son las denomnadas varables exógenas, las cuales aparecen
en el lado derecho de las ecuacones. Los efecos de cada varable exógena se cuanfcan a ravés de una sere de parámeros que debemos esmar. Asmsmo, en cada ecuacón del modelo exsrá un érmno de error o perurbacón que recoge los efecos aleaoros y que endrá unas propedades probablíscas defndas. Una vez esablecda la relacón funconal maemáca, deberemos selecconar daos de los que dspongamos nos servrán para represenar los valores de las varables eórcas. Por eemplo, s nclumos en el modelo como varable eórca la rena endremos que elegr los daos que ulzaremos para represenar dcha varable de enre las encuesas de que dspongamos: la rena famlar dsponble, la rena neror, la rena naconal, ec. En algunas ocasones, puede ocurrr que no exsa una varable esadísca que responda a los requsos que examos, por lo que deberemos consderar la exsenca de un posble error de observacón. En defnva, para la especfcacón de un modelo compleo habrá que especfcar claramene lo sguene: varables endógenas eórcas (y sus respecvos valores observados) varables exógenas eórcas (y sus respecvos valores observados) perurbacones aleaoras (no observables) errores de observacón en las varables endógenas errores de observacón en las varables exógenas. 3. Seleccón de daos: una vez hemos especfcado el modelo procederemos a la obencón de un número de sufcene de daos que engan las sguenes caraceríscas: Sufcenes: como mínmo para poder realzar la esmacón, el número de observacones debe ser gual al número de parámeros que queremos esmar; de lo conraro, la esmacón obenda no resulará fable. Homogéneos: los daos deben esar expresados de una forma homogénea; eso quere decr que odos deben esar expresados en las msmas magnudes o valores y enen que haber sdo obendos por procedmenos esadíscos semeanes. Asmsmo, s fuera necesaro, odas las varables deberán esar corregdas de la msma manera de deermnados efecos que se dan en las varables económcas como la endenca o la esaconaldad.
Acuales: la fala de acualdad en los daos es un problema grave, en parcular s el modelo que consrumos ene como fnaldad predecr los valores fuuros o realzar smulacones de políca económca. 4. Esmacón: se raa del procedmeno ulzado para obener el valor de los parámeros del modelo. Habualmene la écnca ulzada es el análss de regresón que ncluye dferenes écncas: Mínmos Cuadrados Ordnaros (MCO), Mínmos Cuadrados Indrecos (MCI), Varables Insrumenales (VI), Mínmos Cuadrados en Eapas (MCE), Mínmos Cuadrados Generalzados (MCG), ec. Las écncas economércas requeren realzar cálculos a veces muy compleos, por ello es de gran uldad el auxlarnos de herramenas como hoas de cálculo (Excel, Lous 3, ec.) y programas esadíscos y economércos (EVews, SPSS, SAS, ec.) 5. Valdacón: una vez que se han esmado los parámeros del modelo, habrá que verfcar que los valores obendos concuerdan con los posulados de la eoría que se ha ulzado para la consruccón del modelo. La valdacón del modelo se realza medane la écnca esadísca de nferenca o conrase de hpóess, que consse en analzar medane pruebas esadíscas la bondad del ause y la sgnfcavdad esadísca de los valores esmados, de al forma que s el modelo no ha dado los resulados esperados deberá perfecconarse medane: Un cambo en la forma maemáca funconal del modelo. Incluyendo en el modelo alguna varable explcava que haya sdo omda. Reemplazando las observacones ulzadas para represenar las varables endógenas y explcavas por oras que posean un menor error de observacón. 6. Ulzacón: una vez valdado, el modelo economérco puede ser ulzado para dversas areas ales como: Análss esrucural: cuanfcar las relacones que enre las varables endógenas y exógenas. Predccón: dados unos valores de las varables explcavas, podemos obener medane el modelo esmado el valor fuuro que omará la varable endógena. Smulacón o evaluacón de polícas: efecos que enen sobre la varable endógena (varable obevo) las dferenes esraegas que se planeen sobre las varables explcavas (varables de conrol).
. EL MODELO LINEAL GENERAL.. INTRODUCCIÓN La regresón lneal es la écnca básca del análss economérco. Medane dcha écnca raamos de deermnar relacones de dependenca de po lneal enre una varable dependene o endógena, respeco de una o varas varables explcavas o exógenas. Guara (975), defne el análss de regresón como el esudo de la dependenca de la varable dependene, sobre una o más varables explcavas, con el obeo de esmar o predecr el valor promedo poblaconal de la prmera en érmnos de los valores conocdos o fos (en medas muesrales repedas) de las úlmas. En ese capulo abordaremos el esudo del caso de una únca ecuacón de po lneal con una varable dependene y una ndependene, y la generalzacón del modelo al caso de múlples varables exógenas. Las exensones del modelo lneal general se analzaran en capíulos sguenes... REGRESIÓN LINEAL SIMPLE. EL MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS. Parmos de la exsenca de una relacón lneal enre una varable endógena (Y) y k varables exógenas ( ): Y + + +... + + e k k Nuesro obevo consse en esmar los parámeros de la ecuacón aneror a parr de los daos muesrales de los que dsponemos. Para ello ulzaremos el méodo de los Mínmos Cuadrados Ordnaros (MCO), pero anes de ver en que consse ese méodo debemos planear ceras hpóess sobre el comporameno de las varables que negran el modelo.
La varable e la denomnamos érmno de perurbacón o error, y en ella recogemos odos aquellos facores que pueden nflur a la hora de explcar el comporameno de la varable Y y que, sn embargo, no esán refleados en las varables explcavas,. Esos facores deberían ser poco mporanes, ya que no debería exsr nnguna varable explcava relevane omda en el modelo de regresón. En caso conraro esaríamos ncurrendo en lo que se conoce como un error de especfcacón del modelo. El érmno de perurbacón ambén recogería los posbles errores de medda de la varable dependene, Y. De lo aneror se desprende que, a la hora de esmar los parámeros del modelo, resulará de val mporanca que dcho érmno de error no eerza nnguna nfluenca deermnane en la explcacón del comporameno de la varable dependene. Por ello, s el modelo esa ben especfcado, cuando se aplca el méodo de Mínmos Cuadrados Ordnaros, cabe realzar las sguenes hpóess de comporameno sobre el érmno de error:. La esperanza maemáca de e es cero, al que E(e ). Es decr, el comporameno del érmno de error no presena un sesgo ssemáco en nnguna dreccón deermnada. Por eemplo, s esamos realzando un expermeno en el cual enemos que medr la longud de un deermnado obeo, a veces al medr dcha longud comeeremos un error de medda por exceso y oras por defeco, pero en meda los errores esarán compensados.. La covaranza enre e y e es nula para al que E(e e ). Ello quere decr que el error comedo en un momeno deermnado,, no debe esar correlaconado con el error comedo en oro momeno del empo,, o dcho de oro modo, los errores no eercen nfluenca unos sobre oros. En caso de exsr ese po de nfluenca o correlacón, nos enconraríamos ane el problema de la auocorrelacón en los resduos, el cual mpde realzar una esmacón por Mínmos Cuadrados válda. 3. La marz de varanzas y covaranzas del érmno de error debe ser escalar al que Var(e ) σ I,,,n, donde I es la marz undad. Dado que sempre que medmos una varable, se produce un cero error, resula deseable que los errores que comeamos en momenos dferenes del empo sean smlares en cuanía. Esa condcón es lo que se conoce como supueso de homocedascdad que, en caso de no verfcarse, mpedría un uso correco de la esmacón lneal por Mínmos Cuadrados.
Esas hpóess mplcan que los errores sguen una dsrbucón Normal de meda cero y varanza consane por lo que, dado su carácer aleaoro, hace que los errores sean por nauraleza mpredecbles. Asmsmo, las varables ncludas en el modelo deben verfcar que:. El comporameno de la varable ndependene Y se ausa al modelo lneal durane odo el perodo muesral, es decr, no se produce un cambo mporane en la esrucura de comporameno de Y a lo largo de la muesra consderada.. Las varables explcavas,, son no esocáscas, es decr, son consderadas fas en muesreos repedos. 3. El número de varables explcavas, k, sempre debe ser menor que el amaño muesral, n. Es decr, sempre debemos dsponer de más observacones que parámeros haya en el modelo (coefcenes ). Parendo de la relacón lneal más senclla: Y + e + S suponemos que se verfcan los supuesos anerores, la esmacón mínmo cuadráca de los parámeros y, dará como resulado gráfco una reca que se ause lo máxmo posble a la nube de punos defnda por odos los pares de valores muesrales (,Y ), al y como se puede aprecar en el Fgura..
Fg... Nube de punos o gráfco de dspersón con varables relaconadas lnealmene El érmno de error, e, puede ser enenddo, a la vsa del gráfco aneror, como la dsanca que exse enre el valor observado, Y, y el correspondene valor esmado, que sería la magen de en el ee de ordenadas. El obevo de la esmacón por Mínmos Cuadrados Ordnaros es, precsamene, mnmzar el sumaoro de odas esas dsancas al cuadrado; es decr : n n n Y Y Y e Mn ) ˆ ˆ ( ) ˆ ( Dervando esa expresón respeco a los coefcenes ˆ y ˆ e gualando a cero obenemos el ssema de ecuacones normales: Y n Y o n n ˆ ˆ ˆ ˆ + + + n n n Y ˆ ˆ Los parámeros y varables que llevan encma un símbolo de aceno crcunfleo (^) ndcan que son esmadas por lo que no se corresponden con el valor real del parámero sno con el calculado por nosoros.
donde n represena el amaño muesral y e Y represenan las medas de dchas varables. Resolvendo dcho ssema de ecuacones obenemos la solucón para los parámeros a y b: ˆ n ( )( Y Y ) ˆ Y ˆ o n ( ) Eemplo.. Supongamos que el drecor de una empresa pensa que la demanda de un produco que él comercalza depende úncamene del preco de vena al públco. Para esudar la demanda de ese produco preende esmar el sguene modelo: Y + + e donde Y es la candad vendda anualmene del ben Y en el año, y es el preco medo al cual se vendó el ben Y durane el año. Se dspone de los sguenes daos muesrales: Año Y 988 989 99 99 99 993 994 995 996 997 3 4 5 7 9 8 6 5 5 4 4 3 3
A parr de esos daos ncales podemos calcular la sguene abla: Y ( Y Y ) ( ) ( Y Y ) ( ) ( ) ( Y Y ) 9-6.4 4. -6.4 6.8 4.96 8-4.4 3. -3.64 9.6 9.36 3 6-3.4. -3.74..56 4 5 -.4. -.4. 5.76 5 5 -.4. -.4..96 7 4.6 -.9 -.54.8.36 4 3.6 -.9-3.4.8.96 3 4.6 -.9-8.74 3.6.6 5.6 -.9-6.4 8.4 3.36 3 3.6 -.9-6.84 3.6.96 Toal 64 49-79.6 44.9 58.4 Meda 6.4 4.9 Aplcando las formulas vsas anerormene: n ( )( Y Y ) 79.6 ˆ n ( ) 44.9.778 ˆ Y ˆ 6.4 (.778 4.9) 4.8 de donde la ecuacón de la reca esmada será: Y 4.8. 778 + e
Fnalmene, susuyendo en la expresón aneror los valores de podemos obener los valores de Yˆ y el valor de los érmnos de error e : Yˆ e Y Yˆ 9.343.86859688.9436.9576837 4.4498886 -.44988864 6.77 -.775 6.77 -.775 7.9955457 -.99554566 7.9955457.445434 9.768374.36584.547.45879733 9.768374.36584
.3. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE Pasamos a connuacón a generalzar el modelo aneror al caso de un modelo con varas varables exógenas, de al forma que se raa de deermnar la relacón que exse enre la varable endógena Y y varables exógenas:,., k. Dcho modelo se puede formular marcalmene de la sguene manera: Y + + e + +... + k k e,,,, n donde: Y Y Y... Y n es el vecor de observacones de la varable endógena... [... ] k k es la marz de observacones de las varables n exógenas... n............ k... nk es el vecor de coefcenes que preendemos esmar... K e e e... e n es el vecor de érmnos de error S en la expresón aneror se consderara que exse érmno ndependene,, la marz quedaría como:... k............... n... nk k 3... k
Y el modelo quedaría así: k k o e Y + + + + +...,,,, n Suponendo que se verfcan las hpóess que veíamos anes, el problema a resolver nuevamene es la mnmzacón de la suma de los cuadrados de los érmnos de error al que: ( ) ( ) n n n Y Y Y e Mn ˆ ˆ Desarrollando dcho cuadrado y dervando respeco a cada obenemos el sguene ssema de ecuacones normales expresado en noacón marcal: ˆ ' ' Y en donde basa con despear premulplcando ambos membros por la nversa de la marz ) ' ( para obener la esmacón de los parámeros del modelo al que: Y ' ) ' ( ˆ donde: n k n k n k n n n k n n n k..................... ' n k n n Y Y Y Y... `
S en el modelo exsera érmno ndependene,, las marces anerores serían: n k n k n k n n n k n n n k..................... ' n k n n Y Y Y Y... ` El resulado de mulplcar dchas marces conduce a la obencón de la esmacón de los parámeros del modelo: ( ) k o n k n n n k n k n k n n n k n Y Y Y n Y ˆ... ˆ ˆ........................ ' ' ˆ n k Cada uno de los coefcenes esmados, ˆ, son una esmacón nsesgada del verdadero parámero del modelo y represena la varacón que expermena la varable dependene Y cuando una varable ndependene varía en una undad y odas las demás permanecen consanes (supueso ceers parbus). Dchos coefcenes poseen propedades esadíscas muy neresanes ya que. s se verfcan los supuesos anes comenados, son nsesgados, efcenes y ópmos. Eemplo.. Un nvesgador esuda el empleo en el secor urísco en España. Para ello dspone de nformacón relava al empleo en los hoeles (Y), número de ursas meddo en mles ( ), y la esanca meda de los ursas ( ) medda en días. Los daos dsponbles son de core ransversal y perenecen a cada una de las 7 Comundades Auónomas.
Provncas Empleo Número de vaeros Esanca meda (mles) (mles) Andalucía 8.4 9.5 3. Aragón 3.6 848.. Asuras.4 88..3 Baleares 5.9 676. 7. Canaras 7. 4875.7 7.8 Canabra. 933.8.4 Caslla y León 6. 3647.6.7 Caslla-La Mancha.8 85..7 Caaluña 3.5 77.7 3.4 Comundad Valencana 3.4 5579.7 3.9 Exremadura..7.7 Galca 6.3 34.5. Madrd.7 5748.9. Murca. 88.5 3. Navarra. 557.7. País Vasco 3. 54.6.9 Roa (La).7 446..8 El modelo eórco a esmar con la nformacón dsponble es el sguene: Y + + + e Para proceder a esmar es modelo lo más convenene es calcular la marz de producos cruzados: Y Y 393 9 79 46779 7645 3 en donde 7 Y 393, 7 Y 9, 7 Y 79, 7 46779, 7 7645 y 7 3
Tenendo presene que: N 7 7 7 7 Y 6.8 6385.5 5.3 del que se conocen los sguenes resulados: 7 6386 5 ' 6386 46779 7645 5 7645 3 ( ) 6 ' 9 79 ( Y ) Vamos a esmar el modelo propueso por Mínmos Cuadrados Ordnaros. Para ello, basa con mulplcar las marces al que:.3..48 6 5.7 ( ) Y ˆ ' '...5 9.6.48.5. 79.679 Por lo que el modelo queda como sgue: Ŷ -5.7+.6 +.679 donde ˆ.6 ndca el efeco de las varacones unaras del número medo de ursas sobre el empleo del secor, y ˆ. 679 mde la varacón que se producría en empleo s la esanca meda aumenara en una undad.
.4. PROPIEDADES ESTADISTICAS DEl ESTIMADOR MÍNIMO CUADRADO. ˆ El esmador ( ' ) ' Y puede escrbrse como: ˆ ( ' ) '( + e) + ( ' ) ' e S se cumplen las hpóess de comporameno sobre el érmno error, la dsrbucón de probabldad del esmador MCO ˆ será uno dsrbucón normal mulvarane con vecor de medas σ ( ' ) y marz de varanzas y covaranzas. La esperanza maemáca del esmador MCO se demuesra a parr de: [ + ( ' ) ' e] + ( ' ) ' E( e) E( ˆ) E. De la defncón de marz de varanzas y covaranzas, se ene que: var( ˆ) E Tenendo presene que ' ( ˆ E( ˆ) )( ˆ E( ˆ) ) ( ˆ E ( ˆ) ) + ( ' ) ' e ( ' ) ' e Enonces [( ' ) ' ee' ( ' ) ] ( ' ) ' E( ee' ) ( ' ) σ ( ' ) var( ˆ) E El esmador ˆ del parámero verdadero valor del parámero Se dce que un esmador nsesgado varanza muesral de ˆ demuesra que el esmador MCO nsesgados de. es nsesgado porque su esperanza maemáca concde con el E( ˆ ). ˆ ~ es mas efcene que oro esmador nsesgado, s la es menor que la varanza muesral de ˆ ~. El eorema de Gauss-Markov es el más efcene de la clase de esmadores lneales e Según el Teorema de Gauss-Markov, cualquer esmador lneal de puede expresarse como: [( ' ) ' + D] Y [( ' ) ' + D]( + e) + D + ( ' ) ' e + De
donde D es una marz (k n) arbrara, que esablece la dferenca enre el esmador MCO y el esmador alernavo. La esperanza de dcho esmador es: E ~ + ( ) D S ~ es nsesgado, enonces D. En oras palabras el esmador alernavo sólo será nsesgado s la marz de dsanca es orogonal a las varables explcavas. A connuacón obenemos la marz de covaranzas de ese esmador ~ var( ) E ~ ~ [( E( ~ ))( E( ~ )) ] ' Tenendo presene que : ~ ~ E ( ) + D + ( ' ) ' e + De ( ' ) ' + D ( ) [ ]e enonces, ~ var( ) ( ' ) ' + D) E( ee' )( D' + ( ' ) ) σ [( ' ) + D' D] y como D' D es una marz semdefnda posva, se demuesra que la ~ var( ) > var( ˆ) con ndependenca de la normaldad o no de las dsrbucón ~..5. COEFICIENTES DE DETERMINACIÓN Y CORRELACIÓN PARCIAL.5.. Coefcene de deermnacón Una vez esmada la ecuacón de regresón lneal ene nerés deermnar la exacud del ause realzado. Para ello hay que analzar la varacón que expermena esa varable dependene y, denro de esa varacón, se esuda qué pare esá sendo explcada por el modelo de regresón y qué pare es debda a los errores o resduos. La forma de realzar dcho análss es a parr de la sguene expresón: SCT SCE + SCR donde:
SCT: es la Suma de Cuadrados Toales y represena una medda de la varacón de la varable dependene. SCE es la Suma de Cuadrados Explcados por el modelo de regresón. SCR es la Suma de Cuadrados de los Errores Cuando el modelo ene érmno ndependene, cada una de esas sumas vene dada por: n SCT Y ' Y ny Y ny n SCE ˆ ' ' Y ˆ ny Yˆ ny n n n ˆ ˆ ' ' ' SCR e Y Y Y Y Y SCT SCE A parr de las expresones anerores es posble obener una medda esadísca acerca de la bondad de ause del modelo medane lo que se conoce como coefcene de deermnacón (R ). que se defne como: R SCR SCT, R y en el caso parcular de modelo con érmno ndependene. como: SCE R SCT, R Medane ese coefcene es posble selecconar el meor modelo de enre varos que engan el msmo número de varables exógenas. ya que la capacdad explcava de un modelo es mayor
cuano más elevado sea el valor que ome ese coefcene. Sn embargo. hay que ener cero cudado a la hora de rabaar con modelos que presenen un R muy cercano a pues, aunque podría parecer que esamos ane el modelo perfeco, en realdad podría encubrr ceros problemas de índole esadísca como la mulcolnealdad que veremos en el capíulo 3. Por ora pare. el valor del coefcene de deermnacón aumena con el número de varables exógenas del modelo por lo que. s los modelos que se comparan enen dsno número de varables exógenas, no puede esablecerse comparacón enre sus R. En ese caso debe emplearse el coefcene de deermnacón corregdo R, el cual depura el ncremeno que expermena el coefcene de deermnacón cuando el número de varables exógenas es mayor. La expresón analíca de la versón corregda es: R ( ) SCR n k n SCT n n k R cuyo valor ambén oscla enre y Eemplo.3. En el modelo del empleo en el secor hoelero los errores e se calculan a parr de: e Y 5.7+. +.679 El error correspondene a cada regón es: Andalucía.93 Aragón -.3 Asuras -.46 Baleares -.8 Canaras.95 Canabra -.58 Caslla y León.44 Caslla-La Mancha.44 Caaluña -.35 Comundad Valencana -.46 Exremadura.35 Galca.9 Madrd -.687 Murca -.34 Navarra.43 País Vasco.73 Roa (La).6 e
Las expresones SCT, SCE y SCR son: SCT 7 Y' Y ny Y 7Y,654 7 SCE ˆ ' ' Y ˆ ny Yˆ 7Y,67 n SCR e Y ' Y ˆ ' ' Y SCT SCE,654,67 7 Con ellas calculamos el coefcene de deermnacón y el coefcene de deermnacón corregdo: R,67,654.984 R 7 7 3.98,654 7 El coefcene de deermnacón y el coefcene de deermnacón ausado esá cercano a uno lo que consuye una prueba de que el ause realzado es acepable. El modelo esaría explcando el 98% de la varacón del grado de ocupacón que se da en las Comundades Auónomas..5.. Coefcene de correlacón parcal El coefcene de correlacón parcal enre dos varables del modelo, y (ó e Y) descrbe la relacón lneal exsene enre dos varables sn ener en cuena los efecos o nfluencas de una o más varables adconales, con el obeo de denfcar la exsenca de posbles varables nerpuesas, o de deecar correlacones neuralzadas por el efeco de esas varables. Así, supongamos el caso de un modelo lneal que ncluye dos varables ndependenes ( y ) y una varable dependene (Y). S deseamos obener el coefcene de correlacón parcal enre Y y, omando como dados los efecos de debemos segur los sguenes pasos:. Realzamos una regresón de Y sobre y obenemos los resduos, que denomnaremos e.
. Del msmo modo, para suprmr el efeco de la varable sobre, realzamos una regresón de sobre y obenemos los resduos de esa regresón, que denomnaremos u. 3. Calculamos las varanzas resduales, S e y S u, y la covaranza enre ambos, S eu. 4. El coefcene de correlacón parcal enre Y y es: r,3 Seu S S e u De forma análoga, podemos obener medane sucesvas regresones los dsnos coefcenes de correlacón parcal enre el reso de varables..6. INFERENCIA ACERCA DE LOS ESTIMADORES Hasa el momeno hemos vso como la esmacón por MCO perme obener esmacones punuales de los parámeros del modelo. La nferenca acerca de los msmos perme complear dcha esmacón punual, medane la esmacón por nervalos y los conrases de hpóess. Los prmeros posblan la obencón de un nervalo denro del cual, con un deermnado nvel de confanza, osclará el verdadero valor de un parámero, menras que los segundos nos permrán exraer consecuencas del modelo, averguando s exse o no, evdenca acerca de una sere de coneuras que pueden planearse sobre sus parámeros. La nferenca esadísca consse en la esmacón de los parámeros poblaconales a parr de la nformacón exraída de una muesra de dcha poblacón. El número de esmacones que podemos realzar de una poblacón, a ravés de la exraccón de dferenes muesras de un msmo amaño, es generalmene muy grande porque cada una de las muesras posbles que se pueden sacar de la poblacón arroaría una esmacón.
Por esa razón, a la esmacón que obenemos en una nvesgacón por muesreo la acompañamos con un nervalo de valores posbles. La amplud de dcho nervalo dependerá del grado de confanza que esablezcamos. El grado o nvel de confanza nos expresa el número de veces que la meda verdadera de la poblacón esá ncluda en cen nervalos de cen muesras exraídas de una poblacón dada. El nvel de confanza más ulzado es el 95%, lo que quere decr que 95 de cada nervalos consrudos conendrán el verdadero valor de la meda. El nervalo de confanza para la meda de una poblacón normalmene dsrbuda se consruye en base a la probabldad de que dcha meda esé comprendda enre dos valores. a y b equdsanes a ella: P[ µ ] α a b sendo - α el nvel o grado de confanza asocado a dcho nervalo. En érmnos generales, los nervalos de confanza para los esadíscos muesrales se expresan como: Esmador ± (Facor de Fabldad)*(Error Típco del Esmador).6.. Inervalos De Confanza Presenamos a connuacón cómo se consruyen los nervalos de confanza para los dsnos érmnos que hayamos esmado en el modelo: a) Inervalo de confanza para el parámero Para consrur los nervalos de confanza de las esmacones, se pare de que la esmacón MCO proporcona el valor medo de los posbles valores que pudera ener dcho parámero, y que la dsrbucón de dchos valores sgue una dsrbucón dervada de la Normal que se conoce como de Suden. Dcha dsrbucón es smérca presenando mayor dspersón que la curva Normal esándar para un amaño muesral n pequeño. A medda que n aumena (n > ) es práccamene gual que la dsrbucón Normal. El cálculo del nervalo de confanza para se realza medane la sguene expresón:
IC : ( ± S ) ˆ nk donde S ˆ es la desvacón ípca esmada para el coefcene varanzas y covaranzas de los esmadores expresada como: ˆ, que se obene de la marz de σ σ... σ σ σ... σ K K Σ ˆ ˆ............ σ σ... σ K K K cuyos esmadores serán: S ˆ ˆ S ˆ S ˆ ˆ... S ˆ ˆ K S S ˆ ˆ ˆ S... ˆ ˆ K............ S S ˆ ˆ K ˆ ˆ S... ˆ K K obendos a parr de la expresón S ( ) ˆ ˆ Se ' érmno de error.. donde S e es la esmacón de la varanza del Desacar por úlmo que n-k es el valor eórco de la dsrbucón de Suden que aparece abulada en el Anexo II, abla II.. Eemplo.4 Ulzando los resulados de la esmacón del modelo del empleo en hoeles, enemos que la varanza de los errores al cuadrado es: SCR 7 S e.84. n k 4 Enonces, la marz de varanzas y covaranzas de los esmadores será: S ˆ ˆ S e ( ' ).3.84..48...5.48.435.5...9....9..4
Tenendo presene que el esadísco -Suden ene un valor en las ablas de 7-3.45 para α.5 para cada cola (el 95% de probabldad) podemos afrmar que el valor de los parámeros de la ecuacón esarán enre: IC o : ( 5.7 ±.435.45) ( 5.7 ± 5.936) IC : (. ±..45) (. ±.) IC o : (.679 ±.4,45) (.679 ±.44) Los nervalos de confanza calculados nos dcen que lo más probable es que, por eemplo, el parámero o ese enre los valores 4.87 y 7.7. b) Inervalo de confanza para la varanza del érmno de error La expresón del nervalo de confanza para la varanza del érmno de error es: IC σ e S ( n k) S e ( n k) SCR SCR ; ; χα χ α χα χ α : e donde α represena el nvel de sgnfcacón del conrase y generalmene se ulza un 5% de sgnfcacón, que corresponde a un nervalo de confanza del 95 %. En ese caso se asume que la Suma de Cuadrados de los Errores se dsrbuyen según una dsrbucón ambén dervada de la Normal que se conoce como χ de Pearson. La dsrbucón χ de Pearson es asmérca. Su propedad fundamenal es que s sumamos dos χ ndependenes de grados de lberad n y n, se obene una nueva varable χ con grados de lberad gual a la suma de n y n. Los grados de lberad que hay que consderar en el cálculo de los nervalos de confanza del érmno error son de n-k. En el Anexo II, abla II.3. ambén fguran los valores eórcos de la dsrbucón χ de Pearson. Eemplo.5.
Ulzando los daos del modelo del grado de ocupacón hoelera. calculamos el nervalo de confanza para el error con un nvel de sgnfcacón de α.5 y 4 grados de lberad, calculamos el nervalo para el érmno de error: IC σ e SCR χ SCR ;.5 χ. 975 7 6,9 7 ; 5,68 (,4;4,78) Es decr, se puede afrma con un 95% de probabldad que el verdadero valor de la varanza esará enre,4 y 4,78..6.. Conrases de Hpóess Una buena pare de las nvesgacones esadíscas esán orenadas al desarrollo de procesos encamnados a la conrasacón de hpóess que prevamene se han esablecdo. Una hpóess es una afrmacón que esá suea a verfcacón o comprobacón. Hay que ener presene que una hpóess no es un hecho esablecdo o frme, las hpóess esán basadas en la experenca, en la observacón, en la expermenacón o en la nucón del sueo que las formula. Cuando las hpóess se planean de al modo que se pueden comprobar por medo de méodos esadíscos recben el nombre de hpóess esadíscas. Esas hpóess son afrmacones que se efecúan sobre uno o más parámeros de una o más poblacones. Las hpóess esadíscas son de dos pos: hpóess nula e hpóess alernava. La hpóess nula, o que no se verfque dcha afrmacón, smbolzada por H, es la hpóess que se debe comprobar. Para conrasar una hpóess nula examnamos los daos de la muesra omados de la poblacón y deermnamos s son o no compables con dcha hpóess. S son compables enonces H se acepa, en caso conraro se rechaza. S se acepa la hpóess nula afrmamos que los daos de esa muesra en concreo no dan sufcene evdenca para que concluyamos que la hpóess nula sea falsa; s se rechaza decmos que los daos parculares de la muesra ponen de manfeso que la hpóess nula es falsa, enonces la hpóess alernava. H, es verdadera. El crero que perme decdr s rechazamos o no la hpóess nula es sempre el msmo. Defnmos un esadísco de prueba, y unos límes que dvden el espaco muesral en una regón en donde se rechaza la hpóess esablecda, y ora regón en la que no se rechaza, llamada regón de acepacón.
A la regón donde se rechaza la hpóess nula se le llama regón críca. Esa regón es un subconuno del espaco muesral, y s el valor del esadísco de prueba perenece a él se rechaza la hpóess nula. El líme enre la regón críca y la regón de acepacón vene deermnado por la nformacón preva relava a la dsrbucón del esadísco de prueba. Señalar que un esadísco de prueba es una fórmula que nos dce como confronar la hpóess nula con la nformacón de la muesra y es, por ano, una varable aleaora cuyo valor camba de muesra a muesra. Ora de las consderacones a realzar en la conrasacón de hpóess es far la probabldad del error de rechazar la prueba sendo cera, a ese error se le denomna nvel de sgnfcacón. Por eemplo, s se ulza un nvel de sgnfcacón de.5, equvale a decr que s para realzar un conrase omáramos nfnas muesras de la poblacón, rechazaríamos la hpóess nula de forma ncorreca un 5 % de las veces. En la formalzacón del procedmeno de conrasacón podemos dsngur see pasos prncpales:.- Planeameno de las hpóess..- Seleccón del nvel de sgnfcacón. 3.- Descrpcón de la poblacón y amaño de la muesra. 4.- Seleccón del esadísco de prueba y su dsrbucón. 5.- Especfcacón de las regones de acepacón y de rechazo. 6.- Recoleccón de daos y cálculo del esadísco. 7.- Decsón esadísca. Los conrases de hpóess que normalmene se realzan en la esmacón MCO son los sguenes: a) Conrase ndvdual sobre un parámero Formulacón de la hpóess: H * : H * : Esadísco expermenal: exp ˆ S ˆ *
Esadísco eórco: co k (α / n ) Regla de decsón: S exp > co se rechaza la hpóess H b) Conrase de sgnfcacón ndvdual Formulacón de la hpóess: H : H : Esadísco expermenal: exp ˆ S ˆ Esadísco eórco: (α / ) co n k Regla de decsón: S exp > co se rechaza la hpóess H c) Conrase de sgnfcacón global Formulacón de la hpóess: H :... k SCE k Esadísco expermenal: Fexp SCR ( R ) n k R k n k Esadísco eórco: F co F( k, n k,α ) Regla de decsón: S F exp > Fco se rechaza la hpóess H Eemplo.6. Ulzando los resulados del modelo del grado de ocupacón hoelera vamos a planear la hpóess de que el parámero sea cero, y en consecuenca que el efeco de la esanca meda de cada ursa sobre el grado de ocupacón hoelera no sea sgnfcavo.
º.- Planeameno de la hpóess Se conrasa la hpóess de que H :, frene a la alernava de que dcho valor sea dferene de cero H :. º.- Nvel de sgnfcacón o error de po I. Sea α.5. 3º.- Descrpcón de la poblacón y amaño de la muesra. La poblacón son las Comundades Auónomas españolas, lo que sgnfca que n7. 4º.- El esadísco pernene. El esadísco a calcular es: exp ˆ S ˆ 5º.- Regones de acepacón y de rechazo. El valor críco es.45, que es el valor correspondene de la dsrbucón de Suden con 7-34 grados de lberad que dea el.5 % de la dsrbucón en cada cola. De modo que la regón de rechazo de la hpóess nula es la de odos los valores absoluos de superores a.45. 6º.- Recoleccón de daos y cálculo del esadísco..679.5 exp 3.57 7º.- Decsón esadísca. Dado que 3.57 es mayor que.45 rechazamos la hpóess nula y, por ano, conclumos que con un 95% de probabldad se acepa la hpóess alernava H :.7. TABLA DE ANALIS DE LA VARIANZA (ANOVA) La hpóess de no sgnfcacón global H... se rechaza al nvel de : k sgnfcacón α consruyendo el esadísco expermenal:
F exp SCE k SCR n k H F (,. ). y la regla de decsón que rechaza la hpóess ocurre cuando exp > F k n k α El conrase en la prácca se realza elaborando una abla ANOVA, que requere:. esmar el modelo de regresón con odas las varables de nerés Y + + +... + + e o k k,,,, n que nos proporcona la suma de cuadrados de los resduos e ˆ ' eˆ SCR ;. esmar elmodelo de regresón bao H... Y + u,,...,n, o r : k que nos proporcona la suma de cuadrados de los resduos, n uˆ r ' uˆ r Y Y SCT ( ) ; El conrase de sgnfcacón global se resume en el cuadro sguene, en donde la varacón oal de la varable dependene (SCT) se descompone en la explcada por la regresón (SCE) y en la no explcada (SCR). Los grados de lberad de esas res sumas de cuadrados son n, k y n k, respecvamene. A parr de esa nformacón muesral, podemos calcular el numerador y denomnador del esadísco F. Fuene de Suma de cuadrados Grados de Cuadrado Esadísco F varacón lberad medo Regresón n SCE ( Yˆ Y ) k- SCE k SCE k SCR n k Resdual n ( Y SCR Yˆ ) n-k SCR n k Toal n ( Y SCT Y ) n- Eemplo.7.
Ulzando los resulados del modelo de grados de ocupacón hoelera vamos a realzar el conrase de sgnfcacón global consruyendo la abla ANOVA: Fuene de Suma de Grados de Cuadrado medo Esadísco F varacón cuadrados lberad Regresón,67 83.5 4.8 Resdual 7 4.93 Toal,654 6 Dado que H. Fexp > Fco F(,4, α,5) 3,74, la regla de decsón se rechaza la hpóess.8. PREDICCIÓN EN EL MODELO DE REGRESIÓN Una vez esmado y valdado el modelo, una de sus aplcacones más mporanes consse en poder realzar predccones acerca del valor que omaría la varable endógena en el fuuro o para una undad exramuesral. Esa predccón se puede realzar ano para un valor ndvdual como para un valor medo, o esperado, de la varable endógena, sendo posble efecuar una predccón punual o por nervalos. Su cálculo se realza medane las expresones que fguran a connuacón: α) Predccón ndvdual: se raa de hallar el valor esmado para la varable Y un perodo haca delane. En ese caso basa con susur el valor de las varables exógenas en el modelo en el sguene perodo y calcular el nuevo valor de Y. ) Inervalo de predccón. Para hallar un nervalo de predccón debe ulzarse la sguene expresón: IC ' ( ' ) + ( ) + ; Ŷ + nk Se + ' Yˆ + + nk Se + : + ' + Ŷ χ) Inervalos de predccón para un valor medo o esperado,, La expresón a ulzar en ese caso será:
' ' IC : Yˆ S ' ;Ŷ + S ' ( Y ) nk e ( ) nk e ( ) E Eemplo.8 Ulzando los daos del modelo de esmacón del empleo en hoeles, vamos a realzar una predccón del grado de empleo que endría Caaluña, s medane una adecuada promocón se elevara el número de días de esanca por ursa de 3.4 días a 5 días de meda por ursa. La predccón ndvdual de Caaluña sería: Ŷ -5.7+. 77.7+.679 5 9. ' Para calcular el nervalo de la predccón enemos que calcular la expresón ( ) '.3..48.48.5. ( ' ) (.7 5)...5.7. 39 ' 5 S deseamos un nervalo de confanza para la predccón del 95%, enemos que ulzar un valor 7-3.45 IC E Y : 9..45.37.39; 9.+.45.37.39 ( ) ( 7.4; 3.8).9. ESTIMACIÓN DE UN MODELO DE REGRESIÓN LINEAL CON ECEL A connuacón. vamos a esmar los parámeros de un deermnado modelo por Mínmos Cuadrados Ordnaros ulzando Mcrosof Excel, programa que smplfca noablemene los cálculos a realzar cuando dsponemos de muchas observacones y/o varables exógenas.
Supongamos que la candad demandada de manzanas vene deermnada en funcón de su preco y queremos cuanfcar dcha relacón. Parmos de la sguene abla de daos: Candad Preco (u.m. / Kg.) (Kg.).456 8.35 9.5 94. 99. 6.8 8.45.4 5 S realzamos un dagrama de dspersón medane la opcón Gráfco denro del menú Inserar de Excel obendremos la Fgura., en el que puede comprobarse la relacón que aparenemene exse enre candades demandadas de manzanas y su preco. Curva de Demanda 3 5 5 5 95 9 85 8....3.4.5 Fg... Relacón enre la demanda de manzanas y su preco Pasamos a connuacón a esmar la reca de regresón por Mínmos Cuadrados Ordnaros. Para ello, el lecor debe verfcar que ene nsalada la opcón Herramenas para el Análss denro la opcón Complemenos del menú Herramenas, al y como puede observarse en la sguene fgura.3:
Fg..3. En caso de no ener dcha opcón nsalada en nuesro ordenador, deberemos marcar las casllas que se ven en la fgura.3, nserando segudamene el CD-Rom de Mcrosof Offce para proceder a su nsalacón. Una vez nsaladas esas opcones, dspondremos de una nueva opcón en el menú Herramenas llamada Análss de Daos. S pnchamos en ella, nos aparecerá una venana smlar a la de la fgura.4, en la que selecconaremos la opcón Regresón: Fg..4. Al selecconar dcha opcón nos aparecerá un cuadro de dálogo como el sguene:
Fg..5 En ese cuadro de dálogo podemos selecconar el rango de nuesra hoa de cálculo que conene los daos referdos a la varable endógena (Rango Y de enrada) y a las varables exógenas (Rango ). Asmsmo, se ncluyen oras opcones sumamene úles ales como elmnar el érmno ndependene del modelo (Consane gual a cero), deermnar el nvel de confanza al cual se realzarán los ess de sgnfcacón de los parámeros, la posbldad de obener una abla con los érmnos de error del modelo (Resduos) y su gráfco (Grafco de Resduales), ec. Una vez nroducdos los rangos de las varables y selecconado las opcones que deseemos (no debemos olvdar ndcar en qué Hoa, Rango o Lbro deseamos aparezcan los resulados), pulsamos en Acepar y nos aparecerá una venana smlar a ésa (Fg..6.):
Fg..6. La esmacón de los parámeros del modelo aparecen en la columna Coefcenes, uno con su Desvacón Típca o Error Típco y el esadísco de sgnfcavdad ndvdual (obsérvese que al érmno ndependene del modelo, Excel lo denomna Inercepcón). A la vsa de los resulados, el modelo esmado ene la sguene forma: Candad 3,534.7 3.36 Preco (48.) (-8.46) donde enre paréness se muesra el esadísco expermenal asocado a cada parámero. sendo ambas claramene superores a.365 (valor en ablas de una de Suden con n k 7 grados de lberad al 95% de confanza. Para el análss de la bondad de ause del modelo, Excel ofrece los sguenes resulados: a) Por un lado, s marcamos la caslla Curva de Regresón Ausada obenemos un gráfco con los valores orgnales y esmados de la varable endógena. lo que nos permrá realzar un prmer acercameno vsual al grado de ause de la reca (véase fgura.7) Curva de regresón ausada 5, Candad 4, 3,,, Candad Pronósco Candad, 9, 8 85 9 95 5 5 Preco Fg..7. Reca de regresón enre la demanda de manzanas y su preco b) Por oro lado, Excel muesra en la pare superor de los resulados el valor del coefcene de deermnacón que, en nuesro caso, es del 98% lo que nos ndca un grado de ause muy bueno.
Para evaluar la sgnfcavdad esadísca de los parámeros esmados, además de los esadíscos asocados a cada parámero esmado y los respecvos nervalos de confanza para cada uno de ellos. Excel nos muesra ambén el esadísco F que aparece en la abla Análss de Varanza, medane el que se realza un conrase de sgnfcacón global de los parámeros esmados. En los resulados obendos. el esadísco F omo un valor 34.8 asocado a un p-value de.6, valor que es claramene nferor a.5, por lo que se rechaza la hpóess nula, lo que nos perme afrmar que odos los parámeros del modelo son globalmene sgnfcavos, es decr, odos son sgnfcavamene dsnos de cero. En ese puno, cabe señalar que s esmamos un modelo con varas varables exógenas y nos enconramos con que alguno de los parámeros del modelo es esadíscamene gual a cero, deberíamos elmnar dcha varable del modelo al no haberse enconrado una relacón de causaldad con la varable endógena. Respeco al análss de los errores o resduos del modelo, Excel ofrece el Cuadro de Valores Ausados (Pronósco Candad), los Resduos del modelo y los Resduos Esándares (es decr, pfcados). Según la eoría que hemos esudado hasa ahora, los resduos esándares deben segur una dsrbucón Normal de meda y desvacón esándar ; por ano, aquellos resduos cuyo valor absoluo supere.96 se corresponderán con valores aípcos, ambén denomnados oulers en la leraura esadísca. En nuesro eemplo, aforunadamene, no se observa nngún ouler como puede aprecarse en la sguene abla de Análss de Resduos: Análss de los resduos Observacón Pronósco Candad Resduos Resduos esándares 439,3 6,97,79 35,46 9,54,9 3 78,75-8,75 -,33 4,96 -,96 -,56 5 8,47-8,47 -,86 6 9,75-9,75 -,45 7 38,33 6,67,3 8 998,6 5,74, El gráfco de los resduos (fgura.8) ambén consuye una herramena de análss mporane, ya que nos perme evaluar la aleaoredad de los msmos. En el eemplo, se observa una lgera fala de aleaoredad, dervada de que los cuaro úlmos resduos presenan una marcada racha crecene.
Gráfco de los resduales Resduos 4 3 - - -3-4 8 85 9 95 5 5 Preco Fg..8. Gráfco de resduos del modelo de demanda de manzanas frene al preco S se prefere esmar una ecuacón por MCO ulzando funcones en Excel, hay que ener presene que la noacón ulzada por ese paquee para la regresón lneal es la sguene: y mx + b O, s exsen varos rangos de valores de : y m x + m x +... + b donde m son los coefcenes que corresponden a cada varable y b es una consane. La funcón que perme realzar esmacones por MCO ene la sguene snaxs: ESTIMACION.LINEAL(conocdo_y,conocdo_x,consane,esadísca)
La funcón adme los sguenes argumenos: Conocdo_y Conocdo_x Consane Esadísca Valores de la varable ndependene. Valores de la varable dependene. S se va a esmar un modelo con consane b se ome o se pone VERDADERO; s se desea esmar un modelo sn consane (b) se debe escrbr ó FALSO. S se ome o se pone FALSO, ECEL no muesra las esadíscas de regresón; s se pone VERDADERO, Excel muesra las esadíscas de la regresón. Una vez se complea el assene de funcones, obendremos los resulados de la regresón en forma de marz de valores; para mosrar odos los valores de la regresón, debe selecconarse el rango de salda y presonar smuláneamene Crl + Shf + Ener.
El sguene esquema muesra el orden en que se devuelven los parámeros y las esadíscas de regresón adconales: El sgnfcado de cada celda se presena en el sguene cuadro: Esadísca se(m),se(m),...,se(mn) se(b) R se(y) F df ss(reg) ss(res) Descrpcón Desvacón ípca para los coefcenes m,m,...,mn. Desvacón ípca para la consane b (se(b) #N/A cuando consane es FALSO). Coefcene de deermnacón. Desvacón ípca de la esmacón de y Esadísco F de la regresón Grados de lberad del esadísco F La suma de regresón de los cuadrados. La suma resdual de los cuadrados. Asmsmo, convene recordar que Excel ambén ncluye oras funcones relaconadas con la esmacón por MCO: TENDENCIA(conocdo_y;conocdo_x;nueva_marz_x;consane) PRONOSTICO(x;conocdo_y;conocdo_x) ESTIMACION.LOGARITMICA(conocdo_y;conocdo_x;consane; esadísca) COEFICIENTE.R(conocdo_y;conocdo_x)
.. ESTIMACIÓN DE UN MODELO DE REGRESIÓN LINEAL CON R R es un enorno especalmene dseñado para el raameno de daos, cálculo y desarrollo gráfco. Perme rabaar con facldad con vecores y marces y ofrece dversas herramenas para el análss de daos. R es una mplemenacón open-sourcedel lenguae S (Bell Labs -prncpos de los 9), que ambén es la base del ssema S-Plus (enorno comercal). R y S-Plus aún comparen una gran mayoría de códgo e nsruccones, s ben R es sofware lbre, grauo en donde los usuaros dsponen de lberad para eecuar, copar, dsrbur, esudar, cambar y meorar el sofware. De hecho R dspone de una comundad de desarrolladores/usuaros derás que se dedcan consanemene a la meora y a la amplacón de las funconaldades y capacdades del programa. En la web hp://www.r-proec.org/ se encuenra dsponble oda la nformacón acerca de R. La nsalacón de R se realza a ravés de la CRAN (ComprehensveR Archve Nework): hp://cran.r-proec.org Acualmene R se dsrbuye para los sguenes Ssemas Operavos: Wndows: enorno gráfco. Lnux (Deban/Mandrake/SuSe/RedHa/VneLnux) MacOS Códgo fuene: amplacón a ssemas Unx
Las funcones de R se agrupan en paquees (packages, lbrares), los que conenen las funcones más habuales se ncluyen por defeco en la dsrbucón de R, y el reso se encuenran dsponbles en la Comprehensve R Archve Nework (CRAN). Las endades que R crea y manpula se llaman obeos. Dchos obeos pueden ser : Escalares: números, caraceres, lógcos (booleanos), facores Vecores/marces/lsas de escalares Funcones Obeos ad-hoc Dchos obeos se guardan en un workspace. Durane una sesón de R odos los obeos esarán en memora, y se pueden guardar en dsco para próxmas sesones. R rabaa sobre esrucuras de daos. La esrucura más smple es un vecor numérco, que consse en un conuno ordenado de números. Un vecor de reales se crea medane la funcón c y se guarda con el nombre Candad.
> Candad <- c(.456,.35,.5,.,.,.8,.45,.4) Se crea ahora el vecor de nombre Preco. > Preco <- c(8,9,94,99,6,8,,5) Para obener los esadíscos báscos del vecor (Candad): meda, desvacón esandar, varanza y medana, se ulzan las sguenes funcones R: > mean(candad) > sd(candad) > var(candad) > medan(candad) S se quere ener un resumen sumaro de esadísco de una varable: > summary(candad) En R los valores "desconocdos" o "no dsponbles" (mssngs) se smbolzan con el valor especal NA (NoAvalable). Cualquer operacón que ncluya un NA en general devolverá NA como resulado.la funcón s.na nos perme saber s un elemeno es mssngo no. Oros pos de obecosen R.
Arrays y marces (marx): generacón muldmensonal de los vecores. Todos los elemenos de la marz han de ser del msmo po. Facores (facor): úles para el uso de daos caegórcos. Lsas (ls): generalzacón de los vecores donde los elemenos pueden ser de dferenes pos (ncluso vecores o nuevas lsas). Daa frames: marces donde las dferenes columnas pueden ener valores de dferenes pos. Funcones (funcon): conuno de códgo de R eecuable y paramerzable. Una abla debe esar en un obeco po marz. Eemplo: Tabla<-marx(c(65,537,598,4,36,46,38,,8,37,6,67),nrow3,byrowT) La funcón read.able perme leer daos desde fcheros en formao ASCII. Devuelve como resulado un daa.frame, por ano, se supone que cada línea conene los daos para un ndvduo. El fchero ECEL personas.xls ene el sguene aspeco: Guardamos el fchero ECEL como un fchero ASCII delmado por abulacones > manzanas <- read.able(fle"manzanas.x",headert) Tecleamos > manzanas
La funcón de R que nos perme esmar un modelo de regresón lneal es la funcón lm. La forma de nvocar a la funcón para esmar un modelo de regresón lneal smple es lm(y~x). Para consular la ayuda de la funcón para ver odas las posbldades que ofrece: En nuesro eemplo, obenemos: > lm(candad~preco) Call: lm(formula Candad ~ Preco) Coeffcens: (Inercep) Preco 3.5347 -.336 En lugar de nvocar smplemene la funcón podemos guardar su resulado en una varable y veremos así que obenemos más nformacón. > reg lm(candad~preco) S queremos obener el vecor de resduos basará solcar: > reg$resduals Para realzar el análss del modelo esmado ulzaremos la funcón summary. Así: > summary(reg)
.. PROBLEMAS.. Parendo de las sguenes observacones de dos varables: Y 6 6 6 55 53 6 63 53 5 48 49 53 3 3 5 5 6 6 9 3 3 3 33 3 α) Esme por MCO la funcón de regresón Y + ) Sasfacen los érmnos de error la condcón E(u)? χ) Conrasar la hpóess de con un nvel de confanza del 95%... Los daos de una muesra aleaora de famlas dan la sguene esmacón de la funcón de consumo: Cˆ +, 9 Y
(,5) donde C es el consumo e Y es la rena en Euros, sendo S ˆ, 5 a) Conrasar la hpóess de que la propensón margnal a consumr es gual a.83. Ulzar un nvel de confanza del 95%. b) Calcular un nervalo de confanza al 9% para el coefcene de regresón..3. Ulzando los sguenes daos: W 4 6 5 4 7 Z 8 8 6 5 3 7 75 α) Esmar los parámeros a y b de la sguene relacón Z aw ) Realzar una predccón s W3 χ) Esablecer un nervalo de confanza para dcha predccón con un nvel de sgnfcacón del 5%. b.4. Ulzando los sguenes daos: Y 6 5 68 7 78 58 58 74 5 44 5 57 6 48 53 6 7 6 8 8 7 9 α) Obener una esmacón MCO para Y α + + γ ) Calcular los coefcenes R y R ausado. χ) Con un nvel de confanza del 95% conrasar que el coefcene es sgnfcavamene dsno de cero. δ) Con un nvel de confanza del 9% conrasar que el coefcene es sgnfcavamene dsno de γ..5 Suponga el sguene modelo de regresón:
Sendo T 5, ˆ σ.5,( ' ) Y + 5 y ( ' Y ) 5. Se pde: a) Obener una esmacón MCO para Y + b) Un nervalo de predccoón para el nvel de confanza del 95%, para Y + sabendo que y. ), SOLUCIONES. a) Y 86.9 +. b) S u. 7 y σ. u c) H : ; grados de lberad -;. 8 ; exp 9. 7; se rechaza. co. a) Se acepa la hpóess nula b) IC (.6,.86).3 a) Z 5.86W.339 b) Z. 4 c) IC E ( Z ) (7.556,64.9).4 a) Y.75 +.86. 57 b) R. 893, R. 85 c) Se rechaza la hpóess nula. d) Se rechaza la hpóess nula..5 a) Y + b) IC E( Y + ) (4.99,37.)
3. ETENSIONES AL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL 3.. INTRODUCCIÓN Como veíamos en el capulo aneror, el modelo de regresón lneal requere que se cumplan las sguenes hpóess sobre los érmnos de error: Meda cero : E(e ),,n Varanza consane : Var(e ) σ I,,n Resduos ncorrelaconados : Cov(e,e ) El ncumplmeno de alguna de dchas hpóess, mplca la no aleaoredad de los resduos y, por ano, la exsenca de alguna esrucura o relacón de dependenca en los resduos que puede ser esmada, debendo ser consderada en la especfcacón ncal del modelo. Los prncpales problemas asocados al ncumplmeno de las hpóess de normaldad de los resduos son, por un lado, la heeroscedascdad, cuando la varanza de los msmos no es consane, y la auocorrelacón o exsenca de relacón de dependenca o correlacón enre los dferenes resduos, lo que volaría el supueso de érmnos de error ncorrelaconados. S se consruye una gráfca de los resulados de una esmacón mínmo cuadráca (en ordenadas) frene al valor absoluo de los resduos (en abscsas), cuando ésos úlmos presenan una dsrbucón aleaora, es decr una dsrbucón Normal de meda cero y varanza consane, N (, σ ), el resulado obendo (véase Fg. 3..) muesra que el amaño del error es ndependene del amaño de la varable esmada, ya que errores con valor elevado se corresponden con valores baos y alos de la varable dependene esmada; sn embargo, una dsrbucón de resduos con problemas de heeroscedascdad da lugar a una fgura como la que puede observarse en la fgura 3.., en donde se manfesa una clara relacón de dependenca enre la varable esmada y el amaño del error. En ese caso los errores de mayor amaño se corresponden con los valores más alos de la varable esmada.
Fg. 3.. Resduos Homocedáscos Fg. 3.. Resduos Heeroscedáscos La represenacón gráfca de los errores en forma de sere emporal, es decr, ponendo en el ee de ordenadas los errores y en abscsas el perodo emporal en que esán daados, perme aprecar la ausenca o presenca de correlacón ya que a los resduos no correlaconados (fgura 3.3.) les corresponde una represenacón gráfca en la que no se apreca paua emporal alguna, sucedéndose de forma mpredecble o aleaora, menras que en los resduos con problemas de auocorrelacón la paua emporal es evdene, evdencándose que cada resduo podría ser
prevso en funcón de la sucesón de los errores correspondenes a perodos emporales pasados (fgura 3.4.) Fg. 3.3. Resduos sn Auocorrelacón Fg. 3.4. Resduos con Auocorrelacón Esos problemas asocados a los errores pueden deecarse con ess esadíscos dseñados para ello. A connuacón se descrben dchos ess y la forma en que debe procederse para esmar modelos en donde la esmacón mínmo-cuadráca presena problemas de ese po asocados a los resduos.
3.. HETEROSCEDASTICIDAD Decmos que el érmno de error de una esmacón mínmo-cuadráca presena heeroscedascdad cuando la varanza del msmo es dferene para las dsnas observacones que negran la muesra, lo que mplca que la varabldad de los errores mínmo-cuadrácos obendos esán relaconados de alguna manera con los daos ulzados en el modelo, ya sea por esar relaconados con la escala emporal de los daos recogdos o por presenar alguna relacón de dependenca con alguna de las varables exógenas ulzadas. Las consecuencas para la esmacón mínmo-cuadráca son que los esmadores de los coefcenes segurán sendo nsesgados y lneales pero ya no serán de mínma varanza o efcenes. Esos problemas se resuelven ulzando una écnca de esmacón lneal que recbe el nombre de Mínmos Cuadrados Generalzados (MCG), méodo que se esuda más adelane. La deeccón de la heeroscedascdad se realza a ravés de dversos conrases paramércos, enre los que cabe desacar el conrase de Barle (Mood, 95), el consrase de Goldfeld- Quand (965) y el conrase de Whe (98), los cuales descrbmos a connuacón. 3... Tes de Barle El es de Barle se basa en de que la suposcón de que las n observacones de los daos de la varable a esmar por el modelo pueden agruparse en G grupos (g,,..., G), cada uno de los cuales se caracerza por ener un dsno po de observacones asocadas a la varable explcava, de al manera que n sería el número de observacones correspondenes al prmer grupo, n el número de observacones asocadas al segundo grupo y, en general, n G es el número de observacones asocadas al grupo g-ésmo. A cada grupo le corresponde un valor medo de la varable dependene y una varanza para ese valor medo. El es conrasa s dcha varanza es gual o no enre los dsnos grupos que se han consrudo para la varable dependene, adméndose la hpóess de exsenca de heeroscedascdad s la varanza es sgnfcavamene dferene enre los grupos formados.
Los pasos a segur en la prácca para realzar el es de Barle son los sguenes:. Se esma la varanza ( s g ) de cada grupo de observacones, g,,..., G medane la sguene expresón: s g n g g ( y y ) n g g. Se calcula el esadísco S: G G n g nlog sg ng logs g n g S G + 3( G ) g ng n g Bao el supueso de homocedascdad, S se dsrbuye como una ch-cuadrado (χ ) con G grados de lberad. Por lo ano, se rechazará la hpóess de gual varanza en odos los grupos s S es mayor que el valor críco de la dsrbucón ch-cuadrado al nvel de sgnfcacón esadísca fado. 3... Conrase de Goldfeld-Quan El conrase de Goldfeld-Quan se ulza para conrasar la homocedascdad cuando la forma de la heeroscedascdad no es conocda, aunque se nuye que la varanza guarda una relacón monóona crecene o decrecene respeco a alguna varable exógena (que denomnaremos varable z). La operava de ese es es la sguene:. Ordenar odas las observacones de las varables del modelo, de menor a mayor, en funcón de la varable z.. Elmnar c observacones cenrales de la ordenacón aneror, de al forma que queden dos submuesras de (n-c)/ observacones cada una. Al selecconar c, debe hacerse de al forma que (n-c)/ sea susancalmene mayor que el número de parámeros del modelo.
3. Esmar dos veces el modelo orgnal medane Mínmos Cuadrados Ordnaros, ulzando en cada esmacón cada una de las submuesras. 4. Denomnando SR y SR a las sumas de los cuadrados de los resduos de ambas submuesras (de manera que el subíndce corresponda a la submuesra con la menor suma) se defne el esadísco F: F SCR SCR La dea que subyace bao ese conrase es la sguene: s exse heeroscedascdad enonces, con la ordenacón de la muesra, la varanza del érmno de error será mayor haca el fnal de la muesra que al prncpo de la msma. Como el cuadrado de los resduos esá asocado con la varanza de los msmos, enonces SR debería ser sensblemene mayor que SR. Por ello, se rechazara la hpóess nula de homocedascdad sempre que el valor del esadísco F excede el valor en ablas de la dsrbucón F (n-c-k)/, (n-c-k)/, acepándose la exsenca de heeroscedascdad en caso conraro. Eemplo 3.. Ulzando daos provncales hemos esmado el modelo explcavo del empleo en el secor de hoeles descro en el capulo ; los resulados obendos fueron los sguenes: Esadíscas de la regresón Coefcene de correlacón múlple.9694463 Coefcene de deermnacón R.93974534 R ausado.9378597 Error ípco.9997 Observacones 5 Coefcenes Error ípco Esadísco Térmno consane -.944443.33533-8.89544675 Número de vaeros (mles).6699.383 5.6668389 Esanca meda.388995.38.6
El nvesgador sospecha que los errores obendos engan alguna relacón con la varable exógena que recoge el número de vaeros de cada provnca. Por ello, decde realzar un conrase de Goldfeld-Quan, ordena los daos de la abla en funcón del número de vaeros; después elmna las observacones cenrales, y dea dos submuesras con provncas cada una. A connuacón esma el modelo para cada una de ellas; obenendo los sguenes resulados: a) Prmera submuesra Coefcenes Térmno consane -.8368434 Número de vaeros (mles).33 Esanca meda.37488653 b) Segunda submuesra Coefcenes Térmno consane -4.55335 Número de vaeros (mles).34497 Esanca meda.5483859 La Suma de Resduos al Cuadrado obendo en la prmera muesra es de,76 y en la segunda muesra es de 45.7. Consrumos por ano el esadísco F: F SCR SCR,76 45.7.4 A connuacón obenemos de las ablas de la dsrbucón F el valor eórco para una dsrbucón con 8 grados de lberad en el numerado y denomnador, el valor obendo es.. Como valor del esadísco esá por debao del valor eórco no se rechaza la hpóess de homocedascdad al nvel de sgnfcacón del 5% (probabldad del 95%).
3..3. Conrase de Whe El conrase de Whe se desarrolló ambén para evar la necesdad de consderar una forma específca para la heeroscedascdad. El conrase se basa en que, bao la hpóess nula de homocedascdad, la marz de varanzas y covaranzas de los esmadores MCO de es: σ ( ) ' Por el conraro, s exse heeroscedascdad, la marz de varanzas y covaranzas vene dada por: ( ' ) ' Ω ( ' ), Ω dag( σ, σ,..., σ ) n Por ano, s omamos la dferenca enre ambas queda: ( ' ) ' Ω ( ' ) σ ( ' ) Por ello, basa con conrasar la hpóess nula de que odas esas dferencas son guales a cero, lo que equvale a conrasar que no hay heeroscedascdad. Los pasos a segur para realzar el conrase de Whe son los sguenes:. Esmar el modelo orgnal y obener la sere de resduos esmados. Realzar una regresón del cuadrado de la sere de resduos obendos en el paso aneror sobre una consane, las varables exógenas del modelo orgnal, sus cuadrados y los producos cruzados de segundo orden (los producos resulanes de mulplcar cada varable exógena por cada una de las resanes). Es decr, se raa de esmar por MCO la relacón: eˆ + ϕ +... + ϕk k + η +... + ηk k + ϖ +... + ϖk k + ν 3 +... + νk k +... + ρk k α + ε k 3. Al aumenar el amaño muesral, el produco nr (donde n es el número de observacones y R es el coefcene de deermnacón de la úlma regresón) sgue una dsrbucón Chcuadrado con p grados de lberad, donde p es el número de varables exógenas ulzadas en la segunda regresón. Se acepará la hpóess de exsenca de
Eemplo 3.. heeroscedascdad cuando el valor del esadísco supere el valor críco de la dsrbucón Ch-cuadrado (c) al nvel de sgnfcacón esadísca fado ( nr > Para realzar en R el consrase de heerocedascdad de Whe en el modelo esmado en el eemplo., prmero hay que nsalar en Packaged seres : > nsall.packages("seres") y después eecuar el sguene programa R: > lbrary(seres) > daos <- read.able(fle"lbro.x",headert,dec",") > daos Años Empleo Vaeros Esanca_m Andalucía 8.4.9,5 3. Aragón 3.6.848,. 3 Asuras.4.88,.3 4 Balears 5.9 6.76, 7. 5 Canaras 7. 4.875,7 7.8 6 Canabra. 933,8.4 7 Caslla_León 6. 3.647,6.7 8 Caslla_Mancha.8.85,.7 9 Caaluña 3.5.77,7 3.4 C_Valencana 3.4 5.579,7 3.9 Exremadura..,7.7 Galca 6.3 3.4,5. 3 Madrd.7 5.748,9. 4 Murca. 88,5 3. 5 Navarra. 557,7. 6 País_Vasco 3..54,6.9 7 Roa.7 446,.8 > x <- marx(c(daos$vaeros,daos$esanca_m),ncol) > y <- marx(daos$empleo,ncol) > whe.es(x,y) Whe Neural Nework Tes daa: x and y -squared.69, df, p-value.3583 c ). En ese eemplo el valor del esadísco nr, 69, dado que el valor de la dsrbucón Ch-cuadrado eórca para el nvel de sgnfcacón α, 5 da un valor críco c 5, 99 habría que acepar la hpóess de exsenca de heerocedascdad. El p-value es la probabldad asocada al esadísco calculado, al ser de,3583 y por ano menor que,5, suaría al esadísco en la zona de rechazo de la hpóess H, la que de los valores del esadsco superores al valor críco. 3.3 AUTOCORRELACIÓN Decmos que exse auocorrelacón cuando el érmno de error de un modelo economérco esá correlaconado consgo msmo a ravés del empo al que E ( e, e ). Ello no sgnfca que la correlacón enre los errores se dé en odos los perodos sno que puede darse an sólo enre
algunos de ellos. En presenca de auocorrelacón, los esmadores MCO sguen sendo nsesgados pero no poseen mínma varanza, debéndose ulzar en su lugar el méodo de esmacón de los Mínmos Cuadrados Generalzados (MCG). La exsenca de auocorrelacón en los resduos es fáclmene denfcable obenendo las funcones de auocorrelacón (acf) y auocorrelacón parcal (acp) de los errores mínmocuadrácos obendos en la esmacón. S dchas funcones corresponden a un rudo blanco, se consaará la ausenca de correlacón enre los resduos. Sn embargo, el mero examen vsual de las funcones anerores puede resular confuso y poco obevo, por lo que en la prácca economérca se ulzan dversos conrases para la auocorrelacón, sendo el más ulzado el de Durbn-Wason (95), que pasamos a ver segudamene. 3.3.. Conrase de Durbn-Wason S se sospecha que el érmno de error del modelo economérco ene una esrucura como la sguene: e ˆ ρ ˆ + u e enonces el conrase de Durbn-Wason perme conrasar la hpóess nula de ausenca de auocorrelacón. Dcho conrase se basa en el cálculo del esadísco d, ulzando para ello los errores mínmo-cuadrácos resulanes de la esmacón: d n (ˆ e n eˆ eˆ ) El valor del esadísco d oscla enre y 4, sendo los valores cercanos a los índcavos de ausenca de auocorrelacón de prmer orden. La nerpreacón exaca del es resula complea, ya que los valores crícos apropados para conrasar la hpóess nula de no auocorrelacón requeren del conocmeno de la dsrbucón de probabldad bao el supueso de cumplmeno de dcha hpóess nula, y dcha dsrbucón depende a su vez de los valores de las varables explcavas, por lo que habría que calcularla en cada aplcacón. Para faclar la nerpreacón del es Durbn y Wason dervaron dos dsrbucones: d U y d D, que no dependen de las varables Esas funcones se analzarán en dealle en el capíulo 3 de la II pare
explcavas y enre las cuales se encuenra la verdadera dsrbucón de d, de forma que a parr de un deermnado nvel de sgnfcacón, se adopa la sguene regla de decsón:. S d d D rechazamos la hpóess nula de no auocorrelacón frene a la hpóess alernava de auocorrelacón posva.. S d 4 d D rechazamos la hpóess nula de no auocorrelacón frene a la hpóess alernava de auocorrelacón negava. 3. S d U d 4- d U acepamos la hpóess nula de no auocorrelacón. En el Anexo II, abla II.5., presenamos la abla con la dsrbucón desarrollada por Durbn y Wason para los valores de d U y d D. El esadísco d de Durbn-Wason es aproxmadamene gual a ( ρ ) coefcene de auocorrelacón smple muesral del reardo. ˆ en donde ˆρ es el d n (ˆ e eˆ n eˆ ) n eˆ eˆ n eˆ ( ˆ ρ ) Eemplo 3.3. En el sguene eercco planeamos una regresón lneal enre el consumo de energía elécrca en España y el PIB a precos de mercado valorado en moneda consane (mllones de euros). Consumo de Energía Elécrca (mles de TEP) PIB (mllones de euros) 987 947 3553 988 9876 3734 989 4 39443 99 974 465 99 37 4658 99 488 446 993 569 466 994 999 464 995 46 437787 996 87 448457 997 333 46653 998 49 486785 999 5364 57346 639 5874 78 543746 7756 55485 Fuene: INE y OCDE
Con los daos de la abla aneror la esmacón MCO enre el consumo de energía elécrca y el PIB sería la sguene: Y-634.4+.43+ε Sendo Y el consumo de energía elécrca y el PIB en moneda consane. Los resulados de la esmacón se presenan a connuacón: Esadíscas de la regresón Coefcene de correlacón múlple.9969699 Coefcene de deermnacón R.994844 R ausado.998669 Error ípco 33.85853 Observacones 6 Coefcenes Error ípco Esadísco Probabldad Térmno -634.453 45.56-3.86. consane PIB-$.43. 4.78. Como vemos las esadíscas de la regresón realzada son buenas, se obene un R muy elevado, y los parámeros son esadíscamene sgnfcavos, ya que el valor eórco de la -Suden es.5 al 95% de probabldad. No obsane, la represenacón gráfca de los errores apuna a la posbldad de un problema de auocorrelacón enre los resduos: Grafco de los resduos 6, 5, 4, 3,,,, -,986 988 99 99 994 996 998 4 -, -3, -4,
Para verfcarlo calculamos el esadísco de Durbn-Wason: Y* e e e -e - (e -e -) 987 8933 494. 449.5 988 975 7.5 976.7-33.6 474.4 989 475-65. 447.8-35.7 5555.6 99 7-33.3 7777. -68. 4645. 99 548-76.3 378. -43. 845.5 99 74-5.9 538. -49.6 46.8 993 59 4. 64. 66. 784.9 994 95 46.9.6 6.8 45.6 995 453 8.5 7.7-38.4 474.9 996 99-8.9 675. -9.5 885.4 997 368-348.7 596.8-66.8 76.5 998 4545-55. 6557.3 93.6 8769. 999 543-58.8 345.3 96.3 38536.6 6335-5.9 67.7 3.9 79.7 6977 35.4 9386. 33.3 9776.4 745 35.3 9334.4 -.. Toal. 7653.5-88.8 4798.7 d n ( eˆ ˆ e ) 479, 8.7 n 765,3.5 eˆ.6599 Los valores eórcos del esadísco para n6 observacones y k varables explcavas, son d D.98 y d U.4. Dado.6599 <.98 no podemos rechazar la hpóess de la exsenca de auocorrelacón posva. En R, el es de Durbn-Wason se encuenra en el Package (lmes), y su snaxs es: > dwes(formula) Relazar el eercco aneror requere del sguene programa R: > nsall.package( bges ) > lbrary(bges) > daos <- read.able(fle"lbro.x",headert)
> daos Años CEnEl PIB 987 947 3553 988 9876 3734 3 989 4 39443 4 99 974 465 5 99 37 4658 6 99 488 446 7 993 569 466 8 994 999 464 9 995 46 437787 996 87 448457 997 333 46653 998 49 486785 3 999 5364 57346 4 639 5874 5 78 543746 6 7756 55485 > dwes(daos$pib ~ daos$cenel) Durbn-Wason es daa: daos$pib ~ daos$cenel DW.68, p-value.9 alernave hypohess: rue auocorrelaon s greaer han 3.3.. Conrase de Breush-Godfrey El es de correlacón seral de Breusch Godfrey es un es de auocorrelacón en los errores y resduos esadíscos en un modelo de regresón. Hace uso de los errores generados en el modelo de regresón y un es de hpóess dervado de ése. La hpóess nula es que no exsa correlacón seral de cualquer orden de ρ. El es es más general que el de Durbn Wason, que solo es váldo para regresores no-esocáscos y para esear la posbldad de un modelo auoregresvo de prmer orden para los errrores de regresón. El es Breusch Godfrey no ene esas resrccones, y es esadíscamene más poderoso que el esadísco d. Los pasos para realzar el conrase son los sguenes:. Esmar el modelo orgnal y obener la sere de resduos esmados. Esmar la ecuacón de regresón auxlar: eˆ + ϕ + + ϕk k + δeˆ + + δpeˆ...... p α + ε 3. Al aumenar el amaño muesral, el produco ( ) n p R (donde n es el número de observacones, p, el número de reardos del error ulzados en la regresón auxlar y R es el coefcene de deermnacón de dcha regresón) sgue una dsrbucón Ch-cuadrado con p grados de lberad, donde p es el número de varables exógenas ulzadas en la segunda regresón. Se acepará la hpóess de exsenca
de auocorrelacón cuando el valor del esadísco supere el valor críco de la dsrbucón Ch-cuadrado (c) al nvel de sgnfcacón esadísca fado( ( n p) R > c ). Eemplo 3.4. El es de Breusch Godfrey amben se realza con la lbrería R (lmes), y se programa para p 3 del sguene modo: > nsall.package( bges ) > lbrary(gbes) > bges(daos$pib ~ daos$cenel,order3) Breusch-Godfrey es for seral correlaon of order up o 3 daa: daos$pib ~ daos$cenel LM es 5.3733, df 3, p-value.464 En ese eemplo el valor del esadísco ( n p) R 5, 37, dado que el valor de la dsrbucón Ch-cuadrado eórca para el nvel de sgnfcacón α, 5 da un valor críco c 7,8 habría que rechazar la hpóess de exsenca de auocorrelacón. El p-value es la probabldad asocada al esadísco calculado, al ser de,454 y por ano mayor que,5, suaría al esadísco en la zona de acepacón de la H, la que consuyen los valores del esadsco nferores al valor críco. 3.3. DEFICIENCIAS MUESTRALES: MULTICOLINEALIDAD El fenómeno de la mulcolnealdad aparece cuando las varables exógenas de un modelo economérco esán correlaconadas enre sí, lo que ene consecuencas negavas para la esmacón por MCO, ya que la exsenca de una relacón lneal enre las varables exógena, mplca que la marz ( ' ) va a ener deermnane cero, es decr será una marz sngular y por ano no será nverble. Dado que ˆ ( ' ) ' Y, no será posble calcular la esmacón mínmo cuadráca de los parámeros del modelo n, lógcamene, la varanza de los msmos. Eso es lo que se conoce por el nombre de mulcolnealdad exaca. Consderemos por eemplo la relacón lneal: Y + u + +
Supongamos que las varables ndependenes presenan relacón lneal exaca: c La marz ( ) quedaría: ( ) ' n susuyendo por c enemos: ( ) ' c c c c c n Como el valor de un deermnane no se alera s se resa de una fla o columna un múlplo consane de cualquer ora fla o columna. S mulplcamos la segunda fla de ( ) por c y resamos el resulado de la ercera fla enemos: c c n A pueso que ' A, la marz ( ) es sngular y por ano no nverble. Sn embargo, en la prácca no nos enconraremos con un caso an exremo como el que acabamos de exponer, sno que generalmene nos enconraremos ane lo que se conoce como mulcolnealdad aproxmada, sendo una de las columnas de la marz ) ' (, aproxmadamene, una combnacón lneal del reso por lo que será una marz aproxmadamene sngular. Al no ser el deermnane de ) ' ( gual a cero, exsrá nversa y podrán esmarse los parámeros pero con las sguenes consecuencas:
. Por un lado, pequeñas varacones muesrales producdas al ncorporar o susraer un número reducdo de observacones muesrales podrían generar mporanes cambos en los parámeros esmados.. Por oro lado, la marz de covaranzas del esmador MCO, S ( ) ˆ ˆ Se ', al ser un múlplo de ( ' ), será muy grande por ser el deermnane de ( ' ) muy pequeño por lo que la esmacón realzada será muy poco precsa al ser la desvacón ípca de cada parámero muy elevada. Las solucones propuesas para resolver el problema de la mulcolnealdad son varadas, s ben en general resulan poco sasfacoras:. Una posbldad, sugerda por Johnson (984), consse en exclur aquella varable exógena que puede esar muy correlaconada con el reso y poserormene esmar el coefcene asocado a dcha varable medane oro procedmeno para nclurlo en el modelo.. Ora posbldad es la que se conoce como regresón cresa, nroducendo una consane c en la marz ( ' ) de al forma que el esmador de MCO quedaría como ˆ ( ' + ci k ) ' Y, evando así la sngulardad de la marz. Evdenemene, los coefcenes esmados esarán sesgados pero la marz de covaranzas de los msmos será, seguramene, menor que la que obendríamos sn nroducr la consane por lo que probablemene la menor varanza compense en pare el sesgo nroducdo. Ora cuesón no menos rval es la seleccón del valor de c, para lo que no exse un méodo defndo; una posbldad, sugerda por Hoerl y Kennard (97) es comenzar con un valor muy pequeño de c e r aumenándolo hasa que observemos que las esmacones comenzan a esablzarse. 3. Tambén se ha sugerdo la posbldad de reformular el modelo, convréndolo en un modelo de varas ecuacones (esmacón por ramos). 4. Fnalmene, cuando la mulcolnealdad se debe a la presenca como varables explcavas de varos reardos de una msma varable, puede especfcarse una relacón enre sus coefcenes para elmnar alguno de los reardos del modelo.
3.4. ERRORES DE ESPECIFICACIÓN Los errores de especfcacón hacen referenca a un conuno de errores asocados a la especfcacón de un modelo economérco. En concreo cabe referrse a: Omsón de varables relevanes Inclusón de varables nnecesaras Adopcón de formas funconales equvocadas En Economía la eoría no suele concrear la forma funconal de las relacones que esuda. Así, por eemplo, cuando se analza la demanda se señala que la candad demandada es nversamene proporconal al preco; cuando se esuda el consumo agregado se apuna que la propensón margnal a consumr (relacón enre rena y/o consumo) es mayor que cero y menor que uno. Por oro lado es frecuene ulzar la condcón ceers parbus para aslar la nformacón de oras varables relevanes que nfluyen y/o modfcan la relacón esudada. Por esa razón, la exsenca de errores de especfcacón en la relacón esmada es un facor a consderar y a resolver en el proceso de la esmacón economérca. Con ndependenca de la nauraleza de los errores de especfcacón, dado que el proceso de esmacón MCO deben de cumplrse deermnadas hpóess báscas, que los esmadores MCO deben de ser nsesgados, efcenes y conssenes, y que el esmador de la varanza del érmno de error ha de ser nsesgado, debemos pregunarnos: qué ocurrría con esas propedades ane errores de especfcacón?. Para responder a esa cuesón, parmos del modelo de regresón lneal cuya especfcacón general es: Y o+ + + ßk k + e Con las propedades habuales: Meda cero : E(e ),,n Varanza consane : Var(e ) σ I,,n Resduos ncorrelaconados : Cov(e,e ) No exsenca de relacón lneal exaca enre dos o más varables ndependenes
3.4.. Omsón de una varable relevane Para analzar las consecuencas de la omsón de una varable relevane, vamos a parr del sguene modelo verdadero: Y + + + e (3.) Sn embargo, por algún movo, se ha proceddo esmar el sguene modelo: Y α + α + v (3.) Dado que la varable excluda esá relaconada con la varable dependene Y, enonces se deduce que: v ß + e. Esmando la pendene α por MCO en el modelo (3.), se obene: ( ) ( ) ˆ y α sendo Y Y y, de forma que al susur y por su expresón en el modelo verdadero (3.) quedaría: ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ˆ + + + + e e x x α Al omar esperanzas condconales con respeco a los valores de las varables ndependenes y dado que E(e x, x,, x k), se obene que: ( ) ( )( ) ( ) ˆ + E α lo que mplca que ) ˆ ( α E no será gual a, por lo que esará sesgado sendo su sesgo: ( )( ) ( )
Expresón cuyo sgno vene deermnado por el sgno del coefcene y por el sendo de la correlacón enre las varables y. Con respeco a la varanza, dado que de la esmacón MCO resula que: Var ( ˆ ) σ ( ) ( r ) e, donde r, es el R resulane de regresar sobre. Y además: Var ( α ) ˆ σ v ( ) enonces Var ˆ α ) será dferene de Var ˆ ), y por lo general será mas pequeña ya que ( ( <r,<; pero aún en el caso en que r,, que mplcaría que y no esán correlaconadas, y aunque el esmador MCO de α no fuera nsesgado (ya que el sesgo de las varables omdas se anularía porque el ermno ( )( ) ( ) sería cero), las varanzas serían ya de por sí dferenes debdo en la esmacón de la ecuacón (3.) y en la de la ecuacón (3.). 3.4.. Inclusón de una varable nnecesara Supóngase ahora que el modelo verdadero es: Y + + e (3.3) Pero se especfca el sguene modelo: Y α o + α + α + v (3.4)
Los esmadores MCO de (3.4) son ahora sesgados y conssenes, ya que E ( ˆ α ), E y E ( ˆ α ) ; a ese respeco hay que ener presene que al ser una varable ( ˆ α ) nnecesara el parámero esmado no será sgnfcavamene dsno de cero. Pero como desde el puno de vsa de las varanzas ahora resula que: Var Var ( ˆ α ) ( ˆ ) σ e ( ) σ ( ) ( r ) Pueso que < r,<, se cumplría que Var ˆ α ) Var( ˆ ), es decr, la varanza de la v, ( esmacón MCO de α sería mayor que la esmacón MCO de. 3.4.3. Especfcacón funconal ncorreca S especfcamos la forma funconal de una relacón (ya sea lneal, cuadráca, cúbca, exponencal, logarímca, ec.) y la verdadera relacón presena una forma dferene a la especfcada ene, en algunos casos, las msmas consecuencas que la omsón de varables relevanes, es decr, proporcona esmadores sesgados e nconssenes. En general, una especfcacón funconal ncorreca lleva a obener perurbacones heeroscedáscas y/o auocorrelaconadas, o aleadas de los parámeros de la dsrbucón del érmno de error del modelo correcamene especfcado. 3.4.4. Conrase de errores de especfcacón Para consaar la presenca de errores de especfcacón en los modelos se ulza la prueba general de errores de especfcacón de Ramsey. Dcha prueba, en su versón más senclla, se realza medane los sguenes pasos:
. A parr del modelo especfcado, obenemos Y esmada, es decr Yˆ.. Se efecúa una nueva regresón ncluyendo Yˆ en alguna forma, con uno o varos regresores adconales, por eemplo: Y + + Yˆ + Yˆ + e (3.5) 3 3 3. Consderando el R obendo en el modelo ncalmene especfcado, obendo en la segunda regresón, R B, se consruye el sguene esadísco: R A, y el R F ( RB RA ) l ( RB ) ( n k) El cual se dsrbuye según una F de Snedecor con l, n k grados de lberad, sendo l el número de regresores nuevos ncludos en el segundo modelo y n k el número de observacones menos el numero de parámeros del segundo modelo. 4. S el valor F calculado es sgnfcavo al nvel deseado, F exp > Fco se puede acepar la hpóess de que el modelo esá mal especfcado. Eemplo 3.5. Ulzando los daos del modelo del grado de ocupacón hoelera esmado en el capulo aneror, vamos a planear la hpóess de la exsenca de algún error de especfcacón en el modelo. Ulzando los daos del modelo, efecuamos la regresón sguene: Y + + + Yˆ + Yˆ + e 3 4 3 Para el que obenemos el sguene resulado:
Esadíscas de la regresón Coefcene de correlacón múlple.96896 Coefcene de deermnacón R.8596 R ausado.8686 Error ípco 5.547546 Observacones 7 Dado que el modelo esmado obenía un R ausado de,794; consrumos el esadísco de prueba: F ( RB RA ) (.8.794) l.57 ( R ) (.8) B ( n k) Con un nvel de sgnfcacón de α.5, obenemos el valor eórco correspondene a una dsrbucón F con grados de lberad en el numerador y en el denomnador, que es de 3.49. Dado que F < F exp co no se rechaza la hpóess de que el modelo esé mal especfcado. 3.5. MINIMOS CUADRADOS GENERALIZADOS. En el modelo lneal general esablecamos como hpóess de rabao para el ermno de error ener una meda cero, una varanza consane y no esar auocorrelaconado; es decr: Meda cero : E(e ),,n Varanza consane : Var(e ) σ I,,n Resduos ncorrelaconados : Cov(e,e ) Ahora vamos a manener la hpóess de meda nula, es decr, E(e ),,,n Pero se va a admr la posbldad de que las varzanzas y covaranzas del ermno de error esén mulplcads por un facor escalar al que:
E(e,e ) σ Ω,,,n Donde σ es desconocda y Ω es una marz conocda de orden n smérca y defnda posva. Recordemos que los errores son heeroscedáscos cuando su varanza varía a lo largo del empo. Enonces, suponendo que no exse auocorrelacón en los resduos, la marz de varanza y covaranzas de los errores endría la forma: λ E( e, e ) σ Ω σ... λ............... σ...... λ n σ.................. σ n S en lugar de heeroscedascdad, exsera alguna forma de auocorrelacón en el érmno de error al que E ( e, e ), la marz de varanzas-covaranzas de los errores auocorrelaconados endrá la sguene forma: ρ E( e, e ) σ Ω σ... ρ n ρ ρ... n............ ρ n ρ n... En resumen, la exsenca de heeroscedascdad y auocorrelacón volan las hpóess de rabao sobre el érmno de error que requere MCO; en ese caso, los esmadores obendos por ese procedmeno no serán los más efcenes, es decr, no serán los que garancen la mínma varanza enre odos los esmadores lneales. El méodo de Mínmos Cuadrados Generalzados (MCG) perme obener esmadores efcenes cuando MCO proporcona esmacones cuyo ermno de error no ene la forma de rudo blanco, es decr, no ene meda cero, varanza consane y no esá auocorrelaconado. Supóngase que las varanzas heeroscedáscas σ son ahora conocdas. El uso de Mínmos Cuadrados Generalzados equvale a redefnr las varables ulzadas en el modelo orgnal de regresón al que odas ellas quedan dvddas por σ :
e e k Y Y σ σ σ * * *,,...,,, El érmno de error ransformado ene ahora una varanza homocedásca: Var( * e ) E( * e ) E e σ σ E(e) σ ( σ ) Poserormene se realza la regresón mínmo cuadráca con el modelo ransformado: k k e Y * *... * * * + + + + + El esmador MCG será: ( ) ( ) Y P P P P Y MCG * * * * ' ' ' ' ' ' ˆ Sendo: n P σ σ σ..................... S llamamos enonces ' Ω P P, el esmador MCG quedaría como: ( ) Y MCG ' ' ˆ Ω Ω Por ano, el méodo de MCG consse en aplcar MCO sobre las varables ransformadas, las cuales sí sasfacen las hpóess eórcas esablecdas para MCO. Así, por eemplo, s deecamos la presenca de auocorrelacón, y se cree que las perurbacones se generan de la manera sguene: e e ρ ε +
Donde ρ se conoce como coefcene de auocorrelacón, sendo < < ρ y ε sasface los supuesos MCO cláscos (eso es, meda cero, varanza consane y ausenca de auocorrelacón) El esmador MCG se obendría realzando la sguene ransformacón: ( ) ( ) o Y Y Y ε ε ρ ρ ρ + + + + * * * * ) ( De forma que el esmador MCG ˆ vene dado por la sguene expresón: ( )( ) ( ) C x x y y x x N N MCG + ˆ ρ ρ ρ sendo ( ) x e ( ) Y Y y, y C un facor de correccón que suele desprecarse en la prácca. La varanza del esmador obendo medane MCG será: ( ) ˆ ( ) MCG N Var D x x σ ρ + donde D es oro facor de correccón que ambén es desprecable. Dado que ρ es un parámero desconocdo, es habual obener un esmador de ρˆ a parr del esadísco d de Durbn-Wason: ˆ d ρ
O por el procedmeno eravo de Cochrane-Orcu, que consse en realzar una segunda regresón con los errores de la regresón MCO de las varables orgnales; es decr: e ˆ ˆ ρ ˆ + v e y a parr de la esmacón ρˆ de esa segunda regresón se realzan sucesvas regresones a parr del modelo ransformado sguene: * * * * * * ( Y ˆ ρ Y ) ( ˆ) ρ + ( ρ ) + e Y + + e ˆ e Y ˆ ˆ * * * ˆ eˆ ˆ ρeˆ + w * * hasa alcanzar un deermnado grado de convergenca, en el sendo de que las dferencas enre las sucesvas esmacones de ρˆ engan un valor nferor a un número prevamene elegdo. o En la prácca, para obener los esmadores MCG una vez deermnado el parámero ρˆ deberíamos segur los sguenes pasos:. Transformar las observacones orgnales ulzando el parámero ρˆ. Aplcar MCO a los daos ransformados. Eemplo 3.6. Ulzando los daos y resulados obendos en el eemplo 3., vamos a calcular un esmador para ρ a parr de: d.6599 ˆ ρ.687 Para obener los esmadores MCG, prmero ransformamos las varables orgnales:
Y Y ˆY ( ˆ ρ) * ρ ˆ ρ * 987 988 3399.63.3997435 93.74 989 365.6.3997435 3498. 99 38.3.3997435 3739.65 99 383.83.3997435 37485.83 99 3675.4.3997435 3469. 993 3676.7.3997435 767.53 994 45.7.3997435 46.37 995 48.66.3997435 4595.74 996 465.57.3997435 47696. 997 458.8.3997435 584.89 998 53.57.3997435 6689.37 999 5546.73.3997435 793.46 5753.89.3997435 866. 677.68.3997435 858.3 5883..3997435 897. En segundo lugar aplcamos MCO a los daos ransformados 3, lo que da lugar a la sguene solucón: Y ˆ) ρ + * * 8,3.87(.46 que equvale a esmar: Y ˆ 8,3.87 +. 46 Para obener una esmacón de ρˆ por el procedmeno eravo de Cochrane-Orcu, ncamos el procedmeno a parr de la funcón e ˆ ˆ ρ eˆ + v esmada por MCO: e.53e + v A connuacón ransformamos las varables orgnales: 3 Noese que en vez del vecor de n valores que se asoca al érmno consane en el MCO ordnaro, se esma ahora ulzando un vecor con n valores ( ˆ ρ).
Y Y ˆY ( ˆ ρ) * ρ ˆ ρ * 987 988 4867.6797.468754 84643.6678 989 563.956.468754 9358.599 99 5443.4873.468754 9888.759 99 554.78973.468754 75.565 99 5446.3439.468754 994.4573 993 5465.74436.468754 9745.8 994 585.687.468754 4963.786 995 687.3984.468754 44.84 996 66.575.468754 587.7739 997 656.3374.468754 859.7 998 77.574873.468754 38938.374 999 777.885.468754 4879.3684 846.49388.468754 5973.86 867.438347.468754 6853.5449 8574.579.468754 65973.43 Aplcamos MCO a los daos ransformados, lo que da lugar a la sguene ecuacón: Y ˆ) ρ + * * 7,58.97(.45 Obenemos los errores de predccón a parr de: e Y 7,58.97 +. 45 ˆ* Yˆ * e ˆ 987 8583.843 843.958686 988 944.5854 47.944578 989.86 88.839837 99 89.994 8.78583 99 36.4339.56673 99 536.6683-48.66838 993 339.7683 9.3684 994 789.955 9.94475 995 3.39985 4.6486 996 84.949.579756 997 363.5-9.546 998 454.88745-5.8874547 999 5473.6697-9.669747 644.66-33.6587 73.468 58.75839 766.5454 9.4574635
Por ano, en segunda eracón obenemos el sguene valor ˆρ a parr de la regresón: e ˆ.5446ˆ + w * * e Y a parr de ese nuevo valor ˆρ reperemos el proceso hasa obener parámeros que dferan en un pequeño valor, como ocurre enre los parámeros obendos en la eracón 9 y : Ieracón ρ Dferencas.544578.577 -.877 3.5495 -.7555 4.5753 -.4439 Con el parámero correspondene a la cuara eracón se obene la sguene esmacón MCG: Yˆ 7495.9 +.45 3.6. PROBLEMAS 3.. Ulzando los sguenes daos: Y 5 3 8 4 3 5 33 6 35 7 35 8 39 4 8 5 9 6 3 7 33 3 6 4 9 5 8 8 34 3 4 8 a) Esme por MCO la relacón Y + b) Obenga los resduos y represenarlos gráfcamene. Comenar los resulados.
c) Calcule el esadísco d de Durbn-Wason e nerpree el resulado 3.. Ulzando los sguenes daos de core ransversal de ndvduos: Y 5 4.3. 4.6 3 3..4 4 7.9.4 5 5.5 6.4 6 3.8 4. 7. 5.5 8 9.9 4.7 9 3.3..5 4 6.4 4 8.9 8.4 3 8. 3.3 4 3.5 4.7 5 4.7 5. 6 7.5 3.6 7 4.7 3.6 8 8 4 9 7.5 3.9 9. a) Efecúe la regresón MCO de Y sobre y realce un gráfco de los resduos de la regresón. b) En base al gráfco de los resduos s concluye que hay heeroscedascdad en la varanza del error, realce un conrase esadísco para verfcarlo. 3.3. Con los sguenes daos de e Y Y 7 6.5 36 4.6 67.4 66.4 93 3.4 36. 73 5.5 39 4.7 6. 58. 55 6.4 9 3.3 38 4.7 37. 5 5 43 7
Se ha obendo la sguene esmacón: Comprobar s el modelo esá ben especfcado. Y8.5+3.68 R.9846. 3.4. Comene los resulados con el sguene programa R 4 realzado con daos del PIB en ndces de volumen y horas rabaadas de la Conabldad Regonal de España en Canabra : > lbrary(lmes) > daos <- read.able(fle"lbro.x",headert,dec",") > daos Año PIB HORAS 8.36789 358353. 84.7348 37677.6 3 87.3748 389675.5 4 3 88.446 393953. 5 4 9.486 433.7 6 5 93.3599 4574. 7 6 96.3664 4894.8 8 7 99.747 4854. 9 8. 4678. 9 96.5368 4495. 95.64394 37946.9 94.83684 3788.5 3 93.99655 35474.5 dwes(daos$pib ~ daos$horas) Durbn-Wason es daa: daos$pib ~ daos$horas DW.94, p-value 6.69e- alernave hypohess: rue auocorrelaon s greaer han 3.5 Ulzando los daos del eercco realce una esmacón de ρˆ sguendo el procedmeno de Cochrane-Orcu. Solucones 3. a) Y 7.79 +. 4 b) A realzar por el lecor 7.795 c) d. 797, con d U. 4 y d L. 9. Se rechaza la hpóess nula de 9.777 no auocorrelacón. 4
3. a) Y +4.6+. 757 b) 7.43 F exp. 8; F 4,4 55.7 6. 39 ; no se rechaza la hpóess nula de homocedascdad 5. (.9998.9846) 3.3 R B. 9998y R A. 9846 ; F exp (.9998) 64 ; F,4 4. 6. Se 4 acepa la hpóess de que el modelo esá mal especfcado 6. 3.4 A realzar por el lecor 3.5 ˆ ρ. 577; ˆ ρ. 67; ˆ ρ. 64; ˆ ρ. 643 5 Resulados del conrase de Goldfeld-Quan elmnando las cuaro observacones cenrales. 6 Para calcular RB se ulza la regresón Y + + Yˆ + e
4. MODELOS CON ERRORES EN LAS VARIABLES 4.. INTRODUCCIÓN En el capíulo hemos manendo dos supuesos de forma mplíca: por un lado, que los modelos habían sdo correcamene especfcados; y por oro, que no se comeían errores en la medcón de las varables que componen los modelos. Sn embargo, en la prácca puede que alguno de los supuesos anerores no se sasfaga plenamene. El ncumplmeno del prmero de ellos conlleva lo que se conoce en Economería como errores de especfcacón, los cuales ya han sdo examnados en el capíulo aneror. Sn embargo, no son ésos los errores obeo de análss en ese capíulo sno los segundos, aquellos dervados de la no concdenca de los daos dsponbles con los valores eórcos de las varables ncludas. Ello puede deberse báscamene a dos movos: por un lado, puede darse la crcunsanca de que no podamos obener daos para la varable eórca deseada (denomnada varable laene), por lo que deberemos usar una varable que esé muy correlaconada con la aneror (varable proxy) de la que sí se dsponga de daos. Por oro lado, ambén puede darse el caso en el que el nvesgador se encuenre con problemas de la muesra ales como errores en el raameno de los daos, respuesas no váldas, ec. En esos casos, los esmadores obendos en las regresones se verán afecados, nroducendo sesgos en la esmacón por Mínmos Cuadrados Ordnaros. El sesgo de los esmadores será menor cuano más se aproxme la varable que realmene aparece en el modelo, y cuano más ndependene sea el error de medda de las resanes varables del modelo. Asmsmo, ambén se verán afecadas las propedades de conssenca y efcenca de los esmadores, sendo más negavas las consecuencas de los errores de medda cuano menor sea el amaño muesral. Enre ambos pos de errores (especfcacón y medda) exse cera relacón. De hecho, un error de medda puede ser consderado un error de especfcacón en cera medda, ya que puede que se esé deando nformacón relevane fuera del modelo, o que se esé ncluyendo nformacón rrelevane en el msmo.
S ben en el presene capíulo se muesran algunos méodos para aenuar las consecuencas de esos errores, resula fundamenal que, desde el prncpo, el nvesgador conozca la fuene y el orgen de los daos, así como sus caraceríscas báscas (error de muesreo, nvel de confanza, po de muesreo, amaños muesrales, unverso de referenca, nfluenca de la no respuesa, ec.) 4.. TIPOS DE ERRORES DE MEDIDA A connuacón pasamos a analzar los efecos que enen los errores de medda sobre las dsnas varables del modelo; prmero, consderaremos los efecos sobre las varables endógenas y después, sobre las varables exógenas. 4... Errores de medda en la varable endógena Supongamos que deseamos esudar el comporameno de una deermnada varable endógena eórca o laene, que denomnaremos Y, a lo largo del empo en funcón de una sola varable,, la cual es observada sn error. El modelo especfcado será por ano: Y + + ε (4..) Donde ε es una varable aleaora ndependene con dsrbucón N(, σ ε ). Supongamos que la varable Y presena algún error de medda, de al forma que en realdad observamos: Y * Y + u Donde u, al gual que ε, es una varable..d. con funcón de dsrbucón N(, σ ), sendo además ndependene de ε y de. u Reemplazando el valor eórco de Y por su valor observado en (4.) enemos que: Y Y * u + + ε + u Y agrupando los dos érmnos de error en uno, v ε +u, se obene que:
Y * + + v (4..) Donde el érmno de error v connúa sendo..d. s ben ahora su varanza pasa a ser: Var(v ) Var(ε )+ Var(u ) σ ε + σ u Al ser Cov(ε u ), por ser ambas varables rudos blancos. El modelo obendo en (4.) puede ser esmado por MCO sn nnguna dfculad y los esmadores que se calculen serán nsesgados; sn embargo, la varanza esmada para los coefcenes del modelo sí se verá afecada ya que: v Var() σ ( ) - ( σ + σ u )( ) - ε Cuyo valor es mayor que el de la varanza de los esmadores del modelo (4.) s Y no esuvera medda con error. 4... Errores de medda en la varable exógena S ben la exsenca de errores de medda en la varable endógena no ene consecuencas excesvamene graves para la esmacón mínmo-cuadráca, no podemos decr lo msmo cuando exsen errores de medda en las varables exógenas. En efeco, supongamos que en el msmo modelo planeado en (4.) es ahora la varable exógena,, la que presena el error de medda al que: * + u (4.3.) Donde de nuevo suponemos que u es una varable d con funcón de dsrbucón N(, sendo además ndependene de ε y de y de Y. σ u ), Así, el modelo resulane de susur (4.3) en (4.) es: Y + ( * u )+ ε + * + (ε u ) Y, de nuevo, llamando v ε u queda que:
Y + * + v (4.4.) Donde ahora el érmno de error compueso v esá correlaconado con la varable explcava al que: Cov( *, v ) Cov ( + u, ε u ) Cov (, ε ) Cov(, u )+Cov(u, ε ) Cov(u, u ) + u σ u σ Sendo Cov(, ε ) nulo por los supuesos habuales del modelo de regresón lneal, menras que el reso de érmnos son nulos debdo a los supuesos que hemos esablecdo a lo largo del desarrollo sobre el error de medda. La correlacón exsene enre y v va a provocar que los esmadores MCO en ese caso sean sesgados. En efeco, s expresamos el modelo (4.4) en desvacones respeco a la meda, dvdmos numerador y denomnador por el amaño muesral, T, y calculamos el líme en probabldad de la expresón del esmador MCO para enemos que: [ ][ ] [ ] ( ) ( ) + + + + + + + + + + * * / ) ( ) ( lm ) )( ( ) ( ) ( lm ) ( lm ) ( ) ( lm lm lm lmˆ x u u x x u u u u x x T p u u x u u x x T p u u x T p x u u x T p x T p y x T p p σ σ σ σ σ ε ε ε ε ε ε El resulado obendo muesra que, en presenca de errores de medda, el esmador MCO de será sesgado e nconssene. La magnud del sesgo será mayor cuano mayor sea la varanza del error de medda u σ, lo que mplca que un error de medda en que fuese consane no producría sesgo alguno en la esmacón de.
El resulado obendo puede generalzarse a modelos con k varables explcavas, odas ellas meddas con error. Así, sea la marz * de dmensón T k ; dcha marz puede descomponerse como la suma de la marz de varables laenes,, y la marz de errores de medda, u, al que: + kt T T k k kt T T k k kt T T k k u u u u u u u u u L M O M M L L L M O M M L L L M O M M L L * * * * * * * * * El nvesgador desea esmar el modelo: Y + ε Sn embargo, los daos de que dspone para las varables explcavas presenan errores de medda por lo que en la prácca el modelo que esmará será: Y (* u) + ε * + (ε u) * + v (4.5.) Suponendo que u cumple las propedades enuncadas anerormene para los errores de medda, la esmacón MCO de los parámeros del modelo aneror vendrá dada por: Y MCO *' *) *' ( ˆ Descomponendo el produco y omando límes de probabldad en la expresón aneror enemos que: [ ] [ ] uu T u p T u p T u u p T p T u u u u p T u u p T p +Σ Σ + + + + + + + + ) ' ( lm ) ' ( lm ) ' ( lm ) ' ( lm ) ' ' ' ' ( lm )) )'( ( lm *) '* ( lm [ ] [ ] ε ε ε ε ε T p T u p T u p T p T p T u u p T u p T Y p Σ + + + + + + + + ) ' ( lm ) ' ( lm ) ' ( lm ) ' ( lm ) ' ( lm ) ' ' ' ' ( lm ) ( )' ( lm ) *' ( lm
Por ano, s calculamos el líme en probabldad de ˆ MCO queda que: p lm ˆ MCO ( Σ + Σ uu ) Σ ( Σ + Σuu ) Σ uu Resulado que muesra que ncluso aunque sólo una de las varables explcavas uvera un error de medda, los esmadores MCO obendos serían sesgados e nconssenes. 4.3. ESTIMACIÓN DE MODELOS CON ERRORES EN LAS VARIABLES En la prácca, ane un problema como el planeado poco se puede hacer. Ya hemos vso las mplcacones que ello ene para la esmacón, sendo ésas más mporanes cuando se presenan en las varables explcavas. Aunque en ocasones lo que se hace es obvar dchos errores por consderar que no son sgnfcavos, el nvesgador deberá ener en mene que puede ulzar dos méodos que permen aenuar las consecuencas de la exsenca de errores de medda en las varables. Dchos méodos son la esmacón medane varables nsrumenales y la esmacón por varables aproxmadas. a) Esmacón por Varables Insrumenales S ben ese méodo de esmacón se verá con más dealle en el capíulo 8, pasamos a comenar en ese aparado la aplcacón prácca de ese méodo de esmacón al problema de los errores de medda. La flosofía de ese procedmeno en ese caso consse en susur las varables meddas con error por oras, denomnadas nsrumenos, que no presenen ese problema y que no hayan sdo ncludas en el modelo. Para ello, cada una de las varables selecconadas deben verfcar que: α) Esé ncorrelaconada, al menos asnócamene, con el érmno de error al que, s Z es la marz de varables nsrumenales para el modelo, deberá verfcarse que: Z' v Z' ( ε u) Z' ε Z' u p lm p lm p lm p lm T T T T ) Esé correlaconada con la varable explcava para la que acúa como nsrumeno al que:
' lm Σ Z T Z p S esas propedades se cumplen, el esmador de Varables Insrumenales del modelo (4.5) vendrá dado por la expresón: Y Z Z VI ' ) ' ( ˆ El cual ahora sí es nsesgado ya que: ( ) ( ) Σ + Σ Σ + + ) ' lm ' lm ' lm ) ( ' lm ' lm ' lm ' lm ˆ Z Z Z VI T v Z p T Z p T Z p T v Z p T Z p T Y Z p T Z p Sendo la marz de varanzas y covaranzas del esmador VI ˆ : ) ' )( ' ( ) ' ( ) ˆ ( Z Z Z Z Var v VI σ b) Esmacón por Varables Aproxmadas En algunas ocasones lo que sucederá no es que exsan errores de medda en la varable consderada sno que sencllamene no exse nnguna varable observable que se corresponda exacamene con la varable ncluda en el modelo. Tal es el caso del nvel educavo o la nelgenca de un ndvduo, varables que pueden ser aproxmadas por los años de escolarzacón o los resulados de un es de nelgenca respecvamene. Sn embargo, esas varables aproxmadas deben raarse como varables con errores de medda, ya que no podemos aproxmarnos a la verdadera varable realzando medcones más precsas de la varable proxy.
4.4. APLICACIÓN PRÁCTICA Veamos cómo afecan los errores de medda a los valores de las esmacones. Supongamos que un nvesgador desea esmar un modelo smple que relacona rena y consumo. Para lo cual realza una encuesa a famlas, y obene los daos que fguran en la abla sguene: Observacón Gaso observado (C) Ingreso observado (I) 67.6 8.9 75.44 9.57 3 9.7.4 4 9.4 45.6 5 4.4 68.56 6 5.83 7.47 7 53.99 3.54 8 5.9.85 9 76.33 3.98 74.5 6.8 Sn embargo, supongamos que en realdad el gaso efecvo en consumo, y el ngresos efecvos de dchas famlas han sdo los sguenes: Observacón Gaso efecvo en consumo (C*) Ingreso efecvo (I*) 75.47 8 74.98 3.8 4 5.77 4 5 6.5 6 6 3.43 8 7 49.37 8 43.86 9 77.5 4 8.8 6
En consecuenca, el modelo de consumo para las cfras reales sería: C + I + u * * donde E( u ), E( u ) σ. u La funcón de Consumo esmada con daos reales sería : Varable dependene: C* Número de observacones: Varable Coefcene Desv. Típca Esadísco p-value 5..48.386.44.6.6.76. R R corregdo.99.9 Meda varable dependene Desv. ípca varable dependene 7. 37.683 Desv. Típca regresón.66 Esadísco F 5.599 Esadísco Durbn-Wason.86 p-value Esadísco F. Para comprobar como vararía la esmacón, vamos a suponer que las varables observadas conenen errores de medda al que C C * + ε, I I * + v, con ε y v, errores de medcón que sasfacen que: E( ε), E( ε ) σε E( ε v ) E( v ε ) E( v ), E( v ) σ v E I ε E I v E I u * * * ( ) ( ) ( ) Supongamos que el nvesgador dspone de los daos de ngresos efecvos, I*, pero sólo cuena con el gaso en consumo observado, C. Con dcha nformacón esmamos ahora la funcón de * consumo C + I + u. Varable dependene: C Número de observacones:
Varable Coefcene Desv. Típca Esadísco p-value 5...46.75.6.7 8.8. R R corregdo.97.895 Meda varable dependene Desv. ípca varable dependene 7. 38.58 Desv. Típca regresón.369 Esadísco F 77.647 Esadísco Durbn-Wason.87 p-value Esadísco F. Como puede aprecarse, los esmadores connúan sendo nsesgados y conssenes, concdendo práccamene los coefcenes de ambas esmacones. Sn embargo, los errores de medcón en la varable endógena provocan el aumeno de las desvacones ípcas de los parámeros. Supongamos que dsponemos de la sere de gaso en consumo efecvo, C*, pero an sólo dsponemos de los ngresos observados, I. Con dcha nformacón esmamos ahora la funcón de * consumo C + I + u. Varable dependene: C* Número de observacones: Varable Coefcene Desv. Típca Esadísco p-value 8.46.8.5.36.58.6 9.46. R R corregdo.94.94 Meda varable dependene Desv. ípca varable dependene 7. 37.683 Desv. Típca regresón.69 Esadísco F 85.48 Esadísco Durbn-Wason.84 p-value Esadísco F. En ese caso, observamos que los esmadores obendos esán claramene sesgados, sobre odo en el caso del érmno consane. 4.5. PROBLEMAS 4.. Consdere el sguene modelo: y x + ε
En el que las varables esán expresadas en desvacones respeco a la meda. La varable x presena errores de medda al que: x * x + u La varable x en realdad es una varable aleaora que evolucona en el empo de acuerdo a un proceso auorregresvo de orden al que: x * φx -* + ε Demuesre que, al conraro de los resulados obendos a lo largo del capíulo, es posble esmar conssenemene medane la expresón: T T * y x * * x x 4.. Un nvesgador especfca el sguene modelo: Y α+ + ε donde y es el consumo que realzan las famlas y es la rena permanene. Dado que no es posble observar drecamene la varable, el nvesgador decde ulzar como varable proxy de la meda de la rena famlar de los úlmos cnco años y que denoaremos por *. La relacón enre las dos varables puede expresarse como: * + w Donde w es un rudo blanco gaussano.
Calcule el sesgo asnóco del esmador MCO del modelo cuando se enen en consderacón los errores de medda comenados. Es posble saber s el valor del esmador MCO sobresmará o subesmará el valor de? SOLUCIONES 4.. A realzar por el lecor. 4.. El sesgo del esmador es + σ / σ verdadero valor de. w x. El esmador sempre subesma el
5. MODELOS CON VARIABLES CUALITATIVAS 5.. MODELOS CON VARIABLES CUANTITATIVAS Y CUALITATIVAS COMO REGRESORES. En un modelo economérco, las varables represenan a los concepos u operacones económcas que queremos analzar. Normalmene ulzamos varables cuanavas, es decr, aquellas cuyos valores venen expresados de forma numérca; sn embargo, ambén exse la posbldad de nclur en el modelo economérco nformacón cualava, sempre que esa pueda expresarse de esa forma. Las varables cualavas expresan cualdades o arbuos de los agenes o ndvduos (sexo, relgón, naconaldad, nvel de esudos, ec.) y ambén recogen aconecmenos exraordnaros como guerras, erremoos, clmaologías adversas, huelgas, cambos polícos ec. No cabe duda de que una forma de recoger facores de ese po sería la ulzacón de varables proxy o aproxmadas a las varables ulzadas. Por eemplo, s quero ulzar una varable que mda el nvel culural de un país (varable cualava) puedo ulzar como varable proxy el número de bbloecas exsenes en un país, o represena una clmaología adversa a parr de las emperauras medas o precpacones. Sn embargo, no sempre es posble enconrar ese po de varables y, en cualquer caso, debemos de ser conscenes de la posble exsenca de errores en la defncón de la varable. Pueso que las varables cualavas normalmene recogen aspecos de la presenca o no de deermnado arbuo (ser hombre o muer, ener esudos unversaros o no enerlos, ec. ) se ulzan varables consrudas arfcalmene, llamadas ambén fccas o dummy, que generalmene oman dos valores, ó, según se dé o no cera cualdad o arbuo. Habualmene a la varable fcca se le asgna el valor en presenca de la cualdad y en caso conraro. Las varables que oman valores y, ambén recben el nombre de varables dcoómcas o bnaras. Las varables dcoómcas pueden combnarse para caracerzar varables defndas por su perenenca o no a un grupo. S ncluyo una varable cualava que me defne la perenenca o
no de un país a un grupo, por eemplo rena ala, meda y baa, nroducré res varables cualavas en el modelo asocadas al la perenenca o no a cada grupo; la prmera caracerzaría a los ndvduos con rena ala, la segunda a los ndvduos con rena meda, y la ercera a los ndvduos con rena baa. Los modelos que ulzan varables cualavas como regresores se dferencan en dos grupos, los modelos de Análss de la Varanza o modelos ANOVA, que úncamene ncluyen varables cualavas como regresores; y los modelos de Análss de la Covaranza o modelos ANCOVA que ncluyen ano varables cualavas como cuanavas. Los modelos ANOVA son muy ulzados en Socología, Pscología, Educacón, ec.; en Economía son más comunes los modelos ANCOVA. 5... Modelos ANOVA Un problema esadísco clásco es la comparacón de medas de dos dsrbucones normales. Y Supongamos que las observacones de la varable, provenen de dos dsrbucones normales con medas µ y µ y varanza común σ. El amaño de la prmera dsrbucón se crcunscrbe a las n prmeras observacones, y el de la segunda las n n resanes observacones. Queremos H consrasar la hpóess o : µ µ H frene a la alernava o : µ µ sgnfcacón de α. al nvel de Ese conrase de gualdad de medas cabe formularlo en el marco del modelo lneal general. Así, bao H o enemos el sguene modelo de regresón múlple ulzando varables Dummy: Y µ D µ D + e Sendo : + D s,..., s,..., { n } { } { n + n} D s,..., n s { n +,..., n} El esmador mínmo cuadráco del modelo planeado sería: ˆ µ ˆ µ n n D D D n n D D D n n D Y D Y
Tenendo presene que n D n, n D n n n, n D D, n D Y n ˆ µ n ˆ µ n Y y n D Y n + n n n + Y Y Y Y Para conrasar la hpóess n Y, el esmador mínmo cuadráco quedaría: H o : µ µ consruríamos el esadísco expermenal frene a la alernava ˆ µ S ˆ µ ˆ µ ˆ µ Y σˆ n Y H o : µ µ σˆ + n,, en donde n e ˆ σ n. La hpóess H o : µ µ ser rechaza con el esadísco eórco co n ( α / ) s exp > co. El análss aneror se exende a la comparacón de medas con res o más dsrbucones normales. Suponemos ahora que las n observacones proceden de res dsrbucones normales con medas µ, µ µ y 3 y varanza común σ, correspondenes a res muesras que conenen las n prmeras observacones, n µ sguenes y 3 n n n ulmas observacones. El modelo lneal ulzando varables Dummy quedaría: Y + e µ d + µ d + d3 Donde las varables bnaras se defnen: DJ s en el s en el grupo grupo El esmador mínmo cuadráco del vecor de parámeros es: J J
ˆ µ n ˆ µ ˆ µ 3 n n 3 n n n n n Y Y Y Y + Y Y + 3 H Para conrasar la hpóess o : µ µ µ 3, se ulza el conrase de sgnfcacón global, R F exp ( R ) para el que consrumos es esadísco expermenal n 3 eórco, sendo el esadísco F co F(, n 3) F > Fco, la hpóess se rechazaría con la regla de decsón exp. Eemplo 5.. Desde R obeneos el conuno de daos (daa.frame) mcars, que es una base de daos relava a dferenes pos de auomóvles. > daa(mcars) El conendo de la base de daos puede analzarse con la funcon sr > sr(mcars) 'daa.frame': 3 obs. of varables: $ mpg : num.8.4 8.7 8. 4.3 4.4.8 9.... $ cyl : num 6 6 4 6 8 6 8 4 4 6... $ dsp: num 6 6 8 58 36... $ hp : num 93 75 5 45 6 95 3... $ dra: num 3.9 3.9 3.85 3.8 3.5.76 3. 3.69 3.9 3.9... $ w : num.6.88.3 3. 3.44... $ qsec: num 6.5 7 8.6 9.4 7... $ vs : num... $ am : num... $ gear: num 4 4 4 3 3 3 3 4 4 4... $ carb: num 4 4 4 4... Tenendo presene que mpg es el consumo en Mles/ (US) gallon, y que am es una varable cualava que relava al po de ransmsón (marchas), que oma valor en caso de ransmsón es auomáca y cuando lo es manual, consrumos la abla anova con la funcón aov : > mod <- aov(mcars$mpg ~ mcars$am) > summary(mod) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) mcars$am 45. 45. 6.86.85 *** Resduals 3 7.9 4. --- Sgnf. codes: ***. **. *.5.. El esadísco F al ser mayor que el valor eórco perme rechazar la hpóess H o por lo que cabe admr que ransmsón auómaca ó manual ene relacón con el consumo de gasolna de ese
conuno de auomóvles. De hecho el codgo *** nos muesra que la varable es sgnfcava a un α muy bao. La varable gear, hace referenca al numero de marchas delaneras, varable que oma valores: 3,4 y 5. > mcars$gear [] 4 4 4 3 3 3 3 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 4 4 4 3 3 3 3 3 4 5 5 5 [3] 5 5 4 Ora posbldad de obener la abla anova es defnr el modelo lneal y ulzar la funcón anova. > reg <- lm(mcars$mpg ~ mcars$gear) > anova(reg) Analyss of Varance Table Response: mcars$mpg Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) mcars$gear 59.75 59.749 8.995.54 ** Resduals 3 866.3 8.877 --- Sgnf. codes: ***. **. *.5.. Al gual que en laso aneror la varable amben ene relacón con el consumo de gasolna, sería sgnfcava a un α.. Realzamos ahora un modelo anova con el descro en la eoría con la funcón sguene: > model.ables (mod, ype "mean") Tables of means Grand mean.96 mcars$am mcars$am 7.47 4.39 Warnng message: In replcaons(pase("~", xx), daa mf) : non-facors gnored: mcars$am Incorporamos ahora la varable que nos nforma del número de marchas y esudamos sus efecos sobre la explcava: mod <- aov(mcars$mpg ~ mcars$am+mcars$gear) > anova(mod) Analyss of Varance Table Response: mcars$mpg Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) mcars$am 45.5 45.5 6.994.365 *** mcars$gear.5.5.9.96578 Resduals 9 7.85 4.86 --- Sgnf. codes: ***. **. *.5..
> model.ables (mod) Tables of effecs mcars$am mcars$am -.943 4.3 mcars$gear mcars$gear 3 4 5 -.854.59.549 Warnng messages: : In replcaons(pase("~", xx), daa mf) : non-facors gnored: mcars$am : In replcaons(pase("~", xx), daa mf) : non-facors gnored: mcars$gear Obenemos ahora que los vehculos con marchas auomácas reducen el consumo medo en,943 mllas/(us) gallon, los de marchas manuales, lo aumenan en 4,3; los de 3 marchas lo reducen en -.854, ec Inclumos ahora las dos varables y sus eraccones: > mod3 <- aov(mcars$mpg ~ cars$am+mcars$gear+mcars$am*mcars$gear) > anova(mod3) Analyss of Varance Table Response: mcars$mpg Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) mcars$am 45.5 45.5 9.9.8 *** mcars$gear.5.5.4.96488 mcars$am:mcars$gear 5.85 5.85 7.499.37 * Resduals 8 57..36 --- Sgnf. codes: ***. **. *.5.. > model.ables (mod3) Tables of effecs mcars$am mcars$am -.943 4.3 mcars$gear mcars$gear 3 4 5 -.854.59.549 mcars$am:mcars$gear mcars$gear mcars$am 3 4 5 -. 3.833.97-3.66 Las eracones enre po de marchas y numero de marchas son sgnfcavas esadíscamene, y la funcón nos nforma que un coche auomáco con 3 marchas reduce en. adconal el consumo de carburane en relacón con el consumo medo del auomáco, un coche con marchas
manuales y 5 marchas reduce en 3.6 Mlles/(US) gallon el consumo de gasolna sobre el consumo medo de un conche con ransmsón manual. > model.ables (mod3,ype"mean") Tables of means Grand mean.96 mcars$am mcars$am 7.47 4.39 mcars$gear mcars$gear 3 4 5.7.9.45 mcars$am:mcars$gear mcars$gear mcars$am 3 4 5 6.7.5 6.75.38 5... Modelos ANCOVA Para lusrar la ulzacón de un modelo ANCOVA vamos a suponer que esamos modelzando la relacón que exse enre el dnero que ahorra un grupo n de ndvduos, Y, y la rena que declara cada uno de ellos, : Y++e, sendo..n De ese grupo de ndvduos conocemos algunas oras caraceríscas que pueden ser ranscendenes a la hora de nuesro análss, por eemplo s esán o no esán casados. Ulzando dcha nformacón creamos las sguenes varables dummy: D, s esá casado, s no esá casado D, s no esá casado ( D ), s esá casado S por eemplo la muesra de ndvduos que enemos es de n, de los cuales cuaro de ellos esán casados, las varables dummy endrían la sguene esrucura:
D D De cara a esudar los efecos del esado cvl sobre el ahorro podemos esar neresados en saber s los casados paren de un nvel de ahorro dferene de los soleros, o ben s las dferencas enre soleros y casados dervan en que unos y oros enen una dferene propensón margnal a ahorrar. En el prmer caso se raa de conocer s es dferene enre los dos grupos de ndvduos, y en el segundo, s lo es. El planeameno del problema para observar las dferencas de cada grupo respeco a se puede realzar a ravés de las sguenes especfcacones del modelo ANCOVA: Y +α D + +e (5.) Y +α D + +e (5.) Y α D +α D + +e (5.3) En ese caso: S se ulza la especfcacón del modelo (5.), el érmno ndependene de los casados vendrá dado por la suma ( +α ), y para los soleros por. S queremos analzar la gualdad en el nvel de ahorro de ambos grupos, habría que conrasar la hpóess nula H : α S se ulza la especfcacón del modelo (5.), el érmno ndependene de los soleros vendrá dado por la suma ( +α ), y para los casados por. S queremos analzar la gualdad en el nvel de ahorro de ambos grupos, habría que conrasar la hpóess nula H : α S se ulza la especfcacón del modelo (5.3) el érmno ndependene de los casados vendrá dado por el coefcene α, y para los soleros por α. S queremos analzar la gualdad en el nvel de ahorro de ambos grupos, habría que conrasar la hpóess nula H : α α
Las res especfcacones son equvalenes, y hay que ener presene que en la especfcacón del modelo (5.3) se prescnde del érmno consane ya que de no hacerlo así endríamos un problema de mulcolnealdad exaca enre el érmno consane y las dos varables dummy. S planeamos el modelo (5.3) de la sguene forma: Y +α D +α D + +e La marz quedaría: 3 4 5 6 7 8 9 En la que se apreca que la suma de las columnas y 3 da como resulado la prmera columna, lo que provoca que la marz ( ) sea no sngular. Para el análss del comporameno de cada grupo respeco a la pendene, aquí propensón margnal a ahorrar, podemos planear las sguenes especfcacones del modelo ANCOVA: Y + +δ (D )+e (5.4) Y + +δ (D )+e (5.5) Y +δ (D )+ +δ (D )+e (5.6) En ese caso:
S se ulza la especfcacón del modelo (5.4), la propensón margnal de los ndvduos casados vendrá dado por la suma ( +δ ), y la de los soleros por. S queremos analzar la gualdad en la propensón margnal del ahorro en ambos grupos, habría que conrasar la hpóess nula H : δ S se ulza la especfcacón del modelo (5.5), la propensón margnal de los ndvduos soleros vendrá dado por la suma ( +δ ), y la de los casados por. S queremos analzar la gualdad en la propensón margnal del ahorro en ambos grupos, habría que conrasar la hpóess nula H : δ. S se ulza la especfcacón del modelo (5.6), la propensón margnal de los ndvduos casados vendrá dado por δ, y la de los soleros por δ. S queremos analzar la gualdad en la propensón margnal del ahorro en ambos grupos, habría que conrasar la hpóess nula H : δ δ S queremos nclur en modelo ora caracerísca de los ndvduos como sería por eemplo la profesón y dsngumos enre res profesones: agrculores, asalarados y empresaros, habría que crear res nueva varables dummy: E E E3, s es agrculor, s no es agrculor, s es asalarado, s no es asalarado, s es empresaro, s no es empresaro S ben a la hora de especfcar el modelo hay que evar los problemas de mulcolnealdad enre odas las varables dummy ncludas y el érmno consane. Una forma de evar los problemas es no nclur alguna de las caegorías en forma de varable dummy, y dear que la consane recoa el efeco de la caegoría no ncluda. Una especfcacón posble de un modelo ANCOVA sería enonces: Y +αd+ηe+ηe ++e Las varables cualavas ambén pueden corresponder a hechos que concurren en un perodo de empo y ener la forma de sere emporal. Ese po de varables se ulzan para observar los
efecos que sobre el modelo provocan sucesos exraordnaros como son las huelgas, una clmaología adversa, cambos polícos e ncluso cambos en la meodología esadísca de elaboracón de los daos. Supongamos que enemos el sguene modelo: Y + +e sendo,.,t, T + T En el perodo T sabemos de la exsenca de un suceso exraordnaro que afeca a la evolucón de la varable dependene durane un perodo deermnado de empo, y queremos lógcamene saber el efeco que causa dcho suceso exraordnaro sobre la ecuacón a esmar. Para ello defnmos las sguenes varables dummy: > > ) ( T s T s D D T s T s D La esrucura de ambas varables sería la sguene:........ D D D enen anos unos como observacones hay hasa T y D ene anos unos como observacones hay enre T y T. El análss del efeco del suceso exraordnaro sobre la regresón puede realzarse de forma separada para cada perodo de a T y T a T, o conunamene para odo el perodo, ben sobre el ermno consane o sobre la pendene.
Para el análss de los efecos sobre el érmno consane endremos que planear los sguenes modelos de regresón: Y +α D + +e (5.7) Y +α D + +e (5.8) Y α D +α D + +e (5.9) En ese caso: S se ulza la especfcacón del modelo (5.7) el análss de la nvarabldad de exge conrasar la hpóess nula H : α S se ulza la especfcacón del modelo (5.8) el análss de la nvarabldad de exge conrasar la hpóess nula H : α S se ulza la especfcacón del modelo (5.9) el análss de la nvarabldad de exge conrasar la hpóess nula H : α α S queremos analzar el efeco del aconecmeno exraordnaro sobre la pendene del modelo, planearemos las sguenes ecuacones de regresón: Y + +δ (D )+e (5.) Y + +δ (D )+e (5.) Y +δ (D )+ +δ (D )+e (5.) En cuyo caso: S se ulza la especfcacón del modelo (5.), el análss de la nvarabldad de exge conrasar la hpóess nula H : δ S se ulza la especfcacón del modelo (5.), el análss de la nvarabldad de exge conrasar la hpóess nula H : δ S se ulza la especfcacón del modelo (5.), el análss de la nvarabldad de exge conrasar la hpóess nula H : δ δ
Para omar una decsón acerca de que modelo ANCOVA selecconar enre las varas especfcacones que ulzan varables cualavas, hay ulzar el conrase de errores de especfcacón descro en el aparado 3.5.4. Eemplo 5.. En el sguene eemplo planeamos una regresón lneal enre el crecmeno del consumo de energía elécrca en España y el crecmeno real del PIB, para verfcar s los años en donde las emperauras medas fueron mayores han endo alguna ncdenca en la evolucón del consumo de energía elécrca. Para ello nos auxlamos de varables cualavas que calfcan los años como calurosos o no. En concreo calfcamos los eerccos de 998, 993, 996, 997 y como los más calurosos del perodo esudado. Los daos ulzados son los sguenes: Crecmeno Consumo Energía Crecmeno PIB 988 4.76% 4.83% 989 5.4% 3.78% 99 5.4%.54% 99 3.63%.93% 99.% -.3% 993.7%.38% 994 3.7%.76% 995 3.86%.44% 996.93% 4.3% 997 3.93% 4.35% 998 7.9% 4.% 999 7.5% 4.% 6.5%.84% 5.97%.4%.74%.43% Fuene: INE. Con los daos de la abla, la esmacón MCO enre el crecmeno del consumo de energía elécrca, Y, y el crecmeno del PIB en moneda consane,, sería la sguene: Y.3+.75 +e
Esadíscas de la regresón Coefcene de correlacón múlple.5389 Coefcene de deermnacón R.94664 R ausado.35843669 Error ípco.7598 Observacones 5 Coefcenes Error ípco Esadísco Probabldad Térmno consane.984.99336.37447.38447 PIB.7496488.399558.366986.3887 Como se puede aprecar en el cuadro aneror, los esadíscos de la regresón realzada no son buenos: se obene un R muy bao, aunque los parámeros son esadíscamene sgnfcavos con un nvel de sgnfcacón del.5%, ya que el valor eórco del esadísco 5- es.6. La varable dummy que consrumos para evaluar el efeco de un mayor calenameno amosférco sería la sguene: D s 988,993,996,997, s 988,993,996,997, D s 988,993,996,997, ( D ) s 988,993,996,997, Las ecuacones que vamos a esmar son las (5.), (5.3), (5.4), (5.5), (5.6) y (5.7), y los resulados que hemos obendo fguran en la sguene abla; enre paréness se ncluye el esadísco asocado a cada parámero: Ecuacón α α δ δ F R Y + +ε.9.75 5.39.358 (.37) (.367) Y +α D + +ε.9.884 -.3 6.668.784 (4.385) (6.3) (-5.88) Y +α D + +ε -.9.884.3 6.668.784 (-.85) (6.3) (5.88) Y α D +α D + +ε.775 -.9.9 7.4445.699 (6.3) (-.85) (4.385) Y + +δ (D )+ε.9.94 -.88.56.7 (3.7) (5.4383) (-4.697) Y + +δ (D )+ε.9.366.88 7.4938.7 (3.7) (.764) (4.697) Y +δ (D )+δ (D )+ε.9.366.94 7.4938.7 (3.7) (.764) (5.4383)
Podemos aprecar que ano el crecmeno del PIB, como las varables cualavas resularon sgnfcavas al 95% en los modelos (5.7), (5.8), (5.) y (5.), por lo que se debe rechazar la hpóess de nvarabldad de, es decr, se rechaza que el aumeno de la emperaura meda afeca a la relacón enre asas de crecmeno del consumo de elecrcdad y del PIB. En el modelo (5.), no es sgnfcavamene dsno de cero el parámero α ( exp.8< co.56), pero se puede conrasar la hpóess de que H : α α. A la vsa de los resulados obendos, se debe rechazar dcha hpóess, con un nvel de sgnfcacón del 5%, debéndose admr la varabldad del coefcene. Coefcenes Error ípco Esadísco Probabldad Inferor 95% Superor 95% PIB.88449.77498 6.355 5.88E-5.76838.475436 D -.96395.76488 -.859733.58983 -.578.76 D.9447.538 4.385867.985.3953.344946 Los modelos (5.), (5.) ambén ofrecen parámeros esadíscamene sgnfcavos, pero con un R nferor, lo que apuna a que la varable cualava es meor nclurla en la forma de la varable dummy que recoge el modelo (5.8) y (5.9). No obsane, se puede rechazar la hpóess de la nvarabldad de ano conrasando la hpóess nula H : α en (5.) ó H : α en (5.), como H : α α en (5.3). En defnva, a la hora de modelzar la relacón enre el crecmeno de consumo de la elecrcdad y el PIB en España, habría que elegr la modelzacón 5. o su alernava 5.4. por ser las que meor ause proporconan; eso mplca que hay que asumr un consumo auónomo dferene en los años clmaológcamene buenos y oro en los malos. Asmsmo, al ser la relacón consumo de energía/pib superor a la undad, consderaríamos la exsenca de una elascdad del consumo de energía sobre el PIB cercana a la undad, en el sendo de que aumenos porcenuales del PIB orgnan aumenos porcenuales del consumo de energía en una proporcón smlar. De hecho se puede consrur un nervalo de confanza del 95% para dcha elascdad comprendda enre los valores.47 y.7. 5.. EL EMPLEO DE VARIABLES CUALITATIVAS PARA EL TRATAMIENTO DE LA ESTACIONALIDAD
En Economía se suele rabaar con daos anuales pero en muchos casos, y dervado del carácer predcvo del modelo y de los obevos que persgue su elaboracón, se hace necesaro rabaar con seres de daos daras, mensuales o rmesrales; ese po de seres enen osclacones que se deben al carácer esaconal de las msmas (consumos baos en los meses de verano, consumos uríscos alos en ese perodo, dsmnucón de las venas en domngos y lunes, ec.) La esaconaldad en las seres de empo es un parón de comporameno regular de una sere a lo largo de cada año que puede obedecer a facores ales como cosumbres, días fesvos decreados, vacacones de verano, Navdad y oros hechos smlares que ocasonan ncremenos o dsmnucones en las magnudes de ceras varables, como por eemplo la produccón, las venas, ec. Las varables dummy cualavas pueden ulzarse ambén para recoger el efeco de la esaconaldad en el modelo economérco que esmamos. La varable dummy cualava para ause esaconal es una varable arfcal que asumen valores dscreos, generalmene de y, que se asgna a cada perodo de generacón o referenca de las seres del modelo. S se rabaa con daos rmesrales, hay que ulzar, en prncpo, una varable dummy para cada rmesre; su represenacón sería: Q Q Q3 Q4, s es el prmer rmesre, s no es el prmer rmesre, s es el segundo rmesre, s no es el segundo rmesre, s es el ercer rmesre, s no es el ercer rmesre,, s es el cuaro rmesre s no es el cuaro rmesre La nclusón de los coefcenes de esas varables y de la consane en un modelo de regresón smple producría una marz banual de la sguene forma:
..... 8 7 6 5 4 3 x x x x x x x x Que lleva asocada una marz ( ) sngular (no nverble) por la exsenca una combnacón lneal enre las dummy rmesrales y el parámero consane, lo que mpde esmar los coefcenes del modelo de regresón. Para evar ese nconvenene se ulzan úncamene res de las cuaro varables dummy y la consane. Así, s se excluye la varable Q4 en la marz ; el efeco esadísco de la varable omda esaría mplícamene recogdo con la columna de la consane. En defnva, la marz de varables exógenas esaría deermnada por las res dummy: Q, Q, Q3 y la consane, y las varables exógenas cuanavas con lo cual la marz ( ) quedaría:.... 8 7 6 5 4 3 x x x x x x x x La forma funconal del modelo sería enonces: Y +α Q +α Q +α 3Q3 + +e (5.3)
Ora forma muy ulzada para raar la esaconaldad con varables cualavas, consse en expresar las varables arfcales esaconales como desvacones con respeco a la que corresponde al cuaro rmesre. Esas nuevas varables, que podrían denomnarse S, S y S 3, corresponderían a las sguenes dferencas vecorales: S Q Q4 S Q Q4 S 3 Q3 Q4 Una vez efecuadas las operacones anerores e ncorporado el vecor de la consane, la nueva marz queda defnda de la sguene manera:... x x x 3 x4 x 5 x6 x 7 x8. Como se observa en la marz aneror, los vecores de las varables dummy esaconales han sdo defndos de forma al que su suma sea cero en cada año, por lo que ese ssema perme que el efeco esaconal se anule en el año y que se obve el problema de sngulardad de la marz. En la esmacón realzada con las res varables dummy rmesrales S, S y S 3, los coefcenes de las res varables dummy denfcan las dferencas con respeco al cuaro rmesre. Y +α S +α S +α 3S3 + +e (5.4) Es mporane menconar que en el caso de varables con perodcdad mensual, se ulzarían úncamene once varables esaconales, en forma equvalene a lo explcado en esa seccón para las seres de perodcdad rmesral. Sn embargo, hay que ener presene a la hora de nclur varables dummy esaconales mensuales, la perdda de grados de lberad que conlleva el ener
que esmar anos coefcenes, por lo que se requere gran candad de observacones para que los es esadíscos ofrezcan resulados váldos. Tambén hay que ener en cuena que el uso de las varables esaconales presena problemas cuando la esaconaldad de la sere Y es móvl, es decr, cuando varía de año en año. En ese caso, es dfícl que modelos de ese po capuren de una forma adecuada la esaconaldad de la varable dependene. Eemplo 5.. Se dsponen de daos rmesrales correspondenes a los eerccos 996-3, relavos al consumo de elecrcdad en GWh en España (Y ) y al PIB a precos de mercado en mllones de euros consanes de 995. Año Q Demanda de Elecrcdad (GWh) PIB (mllones de euros) 996 499 975 3775 875 3 387 4 3998 696 997 446 3396 397 5566 3 4464 5744 4 46 87 998 4363 8399 4535 735 3 4373 47 4 45 679 999 4655 44 43735 647 3 4598 6474 4 486 3977 499 9443 4686 33 3 488 3743 4 5 3557 59 3479 4934 359 3 5887 34475 4 5345 399 5398 3689 553 38746 3 595 376 4 5376 454 3 5756 48 533 486 3 5656 47 4 5699 4663 Fuene: Mnsero de Economía
En la fgura 5. se apreca el carácer esaconal de la demanda de energía elécrca: Fgura. 5.. Consumo Trmesral de Elecrcdad Los rmesres de mayor consumo son los erceros y cuaros (ooño e nverno) y los de menor, el segundo y ercero (prmavera y verano). Para esmar la relacón enre demanda de elecrcdad y PIB en España vamos a planear ano la especfcacón del modelo (5.3) y la del modelo (5.4). La ecuacón esmada con la especfcacón (5.3) es: Y -4,75.+3,87.Q -996.Q +,66.Q3 +.55 +e con los sguenes resulados: Esadíscas de la regresón Coefcene de correlacón múlple.99847 Coefcene de deermnacón R.98768 R ausado.97967 Error ípco 854.45583 Observacones 3 Coefcenes Error ípco Esadísco Térmno consane -475.7 999.37 -.35755 PIB.5547444.49667 37.646554 Q 387.8799 439.46556 7.4933 Q -996.9768 43.95 -.3476578 Q3 66.976 434.8478.4556488
Para consderar la hpóess H :, hay que ener presene que el valor eórco de la -Suden correspondene a una dsrbucón con (3-5) grados de lberad es.69 para α.5/ (95% de confanza). Se comprueba, por ano, que odos los coefcenes son sgnfcavamene dsnos de cero. La ecuacón esmada con la especfcacón (5.4) es: Y -3,95.9+,97.9S,785.4S +76.9 S3 +.55 +e con los sguenes resulados: Esadíscas de la regresón Coefcene de correlacón múlple.99847 Coefcene de deermnacón R.98768 R ausado.97967 Error ípco 854.45583 Observacones 3 Coefcenes Error ípco Esadísco Térmno consane -395.97 9.6347 -.459 PIB.5547444.49667 37.646554 S 97.86597 64.87999 8.6754365 S -785.499 6.64937-6.837869 S3 76.87539 6.36744.5647 En ese modelo hay que consderar la posbldad de que la varable dummy S3 enga un coefcene sgnfcavamene gual a cero, en cuyo caso cabría planear el modelo con la sguene especfcacón: Y +α S +α S + +e
5.3. APLICACIONES DE LAS VARIABLES CUALITATIVAS A LA REGRESIÓN POR TRAMOS. La regresón por ramos se ulza para esmar funcones en donde la represenacón gráfca de las varables observadas manfesa un cambo de pendene. La represenacón gráfca de la fgura 5. es de dcho po. Se apreca que la relacón enre las varables sgue una deermnada forma lneal hasa un deermnado valor de (*5), y a parr de dcho valor la relacón lneal camba de forma. Fgura. 5.. En la regresón lneal por ramos se ene por ano dos pares o segmenos a los que corresponde una deermnada forma lneal de la funcón a esmar, y un valor umbral (*) que es para el que la represenacón manfesa el cambo de pendene. La forma de esmar ese po de relacones es ulzar una varable dummy cualava que oma los sguenes valores: D s >* D s <* Y planear la sguene regresón: Y + + ( - *)D + ε
La pendene del prmer ramo o segmeno de la relacón sería, y + sería la pendene del segundo ramo o segmeno. La sgnfcacón esadísca del coefcene (H : ) servría como conrase de la exsenca de ramos en la relacón lneal esudada. 5.4. EL MODELO PROBABILÍSTICO LINEAL El modelo de probabldad lneal se caracerza por ener la varable endógena Y dcoómca o bnara, es decr oma el valor Y s un deermnado suceso ocurre y el valor Y en caso conraro. Esos modelos esán muy exenddos en el análss esadísco pero encuenran una dfícl aplcacón en Economía debdo a las dfculades de nerpreacón económca de los resulados que ofrecen ese po de nvesgacones. A ese respeco, hay que consderar que esos modelos lo que realmene nvesgan es la probabldad de que se dé una opcón (valores Y) o no se dé (Y). A pesar del carácer dcoómco de la varable endógena, el modelo de probabldad lneal se especfca de la forma habual, enendo presene que las varables exógenas no son dcoómcas sno connuas: Y + +e sendo, N (5.5) De acuerdo con la expresón (5.5), el hecho de que la varable endógena ome valores dscreos ( ó ), el érmno de perurbacón e, puede omar ambén dos valores úncamene: S Y e - - con probabldad p. S Y e - - con probabldad (-p). Dado que la esperanza del érmno de error ha de ser nula E(e ), enonces se demuesra que p - - y (-p) +, lo que perme evaluar la probabldad de que la varable endógena ome el valor correspondene: Prob (Y ) Prob (e - - ) p - -. Prob (Y ) Prob (e - - ) (-p) +.
A su vez la varanza del érmno de perurbacón, se calcularía a parr de p: Var( e ) ( )( + ) p ( p) Una problemáca nherene a los esmadores MCO de esos modelos, son los sguenes: La perurbacón aleaora (e ) no sgue una dsrbucón Normal. Es sencllo observar ese hecho ya que el carácer bnaro ( ó ) de la varable endógena afeca a la dsrbucón de la perurbacón, enendo ésa una dsrbucón Bnomal 7. Ese problema se aenúa cuando se ulzan amaños de muesra (N) grandes en donde la dsrbucón Bnomal es suscepble de aproxmarse a una Normal. La perurbacón aleaora no ene una varanza consane (es heeroscedásca), lo cual supone una fala de efcenca. Para soluconarlo habría que realzar ransformacones que nos desen una perurbacón homocedásca; esa ransformacón consse en mulplcar odas las varables por una cera candad que elmne el problema de la heeroscedascdad. Dcha candad es: ) ( ) ) + )( ) ) sendo ˆ o y ˆ los esmacones MCO del modelo. No obsane, el mayor problema que planean esos modelos es que las predccones realzadas sobre la varable endógena no sempre se encuenran en el nervalo [,], ya que pueden ser mayores que cero y menores que uno. Ese problema ene dos solucones, una es omar como valor cero odas las esmacones de la varable endógena con valores negavos, y uno cuando esas resulen mayores que uno; la segunda, solucón es ulzar funcones de dsrbucón que esén acoadas enre cero y uno como son la Logísca y la Normal; de ésas se dervan los modelos Log y Prob que pasamos a ver a connuacón. 7 La dsrbucón bnomal se basa en una prueba conocda como expermeno de Bernoull o problema de las pruebas repedas, que consse en averguar la probabldad de que en n exraccones o pruebas se hayan consegudo valores de y/o (n-) valores de.
5.5. EL MODELO LOGIT El problema que presenan los modelos probablíscos lneales en cuano a la exsenca de predccones esablecdas fuera rango (negavas o mayores que uno), es debdo a que ulzan una funcón de probabldad que depende lnealmene de las varables explcavas (), que se resolverían acoando dcha dsrbucón de probabldad. El modelo Log en concreo ulza, para ello, la funcón de dsrbucón logísca: Fgura 5.3. Curva Logísca Debdo a que la funcón de dsrbucón logísca no ene forma lneal, el modelo Log se esma de forma dferene, así en vez de mnmzar las sumas de las dferencas al cuadrado enre los valores observados y los esmados por el modelo, el carácer no lneal de los modelos Log requere la ulzacón del méodo de Máxma Verosmlud para ser esmado, maxmzando la verosmlud de que un suceso enga lugar, aunque se podría esmar por MCO medane una ransformacón logarímca de los daos (Guara, 997). La probabldad de que Y (p) se defne ahora medane la sguene expresón: p ( + e z )
donde Z + + + + k k, sendo son los coefcenes a esmar y es el vecor de varables ndependenes La probabldad de que Y (-p) sería: p) ( + e ( z ) En consecuenca, la razón enre ambas será gual a: p ( p) z ( + e ) ( + e z ) e z Tomando el logarmo naural de la expresón aneror se obene p z L ln ln( e ) + (5.6) ( p ) Donde L es el denomnado Log. Los coefcenes ndcan el cambo en el Log causado por el cambo en una undad en el valor de, menras que los e defnen el cambo en la razón de probabldades p ( p) causado por el cambo en una undad en el valor de. S es posvo, e será mayor que, es decr, p ( p) se ncremenará; s es negavo, e será menor que, es decr, p ( p) dsmnurá. Adconalmene, puede demosrarse que el cambo en la probabldad (p) causado por p el cambo en una undad en el valor de es ( p), es decr, depende no sólo del coefcene, sno ambén del nvel de probabldad a parr del cual se mde el cambo. A la hora de esmar un modelo Log, hay que ener presene que para esmar el modelo además de los valores, se necesan los valores del Log (L ). Por oro lado, hay que ener presene que la esmacón de los coefcenes de modelo (5.6) se realza ulzando el méodo de Máxma Verosmlud, es decr, elgendo como esmadores de los coefcenes a aquellos que
maxmzan la funcón de verosmlud, consruda sobre la base de p z ( + e ). Pero s enemos la posbldad de agrupar los daos ndvduales, enonces podría esmarse el modelo por MCO. Eemplo 5.3. Supongamos, que esamos nvesgando la posbldad de la relacón que se da a nvel ndvdual enre dsponer vvenda propa (p) o no poseer vvenda propa (p). S dsponemos de la nformacón agrupada que aparece en la sguene abla sobre la poblacón que nvesgamos: Ingreso (mles de $) Numero de famlas Número de famlas con vvenda propa 6 4 8 8 5 6 8 3 8 8 5 45 7 36 5 65 39 3 5 33 35 4 3 4 5 Fuene: Guara (997) S se conoce la probabldad de ener o no ener casa a parr de: p ˆ n N donde n es el número de sueos que para cada nvel de la varable (en el eemplo, cada nvel de ngreso) que cumplen la condcón (ener vvenda), y N es el número oal de sueos en cada caegoría. Se puede esmar pˆ ln ( pˆ ) y resolver la esmacón del Log (5.6) por MCO. Una vez esmados los parámeros probabldades; es decr: ˆ, endremos una esmacón del logarmo de la razón de ˆ ln pˆ ln( z L e + ( pˆ ) ) ˆ ˆ
Y aplcando anlogarmos, enemos que: e z pˆ ( pˆ ) lo que perme dar una solucón a la posbldad de deermnar la probabldad de dsponer de vvenda para un ndvduo dado su nvel de ngresos. Sn embargo, dado que en la esmacón MCO del modelo Log se pueden presenar problemas de heeroscedascdad, Guara (997) propone realzar los sguenes pasos para resolver el Log:. Para cada nvel de ngreso ( ), se calcula la probabldad p de dsponer casa.. Para cada se obene el Log medane: L ˆ pˆ ln ( pˆ ) 3. Realzar la sguene ransformacón: w L Bo w + B w + ε w que se escrbe como: * * L Bo w + B + v (5.7) donde las ponderacones w ˆ ( ˆ N p p ) 4. Esmar (5.7) medane MCO. 5. Esablecer nervalos de confanza y/o pruebas de hpóess en el marco usual de MCO, enendo presene que las conclusones serán váldas úncamene s se dspone de una muesra grande de daos.
Ulzando las cfras de la abla aneror, realzamos las sguenes ransformacones: N n n pˆ w p ˆ pˆ w L* * ln N ˆ ( p ) ( pˆ ) 4 8..5 -.39 6.4.53-3.5 5.8 5.4.3 -.5 9. 3. -3.48 4.6 6 8.3.43 -.85.6 3.55-3. 35.5 8 8.35.54 -.6 8. 4.7 -.64 55.46 45.45.8 -. 4.75 4.97 -. 74.6 7 36.5.6.6 7.49 4.8.4 83.63 65 39.6.5.4 5.6 3.95.6 98.74 5 33.66.94.66. 3.35..49 4 3.75 3.. 7.5.74 3. 95.85 5.8 4..39 4...77 8. Los resulados de la esmacón son: Esadíscas de la regresón Coefcene de correlacón múlple.98666 Coefcene de deermnacón R.96365647 R ausado.834353 Error ípco.544479 Observacones Coefcenes Error ípco Esadísco *.7866857.54475 4.44 w -.5933779.49444-4.89845 Con ello se puede calcular la probabldad de poseer una casa dado una deermnada cfra de ngreso. Supóngase que dcha cfra de ngreso es de vene ml dólares (); enonces: L * / ().59+.78 -.99 pˆ pˆ Por ano,.9 ln, lo que mplca que. 983 ( pˆ ) ( ˆ, de donde se obene p ) que p.495, es decr que la probabldad de que un ndvduo con ngreso de vene ml dólares es del 49.5%. En R se eecuaría el sguene programa:
> daos <- read.able(fle"lbro.x",headert) > daos Ingreso Famlas Vv_propa 6 4 8 8 5 3 6 8 4 3 8 8 5 5 45 6 7 36 7 5 65 39 8 3 5 33 9 35 4 3 4 5 > prob <- daos$vv_propa/daos$famlas > log <- glm(prob ~ daos$ingreso, famly "bnomal") Warnng message: In eval(expr, envr, enclos) : non-neger #successes n a bnomal glm! > summary(log) Call: glm(formula prob ~ daos$ingreso, famly "bnomal") Devance Resduals: Mn Q Medan 3Q Max -.9397 -.47938 -.769.576.5358 Coeffcens: Esmae Sd. Error z value Pr(> z ) (Inercep) -.639.4743 -.5.65 daos$ingreso.79.659.99.3 (Dsperson parameer for bnomal famly aken o be ) Null devance:.7664 on 9 degrees of freedom Resdual devance:.36394 on 8 degrees of freedom AIC:.995 Number of Fsher Scorng eraons: 4 Para obener los valores esmados: > fed.prob <- plogs(predc(log, ype "lnk")) > fed.prob 3 4 5 6.377336.675433.9966.35588.3883997.485574 7 8 9.583354.6755.755336.878 5.6. EL MODELO PROBIT Menras que el modelo Log ulza la funcón de dsrbucón logísca para acoar la dsrbucón de probabldad en el modelo de probabldad lneal, el modelo Prob ulza la funcón de dsrbucón Normal.
Fgura 5.4. Funcón de densdad (zq.) y de dsrbucón (dcha.) de una Normal (,) Las funcones de dsrbucón normal y logísca son muy semeanes: la dferenca prncpal es que la funcón de dsrbucón normal se acerca más rápdamene a los ees que la logísca (fgura 5.5). Fgura. 5.5. Para enender la flosofía del modelo Prob, vamos a suponer que exse una varable desconocda s que cumple lo sguene: S I + s enonces Y S I + <s enonces Y (5.8)
Dado el supueso de normaldad en un suceso, la probabldad de que ese sea menor o gual al valor (s), se calcula a parr de la funcón de dsrbucón acumulada de una dsrbucón Normal esandarzada, eso es, con esperanza cero y desvacón ípca uno. p pr( Y ) o + d pr( + s) e (5.9) π Lo aneror equvale a que la relacón enre la endógena y las explcavas venga dada por la sguene expresón: y o + d+ u Ψ( + ) + u e (5.) π Donde: Ψ( + ) es la funcón de dsrbucón normal u es el érmno de perurbacón que se dsrbuye como una normal N(,σ ). Dado que (5.) es una relacón no lneal en los parámeros no puede esmarse por MCO. No obsane, hay una forma senclla de asgnar valores a las probabldades que aparecen en la expresón (5.9). Esa forma consse en obener nformacón acerca de I y de los parámeros a parr de la nversa de (5.9): I F - (I )F - (p ) + donde F - es la nversa de la funcón de dsrbucón Normal. Ulzando los daos agrupados del eemplo aneror, los valores I son obendos ulzando las ablas de la funcón de dsrbucón Normal esándar que aparecen en el Anexo II, abla II.. Por eemplo, omando los daos del Eemplo 5.3. endríamos que:
I n p ˆ N. -.84.4 -.7.3 -.5.35 -.39.45 -.3.5.4.6.5.66.4.75.67.8.84 Donde I es negava sempre que p <.5; en la prácca se agrega el número 5 a I y a su resulado se le denomna Prob. Es decr, Prob5+I Ahora, para esmar los parámeros se regresa: I + + u El érmno de la perurbacón es no obsane heeroscedásco. Guara (999) sugere que se realce la ransformacón comenada en el caso del modelo Log, para que el modelo ransformado sea homocedásco. Eemplo 5.3 (con.) Los resulados de la regresón aneror, realzados sn consderar la ransformacón que propone Guara y ulzando como regresor los I que acabamos de calcular, son los sguenes: Esadíscas de la regresón Coefcene de correlacón múlple.989433 Coefcene de deermnacón R.9789734 R ausado.97634388 Error ípco.897 Observacones Coefcenes Error ípco Térmno -.557838.585496 consane.484664.534 Según dchos resulados, una famla con un ngreso medo de $, obendría el sguene valor prob:
I / ().8+.48* -.556 Por ano, la probabldad que corresponde a dcho valor en la funcón de dsrbucón Normal sería de un 47.78% de dsponer de vvenda propa. La esmacón en R del modelo prob, se programa: > prob <- glm(prob ~ daos$ingreso, famly bnomal(lnk"prob")) Warnng message: In eval(expr, envr, enclos) : non-neger #successes n a bnomal glm! > summary(prob) Call: glm(formula prob ~ daos$ingreso, famly bnomal(lnk "prob")) Devance Resduals: Mn Q Medan 3Q Max -.87368 -.537 -.6763.334.473 Coeffcens: Esmae Sd. Error z value Pr(> z ) (Inercep) -.836.8765 -.5.5 daos$ingreso.484.3876.49. (Dsperson parameer for bnomal famly aken o be ) Null devance:.77 on 9 degrees of freedom Resdual devance:.366 on 8 degrees of freedom AIC:. Number of Fsher Scorng eraons:
5.7. PROBLEMAS 5.. Dsponemos de una base de daos con los sguenes daos de un grupo de personas: Sexo, 5... Esado Cvl, Años de Experenca Laboral, Salaro por hora, Edad, Secor en el que rabaa (agrculura, ndusra, consruccón y servcos) y Caegoría Profesonal (drecvo, comercal, admnsravo, écnco, ofcal, auxlar). Elabore un modelo unecuaconal explcavo del salaro que obene cada persona. Dsponemos de un conuno de daos sobre las venas de dferenes empresas ( Y ), sus gasos de publcdad( ) y un ndcavo de su amaño( T ), que consse en una varable bnara que oma valor para las pequeñas y medanas empresas y para las grandes. a) Se quere conrasar s el efeco de la publcdad sobre las pequeñas y medanas empresas es gual al de las grandes. Esablezca una esfecfcacón del modelo y el conrase de hpóess que consdere más adecuado. b) Ulzando dcha especfcacón, como se deermnaría el efeco de la publcdad sobre las venas de las pequeñas empresas y como se deermnaría el efeco sobre las grandes. 5.3. Ulzando los sguenes daos: Y 6 4.5 63 78.5 3 84 6 8 8 4 73 9 4 a) Realce la represenacón gráfca de los daos. b) Consdera que el modelo se ausa a un modelo de regresón por ramos? c) En caso afrmavo, esme el modelo. 5.4. Ulzando daos de una encuesa realzada enre en 974/975 en donde se preguna sobre esar de acuerdo ó en desacuerdo con la afrmacón de que las mueres enen que
dedcarse al cudado del hogar y dear el país en manos de los hombres, se ha realzado una regresón logsca enre el porcenae de personas que se muesran de acuerdo con dcha nformacón, el numero de años que han esudado y su sexo. El conuno de daos se obene en: > nsall.packages("hsaur") > daa("womensrole", package"hsaur") Se ha realzado el sguene programa R: > fm <- cbnd(agree,dsagree) ~ sex+educaon > glm_ <- glm(fm, daawomensrole, famly bnomal()) > summary(glm_) Call: glm(formula fm, famly bnomal(), daa womensrole) Devance Resduals: Mn Q Medan 3Q Max -.7544 -.863 -.655.8434 3.335 Coeffcens: Esmae Sd. Error z value Pr(> z ) (Inercep).5937.8389 3.646 <e-6 *** sexfemale -.45.845 -.36.89 educaon -.76.54-7.56 <e-6 *** --- Sgnf. codes: ***. **. *.5.. (Dsperson parameer for bnomal famly aken o be ) Null devance: 45.7 on 4 degrees of freedom Resdual devance: 64.7 on 38 degrees of freedom AIC: 8.7 Number of Fsher Scorng eraons: 4 a) Comene los resulados obendos. b) Realce una regresón prob con esos daos 5.5. Consdere el sguene modelo prob esmado: Pr( y S, W ) Ψ(.+.S +.9 W ) donde y es una varable que oma valor s el ndvduo dspone de vehículo propo, S es una varable que oma valor s el ndvduo es varon y s es mue, yw es el salaro mensual del ndvduo en mles de euros. a) Consdere un hombre y una muer que cobran 5 euros al mes, calcular que probabldad enen de dsponer de vehículo propo. b) Que dferenca de probabldad enen de dsponer de vehículo propo un hombre que cobra 5 euros al mes y una muer que cobra 5.
SOLUCIONES 5.. A realzar por el lecor 5. a) Se esma el sguene modelo δ ( ) Y + + T + e, y se conrasa la hpóess nula H : δ b) El efeco de la publcdad sobre las venas de las PYMES vendría dado por ( + δ) y la de las grandes por ( ) 5.3 a) A realzar por el lecor. b) Se esma el sguene modelo de varables cualavas para la regresón por ramos * Y 3.96 + 3.9 + 7,7( ) D donde * 6 ; R.995 5.4. A realzar por el lecor 5.5. a) Hombre Ψ(.765)., muer Ψ(.965).67 b) Ψ(.765) Ψ(.875).3
6. MODELOS CON DATOS DE PANEL 6.. INTRODUCCIÓN Un modelo de daos de panel es, según la defncón más exendda, un modelo que ulza muesras recogdas a ndvduos a lo largo de nsanes de empo. Los modelos de daos de panel ncluyen así nformacón de una muesra de agenes económcos (ndvduos, empresas, bancos, cudades, países, ec.) durane un período deermnado de empo, combnando, por ano, la dmensón emporal y esrucural de los daos. Los modelos de daos de panel se aplcan a conunos o bases de daos de seres de empo agregadas para los msmos ndvduos; ésos conunos de daos suelen ener un número relavamene grande de ndvduos y pocas observacones en el empo, o por el conraro podemos ener daos para un número grande de perodos pero para un número pequeño de ndvduos. Un eemplo de ese po de bases de daos es el panel de hogares de la Unón Europea (7. hogares en la UE), las encuesas de opnones empresarales del Mnsero de Indusra (3. empresas), los índces Nelsen (5. hogares en España) para medr la audenca elevsva, ec. Esos conunos de daos que son conocdos como daos de panel o daos longudnales hay que dferencarlos de las encuesas ransversales que son repedas en el empo pero no a los msmos ndvduos (por eemplo, la Encuesa de Poblacón Acva) 8. El prncpal obevo que se persgue al agrupar y esudar los daos en panel es capurar la heerogenedad no observable enre los agenes económcos como enre perodos emporales. Dado que esa heerogenedad no se puede deecar exclusvamene con esudos de seres emporales, n ampoco con esudos de core ransversal, hay que realzar un análss más dnámco ncorporando a los esudos de core ransversal la dmensón emporal de los daos. Esa modaldad de analzar la nformacón es muy usual en esudos de nauraleza empresaral, ya que los efecos ndvduales específcos de cada empresa y los efecos emporales del medo son deermnanes cuando se rabaa con ese po de nformacón. 8 En los paneles de daos a veces ambén hay que susur ndvduos por fala de respuesa, pero no es el caso de las encuesas ransversales en donde la muesra se renueva de forma ssemáca, de manera que a un perodo de empo deermnado, por eemplo un año, los hogares de la muesra sean dferenes a los del perodo aneror. La fala de respuesa en los daos de panel como en oro po de encuesa a la hora de los análss esadíscos deben de depurarse, ben elmnando odos los daos del ndvduo con fala de respuesa o elmnando úncamene los ndvduos con fala de respuesa en cada varable analzada.
Los efecos ndvduales específcos se defnen como aquellos que afecan de manera desgual a cada uno de los agenes de esudo conendos en la muesra (ndvduos, empresas, bancos). Esos efecos son nvarables en el empo y se supone que afecan de manera dreca a las decsones que oman dchas undades. Usualmene, se denfca ese po de efecos con cuesones de capacdad empresaral, efcenca operava, el saber-hacer (Know-how), acceso a la ecnología, ec. Por su pare, los efecos emporales son aquellos que afecan por gual a odas las undades ndvduales del esudo y que, además, varían en el empo. Ese po de efecos suele asocarse, por eemplo, a shocks macroeconómcos que afecan por gual a odas las empresas o undades de esudo (una subda de los pos de nerés, un ncremeno de los precos de la energía, un aumeno de la nflacón, ec.), o a cambos en la regulacón de mercados (amplacón de la Unón Europea, reduccón de arfas arancelaras, aumeno de la mposcón ndreca, ec.). 6.. ESPECIFICACIÓN GENERAL DE UN MODELO DE DATOS DE PANEL La especfcacón general de un modelo de regresón con daos de panel es la sguene: Y α + K + e donde,...n se refere al ndvduo o a la undad de esudo (core ransversal),,...t a la dmensón en el empo, Y sería la varable a explcar correspondene a cada undad de esudo, α es un escalar con N T parámeros que recoge los efecos específcos del -ésmo ndvduo en cada momeno del empo, es un vecor de K parámeros que se asocan a las,.k varables explcavas. A parr del modelo general, y con base en ceros supuesos y resrccones acerca del valor de algunos de los parámeros, se dervan las dferenes varanes de modelos de daos de panel que resummos a connuacón en la sguene abla.
MODELOS ALTERNATIVOS PARA COMBINAR DATOS DE SERIES DE TIEMPO Y DE CORTE TRANSVERSAL TIPO DE MODELO EPRESIÓN CARACTERÍSTICAS Modelo Lneal K Y + + e Modelo Esáco de Daos de Panel. Modelo Esáco de Daos de Panel de una Vía (one-way) (A) Modelo Esáco de Efecos Fos con varable dummy (los coefcenes consanes se esman a parr de varables cualavas) (B) Modelo Esáco de Daos de Panel de Doble Vía (wo-ways) (C) Modelo de Regresones Aparenemene No Relaconadas (SUR) 9 Modelo Dnámco de Daos de Panel Y Y Y Y Y α α α + + α + α α + + Y α + ϑy K K K K K + e + e + e + e + e K, + + e α α es un vecor de varables cualavas y α es un vecor de coefcenes consanes. α α + µ + λ α α α α + µ + λ En un modelo de daos de panel, las varables explcavas pueden ser de res pos: Una varable por cada ndvduo, sn que exsa referenca emporal en dcha varable: las varables son las msmas para cada undad de core ransversal y se referen a arbuos del ndvduo o agene, por eemplo, el po de empresa, su amaño, la forma gerencal; el sexo de un rabaador, el nvel de formacón, la profesón y oras caraceríscas socales de los ndvduos. Una varable por perodo, pero sn que exsan dferencas en el valor que oma la varable en cada ndvduo: las varables oman dsnos valores en cada perodo emporal pero no varían enre los ndvduos. Como eemplo de ese po de varables cabe car a la asa de nflacón, los pos de nerés, ec. Una varable que camba en el empo y por ndvduo: se raa de varables que camban enre ndvduos en un momeno del empo, y que además camban a lo largo del empo. Como eemplo de esas varables se pueden menconar los ngresos 9 Sglas de Seemngly Unrelaed Regresson
oales, el nvel de benefcos, el sock de capal o el nvel de endeudameno, enre oras. Los modelos de daos de panel se nerprean a ravés de sus componenes de error. Consderando la noacón marcal abrevada de un modelo general de daos de panel: Y ' + u (6.) El érmno de error u ncludo en la ecuacón (6.), puede descomponerse de la sguene manera: u µ + λ + e (6.) donde µ represena los efecos no observables que dferen enre las undades de esudo pero no en el empo (capacdad empresaral, efcenca de cada undad, ec. ); λ denfca los efecos no cuanfcables que varían en el empo pero no enre las undades de esudo; y e se refere al érmno de error puramene aleaoro. La mayoría de los análss realzados con daos de panel ulzan el modelo de componene de error conocdo como one way para el cual λ (modelo A). Las dferenes varanes para el modelo one way de componenes de errores surgen de los dsnos supuesos que se hacen acerca del érmno µ, pudéndose presenar res posbldades: El caso más sencllo es el que consdera µ ; es decr, la no exsenca de heerogenedad no observable enre los ndvduos o empresas. La segunda posbldad consse en suponer a µ un efeco fo y dsno para cada ndvduo o empresa. En ese caso, la heerogenedad no observable se ncorpora a la consane del modelo ( α ). Fnalmene, la ercera alernava es raar a µ como una varable aleaora no observable que varía enre ndvduos/empresas pero no en el empo. Bao la prmera especfcacón, los µ sasfacen odos los supuesos del modelo lneal general y, por ano, se emplea como méodo de esmacón MCO, obenendo esmadores lneales e nsesgados y con la venaa de ganar grados de lberad.
Ahora ben, en los casos en que se rechaza el supueso de homogenedad en un ssema de daos de panel, es decr, que exse heerogenedad no observable ya sea a ravés del empo, enre undades de esudo (ndvduos) o en ambos sendos, debe buscarse una especfcacón que la capure de forma apropada con el fn de evar que los esmadores de los parámeros de las varables explcavas esén sesgados. 6.3. VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LOS MODELOS DE DATOS DE PANEL Los modelos de daos de panel presenan una sere de venaas y desvenaas en comparacón con los modelos de seres emporales y de core ransversal. Las más relevanes son las sguenes: Venaas La écnca perme al nvesgador económco dsponer de un mayor número de observacones, ncremenando los grados de lberad, reducendo la mulcolnealdad enre las varables explcavas y, en úlma nsanca, meorando la efcenca de las esmacones economércas. Tal y como se menconó anerormene, la écnca perme capurar la heerogenedad no observable ya sea enre undades ndvduales de esudo como en el empo. Con base en lo aneror, la écnca de daos de panel perme aplcar una sere de conrases para confrmar o rechazar dcha heerogenedad y deermnar cómo capurarla. Los daos de panel suponen, e ncorporan al análss, el hecho de que los ndvduos o agenes económcos (consumdores, empresas, regones, países, ec. ) son heerogéneos. Los análss de seres de empo y de core ransversal no ncorporan esa heerogenedad correndo así el resgo de obener resulados sesgados. Permen esudar meor la dnámca de los procesos de ause, ya que a ravés de ellos se pueden analzar los cambos en el empo de las dsrbucones ransversales.
Permen elaborar y probar modelos relavamene compleos de comporameno en comparacón con los análss de seres emporales y de core ransversal. Un eemplo claro de ese po de modelos es aquel que raa de medr nveles de efcenca écnca por pare de undades económcas ndvduales. Fnalmene, pueso que las undades ransversales de un panel de daos normalmene se referen a ndvduos, famlas o empresas, se evan los sesgos que aparecen cuando se rabaa con varables agregadas. Desvenaas En érmnos generales, las desvenaas asocadas a la écnca de daos de panel se relaconan con los procesos para la obencón y el procesameno de la nformacón esadísca sobre las undades ndvduales de esudo; es decr cuando ésa se obene por medo de encuesas, enrevsas o ulzando algún oro medo de nferenca esadísca de los daos. Eemplos de ese po de lmacones son los problemas de seleccón no aleaora de la muesra, de recogda de daos con nadecuadas asas de coberura de la poblacón, porcenaes de no respuesa, pregunas confusas, dsorsón delberada de las respuesas, ec. Asmsmo, una escasa dmensón emporal puede nvaldar alguno de los elemenos eórcos de los modelos de daos de panel. Por ulmo, algunas nvesgacones han demosrado que la ulzacón de modelos de efecos fos produce resulados sgnfcavamene dferenes al los modelos con efecos aleaoros cuando se esma una ecuacón usando una muesra de muchas undades de core ransversal con pocos perodos de empo (7 ndvduos con 5 perodos, por eemplo).
6.4. MODELO DE EFECTOS FIJOS Como ya se menconó, los modelos de daos de panel permen conemplar la exsenca de efecos ndvduales específcos a cada undad, nvarables en el empo, que deermnan la manera en que cada undad de core ransversal oma sus decsones. Esos modelos asumen que los efecos de las varables omdas, ya sean específcas a cada ndvduo y/o que camban en el empo, no son mporanes en forma ndvdual, pero sí en conuno. Por oro lado, dado que el efeco de las varables omdas se supone consane en el empo para cada ndvduo, o que no varía en odos los ndvduos en un deermnado momeno en el empo, o una combnacón de ambos, se pueden capurar en el érmno consane de un modelo de regresón como un promedo que oma en cuena explícamene la heerogenedad enre ndvduos y/o en el empo conenda en los daos. Según la forma de ncorporar la heerogenedad no observada, se pueden dferencan los modelos de efecos fos y modelos de efecos aleaoros. Los modelos de efecos fos se conocen ambén como modelos mínmos cuadrácos con varables fccas. Los modelos de daos de panel de efecos fos enen la sguene expresón general: Y α + K + e donde Y es la varable dependene, α, es un escalar que recoge los efecos específcos del ésmo ndvduo y se supone consane en el empo, y, es el vecor de las k varables explcavas y, de los K parámeros que recogen los efecos de las varables explcavas; e es el ermno de error que se suponen aleaoros dsrbudos con meda cero y varanza consane de valor σ e. El panel de daos corresponde a,..., N undades o ndvduos de core ransversal, observados para los períodos,..., T. Por ano, lo que se preende resolver es un ssema de regresones específcas con N ecuacones de core ransversal: Y α + + +... + + e y T observacones.
Su noacón marcal abrevada es: e Y + + α ' Agrupando las observacones emporales, para cada undad ransversal se llega al sguene modelo: e Y + + α ' que en el supueso de una únca varable explcava endría la sguene expresón: + + NT T T N NT T T N N NT T T N e e e e e e Y Y Y Y Y Y............................... α α α Con ese modelo se consdera que las varables explcavas afecan por gual a las undades de core ransversal y que ésas se dferencan por caraceríscas propas de cada una de ellas, meddas por medo de la nercepcón en el orgen. Es por ello que las N nercepcones se asocan con varables dummy con coefcenes específcos para cada undad, los cuales se deben esmar. La esmacón de α y se realza por MCO, s ben hay que ener presene que ese modelo presena una pérdda mporane de grados de lberad. Un es úl en ese po de modelos es realzar la prueba F, para comprobar s α α para cualquer. Por oro lado, cabe señalar que cuando se quera nclur un érmno consane hay que nroducr úncamene N- varables fccas.
Ora manera de planear ese modelo es especfcándolo en desvacones respeco a la meda, es decr, resando a cada varable la meda en el perodo para cada undad -esma. El esmador a ulzar en ese caso ene la sguene expresón: N T N T ( )( ) ' ( )( Y Y ) ' ˆ (6.3) donde Y, son las medas muesrales del ndvduo -ésmo. El esmador de la varanza de es: N T ( ) σ e ( )( ) ˆ Var ˆ ' donde ˆ σ e es la varanza resdual, calculada como los resduos del modelo al cuadrado. e' e ˆu σ NT N K, donde e e es la suma de En general, el esmador de mínmos cuadrados ordnaros (MCO) es apropado cuando los resduos son ncorrelados en el empo y homocedáscos en los cores ransversales. Los efecos fos se esman en un segundo paso a ravés de la sguene ecuacón: ˆ α Y ' ˆ T ' ( Y ˆ ) T (6.4) El modelo aneror puede exenderse al modelo de efecos fos de doble vía, en el que aparecen ambén los efecos no observables emporales, al que: Y α + δ + ' + e
Expresón que equvale a nroducr dos conunos de varables fccas, unas ndvduales y oras emporales; en ese caso el esmador MCO endría las msmas propedades del modelo aneror. El esmador a ulzar endría la sguene expresón: ˆ N T N T ( + )( + ) ' ( + )( Y Y Y + Y ) ' donde Y,, son las medas muesrales del ndvduo -ésmo, Y, las medas muesrales del perodo, y Y, las medas muesrales de las varables para odos los N ndvduos y T perodos. Los efecos fos se esman en un segundo paso a ravés de las sguenes relacones: ˆ α ˆ δ ' ( Y Y ) ( ) ˆ ' ( Y Y ) ( ) ˆ 6.5. MODELO DE EFECTOS ALEATORIOS A dferenca del modelo de efecos fos, el modelo de efecos aleaoros consdera que los efecos ndvduales no son ndependenes enre sí, sno que esán dsrbudos aleaoramene alrededor de un valor dado. Una prácca común en el análss de regresón es asumr que el gran número de facores que afecan al valor de la varable dependene pero que no han sdo ncludas explícamene como varables ndependenes del modelo, puede resumrse apropadamene en la perurbacón aleaora. Así, en ese modelo se consdera que ano el mpaco de las varables explcavas como las caraceríscas propas de cada undad son dferenes. El modelo de efecos aleaoros o modelo de componenes de la varanza asume que el érmno α es la suma de una consane común α, una varable aleaora específca de core ransversal e nvarane en el empo µ asocada a cada ndvduo e ncorrelada con el resduo e, y oro asocado al empo λ, ambén ncorrelaconado con el resduo e.
En lugar de raar µ como una consane fa, esa especfcacón asume que µ N(, ) ndependene e gualmene dsrbuda, e ncorrelada con e y. σ µ A su vez el modelo ambén requere que λ esá ncorrelado en el empo al que E( λ, λ ), y además esá ncorrelada con µ, e y. s S suponemos que λ, la especfcacón del modelo enonces se convere en: Y + ε, ε µ + e La esmacón de ese modelo exge de la ulzacón de Mínmos Cuadrados Generalzados pues los resduos del modelo esán correlaconados enre sí al esar ε, para s. s µ ncludo ano en ε como en El esmador apropado de ese modelo expresado en desvacones a la meda es, por ano: ˆ MCG donde: N N + ( ) ( ) N N ' ' Q ψ ' QY ( )( Y )' T T ψ ε σ ε σ + Tσ µ Q IT e e' T Generalmene las varanzasσ (varanza enre grupos) y σ no son conocdas y, por ano, habrá µ que esmar un valor para ψ. Para esmar dcho valor un camno sería ulzar las esmacones de las varanzas de los resduos obendas en la solucón MCO del modelo. ε
6.6. ELECCIÓN DE MODELO DE EFECTOS O EFECTOS ALEATORIOS La decsón acerca de la esrucura apropada para el análss, es decr, efecos fos vs efecos aleaoros, dependerá de los obevos que se persgan. Así, Hausman (978) aconsea ulza el modelo de efecos fos para realzar nferencas sobre la muesra ulzada, menras que el de efecos aleaoros resula más úl para realzar nferencas sobre la poblacón. Adconalmene, s el nerés del esudo parcular esá pueso en los coefcenes de las pendenes de los parámeros, y no ano en las dferencas ndvduales, se deberá elegr un méodo que relegue esas dferencas y rae la heerogenedad no observable como aleaora. El conexo de los daos, es decr, cómo fueron obendos y el enorno de donde provenen, deermnan ambén la eleccón del modelo. Con el modelo de efecos fos la heerogenedad no observable se ncorpora en la ordenada al orgen del modelo y con el de efecos aleaoros, como ya se menconó, se ncorpora en el érmno de error, modfcándose la varanza del modelo. Asmsmo, emplear un modelo de efecos fos o aleaoros genera dferencas en las esmacones de los parámeros en los casos en que se cuena con T pequeño y N grande. En esos casos debe hacerse el uso más efcene de la nformacón para esmar esa pare de la relacón de comporameno conenda en las varables que dferen susancalmene de un ndvduo a oro. En prncpo, el enfoque de efecos fos es más aracvo, ya que no requere realzar supuesos paramércos sobre la dsrbucón condconal de la heerogenedad nobservable. Sn embargo, su desvenaa es que solo puede ulzarse en ceras dsrbucones y requere hacer supuesos muy resrcvos sobre la dsrbucón del érmno de error como lo son las hpóess que exge el méodo MCO. A ese respeco hay que ener presene que el modelo de efecos fos asume la exsenca de dferencas enre undades que se capuran en forma de movmenos de la curva de regresón. (Fg. 6.).
Fgura 6.. El modelo de efecos fos, s se esma ulzando varables dummy no denfca drecamene la causa de la varacón en el empo y los ndvduos, e mplca un alo cose nformavo en érmnos de grados de lberad. En cuyo caso deben realzarse algunas consderacones con respeco a la esrucura de los daos, dado que s N es grande y T pequeño, podría darse el caso en que el número de parámeros en el modelo de efecos fos sea muy grande en relacón con el número de daos dsponbles, lo que daría lugar a parámeros poco sgnfcavos y una esmacón nefcene. Para elegr enre los esmadores del modelo fo y aleaoro puede ulzarse el es de Hausman, que compara drecamene ambos esmadores. El conrase se basa en el hecho de que bao la hpóess de que [ ] E α el esmador del modelo de efecos aleaoros ( EA ) ˆ es asnócamene más efcene que el esmador MCO del modelo de efecos fos ( ˆ ) embargo, s [ ] E α esmador MCG será sesgado e nconssene. EF ; sn, el esmador MCO manendrá la conssenca, menras que el El esadísco propueso por Hausman es: m qˆ [ Var( qˆ) ] qˆ ' donde qˆ ˆ ˆ, y la marz dagonal Var qˆ) Var( ˆ ) Var( ˆ ). Bao la hpóess EA EF nula { E[ ] } ( EA EF H α el esadísco m se dsrbuye como una varable χ k. Eemplo 6..
A connuacón vamos a realzar un eemplo de esmacón de un modelo de daos de panel, con las seres emporales de crédos y depósos de las caas de ahorro de Caslla y León por provncas, el obevo de la nvesgacón es comprobar qué pare de los depósos se queda en Caslla y León en forma de crédos y verfcar s hay dferencas en los comporamenos provncales. Los daos ulzados corresponden al perodo 998-3 y enen perodcdad rmesral. En prmer lugar, ulzamos un modelo de daos de panel fo de la forma sguene: Y α + ' + u donde Y son los crédos que presan las caas de ahorro en las nueve provncas de la regón (N9), y los depósos de las caas de ahorro en cada una de las nueve provncas de la regón. El número de observacones emporales es T. Los daos de los crédos oales conceddos por las Caas de Ahorro en las nueve provncas de Casllla y León (mllones de ) son: Año Perodo Ávla Burgos León Palenca Salamanca Segova Sora Valladold Zamora 998 I 587 739 844 488 58 534 7 459 39 998 II 67 846 956 56 3 56 55 4 998 III 63 87 953 53 5 588 593 43 998 IV 64 99 37 545 89 6 8 685 439 999 I 643 99 46 57 97 67 5 78 436 999 II 7 47 3 6 54 656 3 88 476 999 III 694 7 7 644 8 66 35 895 48 999 IV 694 36 35 65 47 68 4 98 496 I 685 38 54 67 85 668 5 6 57 II 73 54 68 79 468 688 59 8 56 III 753 665 765 737 47 69 6 38 559 IV 783 84 343 77 493 78 8 443 58 I 787 88 38 764 534 74 87 53 58 II 85 366 395 789 68 739 3 658 65 III 835 366 994 8 69 743 3 685 6 IV 894 336 38 837 664 776 33 869 636 I 9 3463 356 849 77 794 336 969 644 II 976 379 353 98 8 84 348 395 676 III 39 386 36 933 835 854 357 34 676 IV 76 4 36 945 93 899 387 333 69 3 I 39 44 347 984 968 94 4 3434 7 3 II 93 447 3688 69 979 4 3575 734 Los daos de los depósos del secor prvado en las Caas de Ahorro en las nueve provncas de Casllla y León (mllones de ) son:
Año Perodo Ávla Burgos León Palenca Salamanca Segova Sora Valladold Zamora 998 I 75 3686 3 87 6 5 593 66 866 998 II 7 3675 375 8 596 6 594 69 85 998 III 8 373 379 793 64 9 596 635 838 998 IV 3 386 3438 86 69 4 595 697 87 999 I 38 398 3374 8 594 58 75 858 999 II 7 3959 357 838 67 43 58 84 87 999 III 95 48 346 86 68 73 594 4 888 999 IV 39 47 3459 894 735 83 65 986 94 I 349 43 3469 933 8 95 64 48 948 II 388 439 347 96 9 7 655 6 968 III 43 4497 3854 995 984 5 677 9 989 IV 465 469 3965 59 9 93 7 33 48 I 488 487 3957 75 8 385 74 378 56 II 54 57 433 3794 46 746 467 99 III 587 53 45 45 437 489 763 58 IV 773 5496 4476 87 4334 5 797 65 77 I 768 558 49 73 47 597 794 63 5 II 86 5637 595 497 548 87 776 75 III 8 5658 588 8 5 577 83 787 7 IV 96 5898 49 4 53 7 849 99 3 I 949 593 539 3 58 653 84 95 89 3 II 636 5488 47 56 676 846 974 A efecos de esmar el modelo MCO ulzando varables dummy habría que presenar los daos conforme a la sguene abla: Año Trmesre Crédos (Y) Dummes (α) Depósos () Ávla Burgos León Palenca Salamanca Segova Sora Valladold Zamora 998 587 75 998 739 3686 998 844 3 998 488 87 998 58 6 998 534 5 998 7 593 998 459 66 998 39 866 998 67 7 998 846 3675 998 956 375 998 56 8 998 3 596 998 56 6 998 594 998 55 69 998 4 85 Aplcando MCO al modelo descro se obenen los sguenes resulados:
Esadíscas de la regresón Coefcene de correlacón múlple.9657733 Coefcene de deermnacón R.9376 R ausado.9476 Error ípco 74.756973 Observacones 98 ANÁLISIS DE VARIANZA Grados de lberad Suma de cuadrados Meda cuadrados F Valor críco de F Regresón 9674739 967473.9 6.63465 4.338E-4 Resduos 88 4938. 7549.3944 Toal 98 933 Coefcenes Error ípco Esadísco AV 8.59983 74.636.55456 BU 543.6444 54.683995 3.5435479 LE 76.6556 35.4759 5.6387768 PA 48.98645 66.763 3.76583988 SA 58.469567 6.6347.5445856 SG 77.343676 7.9936.87968 SO -5.49486 6.68669 -.8499455 VA 33.6383 89.876 4.73548 ZA 66.57949 66.4793.65576 Β.48667.3785 6.739855 Se puede aprecar que ano el esadísco F, como la dsrbucón asocada a los esmadores de los coefcenes α descara la hpóess de gualdad de dchos coefcenes (el valor eórco del esadísco F en las ablas es.88), lo que hace sgnfcava con un nvel de confanza del 95% la exsenca de heerogenedad en el comporameno de cada provnca. S ulzamos el modelo (6.) y el procedmeno descro para obener el esmador (6.3) y los coefcenes (6.4), obendríamos los sguenes resulados en la esmacón MCO. ˆ MCO N T ( )( Y Y ) N T ( )( ) 447385.5 837389.8.48667 El coefcene α correspondene a Ávla se obene como:
ˆ α T ( Y ˆ ) ( 8.5.487 ) T 8.59 Análogamene, el reso de érmnos consanes es: Burgos 543.6444 León 76.6556 Palenca 48.98645 Salamanca 58.469567 Segova 77.343676 Sora -5.49486 Valladold 33.6383 Zamora 66.57949 Eemplo 6.. La lbrería plm ofrece recursos en R para esmar modelos daa panel. > nsall.packages("plm") En esa lbrería enemos un conuno de daos panel relavos a empresas para las que dsponemos de los sguenes cfras: año, nvesón brua, valor de la empresa y capal. El conuno de daos es para el perodo de 935 a 954. > daa("grunfeld", package"plm") > sr(grunfeld) 'daa.frame': obs. of 5 varables: $ frm : n... $ year : n 935 936 937 938 939 94 94 94 943 944... $ nv : num 38 39 4 58 33... $ value : num 378 466 5387 79 433... $ capal: num.8 5.6 56.9 9. 3.4... En el conuno de daos los campos denfcavos de las empresas y años deben de ser índces. Para esmar un modelo de daa panel de efecos fos que relacone la nversón realzada por la empresa con su valor conable y su capal, se requere la sguene senenca R: > grun.fe <- plm(nv~value+capal,daagrunfeld,model"whn")
> summary(grun.fe) Oneway (ndvdual) effec Whn Model Call: plm(formula nv ~ value + capal, daa Grunfeld, model "whn") Balanced Panel: n, T, N Resduals : Mn. s Qu. Medan 3rd Qu. Max. -84. -7.6.563 9. 5. Coeffcens : Esmae Sd. Error -value Pr(> ) value.4.857 9.879 <.e-6 *** capal.365.7355 7.8666 <.e-6 *** --- Sgnf. codes: ***. **. *.5.. Toal Sum of Squares: 444 Resdual Sum of Squares: 5348 R-Squared :.76676 Ad. R-Squared :.775 F-sasc: 39.4 on and 88 DF, p-value: <.e-6 Para esmar un modelo con efecos aleaoros: > grun.re <- plm(nv~value+capal,daagrunfeld,model"random") > summary(grun.re) Oneway (ndvdual) effec Random Effec Model (Swamy-Arora's ransformaon) Call: plm(formula nv ~ value + capal, daa Grunfeld, model "random") Balanced Panel: n, T, N Effecs: var sd.dev share dosyncrac 784.46 5.77.8 ndvdual 789.8 84..78 hea:.86 Resduals : Mn. s Qu. Medan 3rd Qu. Max. -78. -9.7 4.69 9.5 53. Coeffcens : Esmae Sd. Error -value Pr(> ) (Inercep) -57.83445 8.898935 -.3.4674 * value.978.493.467 < e-6 *** capal.383.78 7.9339 < e-6 *** --- Sgnf. codes: ***. **. *.5.. Toal Sum of Squares: 384 Resdual Sum of Squares: 5489 R-Squared :.7695 Ad. R-Squared :.75796 F-sasc: 38.837 on and 97 DF, p-value: <.e-6
Los efecos fos se exraen con la funcon fxef. > summary(fxef(grun.fe, ype 'dmean')) Esmae Sd. Error -value Pr(> ) -.558 49.78 -.34.867 6.6498 4.9383 6.449.8e- *** 3-76.879 4.436-7.377 4.565e-3 *** 4 3.9346 4.778.974.799 * 5-55.879 4.654-3.9443 8.3e-5 *** 6 35.586.6687.887.4974 ** 7-7.895.843 -.68.54336 8.983 3.993.856.93758 9-8.4783.899 -.9.774 * 5.76.869 4.46.6e-5 *** --- Sgnf. codes: ***. **. *.5.. 6.7. PROBLEMAS 6.. Consdere el sguene panel de daos de nversón (Y) y benefcos () para 3 empresas y perodos: Empresa Empresa Empresa 3 Y Y Y 8.3 7.85 5.3 7.93 3.85 3.65 3.3 3.69.47.97 4.6.55 3 7.6.48 4.3 4.6 8.87 6.47 4 9.94 8.79 3. 3.73 9.9 9.9 5.8.4.63 6.3 8.99. 6 7. 7.59 4.84 6.5.73 3.34 7 9.93.64 8.76.3 3.68 7.7 8 34.8 3.45 5. 6.6 6.49 3.36 9 5.3 4.64 4.5 4.55 3.49.44 9.77.43 3.3.6 5.84.87 a) Calcule la marz de producos cruzados a parr de los daos anerores y esme por MCO los coefcenes del modelo: Y α + + u b) Con los daos anerores, esme el modelo de efecos fos y conrase la hpóess de que el érmno consane es el msmo para las res empresas. Qué nerpreacón económca puede realzarse de dcho érmno consane?
c) Calcule un modelo de efecos fos de doble vía. 6.. Consdere el sguene el sguene modelo de daa panel esmado con efecos fos y aleaoros: Y Y α + α + + + + µ + µ + ε Cuya esmacón ha dado los sguenes resulados Coefcenes Desvacón ípca Efecos fos Efecos aleaoros Efecos fos Efecos aleaoros.34667.34574.66645.654.7948.76555.7589.6869 Decda s es convenene o no ulzar efecos aleaoros SOLUCIONES 6. a) Y -.4 +,589 b) Y -.979D- 3.348D -.389D3 +. ; H : α α 3; se rechaza la hpóess nula. Y -.78D-.457D +.534D3.77T +.35T +.88T 3.695T 4 c).84t 5.467T 6.56T 7 +.439T 8 +.735T 9 +.3T +.6 6.. Resulado de la prueba de Haussman, no se rechaza H o, es convenene ulzar efecos aleaoros.
7. MODELOS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS 7.. INTRODUCCIÓN Hasa el momeno en odos los modelos que hemos vso, se ha supueso que las varables explcavas eran exógenas, de al forma que su comporameno podía explcarse de forma compleamene ndependene del reso de las varables que componen el modelo. Esa caracerísca dea de ener sendo cuando se preende recoger, medane un modelo economérco, la exsenca de un conuno de varables endógenas que se deermnan muuamene. En ese caso, es precso especfcar un modelo de ecuacones smuláneas, el cual se defne como un modelo compueso por varas ecuacones y en el que exse smulanedad enre las varables que lo componen. La smulanedad en ese po de modelos se produce porque, a la vez que una varable dependene Y esá deermnada por una varable explcava en una de las ecuacones del modelo, en ora ecuacón la varable queda deermnada por la aneror endógena, Y. Es decr, se da una relacón en dos sendos enre varables dependenes y explcavas, lo que hace dudosa la dferencacón enre varables dependenes e ndependenes. En parcular, dremos que exse endogenedad enre dos varables cuando hay una relacón bdrecconal enre ellas, y calfcaremos a una varable como exógena o predeermnada cuando su valor no venga deermnado por alguna de las ecuacones del modelo. La dsncón enre varables endógenas y exógenas en un modelo de esas caraceríscas es sul y resula, a veces, conroverda. Por ano corresponde al nvesgador, en funcón de argumenos eórcos esablecdos a pror, la dfícl area de especfcar qué varables son endógenas y cuáles son predeermnadas. No obsane, ése puede rafcar sus coneuras a ravés de pruebas empírcas (prueba de Hausman) dseñadas para deermnar s una varable debe ser consderada endógena o no. En defnva, los modelos de ecuacones smuláneas relaconan en cada ecuacón a una varable dependene endógena, con varables exógenas que acúan como endógenas en oras ecuacones además de con oras varables exógenas o ndependenes.
La represenacón analíca de un modelo genérco con n ecuacones smuláneas y m varables exógenas es la sguene: α Y +α Y + +α ny n + + + + m m u α Y +α Y + +α ny n + + + + m m u (7.)... α ny +α ny + +α nny n + n + n + + nm m u n En la expresón 7.. puede observarse que la presenca de la smulanedad se debe a dos caraceríscas: por un lado, que odas las varables endógenas (Y ) y exógenas ( ) pueden aparecer en odas las ecuacones del modelo; y por oro, que las perurbacones aleaoras u esán correlaconadas conemporáneamene enre sí, lo que mplca que un cambo en una cualquera de ellas afecará a odas las varables endógenas del modelo. De esa forma, en los modelos de ecuacones smuláneas la relacón de causaldad enre las varables dea de ser undrecconal, al conraro de lo que sucedía en los modelos unecuaconales, ya que una varable exógena puede nflur en cualquer endógena, ben sea drecamene por esar especfcada en la ecuacón, o a ravés de ora endógena relaconada con la aneror, que ambén fgure especfcada en la ecuacón en cuesón.
7.. FORMA ESTRUCTURAL Y REDUCIDA Como veremos en dealle más adelane, el prncpal problema que planea la presenca de smulanedad en el modelo es la esmacón de los parámeros. No obsane, para poder abordarla debemos defnr prevamene los concepos de forma esrucural y forma reducda de un modelo de ecuacones smuláneas. Para ello, s expresamos en érmnos marcales la expresón (7.) enemos que: α α. α n α α α. n............ α n Y α n Y +... α nn Yn n. n............ m m. nm. m u u. u n (7.) O smplfcando la expresón aneror: Γ Y + B U Donde: α α... α n Y... m u α α... α n Y... m u Γ Y B U............... α n αn... αnn Yn n n... nm m un Esa forma de expresar el modelo es lo que se conoce como forma esrucural, y en ella se relaconan las varables de la forma que esablece la eoría económca. S despeamos la pare endógena del modelo obenemos que: Γ Y B + U
Suponendo que la marz Γ ene nversa, operamos al que: ΓΓ Y BΓ + Γ U Y Γ B + Γ U Llamando Π Γ B y V Γ U enemos que: Y Π + V Que desarrollado queda como: Y π π... πm v Y π π... π m v +......... Yn π n π n... π nm m vn La expresón resulane se conoce como forma reducda del modelo, y con ella se relacona cada una de las varables endógenas con odas las varables predeermnadas. Obsérvese que en la forma reducda no exse smulanedad en las varables por lo que su esmacón por MCO no presena problema alguno. Como veremos más adelane, en funcón del nerés del nvesgador la ulzacón de una forma u ora será más convenene. Así, s nuesro obevo es obener predccones en el modelo, podremos realzarlas drecamene con la forma reducda sn necesdad de esmar los parámeros de la forma esrucural; por el conraro, s necesamos conrasar alguna hpóess sobre los coefcenes del modelo a fn de confrmar la valdez de una eoría económca, lo apropado será ulzar la forma esrucural del modelo.
Eemplo 7.. El análss clásco de la ofera y la demanda esablece que las candades demandadas de un ben (Q d ) depende del preco del ben (P ), el preco de oros benes susuvos o complemenaros (Pr ) y la rena de los consumdores (R ), así como por dversos facores pscológcos y/o socológcos que ncden en el comporameno del consumdor: gusos, publcdad, ec. y que se recogen en el érmno de error de la ecuacón de demanda (u ). A su vez, la eoría económca esablece que las candades oferadas de un ben (Q o ) depende del preco del ben (P ), el preco de oros benes susuvos o complemenaros (Pr ), y de los precos de los facores de produccón (F ), enre los que se ncluyen los precos de las maeras prmas, los salaros y los nereses que cobran los bancos por el dnero que presan. Asmsmo, oros facores que afecan al proceso de produccón quedan recogdos por el érmno de error de la ecuacón de ofera (u ). Ambas ecuacones deermnan un modelo de ecuacones smulaneas, cuya solucón perme obener la candad consumda y el preco del ben en equlbro. La expresón convenconal de dcho modelo es la sguene: Ecuacón de Demanda: Q d α P + Pr + R + u, α < Ecuacón de Ofera: Q o α P + Pr + 3F + u, α > Igualdad: Q d Q o Lo que, susuyendo la gualdad, equvale a: Q α P + Pr + R + u, α < (7.3) Q α P + Pr + 3F + u, α > (7.4) Sus caraceríscas son las sguenes: Posee dos varables endógenas: la candad consumda del ben (Q ) y el preco (P ) Asmsmo, ene res varables exógenas o explcavas: el preco de los facores de produccón (F ), el preco de oros benes complemenaros o susuvos (Pr ) y el nvel de rena de los consumdores (R ) La ecuacón de demanda, ene dos varables endógenas (Q, P ) y dos exógenas (Pr, R ).
La ecuacón de ofera, ene dos varables endógenas (Q, P ) y dos exógenas (F, Pr ) Para obener el modelo reducdo, debemos consrur la expresón (7.) al que: O marcalmene: Pr α Q u R α P + 3 u F (7.5) Γ Y + B U El deermnane de Γ es enonces: ( ) ( ) Γ α α α α Y su marz nversa: α α α α α α Γ α α α α A parr de la marz Γ, podemos obener la relacón exsene enre los coefcenes de la forma esrucural (α, ) y los de la forma reducda (π ) al que: α α α α α α B 3 Π Γ α α α α α α α α 3 π π π3 α α α α α α π π π 3 3 α α α α α α Ora forma alernava de obener el modelo en forma reducda sería gualar la ecuacón de demanda (7.3) con la ecuacón de ofera (7.4):
α P + Pr + R α P + Pr + F 3 Despeando P obenemos: P Pr R + F 3 α α α α α α (7.6) Ahora, s susumos (7.6) en (7.3) nos queda que: Q α Pr R + F + Pr + R Y operando, enemos que : 3 α α α α α α α α α α Q Pr R + F 3 α α α α α α (7.7) Ahora smplemene basa con relaconar los coefcenes asocados a las varables en las ecuacones (7.6) y (7.7) con los coefcenes de la forma reducda al que: α α π α α π α α α α3 π3 α α π α α π π 3 α α 3 α α
7.3. DETECCIÓN DE LA SIMULTANEIDAD. PRUEBA DE HAUSMAN La consecuenca más nmedaa de la presenca de smulanedad en los modelos mulecuaconales es que los esmadores que se obenen al aplcar MCO a cada una de las ecuacones ndvduales no son conssenes, por lo que debemos recurrr a méodos de esmacón alernavos que perman abordar el problema de la smulanedad y que produzcan esmadores conssenes y efcenes. Sn embargo, hay que ener en cuena que, s dchos méodos se aplcan cuando no exse smulanedad, los esmadores obendos son conssenes pero no efcenes, sendo preferbles en esos casos los obendos por el méodo MCO (Guara, 997). Por ano, parece razonable que, anes de descarar las esmacones realzadas a ravés de MCO en favor de oros méodos alernavos, se verfque la presenca de smulanedad. El méodo para verfcar la presenca de smulanedad o endogenedad más ulzado es la prueba de especfcacón de Hausman (974). Esa prueba nena, esencalmene, averguar s un regresor esá correlaconado con el érmno de error. S lo esá, exsrá smulanedad, en cuyo caso deben ulzarse méodos de esmacón alernavos a MCO; s no lo esá, se puede ulzar ese méodo con la segurdad de que proporconará esmadores efcenes y conssenes. Veamos cómo se ulzaría en la prácca la prueba de Hausman: supongamos que enemos un modelo de res ecuacones con dos varables endógenas, Y e Y y que hay res varables exógenas,, e 3. Supóngase además que la prmera ecuacón del modelo es: Y α Y + + u La prueba de smulanedad de Hausman comprende los sguenes pasos: Se obenen las ecuacones de la forma reducda y se esma la ecuacón de aquella varable supuesamene endógena por MCO. Por eemplo, s en la ecuacón aneror sospecháramos que Y presena smulanedad, realzaríamos la sguene regresón: ˆ π π π + π, Y Yˆ + v Y + + 3 3
A connuacón, se esma por MCO la ecuacón orgnal del modelo en la que aparece la varable analzada como exógena pero susuyéndola por su valor esmado en la regresón aneror. En nuesro eemplo, reemplazamos Y por Y + v como varable explcava en la ecuacón orgnal del modelo, al que: ˆ α ˆ α + (7.8) Y + Y + v u Bao la hpóess nula de no smulanedad, el coefcene asocado a v deberá ser esadíscamene gual a cero. Por oro lado, Pndyck y Rubnfeld (98) sugeren una forma alernava de realzar el conrase de smulanedad, ncluyendo como regresor en el segundo paso de la prueba de Hausman los resduos obendos en la esmacón de la forma reducda, v al que: Y α Y + + λv + u Nuevamene se conrasa la hpóess nula λ; en caso de que se rechace la hpóess nula, Y no debe raarse como una varable exógena. Fnalmene, ambén es posble conrasar la endogenedad de varas varables al y como propone Guara (997): supongamos por eemplo que enemos un modelo de res ecuacones con res varables endógenas, Y, Y e Y 3 y res exógenas,, e 3, en el que la prmera ecuacón es: Y α Y + α 3Y3 + + + 3 3 + u Vamos a verfcar s Y e Y 3 pueden ser ulzadas como exógenas; para ello, prmero se esman las ecuacones de ambas varables en forma reducda, obenéndose los valores proyecados e Yˆ 3. Yˆ Segudamene esmamos por MCO la sguene ecuacón:
α α λ ˆ λ ˆ + Y Y + 3Y3 + + + 3 3 + Y + 3Y3 u y se ulza una prueba F para conrasar la hpóess λ λ 3. S esa hpóess es rechazada, enonces Y e Y 3 pueden ser consderadas como endógenas, en caso conraro deberán ser raadas como exógenas. Eemplo 7.. Ulzando el modelo mulecuaconal de ofera y demanda del Eemplo 7. vamos a comprobar que la varable P puede raarse como endógena en la ecuacón (7.3), aplcando la prueba de Hausman. Para ello ulzaremos los sguenes daos: Año Tm sacrfcadas de carne de porcno (mles) Preco carne de porcno Preco relavo de la carne de aves frene a la carne de porcno Preco relavo de los pensos frene a la carne de porcno Rena per capa 98 8.3.9.9.9.77 98 4.5..7.93.77 98 336.37.8..8.78 983 34.3.9.99.9.79 984 48.66..8..8 985 387.75..4.9.8 986 398.64..9.86.84 987 489.7.7.3..88 988 7.33.97..9.93 989 73.49.9.93.9.97 99 788.85.98.99.99. 99 885.56.3.93.95.3 99 9.9.7.89.89.3 993 69.4.94.4.8. 994 93.37.9.9..4 995 58.65.96.85.88.6 996 36.85.4.93.85.9 997 448.77.6.8.8. La expresón para la ecuacón (7.3) recordemos que es:
QαP+Pr+R + u El prmer paso consse en realzar la regresón por MCO del preco de la carne de porcno (P ) sobre las res varables exógenas del modelo: Preco relavo de la carne de aves frene a la carne de porcno (Pr ), Preco relavo de los pensos frene a la carne de porcno (F ) y Rena "per capa" (R ), para lo que esmamos la relacón: P π Pr +π R +π 3F +e Los resulados obendos son los sguenes: Coefcenes Error ípco Esadísco Térmno consane.33947783.498863 9.67934 Preco relavo de la carne de aves frene a la carne de porcno -.3454969.853868 -.6464 Preco relavo de los pensos frene a la carne de porcno -.43594.365 -.433766 Rena per capa -.55355.64449-3.46956 El valor obendo para Pˆ sería el sguene: Pˆ 98.9458 98.94398 98.846538 983.38 984.55447 985.885983 986.64733 987.63444 988.983596 989.9799849 99.86 99.3873 99.865 993.944969 994.97946935 995.6484696 996.898668 997.989545 El sguene paso es planear la ecuacón (7.3) pero añadendo la nueva varable esmada:
Q α P + Pr + R +λ Pˆ + u Los resulados obendos en el segundo paso son los sguenes: Coefcenes Error ípco Esadísco Térmno consane -937.8938 676.9694-3.376664 Preco carne de porcno -4.36755 49.88674 -.5599894 Preco relavo de la carne de aves frene a la carne de porcno 35.5849 794.536.958574 Rena per capa 544.949 789.8378 6.8934837 Pˆ 3356.373 8.866.83989 Consderando que el valor de la de Suden en las ablas es de.67 para un nvel de confanza del 95%, se descara la posbldad de que el coefcene asocado a gual a cero. Pˆ pueda ser consderado Por oro lado, s generamos el resduo v enemos que: v 98 -.5564667 98 -.436 98 -.3486 983.83846 984.589453 985.686 986.8473 987.379649 988.3339 989.86 99 -.375354 99 -.85833 99.96334 993.866 994 -.445766 995 -.9579 996 -.843 997.6748654 Aplcando el méodo de Pyndck y Rubnfeld ahora debemos esmar la sguene ecuacón:
Q α P + Pr + R +λ v + u Obenéndose los sguenes resulados: Coefcenes Error ípco Esadísco Térmno consane -937.8938 676.9694-3.376664 Preco carne de porcno 35.957.779.8936968 Preco relavo de la carne de aves frene a la carne de porcno 35.5849 794.536.958574 Rena per capa 544.949 789.8378 6.8934837 v -3356.373 8.866 -.83989 Nuevamene el parámero λ es esadíscamene dsno de cero, por lo que podemos afrmar que el preco de la carne de porcno pueda ser consderado como endógeno en la ecuacón de demanda. En la expresón 7.4. IDENTIFICACIÓN DEL SISTEMA Π Γ B podemos observar que los parámeros de la forma reducda son una combnacón lneal de los parámeros de la forma esrucural del modelo ( Γ Y + B U ); asmsmo, dado que no exse smulanedad en la forma reducda, podemos esmar sus parámeros sn problema por MCO. Sn embargo, cómo podemos para saber s es posble recuperar odos y cada uno de los parámeros de la forma esrucural (elemenos de las marces B y Γ A) a parr de las esmacones de los parámeros de la forma reducda (elemenos de la marz Π )? Para responder a esa preguna anes de proceder a la esmacón del modelo, debemos realzar la denfcacón del ssema de ecuacones smuláneas; una vez realzada podemos enconrarnos en alguna de las sguenes suacones: Una ecuacón esará no denfcada cuando no engamos sufcene nformacón para esmar los parámeros de la forma esrucural de la ecuacón. Por su pare, una ecuacón esará sobredenfcada cuando haya más de una combnacón posble de valores esmados para los parámeros de la forma esrucural. Fnalmene, dremos que una ecuacón esá exacamene denfcada cuando sea posble obener una únca esmacón de los parámeros esrucurales. En caso de que odas las ecuacones de un modelo mulecuaconal en su forma esrucural sean exacamene denfcadas, dremos que el ssema esá exacamene denfcado,
pudéndose recuperar de forma unívoca los elemenos de las marces B y A a parr de las esmacones de la marz Π. Eemplo 7.3. Consderemos el modelo clásco de ofera y demanda del Eemplo 7., en el que se ha omdo la varable Pr de la ecuacón (7.4): Q α P + Pr + R + u, α < (7.9) Q α P + 3F + u, α > (7.) Se raa de un modelo con las sguenes caraceríscas: La ecuacón de demanda (7.9) ene dos varables endógenas (P y Q ) y dos exógenas (Pr y R ) La ecuacón de ofera (7.) ene dos varables endógenas (P y Q ) y una exógena (F ). La forma reducda del modelo es: Q π F +π Pr +π 3R P π F +π Pr +π 3R Relaconando los parámeros de la forma esrucural con los de la forma reducda se obene un ssema de 6 ecuacones y 5 ncógnas, que se corresponden a los coefcenes a esmar en el modelo de ofera y demanda, al que: α α α α α α B 3 Π Γ α α α α α α α 3 π π π3 α α α α α α π π π 3 3 α α α α α α
A parr de los parámeros de la forma reducda podemos obener los valores de los coefcenes asocados al modelo; por eemplo, s dvdmos π 3 por π 3 obenemos el valor de α que: π3 α π 3 Pero para algunos parámeros se pueden obener dos solucones: π α π π α π De lo que se deduce que la ecuacón (7.) del modelo esá sobredenfcada. 7.4.. Condcones de Orden y Rango en la Idenfcacón Para comprobar s las ecuacones de un ssema de ecuacones esán denfcadas se ulzan dos sencllas condcones. Por un lado, enemos la condcón de orden, según la cual para que una ecuacón esé denfcada debe verfcarse que el número de varables exógenas excludas en la ecuacón debe ser, al menos, an alo como el número de varables endógenas ncludas en dcha ecuacón. En érmnos maemácos deberá cumplrse que: K k m (7.) Donde: K número de varables exógenas en el modelo. k número de varables exógenas en una ecuacón dada. m número de varables endógenas en una ecuacón dada. En parcular, omando en consderacón el sgno de la desgualdad enemos que
S K k < m, dremos que la ecuacón esá subdenfcada por lo que no será posble esmar el ssema al no haber nformacón sufcene para ello (en érmnos algebracos, dríamos que es un ssema ncompable). S K k m, la ecuacón esá exacamene denfcada lo que mplca que enemos nformacón sufcene para poder esmar el modelo y recuperar los parámeros de la forma esrucural (en érmnos algebracos, se raaría de un ssema compable deermnado). S K k > m, la ecuacón esá sobredenfcada exsendo varas solucones posbles para los parámeros de la forma esrucural a causa de un exceso de nformacón, s ben en ese caso la esmacón de los parámeros de la forma esrucural es vable ulzando el méodo de Mínmos Cuadrados en Eapas que veremos en el sguene capíulo (en érmnos algebracos, endríamos un ssema compable ndeermnado). La condcón de orden de denfcacón puede smplfcarse sumando (M m) a ambos lados de la desgualdad (7.), sendo M el número de ecuacones del modelo, al que: (K k) + (M m) (m ) + (M m) Operando queda: (K k) + (M m) M Con ello, para aplcar la condcón de orden ahora sólo enemos que conar el número de varables endógenas y exógenas excludas en la ecuacón analzada y comparar dcho número con el oal de varables endógenas del ssema menos uno. De esa forma, s el número de varables endógenas y exógenas excludas supera al número de ecuacones menos uno, la ecuacón analzada esará sobredenfcada; s es gual esará exacamene denfcada; y s es menor esará subdenfcada. Sn embargo, la condcón de orden es una condcón necesara pero no sufcene para la denfcacón, por lo que es necesaro planear ora condcón que sí es necesara y sufcene. Se raa de la condcón de rango, que pasamos a ver a connuacón.
La condcón de rango señala que en un modelo que conene M varables endógenas en M ecuacones, una ecuacón esará denfcada s y sólo s puede consrurse al menos un deermnane dferene de cero, de orden ( M ) ( M ) a parr de los coefcenes de las varables endógenas y predeermnadas excludas de la ecuacón que se analza, pero ncludas en el reso de ecuacones del modelo. En resumen, para llevar a cabo la denfcacón de un ssema de ecuacones smuláneas deben segurse los sguenes pasos:. Aplcar la condcón de orden para saber s una ecuacón esá subdenfcada, exacamene denfcada o sobredenfcada.. Aplcar la condcón de rango; en caso de verfcarse confrmaremos el resulado obendo con la condcón de orden. Eemplo 7.4. Volvendo al modelo de ecuacones smuláneas de ofera y demanda del Eemplo 7.3, enemos que: Varables predeermnadas del modelo K3. Varables predeermnadas en la ecuacón de demanda k. Varables predeermnadas en la ecuacón de ofera k. Número de ecuacones en el modelo M. Varables endógenas en la ecuacón de demanda m. Varables endógenas en la ecuacón de ofera m. Q α P + Pr + R + u, α < (7.9) Q α P + 3F + u, α > (7.) La condcón de orden de denfcacón del modelo quedaría esablecda como sgue:. La ecuacón de demanda, al y como se ha formulado, conene dos varables endógenas y dos exógenas, y excluye una varable (F ), que sería gual al número de endógenas ncludas en la ecuacón menos una, esando por ano la ecuacón de demanda exacamene denfcada.
K km 3--. Por su pare, la ecuacón de ofera, posee dos varables endógenas y una exógena, excluyendo por ano varables (Pr y R ), lo que supera al número de endógenas ncludas en la ecuacón menos una, por lo que la ecuacón de ofera esá sobredenfcada, al que: K km 3->- > Procedemos a confrmar los resulados obendos con la condcón de orden aplcando la condcón de rango. Dcha condcón esablece que una ecuacón esá denfcada, s y sólo s puede consrurse por lo menos un deermnane dferene de cero, de orden ( M ) ( M ) a parr de los coefcenes de las varables (endógenas y predeermnadas) excludas de esa ecuacón parcular, pero ncludas en las oras ecuacones del modelo; en nuesro caso, dcho deermnane debe ser de orden( ) ( ). Para analzar la condcón de rango lo más prácco es formar la sguene abla con los coefcenes asocados a las varables endógenas y predeermnadas: Q P Pr R F Ecuacón de demanda α Ecuacón de ofera α 3 A connuacón debemos comprobar s exse algún deermnane no nulo asocado a las marces que se pueden formar con los coefcenes asocados a las varables excludas. En la ecuacón de demanda se verfca la condcón de rango ya que exse un deermnane no nulo de orden, 3 al y como puede aprecarse en la sguene abla: Q P Pr R F Ecuacón de demanda α Ecuacón de ofera α 3 A pror, se supone que nngún parámero es gual a cero.
En la ecuacón de ofera ambén se cumple la condcón de rango ya que exsen dos deermnanes no nulos de orden : y : Q P Pr R F Ecuacón de demanda α Ecuacón de ofera α 3 En conclusón, la ecuacón de demanda esá exacamene denfcada y que la ecuacón de ofera esá sobredenfcada, resulado ese que ya se nuía en el Eemplo 7.3. 7.5. PROBLEMAS 7.. Consdere el sguene modelo de ofera y demanda de dnero en desvacones respeco a la meda: M Y + R + P + u D 3 M α Y + u M O D M O Dscua la denfcabldad de las ecuacones del modelo. 7.. Esude la denfcabldad del sguene modelo de ecuacones smuláneas: y + α y + x + x u 3 3 3 3 α y + y + x + x u α y + y + x + x u 3 3 3 33 3 3 7.3. Dado el sguene modelo esrucural: y α y + x + u y α y + x + u Se ha esmado la forma reducda, obenendo los sguenes valores:
y 5x + 8x y 6x x A parr de las esmacones obendas, recupere los valores de los parámeros esrucurales. 7.4. En el modelo de gaso públco de Pndyck y Rubnfeld: EP + AID + INC + POP + u AID δ + δ EP + δ PS + v 3 3 4 donde EP es el gaso públco de cada regón, AID las ayudas que recbe del goberno cenral, INC los ngresos rbuaros de las regones, POP la poblacón y PS la poblacón en edad escolar. En prncpo INC, POP y PS se consderan exógenas. Debdo a la posbldad de que exsera smulanedad enre EP y AID, se efecúa una regresón de AID sobre INC, POP y PS, sendo ŵ los érmnos de error calculados en dcha regresón, obenéndose los sguenes resulados (enre paréness se presena la desvacón ípca de cada parámero esmado): EP 89.4+ 4.5AID +.3INC.58POP.39wˆ (.44) (.89) (.5) (.) (.93) Para una muesra de amaño N5 y al 95% de confanza, sería válda la esmacón de la prmera ecuacón por MCO? Y para un nvel de confanza del 9%? SOLUCIONES 7.. La ecuacón de demanda esá subdenfcada y la ecuacón de ofera esá sobredenfcada. 7.. Las res ecuacones esán exacamene denfcadas. α 4; α 6 ; 9; 4 5 5 7.3. 7.4. La esmacón es válda al 95% de confanza pero no al 9%, ya que en ese caso el coefcene asocado a ŵ sería sgnfcavo.
8. MÉTODOS DE ESTIMACIÓN DE MODELOS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS 8.. INTRODUCCIÓN Como acabamos de ver en el capíulo aneror, la esmacón de la forma esrucural de modelos de ecuacones smuláneas ulzando el méodo de Mínmos Cuadrados Ordnaros presena mporanes problemas ya que los esmadores son nconssenes. Por ello, en ese capíulo vamos a ver dferenes méodos de esmacón medane los que sí es posble obener esmacones conssenes de los parámeros del modelo. 8.. MÍNIMOS CUADRADOS INDIRECTOS (MCI) Ese méodo resula váldo úncamene para la esmacón de modelos de ecuacones exacamene denfcados y perme esmar los coefcenes de la forma esrucural a parr de las esmacones MCO de los parámeros de la forma reducda del modelo. Sea el sguene modelo de ecuacones smulaneas: α Y +α Y + +α ny n + + + + m m u α Y +α Y + +α ny n + + + + m m u... α ny +α ny + +α nny n + n + n + + nm m u n. O ben, expresándolo en érmnos marcales: Γ Y + B U Lo que equvale a: Y Γ ' + B' U
La esmacón por MCI se puede esquemazar en res pasos:. Se obenen las ecuacones de la forma reducda en forma marcal: Y B' ( Γ' ) + U ( Γ' ) Π' + V. Las ecuacones en forma reducda se esman ndvdualmene por MCO, obenéndose el esmador MCO del vecor de parámeros de la forma reducda, ˆΠ : Π ' ( ' ) ' Y ˆ 3. A parr de las esmacones obendas de los coefcenes de las ecuacones en forma reducda se obenen los parámeros esrucurales, medane la sguene relacón: ˆ Π' B '( Γ') (8.) V U ( Γ' ) S odas las ecuacones de la forma esrucural del modelo esán exacamene denfcadas, aplcando ese méodo se obene una únca solucón a la hora de recuperar los parámeros esrucurales a parr de los coefcenes esmados de la forma reducda del modelo; por el conraro, s alguna de las ecuacones del modelo esuvera sobredenfcada obendríamos más de una solucón para uno o más parámeros. Por eemplo, supongamos el sguene ssema de ecuacones exacamene denfcado: α Y +α Y + + 3 3u α Y +α Y + + 3 3u En prmer érmno debemos obener la forma reducda del modelo: Y π + π + π 3 3 +v Y π + π + π 3 3 +v
Ulzando la marz de producos cruzados se obendrían las esmacones MCO de la forma reducda: ˆ π ˆ π ˆ π 3 ˆ π ˆ π ˆ π 3 3 3 3 3 3 Y Y Y 3 Y Y Y 3 Para recuperar los parámeros α y parmos de la expresón (8.) que puede rescrbrse como ΓΠ ˆ B. α α α ˆ π α ˆ π ˆ π ˆ π ˆ π ˆ π 3 3 3 3 obenendo así ses ecuacones a parr de las que se pueden calcular los parámeros α y : α ˆ π + α ˆ π α ˆ π + α ˆ π α ˆ + π 3 α ˆ π 3 3 α ˆ π + α ˆ π α + ˆ π α ˆ π α ˆ π 3 + α ˆ π 3 3 En odo caso, debe subrayarse que es necesaro que odas las ecuacones del modelo esén exacamene denfcadas para poder aplcar Mínmos Cuadrados Indrecos de forma legíma. Asmsmo debe consderarse que los esmadores obendos por MCI son, en general, sesgados a pesar de que los esmadores de la forma reducda sean nsesgados, debdo a que los esmadores MCI son funcones no lneales de las esmacones de la forma reducda del modelo. Sn embargo, los esmadores MCI sí son conssenes al ser una funcón connua del esmador MCO de la forma reducda.
8... Esmacón de curvas de ofera y demanda por MCI Parmos de un modelo de ecuacones smuláneas compueso por una ecuacón de ofera y ora de demanda, cuya solucón perme obener la candad consumda y el preco del ben en equlbro. La expresón funconal de dcho modelo es la sguene: Q α P + Pr + R + u, α < (8.) Q α P + Pr + 3F + u, α > (8.3) Tal y como ya se vo en el capíulo aneror, sus caraceríscas son las sguenes: Posee dos varables endógenas o a explcar: la candad consumda del ben (Q Q o Q d ) y su preco (P ) Presena res varables exógenas o explcavas: el preco de los facores de produccón (F ), el preco de oros benes complemenaros o susuvos (Pr ) y el nvel de rena y rqueza del país o área económca (R ) La ecuacón de demanda ene dos varables endógenas y dos exógenas (Pr y R ). La ecuacón de ofera ene dos varables endógenas (Q y P ) y dos exógenas (F y P ) La ecuacón de demanda excluye una varable (F ), y dado que el número de varables excludas es gual al número de relacones menos uno ( ), esá exacamene denfcada según la condcón de orden. La ecuacón de ofera ambén esá exacamene denfcada ya que ambén excluye una sola varable (R ). Asmsmo, ambas cumplen la condcón de rango al ener por lo menos un deermnane dferene de cero, de orden ( ) x ( ), formado a parr de los coefcenes de las varables (endógenas y predeermnadas) excludas de la ecuacón parcular, pero ncludas en las oras ecuacones del modelo. En consecuenca ese modelo de ecuacones smuláneas es un ssema exacamene denfcado y las dos ecuacones pueden esmarse por MCI.
La de forma reducda del modelo será: Q π Pr +π R +π 3F (8.4) P π Pr +π R +π 3F (8.5) Para esmar dcho modelo en forma reducda se ulzan los daos del Eemplo 7.. En la sguene abla se presena la marz de producos cruzados que corresponde a dchos daos: Tm sacrfcadas de carne de porcno (mles) (Q ) Tm sacrfcadas de carne de porcno (mles) (Q ) Preco carne de porcno (P ) Preco relavo de la carne de aves frene a la carne de porcno (Pr ) Preco relavo de los pensos frene a la carne de porcno (F ) Rena "per capa" (R ) 5667776 334 38 93 978 Preco carne de porcno (P ).7 9.34 8. 7.94 Preco relavo de la carne de aves frene a la carne de porcno (Pr ) 8.6 6.9 6.6 Preco relavo de los pensos frene a la carne de porcno (F ) 5.8 5.6 Rena "per capa" (R ) 5.83 Dchos producos cruzados se han obendo de la sguene forma: 8 8 8 8 8 Q QP Q QF QR 5667776, 334, Pr 38, 93, 978 8 8 8 8 P P PF PR.7 Pr 9.34 8. 7.94 8 8 8 F R Pr 8.6, Pr 6.9, Pr 6.6 8 8 8 F F R R 5.8, 5.6, 5.83
La esmacón MCO de las ecuacones de la forma reducda del modelo es: ˆ π ˆ π 8.6 6.9 6.6 38 9.34 ˆ π ˆ π 6.9 5.8 5.6 93 8. ˆ π ˆ 3 π 3 6.6 5.6 5.83 978 7.95 5.7.9 3.54 38 9.34 33.96.56.9 8.8 7. 93 8. 68.4.6 3.54 7. 3.38 978 7.95 998.8.83 Para recuperar los parámeros de la forma esrucural a parr de las esmacones MCO de la forma reducda, hay que resolver el sguene ssema: α α α α 3 π π π3 α α α α α α π π π 3 3 α α α α α α α α α α α α B 3 α α α α Π ˆ ' Γ Es decr: α α α α 3 33.96 68.4 998.8 α α α α α α.56.6.83 3 α α α α α α Los parámeros α y α se obenen de forma nmedaa: 998.8 α 36.7.83 68.4 α 583.4.6 sendo α α 38.85.
La recuperacón de los parámeros y 3 resula nmedaa a parr de los resulados anerores: (.6 38.85) 3.58 3.83 38.85 53.95 Por su pare, la esmacón de y se obene resolvendo el sguene ssema de ecuacones: 33.96 38.85 583.4 + 36.7.56 38.85 + cuya solucón es 5669.9 y 944.9 8... Esmacón de Haavelmo de la propensón margnal al consumo por MCI Veamos cómo se calcularía la propensón margnal al consumo en el conexo del modelo macroeconómco keynesano. Dcho modelo, en su versón más senclla vene dado por el sguene ssema de ecuacones: C +α Y +u Y C + I donde C es el consumo, I es la nversón e Y la rena naconal. Expresando el modelo en érmnos marcales queda que:
C α u + Y I Sendo su forma reducda: C π +π I Y π +π I Tenendo en cuena que: α α α α α α Enonces: α π π α α π π α α Lo que da lugar al sguene ssema de ecuacones: π α π π π α α α α Por lo que la propensón margnal al consumo puede calcularse a parr de la sguene relacón:
ˆ π ˆ α ˆ π Ulzando ese modelo, vamos a esmar la propensón margnal al consumo en España. Para ello ulzaremos las seres de la Conabldad Naconal Trmesral Española relavas a Consumo Naconal, Formacón Brua de Capal y Demanda Inerna para el perodo 97-998, cuya marz de producos cruzados en mles de mllones de euros se presena en la sguene abla: Demanda Inerna Consumo Naconal Formacón Brua de Capal Demanda Inerna (Y ) 848 6546 934 Consumo Naconal(C ) 555 49 Formacón Brua de Capal (I ) 444 Asmsmo, las sumas oales en mles de mllones de euros de cada varable son: Y 967 C 747 I La esmacón MCO del modelo en forma reducda es: ˆ π ˆ π ˆ π ˆ π n Y Y Y Y ˆ π ˆ π 6 967 747.76.893 ˆ π ˆ π 444 934 49 3.9944.94 Que daría lugar a la sguene esmacón de la propensón margnal a consumr:.94 ˆ α.789 3.9944
8.3. VARIABLES INSTRUMENTALES (VI) Como ya sabemos, la ulzacón de MCO para esmar modelos de ecuacones smulaneas proporcona esmadores sesgados e nconssenes, ya que en ese po de ecuacones exse correlacón enre los regresores o varables exógenas y las perurbacones. Así, por eemplo, parendo de la prmera ecuacón del modelo general de ecuacones smulaneas: α Y +α Y + +α ny n + + + + m m u,,t Y dvdendo odos los érmnos de la ecuacón por α, obenemos: Y +γ Y + γ ny n + δ + δ + +δ m m v,,t (8.6) Donde : γ α α,..,n, δ α u,..,m, y v,,t α Podemos poner la ecuacón (8.6) en forma marcal: γ Y Y.. Yn... m v Y Y.. Yn.. m γ n v.......... δ +........... δ. Y T YT.. YnT T T.. mt. v T δ m O ambén: γ δ [ y ] [ Y ] + [ ] v (8.7) El esmador MCO de (8.7) será:
ˆ γ Y ˆ δ [ Y ] [ y ] Y Operando, enemos que: ˆ γ Y ˆ δ Y γ δ [ ] Y [ Y ] + [ ] Y Y γ Y Y v [ Y ] [ Y ] + [ Y ] δ v γ Y δ [ Y ] + Yv v v Dado que Y y v esán correlaconados, al omar esperanzas resula que: ˆ γ γ + Y E ˆ E δ δ Y v v γ δ [ Y ] En defnva, la correlacón que exse enre las marces Y y v es la que provoca que la esmacón MCO de la ecuacón (8.6) proporcone esmadores que no sasfagan las propedades de conssenca e nsesgadez. Dado que los problemas de esmacón venen dados por la correlacón exsene enre las marces Y y v, para elmnar dchos problemas es necesaro dsponer de ora marz, Z *, denomnada marz de varables nsrumenales, que deberá nclur como mínmo anas varables como columnas enga la marz Y y cumplr dos condcones: Las varables que conene esa nueva marz deben esar correlaconadas con las varables ncludas en Y. La correlacón enre las varables que aparecen en Z * y v ha de ser nula.
Tal y como vmos en el capíulo 4, en los modelos unecuaconales las varables nsrumenales son varables aenas al modelo, alamene correlaconadas con la varable que susuyen como explcava e ndependenes a su vez de la perurbacón aleaora. En el caso de los modelos de ecuacones smulaneas, cabe la posbldad de selecconar varables nsrumenales de enre las varables exógenas y predeermnadas que no han sdo ncludas en la ecuacón que se esma. Asmsmo, hay que ener presene que el número de varables nsrumenales no debe ser menor que el número de varables endógenas que aparecen como explcavas. Veamos a connuacón cómo esmar una ecuacón por varables nsrumenales. Sea una marz de varables nsrumenales Z * de la forma: Z * * * Y.. Yn.. m * * Y.. Yn.. m.................. * * YT.. YnT T T.. mt donde los nsrumenos * Y esán correlaconados con Y pero no con el érmno de error v. Expresando la marz de varables nsrumenales en érmnos marcales: Z * * [ Y ] y premulplcando la expresón (8.7) por Z * se obene: Y Y γ Y δ * * * [ y ] [ Y ] + [ v ] De donde se obene el Esmador de Varables Insrumenales (VI): * ˆ γ Y ˆ δ [ Y ] [ y ] * Y
S denomnamos Z [ Y ], enemos enonces que: ˆ γ ( ' ) ˆ δ B Z * Z Z * ' y La marz Z * de nsrumenos deberá cumplr las sguenes propedades asnócas: Z * ' Z p lm Z *' Z T correlacón enre las endógenas y sus nsrumenos. es una marz no sngular que ndca la exsenca de * Z * ' Z p lm * Z *' Z* T es una marz smérca defnda posva * Z ' v p lm que expresa la ausenca de correlacón enre los T nsrumenos y el érmno de perurbacón. S se verfcan esas condcones, enonces el esmador VI es conssene (aunque no es nsesgado), sendo su marz de varanzas y covaranzas: ( ) ( ) ( ) * * * * v cov( B) ˆ σ Z ' Z Z ' Z Z ' Z ' ( y ZB)'( y ZB) Sendo ˆv σ T k
No obsane hay que ener presene la ndeermnacón que la esmacón VI provoca en modelos smuláneos con ecuacones sobredenfcadas. Por eemplo, consderemos el sguene modelo en el que la prmera ecuacón esá sobredenfcada: Y +α Y + u α Y +Y + + 3 3 u Para esmar la prmera ecuacón por VI podemos ulzar como nsrumeno de Y las varables exógenas ó 3, de al forma que Z * puede ser: Z 3 * * 3 a Z b M M M M T T 3T T Por lo que las esmacones VI obendas ulzando la marz * Z a y * Z b serán dferenes. 8.3.. Esmacón una funcón keynesana de consumo por VI Se pare de nuevo del modelo macroeconómco Keynesano de la rena de equlbro: C α+y Y C + I donde C es el consumo, I es la nversón e Y la rena naconal. Se ulza I como nsrumeno en la esmacón de C, de forma que las marces de varables endógenas, exógenas e nsrumenos serán:
... *.. T T T C C y C Y Y Z Y I I Z I Con las que calculamos: * * * * ' ' ' T T T T T T T T T Y Z Z I I Y C Z y I C T I Z Z I I Con los daos de las seres de la Conabldad Naconal Trmesral Española ulzados en el eemplo aneror, la esmacón de los coefcenes por VI es: 6 967 747.3636 934 49.789 B De forma que la esmacón VI de la funcón de consumo resula ser: C.3636 +.789Y S la suma resdual del modelo es 3.7, enemos que la varanza del error de esmacón es:
( y ZB)' ( y ZB) 3.7 σ v.8 T k 6 Con lo que la marz de varanzas y covaranzas de los esmadores es: * * * * ' 6 967 6 6 967 ˆ ( ' ) ( ' ) ( ' ).8 934 444 934 σ v Z Z Z Z Z Z.856.99.8.58.3 Para conrasar s la propensón margnal al consumo es sgnfcavamene dsna de cero, necesamos su desvacón ípca al que: DesvTp( ˆ ).8.3.9 Dado que la desvacón ípca es σ.9, el esadísco es: ˆ.789 79.3 σ.9 Valor sensblemene superor a.645, valor abulado para una dsrbucón de Suden con 4 grados de lberad al 95% de confanza. Resulado que confrma que el parámero ˆ es sgnfcavamene dsno de cero, por ser mayor que el valor de eórco de una de Suden ( co.98) con grados de lberad con un nvel de confanza del 95%. A su vez la varanza del parámero α es: Var( ˆ α ).8.798.53 Al ser la desvacón ípca σ α.7 ; el esadísco es, por ano: ˆ α.6 3.6 σ.7 por lo que ˆα resula ambén esadíscamene sgnfcavo. α
8.4. MÍNIMOS CUADRADOS EN DOS ETAPAS (MCE) El méodo denomnado Mínmos Cuadrados en Eapas (MCE), al gual que los méodos de Mínmos Cuadrados Indrecos y Varables Insrumenales, nena dar una solucón al problema de la nconssenca de los esmadores MCO en los ssemas de ecuacones smuláneas. Sn embargo, ese méodo presena la venaa adconal de que puede ulzarse ano en ecuacones exacamene denfcadas como sobredenfcadas. En parcular, en el caso de las ecuacones sobredenfcadas, la aplcacón del méodo MCE ofrece un únco valor para cada parámero, que puede consderarse una combnacón lneal de los dversos esmadores que se obendrían aplcando MCI. Por su pare, s se ulza MCE en ecuacones exacamene denfcadas se obene la msma esmacón que con los méodos MCI y VI. El méodo MCE, como su propo nombre ndca, consa de dos eapas: En una prmera eapa, para elmnar la correlacón exsene enre la(s) varable(s) endógena(s) y el érmno de error, se realza la regresón de la(s) varable(s) endógena(s) sobre odas las varables predeermnadas del modelo. Poserormene, en una segunda eapa las regresones efecuadas en la prmera eapa se ulzan para susur las varables endógenas de la ecuacón ncal por los valores esmados en la prmera eapa. Segudamene se esma la relacón orgnal con los nuevos valores. Por eemplo, s parmos de un modelo de ecuacones smuláneas con dos varables endógenas Y, Y, y cuaro varables exógenas,, 3, 4, la esmacón por MCE de la sguene ecuacón del modelo: Y α Y + + 3 3 + 4 4 + u Requere en la prmera eapa esmar: Y π +π +π +π 3 3+π 3 3+v
De al forma que: ˆ + Y Y v En la segunda eapa se reemplaza Y por los valores esmados en la eapa aneror ahora la ecuacón orgnal como: Yˆ, quedando α ˆ Y ( Y + v ) + + 3 3 + 4 4 + u α ˆ α + Y Y + + 3 3 + 4 4 + v u Y α Yˆ + + + + u 3 3 4 4 * La esmacón de esa ecuacón nos asegura la conssenca de las esmacones MCO, al no esar correlaconada Yˆ con Y y a la vez sí esar muy correlaconada con 3 y 4. El méodo MCE puede ambén resolverse de forma marcal: supongamos que la relacón - ésma del modelo es: y Y α + +u donde y es el vecor de la varable endógena, Y es la marz de las varables endógenas predeermnadas y es la marz de las varables exógenas de la ecuacón. Enonces los esmadores MCE del modelo se obenen resolvendo: α$ $ Y$ ' Y$ Y$ ' ' Y$ ' Y$ ' ' y y (8.8) sendo: $ Y ( ' ) ' Y ˆ ' ˆ ' ( ' ) ' Y Y Y Y ˆ ' ' ( ' ) ' Y y Y y Yˆ ' Y '
Donde es la marz de odas las varables exógenas del modelo. Así, por eemplo en la esmacón MCE del modelo: y α y + x +u y α y + x + 3x 3+u Hay que esmar la prmera relacón del modelo, enendo presene que y y, Y y y x [ 3] Y' y x y x y x ' ' x ' y x y x x x x x 3 x x x xx3 x x x x x 3 3 3 Para esmar la segunda ecuacón del modelo hay que ener presene que y y, Y y y [ ] x x 3 Y ' y x y x y x ' ' y 3 x xx 3 xx3 x3 x y x3y Los errores asocados a los coefcenes se calculan a ravés de la formulacón asnóca de la marz de covaranzas para muesras fnas, es decr: ˆ Y '( ' ) ' Y Y ' ˆ σ ˆ ' Y ' α Var (8.9)
sendo: ˆ σ ' ( y ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ α Y y α Y ) T k es decr, la suma resdual del modelo dvdda por los grados de lberad de la ecuacón que se esma (número de observacones menos número de parámeros que se esman). 8.4.. Esmacón de un modelo de gasos e ngresos por MCE Supongamos que una empresa preende conocer la evolucón de sus ngresos (ING), enendo en cuena los gasos de exploacón (GAS), el capal nverdo (SK), el número de rabaadores (L) y un índce de acvdad económca (ACT). Para ello, planea el sguene modelo de ecuacones smuláneas expresado en desvacones con respeco a la meda: ING a GAS + a SK +a 3L + u GAS b ING + b ACT + v Para esmar el modelo la empresa dspone de la sguene marz de sumas de producos cruzados de las varables del modelo: ING GAS SK L ACT ING.5-5.63 -.5.5-5.63 GAS -5.63 9. -5.63.5-4.5 SK -.5-5.63.5 5. 7. L.5.5 5..5. ACT -5.63-4.5 7...5 Aplcando las condcones de orden y rango enemos que: Condcón de Orden ª ecuacón Varables excludas Ecuacón Exacamene Idenfcada ª ecuacón Varables excludas > Ecuacón Sobredenfcada
Condcón de Rango ING GAS SK L ACT ª Ecuacón a a a 3 ª Ecuacón b b ª ecuacón Rang[b ] Ec. Idenfcada ª ecuacón Rang[a ] Rang[a 3] Ec. Idenfcada La presenca de una ecuacón sobredenfcada provoca que los méodos MCI y VI no sean váldos para esmar el modelo compleo por lo que debemos recurrr al méodo de Mínmos Cuadrados en Eapas, obenendo esmacones conssenes y úncas para cada parámero. ª Ecuacón En la prmera eapa debemos elmnar la correlacón exsene enre la varable GAS y el érmno de error regresando dcha varable sobre odas las varables predeermnadas del modelo. Es decr, debemos esmar por MCO la relacón: GAS π SK + π L + π ACT + e 3 Cuya esmacón resula ser: ˆ π.5 5. 7. 5.63.7 ˆ π ( ' ) ' Y 5..5..5.33 ˆ π 7...5 4.5.74 3 Por lo que la relacón esmada es: GAS.7SK +.33L +.74ACT + e En la segunda eapa de la esmacón por MCE debemos rasladar el resulado de la esmacón en la prmera eapa de GAS, susuyéndola en la ecuacón que deseamos esmar por el valor orgnal de dcha varable; es decr: ING a GAS + a SK + a L + u 3
La esmacón MCO de dcha ecuacón es: GAS GAS SK GAS L a GAS ING a ( ' ) ' Y SKGAS SK SKL SKING a 3 L L GAS L SK L ING Anes de proceder a operar con las marces anerores, debemos obener los producos cruzados relaconados con la varable GAS al que: GAS (.7SK +.33L +.74ACT ) (.7) SK + (.33) L + (.74) ACT.7.33 SK L.7.74 SK ACT +.33.74 L ACT 33.67 SK GAS SK SKGAS (.7.33.74) L SK ACT SK.5 (.7.33.74) 5. 5.63 7. SK L GAS L L GAS (.7.33.74) L ACT L 5. (.7.33.74).5.5. SK ING GAS ING (.7.33.74) L ING ACT ING.5 (.7.33.74).5 39.69 5.63 Susuyendo los valores enemos que:
a 33.67 5.63.5 39.69 6.9 a 5.63.5 5.5 4.78 a 3.5 5.5.5 6.5 Alernavamene podemos esmar la ecuacón aplcando la forma marcal del esmador; así, denomnando y ING, Y GAS y [SK L ] enemos que: Y ' GASSK GASL GAS ACT ' ' y SK SKL SKL L SK ING L ING Por ano: ˆ ' ˆ ' ( ' ) ' Y Y Y Y ' SKGAS SK SKL SK ACT SKGAS LGAS SKL L L ACT LGAS 33.67 ACT GAS SK ACT L ACT ACT ACT GAS ˆ SK ' GAS 5.63 Y Y ' LGAS.5 ' SK SKL.5 5. SKL L 5..5 ˆ ' ' ( ' ) ' Y y Y y ' SKGAS SK SKL SK ACT SKING LGAS SKL L L ACT L ING 39.69 ACT GAS SK ACT L ACT ACT ACT ING SK ' ING.5 y L ING.5
Susuyendo los valores en la expresón marcal del esmador enemos que: a ˆ ˆ ˆ 33.67 5.63.5 39.69 6.9 ' ' ˆ Y Y Y Y ' y a 5.63.5 5..5 4.78 ' ˆ ' ' Y y a 3.5 5..5.5 6.5 ª Ecuacón En la prmera eapa debemos elmnar la correlacón exsene enre ING y el érmno de error regresando dcha varable sobre odas las varables predeermnadas del modelo. Es decr, debemos esmar por MCO la relacón: ING π SK + π L + π ACT + e 3 Cuya esmacón resula ser: ˆ π.5 5. 7..5.87 ˆ π ( ' ) ' Y 5..5..5.38 ˆ π 7...5 5.63.4 3 Por lo que la relacón esmada es: ING.87SK +.38L +.4ACT + e En la segunda eapa de la esmacón por MCE debemos rasladar el resulado de la esmacón en la prmera eapa de ING, susuyéndola en la ecuacón que deseamos esmar por el valor orgnal de dcha varable; es decr: GAS b ING + b ACT + v La esmacón MCO de dcha ecuacón es: b ING ING ACT INGGAS ( ' ) ' Y b ACT ACT GAS ING ACT
Anes de proceder a operar con las marces anerores, debemos obener los producos cruzados relaconados con la varable ING al que: ING (.87SK +.38L +.4ACT ) (.87) SK + (.38) L + (.4) ACT.87.38 SK L.87.4 SK ACT +.38.4 L ACT 49.76 SK ACT ING ACT ACT ING (.87.38.4) L ACT ACT 7. (.87.38.4). 5.63.5 SK GAS ING GAS (.87.38.4) LGAS ACT GAS 5.63 (.87.38.4).5 39.69 4.5 Susuyendo los valores enemos que: b 49.76 5.63 39.69.7975 b 5.63.5 4.5. Tambén podemos esmar la ecuacón aplcando la forma marcal del esmador; así, denomnando y GAS, Y ING y [ACT ] enemos que: Y ' INGSK ING L ING ACT ' ACT ' y ACT GAS
Por ano: ˆ ' ˆ ' ( ' ) ' Y Y Y Y ' SKING SK SKL SK ACT SKING L ING SKL L L ACT L ING 49.76 ACT ING SK ACT L ACT ACT ACT ING ( ) ( ) ˆ ' ' 5.63 Y Y ACT ING ACT.5 ' ˆ ' ' ( ' ) ' Y y Y y ' SKING SK SKL SK ACT SKGAS L ING SKL L L ACT LGAS 39.69 ACT ING SK ACT L ACT ACT ACT GAS y ACT GAS 4.5 ' Susuyendo los valores en la expresón marcal del esmador enemos que: ˆ ˆ ˆ b ' ' ˆ Y Y Y Y ' y 49.76 5.63 39.69.7975 b ˆ ' ' ' y 5.63.5 4.5. Y 8.5. MODELOS RECURSIVOS En el epígrafe 8.. se ha mosrado como los esmadores MCO producen esmadores sesgados e nconssenes en los modelos de ecuacones smulaneas, debdo a la relacón enre la perurbacón aleaora y las varables explcavas endógenas. En ese aparado vamos a analzar un caso especal de los modelos de ecuacones smuláneas en el que MCO sí proporcona esmadores nsesgados y efcenes: se raa de los modelos recursvos. Esos modelos deben sasfacer una sere de resrccones: La marz de coefcenes de las varables endógenas del ssema, Γ, debe ser rangular.
Así, en el sguene modelo de ecuacones smulaneas: α Y + + + + m m u α Y +α Y + + + + m m u. α 3Y +α 3Y +α 33Y + 3 + 3 + + 3m m u... α ny +α ny + +α nny n + n + n + + nm m u n. Se observa que la rangulardad exse, ya que la marz Γ ene la sguene forma: α α Γ α. α n 3 α α α 3. n α α 33. n3............... α nn Las perurbacones o érmnos de error de cada una de las ecuacones del ssema no esán correlaconadas con las varables endógenas que aparecen como explcavas en dcha ecuacón; ampoco lo esán con las perurbacones de oras ecuacones n en el msmo perodo de empo (correlacón conemporánea) n en perodos de empo dsnos. Esa propedad mplca que la marz de covaranzas de las perurbacones aleaoras debe ser dagonal, al que: σ. σ. σ 3................ σ n Para denfcar un modelo recursvo hay que realzar una ordenacón preva de las ecuacones, de manera que la prmera ecuacón enga sólo una varable endógena; la segunda ecuacón deberá
ener dos varables endógenas, sendo una de ellas la endógena de la ecuacón aneror; la ercera ecuacón endrá sólo res varables endógenas, pero dos de ellas deberán ser las de las ecuacones anerores, y así sucesvamene hasa llegar a la úlma ecuacón. La esmacón de los modelos recursvos no planea especales problemas, ya que la segunda condcón de recursvdad garanza que las varables explcavas de cada ecuacón esarán ncorrelaconadas con el érmno de error de esa msma ecuacón, lo que perme esmar el modelo aplcando MCO a cada ecuacón. La reordenacón de ecuacones deermna que la prmera ecuacón enga una varable endógena (y nnguna varable endógena acuando como predeermnada), el conuno de varables exógenas y la perurbacón aleaora. Como las varables exógenas no esán correlaconadas con el érmno de error se puede aplcar MCO, obenéndose esmadores nsesgados y conssenes. En la segunda ecuacón y poserores las varables endógenas de las ecuacones prevas enen la consderacón de varables predeermnadas, por lo que se da una complea ndependenca enre los regresores y las perurbacones, permendo la adecuada esmacón de cada ecuacón por MCO sn problemas de nconssenca e nsesgadez. La nauraleza de los modelos recursvos deermna que en ésos no exsa el problema de ener que denfcar cada una de sus ecuacones, es decr, una vez denfcado el modelo como recursvo se procede a esmar ecuacón por ecuacón sn ener que realzar la denfcacón ndvdual de las ecuacones del modelo. 8.5.. Esmacón de un Modelo Recursvo de Deermnacón de Precos y Salaros Sea el sguene modelo de deermnacón de precos y salaros: P b +b W -+b L +u W b +b U +b P +u Donde P es el ncremeno anual de precos, W la asa de cambo de los salaros por ocupado, L la asa de varacón de la producvdad laboral y U la asa de desempleo.
El modelo es recursvo, ya que la marz Γ b es rangular. Asumendo que Cov(u,u ), puede esmarse el modelo aplcando MCO ecuacón por ecuacón. Para ello, se ulzan los sguenes daos relavos a la economía española para el perodo 98-:
Perodo % Var. Deflacor PIB (P ) % Var. Salaros Medos por Ocupado (W ) % Var. Anual Producvdad (L ) Tasa de Paro (U ) Perodo % Var. Deflacor PIB (P ) % Var. Salaros Medos por Ocupado (W ) % Var. Anual Producvdad (L ) Tasa de Paro (U ) 98 4.4% 8.%.64% 3.38% 993 7.9%.46%.93% 6.33% 98 3.49% 5.5%.67% 3.64% 994 5.5% 7.86% 3.5% 6.93% 983 3.49%.56%.9% 4.% 99 4.47%.89%.5% 7.4% 984 3.%.6%.87% 4.99% 99 4.35%.3%.5% 7.7% 98 3.%.87% 3.48% 5.5% 993 4.38% 4.9%.39% 8.7% 98.4% 6.35%.4% 5.33% 994 4.9% 4.5%.54%.3% 983.7% 3.99%.77% 5.93% 993 3.98% 3.93% 4.7%.69% 984.88%.68%.6% 6.6% 993 4.3% 4.34% 3.88%.7% 983.98% 5.9% 4.49% 7.8% 9933 3.9%.7%.%.87% 983.47%.5% 5.% 6.88% 9934 3.64% 3.74%.7% 3.83% 9833.8% 9.78% 5.36% 7.8% 994 5.%.9%.76% 4.55% 9834.7% 6.55% 5.54% 7.97% 994 5.3% 4.3%.3% 4.% 984 9.3% 8.3% 3.57% 9.6% 9943 4.8% 3.46% -.33% 3.8% 984 8.% 9.5% 3.56% 9.67% 9944 4.63% 4.%.% 3.9% 9843 8.73%.5%.58% 9.97% 996 3.77% 3.88%.44% 3.49% 9844 8.44% 8.7%.76%.8% 996 3.46% 4.73%.45%.7% 985.87%.4%.89%.5% 9963 3.5% 5.3%.4%.65% 985.8%.49%.33%.53% 9964 3.35% 4.8% -.9%.76% 9853.9% 8.4% -.56%.3% 997.98%.8% -.%.9% 9854.9% 8.8% -.%.48% 997.88%.8% -.7%.6% 986 6.% 8.7% -.3%.65% 9973.9%.% -.3%.8% 986 6.5% 6.77% -.8%.% 9974.4% 3.3%.55%.73% 9863 5.95% 7.%.34%.59% 998.78% 4.9%.55%.46% 9864 5.5% 6.37%.69%.64% 998.84% 3.4%.6%.88% 987 6.% 8.6%.8%.% 9983.7%.%.6%.46% 987 6.% 9.64%.4%.% 9984.4%.74% -.5%.% 9873 5.9% 6.45%.% 9.93% 999.6%.8% -.96% 9.5% 9874 5.8% 5.88% -.5% 9.75% 999.53%.75% -.6% 8.83% 988 6.9% 6.9% -.9% 9.99% 9993.9%.49% -.5% 8.4% 988 6.74% 6.56% -.5% 9.6% 9994.88% 3.4%.5% 8.9% 9883 7.4% 7.63% -.68% 9.4% 3.5% 4.3%.5% 6.89% 9884 6.8% 8.8% -.68% 8.3% 3.3% 3.89%.53% 5.49% 989 7.5%.6% -.79% 8.6% 3 3.6% 3.5% -.7% 5.9% 989 7.4%.% -.8% 7.6% 4 3.85% 3.54% -.% 5.3% 9893 7.33%.47% -.% 6.56% 3.89% 3.8% -.35% 4.89% 9894 7.35% 9.5%.54% 6.88% 4.6% 4.% -.4% 3.83% 99 6.9% 9.73%.5% 6.76% 3 4.8% 4.68%.8% 3.57% 99 6.54%.3%.5% 6.5% 4 4.6% 4.33%.5% 3.44% 993 7.4%.3%.84% 5.85% 3.96% 3.96% -.%.87% 994 7.9%.4% -.5% 6.9% 4.% 3.8% -.7%.35% 99 7.56% 3.34% 3.89% 6.% 3 4.63% 3.8% -.9%.5% 99 7.34% 3.53%.54% 5.88% 4 4.74% 4.3%.46%.5% Fuene: Elaboracón propa a parr de daos del INE.
La esmacón de la ecuacón de precos por MCO es: Esadíscas de la regresón Coefcene de correlacón múlple.84337 Coefcene de deermnacón R.77483 R ausado.74567 Error ípco.76477 Observacones 83 Coefcenes Error ípco Esadísco Consane.7847.48 3.4446 Crecmeno de los salaros medos por ocupado del.6887367.54869.7978 rmesre aneror Crecmeno anual de la producvdad.8545.484988.644989 En consecuenca, la funcón de precos de la economía española es la sguene: P.7+.6887W -+.854L +u Por su pare, la esmacón de la ecuacón de salaros ofrece los sguenes resulados: Esadíscas de la regresón Coefcene de correlacón múlple.865846 Coefcene de deermnacón R.749639 R ausado.7433545 Error ípco.54 Observacones 83 Coefcenes Error ípco Esadísco Térmno consane.36637.55487.4334844 Crecmeno del deflacor PIB.4344.77996 4.74 Tasa de desempleo -.58.69398 -.658469 La funcón de salaros de la economía española quedaría como sgue: W.366.5U +.4P +u En la que se puede aprecar como el aumeno de la asa de paro desacelera el crecmeno de los salaros en España.
8.6. EJEMPLO PRÁCTICO: ESTIMACIÓN DE UN MODELO EACTAMENTE IDENTIFICADO POR MCI, VI Y MCE A connuacón se presena un eemplo en el que se aplcan odos los méodos de esmacón presenados a lo largo del capíulo. Para ello, reomamos el ya conocdo modelo de ofera y demanda clásco, en el que se ha omdo la varable F por no ser sgnfcava, al que: Q a P +a R +u P b Q +b Pr +u La marz de sumas de producos cruzados de las varables del modelo es la sguene: Q P R Pr Q 3.5 3 P 3.5 3 R Pr 3 A fn de saber qué méodo de esmacón es el más apropado, procedemos a la denfcacón del modelo aplcando las condcones de orden y rango: Condcón de Orden ª ecuacón Varables excludas Ecuacón Exacamene Idenfcada ª ecuacón Varables excludas Ecuacón Exacamene Idenfcada Condcón de Rango Q P R Pr ª Ecuacón a a ª Ecuacón b b ª ecuacón Rang[b ] Ec. Idenfcada ª ecuacón Rang[a ] Ec. Idenfcada Al esar ambas ecuacones exacamene denfcados podemos aplcar ndsnamene los res méodos descros en el capíulo (MCI, VI, MCE), ya que las esmacones obendas por cualquera de ellos serán guales.
Mínmos Cuadrados Indrecos La forma reducda del modelo es: Q π R + π Pr +e P π R + π Pr +e La esmacón de los parámeros de la forma reducda es: ˆ π π R R RQ RP Π ' π π R Pr Q Pr P Pr Pr Pr 3 A parr de los parámeros de la forma reducda, podemos recuperar los parámeros esrucurales medane la sguene expresón: Por ano: ΓΠ ˆ B a a b 3 b A parr de las marces anerores podemos consrur el sguene ssema de ecuacones: a a 3a b 3 b b Despeando los parámeros del ssema de ecuacones aneror obenemos que: a.33, a.67, b, b Por lo que el modelo esmado es: Q.33P +.67R +u Q P + Pr +u
Varables Insrumenales ª Ecuacón Vamos a ulzar la varable Pr como nsrumeno de P para la esmacón de la prmera ecuacón, por lo que las marces de varables endógenas, exógenas e nsrumenos serán, respecvamene: Q P R Pr R Q P R Pr R y Z Z* M M M M M QT PT RT PrT RT A parr de dchas marces podemos calcular: Pr * P Pr R Pr * Q Z ' Z ' Z y P R R RQ Sendo la esmacón de la prmera ecuacón: a * * 3.33 ( Z ' Z ) Z ' y a.67 ª Ecuacón En ese caso, se ulza R como nsrumeno de Q, sendo las marces de varables endógenas, exógenas e nsrumenos respecvamene: P Q Pr R Pr P Q Pr R Pr y Z Z* M M M M M PT QT PrT RT PrT Con las que podemos obener: R * Q R Pr R * P Z ' Z ' Z y Pr Q Pr Pr P
La esmacón de la segunda ecuacón resula ser: b * * ( Z ' Z ) Z ' y b 3 Mínmos Cuadrados en Eapas ª Ecuacón Dado que ya hemos esmado la forma reducda del modelo al aplcar Mínmos Cuadrados Indrecos, aprovecharemos el resulado obendo en ese aparado ya que en la prmera eapa es necesaro esmar: P π R + π Pr +e La esmacón dó el sguene resulado: P R + 3Pr +e En la segunda eapa debemos calcular: a ˆ ˆ ˆ P PR QP ( ' ) ' Y ˆ a PR Q R R Prevamene debemos obener los producos cruzados asocados a P ˆ : ˆ ( + 3Pr ) +3 Pr + 3 Pr P R R R ˆ R P R ( 3) R Pr R ˆ Q QP ( 3) 4 Pr Q La esmacón de la prmera ecuacón resula ser:
a 4.33 a.67 Tambén podemos esmar la ecuacón aplcando la forma marcal del esmador; así, denomnando y Q, Y P y [R ] enemos que: Y ' R P Pr P ' R ' y RQ Por ano: ˆ ' ˆ ' ( ' ) ' Y Y Y Y ' R P R R Pr R P Pr P R Pr Pr Pr P ( ) ˆ ' ' Y Y PR R ' ˆ ' ' ( ' ) ' Y y Y y ' PR R R Pr QR 4 Pr P R Pr Pr Pr Q y R Q ' Susuyendo los valores en la expresón marcal del esmador enemos que: ˆ ˆ ˆ a ' ' ˆ Y Y Y Y ' y 4.33 a ' Yˆ ' ' y.67
ª Ecuacón Nuevamene ulzamos los resulados obendos al esmar la forma reducda al aplcar MCI, dado que ahora hay que esmar la sguene relacón: Q π R + π Pr +e Recordemos que el resulado que se obuvo fue: Q R + Pr +e En la segunda eapa debemos calcular: b ˆ ˆ Pr ˆ Q Q QP ( ' ) ' Y ˆ b Q Pr Pr Pr P Prevamene debemos obener los producos cruzados asocados a P ˆ : ˆ ( + Pr ) + Pr + Pr Q R R R ˆ R Pr Pr ( ) Q Pr ˆ RP QP ( ) 4 Pr P La esmacón de la segunda ecuacón es: b 4 b 3
Alernavamene podemos esmar la ecuacón aplcando la forma marcal del esmador; así, denomnando y P, Y Q y [Pr ] enemos que: Y ' RQ Pr Q ' Pr ' y Pr P Por ano: ˆ ' ˆ ' ( ' ) ' Y Y Y Y ' RQ R R Pr RQ Pr Q R Pr Pr Pr Q ( ) ˆ ' ' Pr Y Y Q Pr ' ˆ ' ' ( ' ) ' Y y Y y ' RQ R R Pr R P 4 Pr Q R Pr Pr Pr P y Pr P 3 ' Susuyendo los valores en la expresón marcal del esmador enemos que: ˆ ˆ ˆ b ' ' ˆ Y Y Y Y ' y 4 b ' Yˆ ' ' y 3 Como puede comprobarse, las esmacones obendas por los res méodos concden al esar las ecuacones del modelo exacamene denfcadas.
8.7. PROBLEMAS 8.. Dado el sguene modelo expresado en desvacones con respeco a la meda: Y b Y + a + a + u Y b Y + a + v 3 3 Sendo Y, varables endógenas, y varables exógenas, esme los parámeros de la forma reducda del modelo y, a parr de ellos, obenga las expresones para los parámeros de la forma esrucural. Para ello, ulce las sguenes marces produco: 5 ( ' ) ; ( ' Y ) 4 3 8.. Parmos del sguene ssema de ecuacones smuláneas: Y Y + α + α I + α G + u Y Y + α + u Donde Y es la rena naconal (PIB), Y es la ofera moneara, I el gaso en nversón y G el gaso del goberno. Esme conssenemene la segunda ecuacón del modelo a parr de los sguenes daos: Y Y I G Y 38.5 9.73 7.7 5.3 Y 3.9 5.55 4.5 I.33 9.9 G.74 Y,64; Y,5; I,9; G,9; N 9
8.3. Consdere el sguene ssema de ecuacones smuláneas: y α y + z + u y α y + z + z + u 3 3 Las varables y e y son endógenas y z, z y z 3 son exógenas. Todas las varables esán en desvacones respeco a la meda y la suma de sus producos cruzados aparece en la sguene marz: y 5 y y z z z 3 y 5 z 4 z 3 5 z 3 5 En base a esa nformacón esme por Mínmos Cuadrados en dos Eapas la prmera ecuacón y esme por Mínmos Cuadrados Indrecos la segunda ecuacón. 8.4. Consdere el sguene ssema de ecuacones smuláneas: Y a + a + u Y b Y + a + v Sendo Y varables endógenas y varables exógenas, ambas expresadas en desvacones respeco a sus medas. Para ello ulce la sguene marz de sumas de producos cruzados: Y Y x Y 3 47 5 5 Y 7 68 3
SOLUCIONES b / 3; a / 6 ; a 4 / 3 ; b presena dos solucones, al gual que a 8.. 3 8.. Y.867Y.5 + u y.5y +.5 z + u ; y z + u 8.3. 3 Y.34 +.68 + u ; Y.3738Y +.56 + v 8.4.
9. MÉTODOS DE ESTIMACIÓN NO LINEALES 9.. INTRODUCCIÓN La eoría económca propone modelos de relacón enre varables económcas, pero generalmene dea ndeermnada la forma funconal de dchas relacones, por lo que en ocasones dchas relacones pueden ser de po no lneal. La cuanfcacón de dchas relacones exge un raameno dsno al del caso lneal, ulzando écncas de esmacón que generalmene mplcan un mayor cose compuaconal pero que a cambo ofrecen un meor ause. Por ello, en el presene capíulo se abordan algunas solucones de cálculo para cuanfcar ese po de relacones, las cuales generalmene exgen la ulzacón de algormos de opmzacón numérca en los que, a parr de una expresón general que represena una funcón de pérdda o de gananca, de forma erava se evalúa una funcón obevo, que varará dependendo del procedmeno de esmacón elegdo, para las dsnas combnacones de los valores numércos de los parámeros. El resulado de la esmacón fnal será aquel conuno de valores paramércos que hagan mínma o máxma (según se defna) dcha funcón obevo. Las relaconales no lneales que raaremos no hacen referenca a las varables explcavas sno a los parámeros ncludos en las relacones del modelo, ya que las prmeras pueden elmnarse medane la ransformacón de daos apropada. Por eemplo, s la ecuacón que uvéramos que esmar fuera: x + e + ln( x ) x3 y + ε Basaría con realzar los sguenes cambos de varable para poder esmar la ecuacón medane méodos lneales: z z e x ln( x ) x 3 De al forma que ahora deberíamos esmar:
y + ε + z + z Ecuacón que es compleamene lneal ano en las varables como en los parámeros. Sn embargo, s el modelo fuera de la forma: y x 3 + x + e + ε No sería posble hacer un cambo de varable smlar al que hemos propueso anerormene, por lo que habrá que esmarlo medane procedmenos de po no lneal. 9.. ESTIMACIÓN DE UN MODELO DE MODELOS NO LINEALES POR MINIMOS CUADRADOS ORDINARIOS. Los modelos a esmar no enen porque ser funcones lneales, pero dado que el méodo MCO se aplca exclusvamene a modelos de dependenca lneal, ese méodo podrá ulzarse en odos aquellos modelos que pueden ransformarse en funcones lneales. Son eemplos de funcones no lneales que pueden ransformarse a lneales, las sguenes: a) Funcón Polnómca La funcón polnómca: Y + + +... + k k se ransforma en lneal: Y + + +... + k k Hacendo: b) Funcón Poencal k M k La funcón poencal b Y a se ransforma en lneal omando logarmos al que:
log Y loga + blog y se esma: Y + * * Hacendo: Y * * logy log En consecuenca: b e a y c) Funcón Exponencal La funcón exponencal Y ab se ransforma en lneal omando logarmos al que: log Y log a + logb y se esma: + * Y Hacendo: Y * logy En consecuenca e a y b e d) Funcón Logarímca
La funcón logarímca Y a + blog puede esmarse hacendo * log, aplcando MCO después a la expresón: Y + * En consecuenca a y b 9.3. MÍNIMOS CUADRADOS NO LINEALES El prmer méodo que pasamos a abordar para esmar relacones de po no lneal es el de Mínmos Cuadrados No Lneales, que no es más que una generalzacón del procedmeno del méodo de Mínmos Cuadrados Ordnaros que venmos ulzando a lo largo del lbro. En efeco, la dea de parda del méodo mínmo-cuadráco no exge en nngún momeno la lnealdad del modelo, s ben la resolucón analíca del msmo se complca basane cuando el modelo no es lneal. Consderemos la sguene expresón de un modelo no lneal: Y f (, ) + ε (..) Donde f es una funcón cuya prmera dervada es no lneal en. El méodo de Mínmos Cuadrados No Lneales, al gual que su homólogo lneal, raa de mnmzar el sumaoro de los errores del modelo al cuadrado, es decr: Mn SR( ) T ε T [ Y f ( ; )] (..) Dervando la expresón aneror, obenemos las condcones de prmer y segundo orden, necesaras y sufcenes para la obencón del mínmo: Condcón de º orden SR( ) T f ( ; ) [ Y f ( ; )]
Condcón de º orden T T f f Y f f SR ' ) ; ( )) ; ( ( ' ) ; ( ) ; ( ' ) ( Marz que debe ser defnda posva. Eemplo 9.. Sea el modelo: x e Y ε + + Mnmzamos la expresón del sumaoro de los resduos del modelo al cuadrado al que: [ ] + T x T e Y SR ) ( ) ( Mn ε Dervando la expresón aneror, enemos que: ( ) ( ) T x SR Y e ( ) ( ) T x x SR Y e e ( ) ( ) T x x SR Y e x e
Las ecuacones obendas no poseen una solucón analíca dreca por lo que es necesaro un méodo eravo para obener los valores de los parámeros. Uno de los méodos ulzados para resolver ese po de problemas es el algormo de Newon-Raphson que pasamos a examnar a connuacón. 9.3.. Algormo de Newon-Raphson Supongamos que dsponemos de una esmacón cuyas dervadas son connuas. S consderamos un enorno del puno ˆ del mínmo ˆ de la funcón f ( ; ), ˆ, el valor numérco de f en un puno de dcho enorno puede aproxmarse medane un desarrollo en sere de Taylor de orden al que: f ( ; ) M ( ) f ( ˆ ) + ' [ ˆ ] ˆ ˆ f ( ) ( ) + ( )'[ f ( ˆ )]( ˆ ) Donde ˆ f ( ) y f ( ˆ ) son, respecvamene, el gradene (vecor k x ) y la marz hessana (marz smérca de orden k x k) de la funcón f ( ) evaluados en el puno ˆ. Podemos meorar la esmacón acual, expresón cuadráca aneror al que: ˆ, reemplazándola por aquel vecor que mnmce la M f ( ˆ ) + [ ˆ * f ( )]( ˆ ) De donde obenemos que: [ f ( ˆ )] f ( ˆ ) ˆ * ˆ (.3.) + La expresón (.3) perme aproxmarse al valor desconocdo del vecor de parámeros a parr de un vecor ncal de esmacones ˆ sufcenemene próxmo a él.
Debe observarse que el puno * que escogemos como nueva esmacón mnmza realmene el valor de f en el enorno de ˆ s la marz hessana ) ˆ ( f es defnda posva, lo que esará garanzado s f es convexa en el puno ˆ (es decr, s dcho puno esaba ya lo sufcenemene próxmo a un mínmo local de f). El procedmeno eravo medane el que se susuyen las sucesvas esmacones obendas a ravés de la expresón (.) como puno de parda en la sguene eapa del procedmeno hasa que se sasfagan los creros de convergenca que el nvesgador deermne (por eemplo, que la dferenca enre las esmacones de los parámeros obendos en cada eapa sea nferor a una deermnada candad) es lo que se conoce como algormo de Newon-Raphson. La ulzacón de ese algormo exge que se verfquen dos supuesos: por un lado, deben exsr las dervadas que en él aparecen; asmsmo, el hessano de la funcón debe ser nverble. El algormo de Newon-Raphson perme obener numércamene el esmador mínmocuadráco de un modelo en el que Y es una funcón no lneal de. En al caso, la funcón obevo será la que vmos en (.), es decr: [ ] T f Y SR f ) ; ( ) ( ) ( Se raa de hallar aquel vecor de coefcenes ˆ que mnmza la suma resdual al cuadrado, ( ) SR. Para ello omaremos las expresones del gradene y de la marz hessana que veíamos anerormene: [ ] ) ; ( ) ; ( ) ( T f f Y SR T T f f Y f f SR ' ) ; ( )) ; ( ( ' ) ; ( ) ; ( ' ) (
Y las susuremos en la expresón (.3) que defne las eapas del algormo al que: [ ] + + T T T f f Y f f Y f f ) ; ( ) ; ( ' ) ; ( )) ; ( ( ' ) ; ( ) ; ( ˆ ˆ Una vez se haya logrado la convergenca del algormo, se oma como marz de varanzas y covaranzas del esmador obendo, el produco de la esmacón de ε σ y la nversa de la marz hessana: [ ] ) ˆ ( f σ ε Por lo que la dsrbucón asnóca del vecor de esmadores será: [ ] ) ˆ (, ˆ f N σ ε Eemplo 9.. Veamos cómo se aplcaría algormo de Newon-Raphson al modelo que veíamos en el eemplo. omado en desvacones respeco a la meda. En prmer lugar, para poder rabaar con la expresón (.3) necesamos calcular el gradene y la marz hessana de la funcón obevo al que: [ ] T x e y SR f ) ( ) ( ( )( ) [ ] T x x x e y e e f, ) ( T x x x x x x x y e e x y e e x y e e x e f ) ( ) ( ) ( ) ( Por lo que la expresón para obener las sucesvas eracones del algormo de Newon-Raphson es:
( ) + + x T x x T x x x x x x x e y e e y e e x y e e x y e e x e ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ) ˆ ( ˆ ) ˆ ( ) ˆ ( ˆ ˆ ˆ ˆ 9.4. EL ESTIMADOR DE MÁIMA VEROSIMILITUD S el lecor ene algunos conocmenos de Esadísca Teórca seguramene sabrá que la esmacón por Máxma Verosmlud precsa del esablecmeno de un supueso acerca de la dsrbucón del érmno de error, a parr de la cual consruremos una funcón de verosmlud que deberemos maxmzar. En general, supondremos que el érmno de error del modelo, ε, sgue una dsrbucón Normal con meda y varanza, ε σ ; en ese caso, la funcón de verosmlud muesral será: [ ] [ ] T f Y T T f Y e e L ) ; ( ) ; ( ), ( σ ε σ ε ε ε ε πσ πσ σ El logarmo de la funcón evaluado en ( ) ˆ ˆ, σ ε es: [ ] ) ˆ ( ˆ ˆ ln - ln ˆ) ; ( ˆ ˆ ln - ln ) ˆ ˆ, ( ln σ σ π σ σ π σ ε ε ε ε ε SR T T f Y T T L T Como puede aprecarse, al y como cabía esperar el parámero ˆε σ no depende de nnguno de los parámeros del vecor ˆ ; por ano, para maxmzar la funcón de verosmlud basará con selecconar aquel vecor ˆ que mnmce la suma resdual ) ˆ ( SR. Las condcones de maxmzacón de la funcón de verosmlud serán por ano: [ ] T k f f Y SR L,,..., ˆ ) ˆ ( ) ˆ ; ( ˆ ˆ ) ˆ ( ˆ ˆ ) ˆ, ˆ ( ln σ σ σ ε ε ε [ ] + T f Y T L 4 ˆ) ; ( ˆ ˆ ˆ ) ˆ ˆ, ( ln σ σ σ σ ε ε ε ε
Las solucones del ssema de ecuacones aneror proporconan las esmacones de Máxma Verosmlud del vecor y el parámero ε σ bao la hpóess de Normaldad en el érmno de error. Como puede aprecarse, los resulados obendos concden el esmador de Mínmos Cuadrados No Lneales; asmsmo, de la segunda condcón de opmaldad se deduce que la esmacón de ε σ es: [ ] T SR T f Y T ) ˆ ( ˆ) ; ( ˆ σ ε Expresón, como vemos, análoga a la obenda para el caso lneal. Fnalmene, la expresón de la marz de covaranzas del esmador de Máxma Verosmlud puede aproxmarse, para muesras grandes, medane la nversa de la marz de nformacón. Dcha marz vene dada por : 4 ' ), ( ε ε ε σ σ σ T f f I k k S nvermos dcha marz y susumos los valores de los parámeros desconocdos por sus correspondenes valores esmados enemos que: T f f Var k k 4 ' ˆ ˆ ˆ ˆ ) ˆ ˆ, ( ε ε ε σ σ σ Sempre que f f ' no sea una marz sngular. El desarrollo de la demosracón que conduce a esa expresón queda fuera de las preensones de ese exo.
9.5. APROIMACIÓN LINEAL DE TAYLOR Consderemos el sguene modelo de regresón no lneal sguene: Y f (, ) + ε f (, ) Hacendo lneal la funcón, alrededor de una esmacón ncal, ˆ desarrollo en sere de Taylor de prmer orden enemos que: medane un Y f f ( ; ˆ) ( ˆ) ˆ) ˆ ; + ( + ' ε S smplfcamos la noacón obenemos: ( ; ˆ) ( ˆ) f z ˆ ' Y por ano: Y ' f ( ; ˆ) + z( ˆ) ( ˆ ) + ε Operando queda que: Y f ( ; ˆ) + z( ˆ) ˆ z( ˆ ) + ε Obenéndose el sguene modelo lneal: Y * z( ˆ ) + ε (.4.) * Y Y f ( ; ˆ) Donde + z( ˆ) ˆ Para un valor deermnado de ˆ * Y ano como z(ˆ ) como esmador mínmo cuadráco a: son observables, y el modelo (.4) posee
~ * [ z( ˆ)' z( ˆ) ] z( ˆ) Y El desarrollo prácco sería el sguene: debemos planear una aproxmacón numérca ncal de * ˆ Y ; a connuacón generar las observacones numércas para las varables, z(ˆ ) y proceder a esmar el modelo (.4) por MCO obenendo nuevas esmacones numércas para ˆ ( ) ~. Con ellas, calculamos de nuevo las varables deermnada convergenca. * Y, z(ˆ ) e eramos el procedmeno hasa alcanzar S desarrollamos la expresón de los esmadores obendos medane MCO enemos que: ~ ' * [ z( ˆ) z( ˆ) ] z( ˆ) Y ' [ z( ˆ) z( ˆ) ] z( ˆ) ( Y f ( ; ˆ) + z( ˆ) ˆ ) ˆ ' + [ z( ˆ) z( ˆ) ] z( ˆ) ˆ ε (.5.) La expresón (.5) proporcona de forma dreca los esmadores MCO del modelo lnealzado medane el desarrollo de Taylor, sn más que susur los valores ndcados y enendo en cuena εˆ que es el resduo obendo al susur en el modelo orgnal la esmacón ncal, ˆ. La esmacón del parámero σˆε puede obenerse de manera análoga al caso lneal al que: ε ε σ ~ ' ~ ˆ ε T k Sendo ~ ε Y f (, ~ ) ' Fnalmene, s exse la nversa de [ z( ˆ) z( ˆ) ] del esmador ~ que será: ' [ z( ˆ) ( ˆ) ] N, σ ε z podemos dervar la dsrbucón de probabldad Eemplo 9.3 S consderamos, ahora, la funcón:
y x ) + u + x + u f ( x, θ Con θ ( ), cuyo gradene es: f ( x, θ ) θ ( x + x ) ' Enonces: y * y y ˆ x f ( x, ˆ) θ + z ( ˆ) θ ˆ θ y ˆ x ( ˆ) θ + ˆ z x x + ˆ x + ˆ x ˆ x y ˆ x + ˆ x + ( x + ˆ x ) ˆ, Por lo que el modelo lneal a esmar resulará ser: y * z ˆ ( θ ) + ε (.6) Vamos a aplcar dcho modelo a esmar una ecuacón para los sguenes daos de la economía española: PIB(mllones de euros moneda consane) Ocupados esudos báscos (mles) Ocupados esudos superores (mles) 99 34.598.84.773 99 368.987 9.967.856 993 38.747 9.333.96 994 46. 9. 3.96 995 447.5 9.55 3.357 996 473.855 9.4 3.747 997 53.9 9.3 4.46 998 539.493 9.553 4.35 999 579.94 9.964 4.75 63.63.93 5.3 68.678.556 5.59 79.6.734 5.896 3 78.53.3 6.93 4 84.6.39 6.64 5 95.455.743 7.3 Parmos de un valor de ˆ, y calculamos las varables ransformadas:
Ulzando MCO esmamos (.5): y * 3,67z ˆ ( θ ) + ε ( ˆ) θ + ˆ y * y + ˆ x z x x 345.37 5.83 37.84 5.678 384.77 5.54 49.7 5.33 45.56 5.869 477.6 6.69 57.967 7.39 543.844 8.55 584.667 9.45 635.476.79 686.68.736 735..57 788.74 3.489 846.747 4.6 9.686 6.4 Transformamos de nuevo las varables ulzando ahora ˆ 3, 67 MCO el modelo (.5):, y esmamos de nuevo por ( ˆ) θ + ˆ y * y + ˆ x z x x.95.66 8.377 3.54.34 85. 3.65.65 9.897 3.37.346 98.986 3.64.6 5.45 3.997.557 38.937 4.38.575 57.435 4.63.38 76.47 5.3.7 99.78 5.53.98 39.993 5.937.493 353.4 6.74.9 37.366 6.66.664 39.947 7.85.694 48.66 Obenemos * y 6,8z ˆ ( θ ) + ε Segumos erando hasa y alcanzamos la convergenca al cabo de la quna eracón: Ieracón Dferenca 3,67 6,8-3,86 3,4-5,38 4,6 -,6 5, -,6
La ecuacón esmada sería por ano: y + u,x +, x 9.6. PROBLEMAS.. Suponendo que el érmno de error del modelo no lneal: x y + e + u Sgue una dsrbucón Normal (, Newon-Raphson. ε σ ), obener la expresón analíca del algormo.. Obenga la expresón lnealzada del modelo aneror aplcando el desarrollo en sere de Taylor..3 Obenga la marz de covaranzas de la esmacón de máxma verosmlud del modelo x Y + e + ε es
SOLUCIONES.. T x x ( ) f ( ), e, x e uˆ e x e x x T x x x x f ( ) e e x ˆ e u + xe x x x x x ˆ ˆ e xe u + xe x e u + x e ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ f f ).. y y + ˆ ˆ e z * z e ˆ x ˆ e ˆ x ˆ x y + z + z + u *.3. Inversa de la marz de nformacón sguene: x x e x e x x x e e xe x (, ) x x I σ e xe xe x e σ e T σ e
. MÉTODOS DE ESTIMACIÓN NO PARAMÉTRICOS.. INTRODUCCIÓN Se dce que se ausa el modelo paramérco cuando se esman sus parámeros a parr de un conuno de observacones que sguen dcho modelo, de manera que pueden hacerse predccones de nuevos valores de Y conocdo el valor de, y ener nformacón precsa acerca de la ncerdumbre asocada a la esmacón y a la predccón. Sn embargo, s el modelo paramérco no es el adecuado al analss de daos que esamos realzando, pueden llevar a conclusones que queden muy aleadas de la realdad, dado que el modelo paramérco conlleva un grado de exacud en las afrmacones que de el se dervan y que son adecuadas sempre y cuando se cumplan los supuesos báscos sobre los que se apoya su consruccón eórca. De hecho, los modelos paramércos presenan una esrucura eórca an rígda que no pueden adaparse a muchos conunos de daos de los que hoy día se dsponen para el análss económco. La economería no paramérca aparece como consecuenca de nenos por soluconar problemas que exsen en la economería paramérca como, por eemplo, la conssenca enre los daos y los prncpos de maxmzacón, homocedascdad, o la necesdad de asumr una deermnada relacón, por lo general de forma lneal enre las varables de nerés. Esa preocupacón llevó a una sere de nvesgadores a ulzar formas funconales flexbles para aproxmarsea relacones desconocdas enre las varables.el planear formas funconales flexbles requere el conocmeno del valor esperado de la varable Y, condconal en las oras,. Eso conlleva la necesdad de esmar la funcón de densdad de Y condconal en. La economería no paramérca no pare de supuesos sobre la dsrbucón de probabldad de las varables bao esudo, sno que raa de esmar dcha dsrbucón para enconrar la meda condconal y los momenos de orden superor (por eemplo, la varanza) de la varable de nerés. Una de las desvenaas de ese méodo es, sn embargo, la necesdad de conar con muesras muy grandes s es que se desea esmar la funcón de relacón enre ambas varables de manera precsa. Además el amaño de la muesra debe aumenar consderablemene conforme aumena el número de varables nvolucradas en la relacón. Los modelos de regresón paramércos suponen que los daos observados provenen de varables aleaoras cuya dsrbucón es conocda, salvo por la presenca de algunos parámeros cuyo valor se desconoce.
y + x + ε, con ε N(, σ ) Ese es un modelo esadísco con res parámeros desconocdos: ; y σ. Una formulacón general de un modelo de regresón paramérco es la sguene: y m( x ; θ ) + ε,,..., n, p θ Θ R m( x ; θ ) Donde es una funcón conocda de x y de θ ε, que es desconocdo,...ε n es una varable E( ε ) aleaora déncamene dsrbuda con θ (, ) smple sería un caso parcular con o V ε σ. El modelo de regresón lneal ( ) y m x x y ( ;, ) + o o. Se supone que se observan n pares de daos ( x ), y que provenen del sguene modelo de regresón no paramérco: y m( ) + ε x Donde ε...ε n V ε σ, E( ε ) es una varable aleaora déncamene dsrbuda con ( ) y y los valores de la varable explcava x...xn son conocdos, por lo que se dce que el modelo ene dseño fo, y dado que la varanza de los errores es consane el modelo es Homocedásco. Consderando (, Y ) una varable aleaora bvarane con densdad conuna f ( x, y) defnr la funcón de regresón como cuando oma el valor conocdo x. Enonces, se ene que: Y m( ) Sean ( ), Y + ε, regresón no paramérco: Y E( ε / ), V ( ε / ) σ, cabe m ( x) E( Y / x), es decr el valor esperado de Y E ( Y / ) m( ), y defnendo ε Y m( ), n, una muesra aleaora smple de (, Y ). Esos daos sguen el modelo de m( ) + ε, n. S se supone que la varanza es funcón de la varable explcava x : V ( ) σ ( ) modelo sería Heerocedásco. ε, el x
Una vez esablecdo el modelo, el paso sguene consse en esmarlo (o ausarlo) a parr de las n observacones dsponbles. Es decr hay que consrur un esmador mˆ ( x) de la funcón de regresón y un esmador ˆ σ de la varanza del error. Los procedmenos de esmacón de m(x) se conocen como méodos de suavzado. El abanco de écncas dsponbles para esmar no paramércamene la funcón de regresón es amplísmo e ncluye, enre oras, las sguenes: Ause local de modelos paramércos. Se basa en hacer varos (o ncluso nfnos, desde un puno de vsa eórco) auses paramércos enendo en cuena úncamene los daos cercanos al puno donde se desea esmar la funcón. Suavzado medane splnes. Se planea el problema de buscar la funcón mˆ ( x) que e mnmza la suma de los cuadrados de los errores ( penalza la fala de suavdad de las funcones negral del cuadrado de su dervada segunda). y mˆ ( x ) ) más un érmno que m ˆ ( x) ) canddaas (en érmnos de la Méodos basados en seres orogonales de funcones. Se elge una base oronormal del espaco vecoral de funcones y se esman los coefcenes del desarrollo en esa base de la funcón de regresón. Los auses por seres de Fourer y medane waveles son los dos enfoques más ulzados. Técncas de aprendzae supervsado. Las redes neuronales, los k vecnos más cercanos y los árboles de regresón se usan habualmene para esmar m (x)... FUNCIÓN NUCLEO Los hsogramas son sempre, por nauraleza, funcones dsconnuas; sn embargo, en muchos casos es razonable suponer que la funcón e densdad de la varable que se esá esmando es connua. En ese sendo, los hsogramas son esmadores nsasfacoros. Los hsogramas ampoco son adecuados para esmar las modas, a lo sumo, pueden proporconar nervalos modales", y al ser funcones consanes a rozos, su prmera dervada es cero en cas odo puno, lo que les hace compleamene nadecuados para esmar la dervada de la funcón de densdad. Los esmadores de po núcleo (o kernel) fueron dseñados para superar esas dfculades. La dea orgnal es basane angua y se remona a los rabaos de Rosenbla y Parzen en los años
5 y prmeros 6. Los esmadores kernel son, sn duda, los más ulzados y meor esudados en la eoría no paramérca. Dada una m.a.s. del esmador... n con densdad f, esmamos dcha densdad en un puno por medo fˆ nh n ( ) K h donde h es una sucesón de parámeros de suavzado, llamados venanas o ampludes de banda (wndows, bandwdhs) que deben ender a cero lenamene" ( h, nh ) para poder asegurar que fˆ ende a la verdadera densdad f de las varables y K es una funcón que cumple K. Por eemplo: Núcleo gaussano π e u Núcleo Epanechnkov 3 3 4 ( u ) I u < donde I u < es la funcón que vale s u < y s u Núcleo Trangular ( u ) I u < Núcleo Unforme I u < 3 Ora expresón alernava de la funcón núcleo de Epanechnkov es: 3 u 4 5 I u < 5 donde I u < 5 es la funcón que vale s u < 5 y s u 5 5
Núcleo Bwegh 5 6 ( u ) I u < Núcleo Trwegh 35 3 ( u ) I u < Para elegr la venana h puede segurse la sguene regla 4 3 5 sn h δ K π n 8 Donde n es el amaño de la muesra s n δ K δ K n n ( ) depende del núcleo K, y se calcula como: K ( ) d ( u K( ) d) Por eemplo: 5 S K es el núcleo gaussano, enonces δ K 4π S K es el núcleo Epanechnkov, enonces K ( ) 5 δ 5 Eemplo. Nuesra muesra... es:,,6,9 4,5,7 4,6 5,4,9 5,4, Su desvacón ípca es s, 779, ulzando una funcón núcleo de Gaussana, la venana h será: h 4π 5 3 π 8 n,779.366 Hacemos una grlla para que va desde - a 8 con punos sem-espacados: 4 Por lo general, los programs nformácos elgen el ancho de venana sguendo creros de opmzacón (error cuadráco medo.
- -,66666667 -,333333333,5,333333333,66666667 3 3,833333333 4,666666667 5,5 6,333333333 7,66666667 8 Para cada calculamos K h : K h K h K 3 h K 4 h K 5 h K 6 h K 7 h K 8 h K 9 h K n K h h -,,,,,,,,,,,, -,667,,,,,,,,,,4,4 -,3333,,,,,75,,,,,383,458,5,,,3,,3437,,,,,853,693,3333,447,,6,,896,,,,,33,593,667,394,98,36,,,,,538,,,957 3,,95,98,44,,,,,3844,,,68 3,8333,,4,,76,,447,,56,,,379 4,6667,,,,3597,,394,538,,538,,8598 5,5,,,,96,,95,3844,,3844,,7979 6,3333,,,,,,,56,,56,,3 7,667,,,,,,,,,,, 8,,,,,,,,,,,, Para cada fˆ nh ( ) n se obene la esmacón de f : K h :
f() - -,66666667 -,333333333,548865,5,6665768,333333333,93873,66666667,57689 3,63678 3,833333333,398656 4,666666667,47733 5,5,8684 6,333333333 7,66666667 8 En la fgura. se represena la funcón de desndad esmada y la que se obene con un h :,3,5,,5,,5 - -, -,3,5,33,7 3 3,83 4,67 5,5 6,33 7,7 8 h.36 h Fgura.. Eemplo. En R la esmacón de una funcón de densdad kernel se realza con la funcón densy, con los daos del eemplo. hay que realzar el sguene programa: > x <- c(.,.6,.9,4.5,.7,4.6,5.4,.9,5.4,.)
> densy(x,kernel"epanechnkov") Call: densy.defaul(x x, kernel "epanechnkov") Daa: x ( obs.); Bandwdh 'bw'.65 x y Mn. :-.9944 Mn. :. s Qu.:-.97 s Qu.:.366 Medan :.8 Medan :.947 Mean :.8 Mean :.86 3rd Qu.: 5.697 3rd Qu.:.545 Max. : 8.5944 Max. :.6948 > plo(densy(x,kernel"epanechnkov")) Fgura..3. ESTIMADORES DE FUNCIÓN NUCLEO Y POLINOMIOS LOCALES La alernava no paramérca a los modelos de regresón, supone que Y m( ) + e donde m es una funcón que no se supone confnada" denro de una famla paramérca. Se raa ( ) de esmar m a parr de una muesra,y ; (, Y ) n n. Los esmadores núcleo esablecen que el peso de ( ), Y en la esmacón dem es
W (, ) K h h fˆ( ) donde K() es una funcón de densdad smérca (por eemplo, la normal esándar) y f ˆ( ) es un esmador kernel de la densdad como el defndo en el aparado aneror. W (, ) es, para cada, una funcón de ponderacón que da mayor mporanca" a los valores de la varable auxlar que esán cercanos a. W (, ) Una expresón alernava para W (, ) n K h K h A parr de los pesos sguene: W puede resolverse el problema de mínmos cuadrados ponderados mn a, b n W ( Y ( a + b( ))) los parámeros así obendos dependen de, porque los pesos de regresón localmene ausada alrededor de sería : l ( ) a( ) + b( )( ) Y la esmacón de la funcón en el puno en donde mˆ ( ) l ( ) a( ) W ambén dependen de, la reca Las funcones núcleo usadas en la esmacón no paramérca de la regresón son las msmas que en la densdad. S se generalza al ause local de regresones polnómcas de mayor grado, es decr s preendemos esmar una forma lneal del po: + + +... + q q
con la salvedad de que en vez del valor en la regresón lneal múlple se ulza el valor ( ). El esmador de polnomos locales de grado q W asgnado los pesos obendos medane la funcón núcleo se resuelve el sguene problema de regresón polnómca ponderada: mn.. q n W q ( Y ( + ( ) +... + ( ) ) ˆ ˆ Los parámeros ( ) ausado localmene alrededor de sería: P q, Sendo q ( ) ˆ ( ) q dependen del puno en donde se realza la esmacón, y el polnomo m() el valor de dcho polnomo esmado en el puno en donde : ( ) P ( ) ˆ ( ) mˆ, q q o. En el caso parcular del ause de un polnomo de grado cero, se obene el esmador de Nadaraya Wason, o esmador núcleo de la regresón: mˆ K ( ) n n K Y h K h n W (, ) Y Eemplo.3 Dsponemos del sguene conuno de daos relavos a 63 personas con su edad y su índce de masa corporal (relacón enre peso y alura):
Indce de masa corporal 45 4 35 3 5 5 5 4 6 8 Edad Fgura.3. Se va a obener el esmador núcleo de la regresón: mˆ K ( ) Donde n n K Y h K h Y es la edad de cada ndvduo e su masa corporal, va ha ulzarse una funcón núcleo de Epanechnkov, cuyo ancho de venana sería: h 3 8 3 8 ( 5) 5 5 ( 5) 5 5 π s n π 6,4 6 4, Para cada edad ( ) calculamos n K h : K h 3 K K h h 4 5 K K K h h h K h 59 6 6 K K h h K h 6 n K h 6,,,,,..,,,,,896775 7,,,,,..,7538,,,,987865 8,,,,,..,37493,,, 3,6898446 9,,,,,..,5833,,, 4,4998593,,7538,,,..,77836,,, 4,77744,,37493,,,..,75,,, 4,7689934........................ 85,,,,,..,,,, 3,989 86,,,,,..,,,,,48497655 87,,,,,..,,,,,73497655 88,,,,,..,,,,,744 89,,,,,..,,,,,4458379 9,,,,,..,,,,,75383
Para cada edad ( K h ) calculamos Y : K h Y K h Y K h 3 Y 3 K h 4 Y 4 5 K Y5 h K Y h K h 59 Y59 K h 6 Y6 K h 6 Y6 K h 6 Y6 n K Y h 6,,,,,..,,,, 4,49969 7,,,,,..,589436,,, 47,59736 8,,,,,..,7664,,, 78,534969 9,,,,,.. 5,89333,,, 96,748783,,396,,,.. 9,349559,,, 3,586796, 6,4939349,,,..,573,,, 3,3748........................ 85,,,,,..,,,, 9,69669 86,,,,,..,,,, 69,767 87,,,,,..,,,, 48,9776 88,,,,,..,,,, 9,5558 89,,,,,..,,,, 4,339444 9,,,,,..,,,,,63476 En la fgura sguene se represena el esmador mˆ ( x) obendo: Indce de masa corporal 45 4 35 3 5 5 5 4 6 8 Edad Fgura.4.
Eemplo.4 Ulando la base de daos cars de R, que conne las varables ds (dsanca de parada) y speed (velocdad), vamos a realzar la represenacón gráfca de la regresón kernel realzada con el esmador de Nadaraya Wason. > daa(cars) > plo(cars$speed, cars$ds) > lnes(ksmooh(cars$speed, cars$ds, "normal", bandwdh ), col ) > lnes(ksmooh(cars$speed, cars$ds, "normal", bandwdh 5), col 3) Fgura.4 Defnda la marz.. ( )... ( ).. q ( )... ( ) n...... n q Y ( Y ) Y defndos los vecores Y... n ε ( ε... ε ), n pesos W (... ) q,. Se calcula la marz de
( ) ( ) ( ) W W W W n n,...........,...., Habría que esmar por mínmos cuadrados generalzados el modelo ε + Y, cuya solucón es: ( ) Y W W ' ' ) ( ˆ Pueden omar los pesos: n h K h K W ), ( o h K W ), ( Eemplo.5 Ulzando los daos de edades e índces de masas corporales, se ha realzado un eercco para obener un esmador de polnomo local a una funcón núcleo de núcleo de Epanechnkov, s se desea obener el esmador para una edad de 65 años (65); la marz 65 quedaría:
Consane 65 ) ( ( 65 ) - 4 68 9 36 4-7 89... 5 5 3 69 33 89 34 56 3 9 38 444 W ( 65, ) Los pesos serían: W ( 65, ),778355. ' La marz 65W65 65 quedaría ' 65W65 65,669,347,896,347,896 6,44,896.6,44 7,855
ˆ ' ' (65) ( W ) W Y Y el esmador 65 65 65 65 65,96 ˆ (65),55,3 : Es esmador del ndce de masa corporal ( 65) ˆ ( 65), 96 mˆ o para la edad de 65 años sería: El esmador del parámero de suavzado h ene una mporanca crucal en el aspeco y propedades del esmador de funcón de regresón. Valores pequeños de h dan mayor flexbldad al esmador y le permen acercarse a odos los daos observados, pero orgnan alos errores de predccón (sobre-esmacón), valores mas alos de h ofrecerán un menor grado de auses a los daos pero predccan meor, pero s h es demasado elevado endremos una fala de ause a los daos (sub-esmacón). S la candad de daos de que dsponemos lo perme, lo habual es obener dos muesras una para la esmacón del modelo (muesra de enrenameno) y ora muesra para predecr (muesra de es). En ese caso una medda de caldad del paramero h de suavzado es el error cuadráco medo de la poblacón de la muesra de es: ECMP es ( h) n ( ) Y Donde,,, n ( Y mˆ ( )),,...n,, es la muesra es y mˆ ( ) es el esmador no paramérco consrudo con la muesra de enrenameno. El valor h que mnmce dcho error sería el parámero de suavzacón elegdo. S no de puede dsponer de una muesra de es, la alernava consse en sacar de la muesra consecuvamene cada una de las observacones, y esmar el modelo con los resanes daos y predecr el dao ausene con el esmador obendo, para después calcular el error de predccón. Se consruye enonces la sguene medda del error de predccón (valdacón cruzada) para cada h: ECMP CV ( h) n m ( ) Donde ˆ n ( Y mˆ ( )) es el esmador obendo al exclur la observacón -esma.
El valor h que mnmce dcho error de valdacón cruzada sería el parámero de suavzacón elegdo. Tenendo presene que el valor que predecmos Yˆ no dea de ser una combnacón lneal de los valores observados: Yˆ ˆ ' ' ( W ) W Y SY ' ' S W W, marz que se denomna de suavzado cuyo elemeno (, ) se Sendo ( ) s nombra. Dado que: ECMP CV ( h) n n Y Yˆ s no es necesaro ausar las n regresones no paramércas, sno que vasa con evaluar odos los daos y anoar los valores de la dagonal prncpal de la marz S. Una modfcacón de la funcón aneror (Valdacón cruzada generalzada) perme obener un esmador de la varanza de los errores del modelo: ECMP GCV ( h) n n Y Yˆ v n v Traza S Donde n s ( ) Enonces: n ˆ σ ECMP GCV ( h) ε n v y σˆ ε n ( Y Y ) ˆ n v
.4. REGRESIÓN POR SPLINES Para poder esmar la funcón f de la forma más senclla posble, deberíamos poder represenar f Y de forma que f ( x ) + e, e,..., n se convera en un modelo lneal. Y eso se puede hacer elgendo una base de funcones de dmensón q que genere un subespaco de funcones que ncluya a f como elemeno y que pueda expresarse como: q f ( x) s Sendo funcones. De manera que: ( x) un parámero desconocdo, asocado al elemeno s (x), de dcha base de q ( x) e Y s +, e,..., n (..) Se convere en un modelo lneal de dmensón q. La regresón con funcones base polnómcas es la propuesa más senclla para ese po de esmacones. Supongamos que f es un polnomo de grado 4 de forma que el espaco de polnomos de grado 4 conene a f. Una base de ese subespaco es: s( x) s ( x) x s3 ( x) x s4 ( x) x s5 ( x) x 3 4 Con lo que el modelo (.) se convere en: Y x + e 3 + x + 3x + 4x + 5 4 Un splne es una curva dferencable defnda en porcones medane polnomos, que se ulza como bases de funcones para aproxmar curvas con formas complcadas.
Las bases de splnes más populares: Bases de polnomos runcados. Bases de splnes cúbcos. Bases de B-splnes. Bases de hn plae splnes. Una funcón splne esá formada por varos polnomos, cada uno defndo sobre un subnervalo, que se unen enre sí obedecendo a ceras condcones de connudad. Supongamos que se ha fado un enero q, de manera que dsponemos de q+ punos, a los que denomnaremos nodos, ales que < < <... < q, en los que roceamos nuesro conuno de. Decmos enonces que una funcón splne de grado q,,..., q con nodos en es una funcón S que sasface las condcones: [ ), () en cada nervalo, S es un polnomo de grado menor o gual a q. [ ] o, () S ene una dervada de orden (q-) connua en q. Los splnes de grado son funcones consanes por zonas. La expresón maemáca de un splne de grado es la sguene: S S( x) S.. S o ( x) c ( x) c q o ( x) c q x x [, ) [, ) x + [, ) q q En la fgura.3 se muesran las gráfcas correspondenes a los splnes de grado cero.
Fgura.3. Los splnes de grado, se defne en un solo ramo de nudo y n squera es connua en los nudos. Equvale a realzar una regresón por ramos. q q o e x c x c x c Y + + + +... sendo [ ) + reso x c, Un splne de grado o lneal se puede defnr por: [ ) [ ) [ ) + + + + q q q q q o o o x b x a x S x b x a x S x b x a x S x S, ) (.., ) (, ) ( ) ( La represenacón gráfca de un splne lneal aparece en la fgura.4: Fgura.4. Las funcones de splnes más comúnmene ulzadas son las de grado 3 ó cúbcas. Son polnomos de grado res a rozos, que son connuos en los nodos al gual que su prmera y segunda dervada, proporconando proporcona un excelene ause a los punos abulados y a ravés de cálculo que no es excesvamene compleo.
Sobre cada nervalo [ ] [ ] [ ] q q o,,...,,,,, S esá defndo por un polnomo cúbco dferene. S el polnomo cúbco que represena a b en el nervalo [ ], +, por ano: [ ) [ ) [ ) + + + + + + + + + + q q q q q q q o o o o o x d x c x b x a x S x d x c x b x a x S x d x c x b x a x S x S, ) (.., ) (, ) ( ) ( 3 3 3 3 3 Los polnomos S y S nerpolan el msmo valor en el puno, es decr, se cumple: ( ) ( ) x S y x S por lo que se garanza que S es connuo en odo el nervalo. Además, se supone que S' y S'' son connuas, condcón que se emplea en la deduccón de una expresón para la funcón del splne cúbco. Aplcando las condcones de connudad del splne S y de las dervadas prmera S' y segunda S'', es posble enconrar la expresón analíca del splne. Una de las bases de splnes cúbcos más ulzadas basadas en q nodos nerores, * x,,..., q, es: + ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( * o x x R x S x x S x S x S Sendo ( ) ( ) ( ) ( ) + 4 7 4 4 ), ( 4 z x z x x z z x R Con esa base de splnes defnmos f a ravés de un modelo lneal con marz de regresores con n flas y q columnas cuya _esma fla es: ( ) ( ) ( ) [ ] * * *,,...,,,,,, k x x R x x R x x R x
Los elemenos de una base de splnes cúbcos son polnomos de grado 3. Un Splne cúbco se represena en la fgura.5 Fgura.5. Eemplo.5 Se va a aproxmar la funcón represenada con la sguene abla de daos: Y, 4, 5,4 3,5,7 6,9 Una Base de splnes cúbcos basada en nodos nerores, x * 3 y x * 3, Con lo que el modelo lneal será ( x, ) + 4R( x, / ) e Y + x + 3R 3 + 3 La expresón general de la marz de los regresores será:
...4.5.7.9 R R R R R R Que da como resulado: (., ) R(., ) 3 3 (., )., ) 3 3 (.4, ) R(.4, ) 3 3 ( ) ( ).5, R.5, 3 3 (.7, ) R(.7, ) 3 3 ( ) ( ).9, R.9, 3 3...4.5.7.9 -,93,73998,469,7454 -,564 -,8833 -,883 -,8477,8399,7454,947479 -,93 De forma que los coefcenes MCO obenddos: Coefcenes Error ípco Esadísco Probabldad Inferor 95% Superor 95% Inercepcón -,844535,4633989 -,7738,9437-3,774,7833 x 9,95,8968598,395746,79654 6,89 3,7598 54,86453 68,43668 9,54455,743 87,466 66,58644 R R ( x, ) 3 ( x, ) 3-745,4796 7,945 -,989,9475-48,75357-9,8835 Dan como resulado la sguene esmacón:
7 6 5 4 3 y-esmada y,,4,6,8 Fgura.6. Un ema mporane es la eleccón del grado de suavzacón del splne. Una de las posbldades es a ravés del conrase de hpóess, valorar la posbldad de ulzar uno o más nodos. Pero lo aconseado es manener fa la base de splnes y conrolar el grado de suavzacón añadendo una penalzacón a la funcón obevo de mínmos cuadrados: λ' S Donde S es una marz de orden q q elegda y un parámero de suavzado λ. con coefcenes conocdos que dependen de la base La solucón del modelo de regresón lneal penalzado en donde la marz de regresores esá ahora defnda por la base de splnes y la penalzacón sería: ( ' S ) ' y ˆ penal λ El modelo de regresón lneal con splnes penalzados es equvalene al sguene modelo de regresón lneal: ' Y ' + e ' En donde Y ( Y,,...)' es un vecor de dmensón de anos ceros como nodos se han ulzado en la base de splnes. La marz de regresores cumple ' B λ ene ahora orden ( n + q), es decr el vecor Y segudo ( n + q) q, sendo B una marz que S B' B y que se obene a ravés de la descomposcón de Cholesky y λ el parámero de suavzado y e un vecor de ( n + q) errores aleaoros.
Eemplo.6 En el modelo aneror, el modelo de regresón lneal equvalene al penalzado se consruría con: 6 3 5 4 Y' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3, 3 3, 3 3, 3 3, 3 3.9, 3.9,.9 3.7, 3.7,.7 3.5, 3.5,.5 3.4, 3.4,.4 3., 3.,. 3., 3.,. ' R R R R R R R R R R R R R R R R λ λ λ λ La marz de penalzacón es por ano ( ) ( ) ( ) ( ),649,88,88,649 3, 3 3, 3 3, 3 3, 3 R R R R S El parámero de suavzacón, λ, es a pror desconocdo y hay que deermnarlo, s es muy alo suavza los daos en exceso, un crero ulzado para elegr el parámeroλ es del valor que mnmza el esadísco general de valdacón cruzada: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' ' ' ' S I raza y S y y S y n v g λ λ λ La regresón por splnes puede realzarse con múlples varables explcavas, s enemos ahora dos explcavas, x y z, y queremos esmar el sguene modelo advo: e z f x f y + + ) ( ) ( Represenaríamos cada una de esas dos funcones a ravés de una base de splnes penalzados, que omando la base cúbca quedaría: ( ) + + *, ) ( q x x R x x f δ δ
y f * ( z z ) q + ( z) γ + γ z R, Eemplo.7 Parendo de la base de daos cars ulzada en el eemplo.4, la funcón R smooh.splne realza la regresón por splnes ulzando una base de splnee cúbcos penalzados: > plo(speed, ds, man "daa(cars) & smoohng splnes") > cars.spl <- smooh.splne(speed, ds) > cars.spl Call: smooh.splne(x speed, y ds) Smoohng Parameer spar.7835 lambda.6 ( eraons) Equvalen Degrees of Freedom (Df):.63578 Penalzed Creron: 487.776 GCV: 44.44 En la funcón smooh.splne el parámero de suavzado es un valor generalmene enre y, en ano que el coefcene que denomna λ se obene en el crero de acepacón (logarmo de verosmlud penalzado). En el eercco el programa elge un spar, 7835. S se desea un funcón menos suavzada habrá que elegr un parámero de suavzado más bao, en lnea roa se represena en el gráfco la regresón por splnes que se obendría con un parámero de suavzado de valor,. > cars.spl <- smooh.splne(speed, ds,spar.) > lnes(cars.spl, col "blue") > lnes(cars.spl, col "red")
.5. APROIMACIÓN POR SERIES DE FOURIER La forma de Fourer perme aproxmar arbraramene cerca ano a la funcón como a sus dervadas sobre odo el domno de defncón de las msmas. La dea que subyace en ese po de aproxmacones (que podrían denomnarse sem-no-paramércas) es amplar el orden de la base de expansón, cuando el amaño de la muesra aumena, hasa consegur la convergenca asnóca de la funcón aproxmane a la verdadera funcón generadora de los daos y a sus dervadas (Gallan, A.R.;98,984). Un polnomo de Fourer vene dado por la expresón: a + k ( u cos( wo) + v sn( wo) ) Donde k es el número de cclos eórcos o armóncos que consderamos, sendo el máxmo n/. w π es la frecuenca fundamenal (ambén denomnada frecuenca angular fundamenal). n oma los valores eneros comprenddos enre y n (es decr,,, 3,...n). Los coefcenes de los armóncos venen dados por las expresones:
a n n y, u n n ( y cos( w ) ), v y sn( w ) n La aproxmacón a una funcón no peródca g(x) por una sere de expansón de Fourer se realza en Gallar (98) añadendo es esa un érmno lneal y cuadráco. De esa forma que la aproxmacón unvarada se escrbe como: g n J θ (..) ( x / ) a + bx + cx + u cos( x) v ssn( x) El vecor de parámeros es ( a b, c, u v,...,, ) Suponendo que los daos sgueran el modelo por mínmos cuadrados, mnmzando s n n ( θ ) ( ) y g ( x / θ ) n [ K ] Dado que la varable exógena θ, u J v J de longud K 3 + J. normalzarse en un nervalo de longud menor que π o y g( x ) + e para,,,n esmaramos θ x no esa expresada en forma peródca, debe de ransformase o., [,π ] Consderando θ la solucón al problema de mnmzacón aneror, podríamos obener dferenes solucones mnmocuadrácas para g (x), consderando dferenes valores de n y K y elegr aquel de ellos que meor aproxme, g (x), ( d / dx) g( x), y ( d / dx ) g( x). La expresón de la prmera y segunda dervada de la funcón (.) son las sguenes: D D x x g g J ( ) ( x /θ ) b + cx + u sn( x) v cos( x) J ( ) ( x /θ ) c + u cos( x) + v sen( x) La aproxmacón mulvarada se descrbe: g A ( ) ' ' x / θ uo + b' x + x' Cx + u α + [ u α cos( kα x) v α sn( kα x) ] Donde C A α u α ' α kα k a. La regla de formacón de la secuenca { kα } (98) y en Gallan (98) para dferenes ssemas. esá dada en Gallan
Eemplo.7 Vamos a esmar una forma de flexbldad global para el PIB rmesral de España, en índces de volumen ausados a esacnaldad y calendaro, y ulzando como regresor los puesos de rabao equvalenes a empo compleo, odas las seres esán obendas de la Conabldad Naconal Trmesral de España del INE. Base. Daos corregdos de esaconaldad y calendaro.
Puesos de rabao equvalenes a empo compleo Produco neror bruo 995TI 974 8,35 995TII 37 8,6 995TIII 343 8,85 995TIV 336 8,8 996TI 3 8,75 996TII 33 83,44 996TIII 33 84,4 996TIV 3358 84,68 997TI 3458 85,57 997TII 363 86,36 997TIII 3756 87,35 997TIV 388 88,69 998TI 3974 89,5 998TII 486 9,35 998TIII 439 9,43 998TIV 448 9,4 999TI 4655 93,4 999TII 4869 94,56 999TIII 56 95,99 999TIV 53 97,8 TI 536 98,56 TII 559 99,65 TIII 5867,36 TIV 5859,44 TI 597,5 TII 66 3,7 TIII 69 4, TIV 6333 4,79 TI 6354 5,5 TII 653 6,4 TIII 67 6,79 TIV 668 7,6 3TI 6763 8,6 3TII 687 9,33 3TIII 78, 3TIV 753,3 4TI 73,8 4TII 79,7 4TIII 7574 4, 4TIV 754 4,8 5TI 7646 5,85 5TII 7874 6,93 5TIII 85 7,93 5TIV 836 9, 6TI 88,4 6TII 8493,4 6TIII 87,48 6TIV 869 3,83 7TI 8887 5,4
7TII 98 6, 7TIII 953 7,3 7TIV 948 8,4 Fuene: Conabldad Naconal de España. INE La aproxmacón ulzada es la descra en (.) con la varable dependene ransformada en un nervalo menor a π ulzando la sguene funcón de ransformacón x π max( ). En la ecuacón se ulzan 7 parámeros, la consane, el asocado x, el asocado a x y los parámeros asocados a los dos prmeros armóncos. El resulado de la esmacón mínmo cuadráca de (.) aparecen en la abla aduna: x x COS (x) SENO(x) COS(x) SENO(x) g ( x /θ ) 4,34 7,97 -,463 -,8878 -,576,873 8,645 4,53 8,739 -,4449 -,8956 -,64,7969 8,87 4,566 8,83 -,44 -,8979 -,64,795 8, 4,543 8,989 -,443 -,8969 -,688,7933 8,6 4,494 8,57 -,4466 -,8947 -,6,799 8,38 4,87 8,343 -,466 -,99 -,659,7575 8,875 4,3437 8,8677 -,364 -,938 -,74,674 84,356 4,3594 9,4 -,3457 -,9383 -,769,6488 84,75 4,39 9,896 -,349 -,949 -,86,5978 85,48 4,448 9,7858 -,6 -,9653 -,8636,543 86,735 4,489,534 -,3 -,975 -,9,436 87,6 4,57,3649 -,983 -,98 -,93,3888 88,8 4,564,797 -,54 -,9885 -,954,993 89, 4,696,433 -,87 -,9966 -,9863,649 9,486 4,6965,569 -,59 -,9999 -,9995,38 9,79 4,759,3337,35 -,9999 -,9996 -,69 9,357 4,786,8736,7 -,9975 -,99 -,4 93,446 4,855 3,5465,396 -,99 -,96 -,765 94,789 4,937 4,464,9 -,988 -,977 -,3734 95,785 4,9383 4,3868,4 -,9746 -,8996 -,4366 96,466 5,7 5,73,958 -,955 -,85 -,565 97,958 5,884 5,89,367 -,93 -,733 -,683 99,55 5,78 6,834,449 -,8935 -,5966 -,86,453 5,756 6,7864,4468 -,8946 -,68 -,7994,396 5,4 7,695,4795 -,8776 -,54 -,845, 5,56 7,673,574 -,8558 -,4647 -,8855 3,9 5,36 8,6,5678 -,83 -,355 -,9348 4,566 5,33 8,45,5793 -,85 -,388 -,9444 4,89 5,337 8,4847,5849 -,8 -,359 -,9488 5,5 5,3945 9,,635 -,776 -,5 -,9788 6,397 5,457 9,798,673 -,7396 -,94 -,9956 7,73
5,4 9,3763,65 -,7599 -,55 -,9879 7, 5,476 9,97,6876 -,76 -,544 -,9985 8,6 5,558 3,34,78 -,74,6 -,9999 9,5 5,583 3,78,7648 -,644,699 -,9855,99 5,565 3,977,753 -,6579,345 -,999,477 5,63 3,679,7899 -,633,478 -,9688,864 5,649 3,84,89 -,5974,86 -,958,34 5,735 3,893,8536 -,59,4573 -,8893 4,538 5,789 3,76,845 -,5348,48 -,938 4,5 5,7587 33,63,8656 -,57,4985 -,8669 5,93 5,833 34,56,94 -,435,66 -,7834 6,835 5,9477 35,375,9443 -,39,783 -,67 9,49 5,987 35,35,9343 -,3565,7458 -,666 8,89 5,9656 35,589,95 -,3,85 -,593 9,98 6,35 36,43,9694 -,455,8795 -,476,533 6,34 37,5,9839 -,789,936 -,359 3,7 6, 37,3,9833 -,8,9337 -,358 3,9 6,637 37,997,999 -,9,976 -,366 4,686 6,67 38,77,9984 -,564,9936 -,7 6,37 6,83 39,4784,,,, 8,3 6,489 39,49,9994 -,343,9977 -,685 7, La represenacón gráfca de los resulados obendos esá en la fgura.7. 35 5 5 5 Aproxmacón FFF PIB (IV) 95 85 75 995TI 996TI 997TI 998TI 999TI TI TI TI 3TI 4TI Fgura.7. 5TI 6TI 7TI
A connuacón fguran los coefcenes obendos en la esmacón MCO de la expansón de Fourer: Coefcenes COEFICIENTE VARIANZA SENO () 5,776 48,446 COS () 3,59 7,99 SENO (x) -45,873 644,893 COS(x) 53,4978 389,7 x 63,58 67,6648 x -63,853 8,5767 Consane 369,378 6689,66.6. PROBLEMAS. Esmar un funcon de densdad kernel con los sguenes daos ulzando una funcón de dsanca de Epanechnkov y una grlla de daos con valores enre 3 y 7. 349 368 388 44 444 484 58 55 586 635 686. Realce una regresón polnómca de segundo grado enre el Consumo (Y) y la Rena (). Años Consumo Rena 349 388 368 48 388 433 3 44 465 4 444 498 5 484 538 6 58 574 7 55 64 8 586 656 9 635 699 686 748
.3 Ause un splne cúbco a la relacón enre venas (Y) y publcdad (), con base de nodos nerores, x * 3 y x * 3. VENTAS PUBLIC. 5 5 5 3 35 4 38 5 5 4 4.4 Realce el eercco aneror en R, señale el parámero de suavzacón elegdo por la funcón y represene los resulados obendos..5 Ulzando los daos del eercco. Ausar una funcón de Fourer a la relacón enre Consumo (Y) y la Rena () con K5. SOLUCIONES.. f() 3, 333,3333333,95 366,6666667,383 4,365 433,3333333,69 466,6666667,34 5,49 533,3333333,53 566,6666667,44 6,97 633,3333333,45 666,6666667,8 7,. ) Y 68,47 +,6 + 68,48.3 Yˆ 64,8 + 74,3.4 * + 4,9 4. 33 *
spar,485.5 ˆ 579, 75,5 3,86 x + x Y 7.73cos eno( x ) 66,3seno( x )
ANEO I. NOCIONES DE ALGEBRA MATRICIAL MATRICES Defncón Una marz de orden n m conene n m elemenos dspuesos en n flas y en m columnas; su noacón maemáca habual es: x x. xn x x x. n............ x x x m m. nm Tpos de Marces Una marz de orden m ene una sola fla y m columnas y recbe la denomnacón de vecor fla: [ x x x ]... m Una marz de orden n ene n flas y una sola columna y recbe el nombre de vecor columna: x x M x n Una marz que posee con gual número de flas que de columnas, es decr, de orden n n, se denomna marz cuadrada. x x... x n x x... x n...... xn xn... xnn
Llamamos marz undad o dendad a la marz cuadrada de orden n n con n unos suados en la dagonal prncpal, sendo ceros los elemenos resanes; es decr: I n............... Una marz dagonal es aquella que úncamene ene al menos un elemeno no nulo en la dagonal prncpal, es decr: a A. a.............. a nn Una marz dervada de ora a la que se le han elmnado pare de sus flas y columnas, se denomna submarz. Eemplo 3 B sera una submarz de la marz A 3, de orden 3 3.
Operacones con marces Suma S dos marces A y B son del msmo orden, y enen como elemenos genércos a y b, defnmos la marz C, suma de A y B, como la marz cuyo elemeno genérco sería c a +b. Así, por eemplo, s dsponemos de dos marces, A y B, de orden : a a b b A B a a b b La suma de ambas marces sería: a a b b a + b a + b C a a + b b a + b a + b Mulplcacón a) Mulplcacón por un escalar La marz A mulplcada por un número escalar λ cualquera, da como resulado ora marz cuyo elemeno genérco es λ a. Así, por eemplo, s consderamos una marz de orden, el resulado de mulplcarla por un escalar λ sería: a λ a a a λa λa λa λa b) Mulplcacón de marces S una marz A es de orden m n y la B es de orden n p (o s la marz A es de orden n m y la B es de orden p n), defnmos la marz C, produco de A y B, como la marz de orden m p (ó n n) cuyo elemeno genérco es: c n a k k b k
Por eemplo, s deseáramos mulplcar una marz de orden 3 por una marz de orden 3 endríamos que el resulado es una marz 3 3 al que: a a ab + ab ab + ab ab3 + ab3 b b b3 a a ab + ab ab + ab ab3 + ab 3 b b b 3 a3 a 3 a3b + a3b a3b + a3b a3b3 + a3b3 Del msmo modo, s quséramos mulplcar una marz de orden 3 por una marz de orden 3 endríamos que el resulado es una marz de la forma: a a b b b3 3 3 3 3 b a b a b a b a b a b a a a + + + + b b b 3 ba ba b3a3 ba ba b3a + + + + 3 a3 a 3 En conclusón, para que dos marces se puedan mulplcar ene que exsr concdenca enre el número de columnas de la prmera marz y el número de flas de la segunda marz o vceversa. Eemplo + + 3 ( ) + + 5 3 + 3 + ( ) 3 ( ) + 3 + ( ) 3 3 ( ) + + 3 ( ) ( ) + + 3 6 c) Produco Kronecker Ora forma de mulplcacón marcal es el produco dreco o Kronecker. S A es una marz de orden m n y B es de orden p q, el produco Kronecker A B se defne como: ab ab A B. amb a a a. m B B B............ a a a n n. mn B B B La marz resulane A B es una marz de orden mp nq.
Traspuesa de una marz La raspuesa de una marz A de rango n m es una marz A de orden m n obenda medane el nercambo de flas y columnas de A, de al forma que el elemeno genérco a pasa a ser a en la marz raspuesa. Por eemplo, s consderamos una marz de orden 3 : a A a a 3 a a a 3 Su raspuesa será: a A ' a a a a a 3 3 Las marces raspuesas verfcan las sguenes propedades: ) (A ) A ) (A+B) A +B 3) (AB) A B 4) S una marz verfca AA A AI se dce que A es una marz orogonal 5) S una marz de orden n n verfca que AA, eso es, que los elemenos suados por encma de la dagonal prncpal son smércos a los elemenos suados por debao de la dagonal prncpal, se dce que es una marz smérca. Eemplo La marz A es smérca al que: 3 A A 5 3
DETERMINANTES Una marz cuadrada A de orden n n se puede hacer corresponder con un escalar A, denomnado deermnane, a parr de la suma de los producos cruzados de sus elemenos. Así, el deermnane de una marz A de orden puede obenerse como: a a A aa aa a a Del msmo modo, el deermnane de una marz de orden 3 3 se obene operando de la sguene forma: A a a a 3 a a a 3 a a a 3 3 33 a a a 33 a a a 33 + a a 3 a 3 a 3 a a 3 + a 3 a a 3 a a 3 a 3 En el cálculo de un deermnane hay que ener presene que: Cada érmno conene uno y solo un elemeno de cada fla y cada columna. El número de elemenos de cada érmno es el msmo que el número de flas (o columnas) del deermnane. El deermnane de una marz de orden ene dos elemenos en cada érmno, menras que un deermnane de una marz de orden 3 3 ene res elemenos en cada érmno; y en general, un deermnane n n ene n elemenos en cada érmno. Los érmnos alernan en sgno. El desarrollo de un deermnane ene dos érmnos, menras que el deermnane de una marz de orden 3 3, ses érmnos. Y en general, un deermnane de orden n n ene n! érmnos.
Propedades de los deermnanes Una marz cuyo deermnane ene valor cero se denomna marz sngular. S odos los elemenos de una fla o columna son guales a cero, el deermnane ambén será cero. El deermnane de una marz con dos flas (o columnas) guales es cero. El deermnane de una marz y de su raspuesa son guales al que A A'. El nercambo de dos flas o de dos columnas cualesquera de una marz camban el sgno de su deermnane.
RANGO DE UNA MATRIZ El rango de una marz se defne como el número máxmo de columnas de A que son lnealmene ndependenes. En el caso de una marz no sngular, (al que A ), el rango de A vene dado por el número de flas (o columnas) de A. En el caso de una marz sngular, A, el rango será el orden de la submarz cuadrada más grande cuyo deermnane no sea gual a cero. Eemplo Sea la marz A: A La marz A es sngular ya que: ) ( ) ( + + A Dado que es una submarz de la marz A, y el deermnane de dcha submarz no es cero: -(-), enonces el rango de A es.
Menor y cofacor del elemeno a de una marz Se denomna menor A del elemeno a de una marz al deermnane de la submarz resulane de elmnar la fla y la columna correspondene a dcho elemeno. Así, en una marz de orden 3 3: El menor de a será a a a A a a 3 A, el menor de a a 3 a 33 3 a a a 3 a a a 3 3 33 será a a 3 A y el menor de 3 a 3 a33 a será A 3 a a 3 a a 3 Por su pare, el cofacor de un elemeno a se defne como: c () A En el eemplo aneror, en la marz A el cofacor c A, el cofacor c A y el cofacor c 3 A 3. En consecuenca el deermnane de una marz A cuadrada de orden 3, se puede escrbr como: A a + c + ac + a3c3 a A a A a3 A3 Y en general el deermnane de una marz cuadrada de orden n, puede ser desarrollado a parr de los elemenos de cualquer fla, medane la sguene expresón: A a c + a c +... + a n c n
Eemplo 3 A El deermnane de A puede ser escro como: 5 3 3 + A La marz de cofacores de una marz A de orden n n se obene reemplazando cada elemeno de dcha marz por su cofacor. La ranspuesa de la marz de cofacores recbe el nombre de marz aduna de A.
MATRICES INVERSAS La marz nversa de una marz cuadrada de orden n, A -, es aquella que verfca que A A - I. La nversa de una marz se calcula a parr de la sguene expresón: c A. ( ada). A. cn A c A... c n A............... c n A... c nn A En consecuenca para hallar la nversa de una marz hay que realzar los sguenes pasos:. Calcular el deermnane de dcha marz.. Obener los cofacores, y con ellos la marz de cofacores. 3. Transponer la marz de cofacores para obener la marz aduna. 4. Dvdr cada elemeno de la marz aduna por el deermnane de A.
Eemplo A 3 El deermnane es A 5 La marz de cofacores es: 3 3 7 5 5 4 5 3 3 Y la marz aduna de A es: 7 ada 5 5 4 5 Por ano, la nversa de A es: A 7 5 5 5 5 5 5 5 5 5,46ˆ 4,46ˆ 5 5,33ˆ 5,6ˆ,3ˆ,33ˆ,3ˆ,6ˆ,33ˆ Propedad Dado el produco de dos marces A BC, donde A es una marz cuadrada no sngular, se verfca que BA - C.
DIAGONALIZACIÓN, VALORES SINGULARES E INVERSA GENERALIZADA Sea A una marz cuadrada de orden n n: A a a... a a a... a n n...... a a... a n n nn Se dce que el vecor: V v v. v n es un vecor propo de A de valor propo λ s verfca que: AV λv Los valores propos λ se obenen resolvendo la ecuacón caracerísca, ecuacón polnómca de grado n, que se obene gualando a cero el deermnane de la marz A λi, es decr, resolvendo: A λ I La solucón de la ecuacón caracerísca orgna un polnomo con respeco a λ, cuya solucón mplca la exsenca de n raíces ó n posbles valores para λ. Así, por eemplo, s A es una marz de orden, enonces su ecuacón caracerísca se obene como: A λ I a a λ a ( a λ)( a λ) aa a λ ( a λ )( a λ) aa λ λ( a + a ) + aa aa
S λ es una raíz, enonces el vecor propo de valor propo λ puede obenerse resolvendo a su vez el sguene ssema de ecuacones lneales: ( a a λ) v + ( a λ) v... a v v + a v + a v +... + ( a +... + a +... + a n n n v v λ) v n n n O en expresado marcalmene: ( A λ I) V Como puede aprecarse, una marz A ene anos vecores propos como raíces o valores propos enga. Propedades El produco de los valores propos de una marz es gual a su deermnane. S C es la marz-columna de odos los vecores propos de A y D λ es la marz dagonal con odos los vecores propos enonces se demuesra que: AC CD λ S la marz A es smérca enonces sus valores propos son sempre números reales; s además son posvos se dce que es una marz smérca defnda posva. S una marz smérca es defnda posva de rango n y se puede descomponer en la forma: A PP' donde P es una marz de rango n y de orden n n no necesaramene smérca.
Toda marz smérca puede expresarse como el produco: A CD λ C' Donde C es una marz orogonal, con los vecores propos normalzados. Asmsmo, s una marz A es defnda posva, enonces exse una marz Λ, al que: Λ λ. λ...... λ n verfcándose enonces que P CΛ. Eemplo Sea la marz A: 3 A 5 3 La ecuacón caracerísca a ravés de la que calculamos los valores propos de A es: A λi λ 3 λ + 36λ 36 Las raíces de la ecuacón caracerísca son λ, λ 3, λ ; al ser los valores propos 6 3 números reales posvos, la marz A es defnda posva. El vecor propo correspondene al valor propo λ 6, se obene resolvendo el sguene ssema lneal: (3 6) v v + v3 v + (5 6) v v v v + (3 6) v 3 3
La solucón de dcho ssema es v, v, v 3 De gual forma, podemos calcular los vecores propos asocados a λ 3 y λ 3. La marz orogonal con los vecores propos de A normalzados será enonces: 6 3 C 6 3 6 3 Y enonces se verfca que: A CD C λ ' 3 6 3 6 6 6 6 5 3 6 3 3 3 3 3 6 3 y además: P CΛ 6 3 6 P 3 6 3 6 3
ANEO II. TABLAS ESTADÍSTICAS
TABLA II.. DISTRIBUCIÓN NORMAL (, )....3.4.5.6.7.8.9..5.54.58.5.56.599.539.579.539.5359..5398.5438.5478.557.5557.5596.5636.5675.574.5753..5793.583.587.59.5948.5987.66.664.63.64.3.679.67.655.693.633.6368.646.6443.648.657.4.6554.659.668.6664.67.6736.677.688.6844.6879.5.695.695.6985.79.754.788.73.757.79.74.6.757.79.734.7357.7389.74.7454.7486.757.7549.7.758.76.764.7673.774.7734.7764.7794.783.785.8.788.79.7939.7967.7995.83.85.878.86.833.9.859.886.8.838.864.889.835.834.8365.8389..843.8438.846.8485.858.853.8554.8577.8599.86..8643.8665.8686.878.879.8749.877.879.88.883..8849.8869.8888.897.895.8944.896.898.8997.95.3.93.949.966.98.999.95.93.947.96.977.4.99.97.9.936.95.965.979.99.936.939.5.933.9345.9357.937.938.9394.946.948.949.944.6.945.9463.9474.9484.9495.955.955.955.9535.9545.7.9554.9564.9573.958.959.9599.968.966.965.9633.8.964.9649.9656.9664.967.9678.9686.9693.9699.976.9.973.979.976.973.9738.9744.975.9756.976.9767..977.9778.9783.9788.9793.9798.983.988.98.987..98.986.983.9834.9838.984.9846.985.9854.9857..986.9864.9868.987.9875.9878.988.9884.9887.989.3.9893.9896.9898.99.994.996.999.99.993.996.4.998.99.99.995.997.999.993.993.9934.9936.5.9938.994.994.9943.9945.9946.9948.9949.995.995.6.9953.9955.9956.9957.9959.996.996.996.9963.9964.7.9965.9966.9967.9968.9969.997.997.997.9973.9974.8.9974.9975.9976.9977.9977.9978.9979.9979.998.998.9.998.998.998.9983.9984.9984.9985.9985.9986.9986..5.54.58.5.56.599.539.579.539.5359 3..999.999.999.999.999.999.999.999.9993.9993 3..9993.9993.9994.9994.9994.9994.9994.9995.9995.9995 3.3.9995.9995.9995.9996.9996.9996.9996.9996.9996.9997 3.4.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9998 3.5.9998.9998.9998.9998.9998.9998.9998.9998.9998.9998 3.6.9998.9998.9999.9999.9999.9999.9999.9999.9999.9999 3.7.9999.9999.9999.9999.9999.9999.9999.9999.9999.9999 3.8.9999.9999.9999.9999.9999.9999.9999.9999.9999.9999 3.9..........
TABLA II.. DISTRIBUCIÓN DE STUDENT K.995.99.975.95.9.8.75.7.6.55 63.656 3.8.76 6.34 3.78.376..77.35.58 9.95 6.965 4.33.9.886.6.86.67.89.4 3 5.84 4.54 3.8.353.638.978.765.584.77.37 4 4.64 3.747.776.3.533.94.74.569.7.34 5 4.3 3.365.57.5.476.9.77.559.67.3 6 3.77 3.43.447.943.44.96.78.553.65.3 7 3.499.998.365.895.45.896.7.549.63.3 8 3.355.896.36.86.397.889.76.546.6.3 9 3.5.8.6.833.383.883.73.543.6.9 3.69.764.8.8.37.879.7.54.6.9 3.6.78..796.363.876.697.54.6.9 3.55.68.79.78.356.873.695.539.59.8 3 3..65.6.77.35.87.694.538.59.8 4.977.64.45.76.345.868.69.537.58.8 5.947..3.753.34.866.69.536.58.8 6.9.583..746.337.865.69.535.58.8 7.898.567..74.333.863.689.534.57.8 8.878.55..734.33.86.688.534.57.7 9.86.539.93.79.38.86.688.533.57.7.845.58.86.75.35.86.687.533.57.7.83.58.8.7.33.859.686.53.57.7.89.58.74.77.3.858.686.53.56.7 3.87.5.69.74.39.858.685.53.56.7 4.797.49.64.7.38.857.685.53.56.7 5.787.485.6.78.36.856.684.53.56.7 6.779.479.56.76.35.856.684.53.56.7 7.77.473.5.73.34.855.684.53.56.7 8.763.467.48.7.33.855.683.53.56.7 9.756.46.45.699.3.854.683.53.56.7 3.75.457.4.697.3.854.683.53.56.7 4.74.43..684.33.85.68.59.55.6 6.66.39..67.96.848.679.57.54.6.576.36.96.645.8.84.674.54.53.6
TABLA II.3. DISTRIBUCIÓN χ k K.995.99.975.95.9.75.5.5..5.5. 7.8794 6.6349 5.39 3.845.755.333.4549.5.58.39...5965 9.4 7.3778 5.995 4.65.776.3863.5754.7.6.56. 3.838.3449 9.3484 7.847 6.54 4.83.366.5.5844.358.58.48 4 4.86 3.767.433 9.4877 7.7794 5.3853 3.3567.96.636.77.4844.97 5 6.7496 5.863.835.75 9.363 6.657 4.355.6746.63.455.83.5543 6 8.5475 6.89 4.4494.596.6446 7.848 5.348 3.4546.4.6354.373.87 7.777 8.4753 6.8 4.67.7 9.37 6.3458 4.549.833.673.6899.39 8.9549.9 7.5345 5.573 3.366.89 7.344 5.76 3.4895.736.797.6465 9 3.5893.666 9.8 6.99 4.6837.3887 8.348 5.8988 4.68 3.35.74.879 5.88 3.93.483 8.37 5.987.5489 9.348 6.737 4.865 3.943 3.47.558 6.7569 4.75.9 9.675 7.75 3.77.34 7.584 5.5778 4.5748 3.857 3.535 8.997 6.7 3.3367.6 8.5493 4.8454.343 8.4384 6.338 5.6 4.438 3.576 3 9.893 7.688 4.7356.36 9.89 5.9839.3398 9.99 7.45 5.899 5.87 4.69 4 3.394 9.4 6.89 3.6848.64 7.69 3.3393.653 7.7895 6.576 5.687 4.664 5 3.85 3.578 7.4884 4.9958.37 8.45 4.3389.365 8.5468 7.69 6.6 5.94 6 34.67 3.9999 8.8453 6.96 3.548 9.3689 5.3385.9 9.3 7.966 6.977 5.8 7 35.784 33.487 3.9 7.587 4.769.4887 6.338.799.85 8.678 7.564 6.477 8 37.564 34.85 3.564 8.8693 5.9894.649 7.3379 3.6753.8649 9.394 8.37 7.49 9 38.58 36.98 3.853 3.435 7.36.778 8.3376 4.56.659.7 8.965 7.637 39.9969 37.5663 34.696 3.44 8.4 3.877 9.3374 5.458.446.858 9.598 8.64 4.49 38.93 35.4789 3.676 9.65 4.9348.337 6.3444 3.396.593.89 8.897 4.7957 4.894 36.787 33.945 3.833 6.393.337 7.396 4.45.338.983 9.545 3 44.84 4.6383 38.756 35.75 3.69 7.43.3369 8.373 4.848 3.95.6885.957 4 45.5584 4.9798 39.364 36.45 33.96 8.4 3.3367 9.373 5.6587 3.8484.4.8563 5 46.98 44.34 4.6465 37.655 34.386 9.3388 4.3366 9.9393 6.4734 4.64 3.97.54 6 48.898 45.646 4.93 38.885 35.563 3.4346 5.3365.8434 7.99 5.379 3.8439.98 7 49.645 46.968 43.945 4.33 36.74 3.584 6.3363.7494 8.39 6.54 4.5734.8785 8 5.9936 48.78 44.468 4.337 37.959 3.65 7.336.657 8.939 6.979 5.379 3.5647 9 5.3355 49.5878 45.73 4.5569 39.875 33.79 8.336 3.5666 9.7677 7.784 6.47 4.564 3 53.679 5.89 46.979 43.773 4.56 34.7997 9.336 4.4776.599 8.497 6.798 4.9535 4 66.766 63.698 59.347 55.7585 5.85 45.66 39.3353 33.663 9.55 6.593 4.433.64 5 79.4898 76.538 7.4 67.548 63.67 56.3336 49.3349 4.94 37.6886 34.764 3.3574 9.767 6 9.958 88.3794 83.977 79.8 74.397 66.985 59.3347 5.938 46.4589 43.88 4.487 37.4848 7 4.48.45 95.3 9.533 85.57 77.5766 69.3345 6.6983 55.389 5.7393 48.7575 45.447 8 6.39.388 6.685.8795 96.578 88.33 79.3343 7.445 64.778 6.395 57.53 53.54 9 8.987 4.6 8.359 3.45 7.565 98.6499 89.334 8.647 73.9 69.6 65.6466 6.754 4.697 35.869 9.563 4.34 8.498 9.4 99.334 9.33 8.358 77.994 74.9 7.65
TABLA II.4. DISTRIBUCIÓN F DE SNEDECOR Percenles de 95 (n Grados de lberad del numerador; n Grados de lberad del denomnador) n 3 4 5 6 7 8 9 5 5 3 4 5 n 6.4 99.5 5.7 4.6 3. 34. 36.8 38.9 4.5 4.9 45.9 48. 49.3 5. 5. 5.8 53.3 54.3 8.5 9. 9.6 9.5 9.3 9.33 9.35 9.37 9.38 9.4 9.43 9.45 9.46 9.46 9.47 9.48 9.49 9.5 3.3 9.55 9.8 9. 9. 8.94 8.89 8.85 8.8 8.79 8.7 8.66 8.63 8.6 8.59 8.58 8.55 8.53 4 7.7 6.94 6.59 6.39 6.6 6.6 6.9 6.4 6. 5.96 5.86 5.8 5.77 5.75 5.7 5.7 5.66 5.63 5 6.6 5.79 5.4 5.9 5.5 4.95 4.88 4.8 4.77 4.74 4.6 4.56 4.5 4.5 4.46 4.44 4.4 4.37 6 5.99 5.4 4.76 4.53 4.39 4.8 4. 4.5 4. 4.6 3.94 3.87 3.83 3.8 3.77 3.75 3.7 3.67 7 5.59 4.74 4.35 4. 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.5 3.44 3.4 3.38 3.34 3.3 3.7 3.3 8 5.3 4.46 4.7 3.84 3.69 3.58 3.5 3.44 3.39 3.35 3. 3.5 3. 3.8 3.4 3..97.93 9 5. 4.6 3.86 3.63 3.48 3.37 3.9 3.3 3.8 3.4 3..94.89.86.83.8.75.7 4.96 4. 3.7 3.48 3.33 3. 3.4 3.7 3..98.85.77.73.7.66.64.58.54 4.84 3.98 3.59 3.36 3. 3.9 3..95.9.85.7.65.6.57.53.5.45.4 4.75 3.89 3.49 3.6 3. 3..9.85.8.75.6.54.5.47.43.4.34.3 3 4.67 3.8 3.4 3.8 3.3.9.83.77.7.67.53.46.4.38.34.3.5. 4 4.6 3.74 3.34 3..96.85.76.7.65.6.46.39.34.3.7.4.8.3 5 4.54 3.68 3.9 3.6.9.79.7.64.59.54.4.33.8.5..8..7 6 4.49 3.63 3.4 3..85.74.66.59.54.49.35.8.3.9.5..6. 7 4.45 3.59 3..96.8.7.6.55.49.45.3.3.8.5..8..96 8 4.4 3.55 3.6.93.77.66.58.5.46.4.7.9.4..6.4.97.9 9 4.38 3.5 3.3.9.74.63.54.48.4.38.3.6..7.3..93.88
4.35 3.49 3..87.7.6.5.45.39.35...7.4.99.97.9.84 4.3 3.47 3.7.84.68.57.49.4.37.3.8..5..96.94.87.8 4.3 3.44 3.5.8.66.55.46.4.34.3.5.7..98.94.9.84.78 3 4.8 3.4 3.3.8.64.53.44.37.3.7.3.5..96.9.88.8.76 4 4.6 3.4 3..78.6.5.4.36.3.5..3.97.94.89.86.79.73 5 4.4 3.39.99.76.6.49.4.34.8.4.9..96.9.87.84.77.7 6 4.3 3.37.98.74.59.47.39.3.7..7.99.94.9.85.8.75.69 7 4. 3.35.96.73.57.46.37.3.5..6.97.9.88.84.8.73.67 8 4. 3.34.95.7.56.45.36.9.4.9.4.96.9.87.8.79.7.65 9 4.8 3.33.93.7.55.43.35.8..8.3.94.89.85.8.77.7.64 3 4.7 3.3.9.69.53.4.33.7..6..93.88.84.79.76.68.6 4 4.8 3.3.84.6.45.34.5.8..8.9.84.78.74.69.66.58.5 6 4. 3.5.76.53.37.5.7..4.99.84.75.69.65.59.56.47.39 3.9 3.7.68.45.9.8.9..96.9.75.66.6.55.5.46.35.5 3.84 3..6.37....94.88.83.67.57.5.46.39.35..
Percenles de 99 (n Grados de lberad del numerador; n Grados de lberad del denomnador) n 3 4 5 6 7 8 9 5 5 3 4 5 n 45.8 4999.34 543.53 564.6 5763.96 5858.95 598.33 598.95 6.4 655.93 656 68 639 66 686 63 6339 6365..97.66.86.35.43.6.5 59 98.5 99. 99.6 99.5 99.3 99.33 99.36 99.38 99.39 99.4 99.4 99.4 99.4 99.4 99.4 99.4 99.4 99.5 3 5 6 7 8 8 9 3 34. 3.8 9.46 8.7 8.4 7.9 7.67 7.49 7.34 7.3 6.8 6.6 6.5 6.5 6.4 6.3 6. 6.3 7 9 8 5 4. 8. 6.69 5.98 5.5 5. 4.98 4.8 4.66 4.55 4. 4. 3.9 3.8 3.7 3.6 3.5 3.46 4 5 9 6 5 6.6 3.7.6.39.97.67.46.9.6.5 9.7 9.55 9.45 9.38 9.9 9.4 9. 9. 6 3.75.9 9.78 9.5 8.75 8.47 8.6 8. 7.98 7.87 7.56 7.4 7.3 7.3 7.4 7.9 6.97 6.88 7.5 9.55 8.45 7.85 7.46 7.9 6.99 6.84 6.7 6.6 6.3 6.6 6.6 5.99 5.9 5.86 5.74 5.65 8.6 8.65 7.59 7. 6.63 6.37 6.8 6.3 5.9 5.8 5.5 5.36 5.6 5. 5. 5.7 4.95 4.86 9.56 8. 6.99 6.4 6.6 5.8 5.6 5.47 5.35 5.6 4.96 4.8 4.7 4.65 4.57 4.5 4.4 4.3.4 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5. 5.6 4.94 4.85 4.56 4.4 4.3 4.5 4.7 4. 4. 3.9 9.65 7. 6. 5.67 5.3 5.7 4.89 4.74 4.63 4.54 4.5 4. 4. 3.94 3.86 3.8 3.69 3.6 9.33 6.93 5.95 5.4 5.6 4.8 4.64 4.5 4.39 4.3 4. 3.86 3.76 3.7 3.6 3.57 3.45 3.36 3 9.7 6.7 5.74 5. 4.86 4.6 4.44 4.3 4.9 4. 3.8 3.66 3.57 3.5 3.43 3.38 3.5 3.7 4 8.86 6.5 5.56 5.4 4.69 4.46 4.8 4.4 4.3 3.94 3.66 3.5 3.4 3.35 3.7 3. 3.9 3. 5 8.68 6.36 5.4 4.89 4.56 4.3 4.4 4. 3.89 3.8 3.5 3.37 3.8 3. 3.3 3.8.96.87 6 8.53 6.3 5.9 4.77 4.44 4. 4.3 3.89 3.78 3.69 3.4 3.6 3.6 3. 3..97.84.75 7 8.4 6. 5.9 4.67 4.34 4. 3.93 3.79 3.68 3.59 3.3 3.6 3.7 3..9.87.75.65 8 8.9 6. 5.9 4.58 4.5 4. 3.84 3.7 3.6 3.5 3.3 3.8.98.9.84.78.66.57 9 8.8 5.93 5. 4.5 4.7 3.94 3.77 3.63 3.5 3.43 3.5 3..9.84.76.7.58.49 8. 5.85 4.94 4.43 4. 3.87 3.7 3.56 3.46 3.37 3.9.94.84.78.69.64.5.4
8. 5.78 4.87 4.37 4.4 3.8 3.64 3.5 3.4 3.3 3.3.88.79.7.64.58.46.36 7.95 5.7 4.8 4.3 3.99 3.76 3.59 3.45 3.35 3.6.98.83.73.67.58.53.4.3 3 7.88 5.66 4.76 4.6 3.94 3.7 3.54 3.4 3.3 3..93.78.69.6.54.48.35.6 4 7.8 5.6 4.7 4. 3.9 3.67 3.5 3.36 3.6 3.7.89.74.64.58.49.44.3. 5 7.77 5.57 4.68 4.8 3.85 3.63 3.46 3.3 3. 3.3.85.7.6.54.45.4.7.7 6 7.7 5.53 4.64 4.4 3.8 3.59 3.4 3.9 3.8 3.9.8.66.57.5.4.36.3.3 7 7.68 5.49 4.6 4. 3.78 3.56 3.39 3.6 3.5 3.6.78.63.54.47.38.33.. 8 7.64 5.45 4.57 4.7 3.75 3.53 3.36 3.3 3. 3.3.75.6.5.44.35.3.7.6 9 7.6 5.4 4.54 4.4 3.73 3.5 3.33 3. 3.9 3..73.57.48.4.33.7.4.3 3 7.56 5.39 4.5 4. 3.7 3.47 3.3 3.7 3.7.98.7.55.45.39.3.5.. 4 7.3 5.8 4.3 3.83 3.5 3.9 3..99.89.8.5.37.7...6.9.8 6 7.8 4.98 4.3 3.65 3.34 3..95.8.7.63.35...3.94.88.73.6 6.85 4.79 3.95 3.48 3.7.96.79.66.56.47.9.3.93.86.76.7.53.38 6.63 4.6 3.78 3.3 3..8.64.5.4.3.4.88.77.7.59.5.3.
TABLA II.5. DISTRIBUCIÓN DEL ESTADÍSTICO DEL CONTRASTE DE DURBIN- WATSON Se abulan los valores de d L y d U para un nvel de sgnfcacón α.5