Sistema de planos acotados 1. Fundamentos y elementos del sistema El sistema de planos acotados o sistema acotado, es una variante del sistema diédrico en el que se ha sustituido el plano Vertical de proyección por las medidas de las alturas de los puntos, anotadas como cotas, en relación al plano Horizontal. El sistema acotado es muy apropiado para representaciones en las que dos dimensiones sean proporcionalmente mucho mayores a la tercera. Es idóneo para representar accidentes de un terreno, por eso es utilizado en cartografía y topografía. También es apropiado para representaciones con alzados complejos; la representación y resolución de cubiertas y tejados es mucho más clara y sencilla con el sistema acotado. El sistema acotado es un sistema de representación que utiliza una proyección cilíndrico ortogonal. Los elementos del sistema acotado son: - Plano de proyección. También recibe el nombre de plano de comparación o de referencia. El plano de proyección se considera en posición horizontal y divide al espacio en dos partes, sobre el plano los elementos tienen cota positiva y bajo el plano cota negativa. En este plano se proyectan los elementos a representar. El plano de proyección se nombrará con la letra griega p. - Cota. La cota es la distancia vertical o altura entre un punto y su proyección. La cota se anota en cada uno de los puntos notables del objeto representado. - Punto, recta y plano. Como en otros sistemas, el punto se nombra con letras latinas mayúsculas (A, B, C, P, ), las rectas con letras latinas minúsculas (a, b, c, r, ), los planos con letras griegas minúsculas (a, b, g,). 1º de Bachillerato Página 1 de 9
2. Representación del punto Se considera el plano de proyección p en posición horizontal, siendo éste la superficie de dibujo. - Se proyecta ortogonalmente el punto P, sobre p, en P 1. - La altura o cota se coloca al lado de P 1 entre paréntesis, P 1 (n), n es el número que corresponde a la cota. - El observador se sitúa frente al plano de proyección, sólo queda representada la proyección, el punto real desaparece en la representación. Recreación virtual en el espacio de la proyección de un punto y su representación real en un espacio de dibujo: Posiciones del punto Se considera el plano de proyección p en posición horizontal, un punto puede tener tres tipos de cotas según sea su situación respecto al plano: - Cota positiva. El punto (A) está situado encima del plano de proyección. - Cota negativa. El punto (B) está situado debajo del plano de proyección. - Cota cero. El punto (C) está contenido en el plano de proyección. Coinciden el punto y su propia proyección. 1º de Bachillerato Página 2 de 9
3. Representación de la recta Una recta r en el espacio queda definida por dos de sus puntos, A y B. En el sistema acotado si se tienen las proyecciones de estos puntos, A 1 y B 1, uniendo las proyecciones de los puntos se obtiene la proyección de la recta r 1. Definiciones sobre la recta: - Traza. Se nombrará T r, es el punto de intersección de la recta r con el plano de proyección, tiene cota 0. - Distancia vertical o altura entre dos puntos. Se nombrará h (altura), es la diferencia de cotas entre dos puntos. En la ilustración la distancia vertical entre A(6) y B(2) será: h AB = 6-2 = 4. - Distancia horizontal. Es la distancia m que hay entre las proyecciones de los dos puntos. - Intervalo. Es la distancia entre las proyecciones de dos de los puntos de la recta cuyas cotas difieren una unidad. Entre A 1 y B 1, se podrían situar tres puntos que definieran cuatro intervalos. - Inclinación. Es el ángulo a que forma la recta con el plano de proyección. Este ángulo se obtiene abatiendo la recta sobre el plano. - Pendiente. Es la relación que hay entre las distancias vertical y horizontal de dos puntos de la recta: p = h/m. La pendiente puede expresarse de tres formas: 1.- Por el ángulo de inclinación de la recta. 2.- Por una fracción: h/m. En la ilustración superior la pendiente entre A y B sería de 4/m. 3.- Indicando el tanto por ciento entre la distancia horizontal y la vertical (es habitual ver este método de indicación de pendiente en las carreteras). Una pendiente del 100% indica que en una distancia horizontal de 100 unidades la recta ha ascendido otras 100, la recta formaría un ángulo de 45º con el plano. Una pendiente del 15% indica que en una distancia horizontal de 100 la recta ha ascendido 15. 1º de Bachillerato Página 3 de 9
4. Abatimiento de una recta Para abatir una recta en sistema acotado se utiliza la misma mecánica que para abatir una recta sobre el plano horizontal en sistema diédrico. Conociendo su proyección, su traza y la proyección (cota) de uno de sus puntos: 1. Se traza la perpendicular a la proyección de la recta por A 1 (n) (proyección del punto conocido A). Sobre la perpendicular y desde la proyección, se pasa la cota (n) de A. Se obtiene el punto abatido A 0. 2. Uniendo la traza de la recta r (T r ) con A 0 se obtiene la recta abatida r 0. Se ha abatido el plano proyectante de la recta sobre el plano de proyección, siendo el eje o charnela la proyección de la recta. Una vez abatida la recta se conocen su inclinación y la verdadera distancia entre dos de sus puntos cualesquiera (ejemplo: distancia AB). También se puede abatir una recta sobre un plano paralelo al de proyección, se deberá realizar esta operación para graduar una recta y encontrar su traza si se desconoce. 5. Graduación de la recta Graduar una recta es señalar las proyecciones de sus puntos de cota entera. Se parte de una recta de la que se conocen dos de sus puntos, en el ejemplo A(6) y B(2). 1. Se abate la recta sobre un plano paralelo al de proyección que contenga a uno de los puntos conocidos (B(2)). 1º de Bachillerato Página 4 de 9
2. Sobre el segmento perpendicular a la proyección A 1 A 0, se marcan las unidades enteras, en el ejemplo son cuatro unidades (6-2=4). 3. Trazando paralelas a la proyección de la recta, se pasan las divisiones marcadas a la recta abatida, obtendremos los intervalos de ésta. 4. Trazando perpendiculares a la proyección de la recta se pasan los intervalos sobre ésta. Puede ser útil numerarlos ordenadamente. Traza de la recta: Cada intervalo mide igual, a partir del punto de menor cota se marcan sucesivos intervalos hasta obtener el punto de cota cero, este punto será la traza de la recta. Consejo. Para graduar una recta conociendo dos de sus puntos, puede ser suficiente utilizar el teorema de Thales si los puntos tienen cota entera. 6. Pertenencia de un punto a una recta Para comprobar si un punto, cuya proyección está contenida en la proyección de una recta, pertenece realmente a esa recta, se deben abatir recta y punto con la misma charnela. Si el punto abatido está contenido en la recta abatida, el punto pertenece realmente a la recta. Para simplificar la nomenclatura, a partir de aquí, las proyecciones de los puntos y rectas se nombrarán con sus letras reales sin subíndice. Ejemplo: Dada la recta r, definida por su traza T r y el punto A(6), se comprueba como el punto B(2) pertenece a la recta y el punto C(5) no pertenece. 7. Posiciones de una recta - Recta oblicua. Tiene traza, todos sus puntos tienen diferente cota. Su proyección es una recta. - Recta horizontal. No corta al plano, todos sus puntos tienen la misma cota. Su proyección es una recta. La pendiente es cero. - Recta vertical. Es perpendicular al plano de proyección. Su proyección es un punto. La pendiente es infinito. - 1º de Bachillerato Página 5 de 9
8. Representación del plano Un plano en el espacio puede quedar definido de varias maneras: por dos rectas que se cortan; por dos rectas paralelas; por una recta y un punto (se puede obtener, por el punto, una segunda recta que corte o sea paralela a la primera); por tres puntos (se pueden obtener dos rectas que se corten o dos rectas paralelas). En sistema acotado un plano se representa con dos de sus rectas: - Traza del plano. Se nombrará como t a, es la recta intersección del plano a con el plano de proyección. - Línea de máxima pendiente. Se nombrará como p a, es una recta cualquiera del plano perpendicular a la traza, al abatirla se obtendrá la inclinación del plano. Se distinguirá de otras rectas porque su dibujo es de doble trazo, aunque se puede dibujar con trazo simple y distinguirla por su nomenclatura. También es posible representar un plano sólo con una recta de máxima pendiente si está graduada (fácilmente se obtiene la traza). Si se tiene la traza de un plano y un punto contenido en él, también queda definido (fácilmente se obtiene la recta de máxima pendiente). 9. Plano definido por rectas Un plano puede quedar definido por dos rectas que se cortan o dos paralelas. - Dos rectas que se cortan. En sistema acotado dos rectas se cortan cuando además de cortarse sus proyecciones, al graduarlas, el punto de intersección de las proyecciones tiene la misma cota. Para obtener la traza del plano es suficiente con unir las trazas de las rectas que se cortan. Uniendo las graduaciones de las rectas se obtienen paralelas a la traza que graduarán a cualquier recta de máxima pendiente. - Dos rectas paralelas. Dos rectas son paralelas si sus proyecciones son paralelas y, una vez graduadas, sus intervalos son idénticos. La traza del plano se obtiene uniendo sus trazas. Uniendo las graduaciones de las rectas se obtienen paralelas a la traza que graduarán a cualquier recta de máxima pendiente. 1º de Bachillerato Página 6 de 9
10. Posiciones del plano - Plano oblicuo. Tiene traza y recta de máxima pendiente. - Plano horizontal. No tiene traza. Se puede representar por uno de sus puntos nombrándolo como el plano (a) con la cota de todos los puntos del plano. - Plano vertical. Es perpendicular al plano de proyección. Se representa únicamente con su traza. 11. Intersección de dos planos La intersección de dos planos es una recta, para obtenerla se necesitan dos puntos. Si tenemos los planos a y b representados por sus trazas y sus respectivas rectas de máxima pendiente. 1. El primer punto se obtiene al cortarse las trazas de los planos, se denomina T r en el ejemplo. 2. El segundo punto se obtiene donde se corten dos rectas horizontales de cada plano con la misma cota. En el ejemplo se han elegido las de cota (5), se obtiene el punto C(5). 3. La recta intersección de los planos queda definida por los puntos T r y C(5), se traza la recta. Intersección de dos planos con la misma pendiente La recta intersección de dos planos con igual pendiente es la bisectriz de las trazas de los planos. 1º de Bachillerato Página 7 de 9
Intersección de planos: cubiertas Para la resolución de cubiertas de edificios y tejados se utiliza el sistema acotado. Los tejados de edificios son planos inclinados que se cortan, para obtener el correcto diseño se deben resolver problemas de intersección de planos. 12. Representación de terrenos El dibujo topográfico se utiliza para representar sobre el plano las características del relieve de un terreno. Representar un terreno sobre un plano con total exactitud es prácticamente imposible, pero utilizando el sistema acotado se consiguen representaciones bastante exactas de los distintos accidentes de un terreno, desniveles, altitudes El procedimiento empleado en sistema acotado consiste en seccionar el terreno con planos horizontales equidistantes entre sí. La distancia entre los planos paralelos se denomina equidistancia. Esta distancia puede variar en función de la extensión del terreno que se representa y dependiendo de la escala que se utiliza en el plano topográfico. Cada uno de los planos al cortar el terreno genera una superficie limitada por una línea curva irregular cuyos puntos, todos, tienen la misma cota. Estas curvas se proyectan sobre el plano de proyección y el terreno queda representado por las denominadas curvas de nivel. El plano de proyección se considera al nivel del mar, por lo que la cota de cada curva de nivel corresponde a su altitud geográfica; para completar la representación se coloca la cota correspondiente junto a cada curva o interrumpiéndola. Perfil del terreno es la sección del terreno producida por un plano perpendicular al de proyección. La sección genera un dibujo que permite visualizar frontalmente la forma del terreno en una línea concreta. 1º de Bachillerato Página 8 de 9
Trazado de un perfil El perfil de un terreno es la línea determinada por la sección de éste por un plano perpendicular al de proyección. Dado un plano topográfico representado a escala 1:2000 se trazará el perfil del terreno determinado por el plano vertical cuya traza es la recta AL: 1. A partir de la traza AL se señalan y se nombran los puntos de intersección de ésta con las curvas de nivel. 2. Sobre el plano dibujamos rectas paralelas a la recta AL, la distancia entre las paralelas estará sujeta a la escala del dibujo. Se puede utilizar la misma escala que la del plano topográfico, pero se puede utilizar una escala diferente para resaltar el perfil. En el ejemplo el plano está a una escala 1:2000, el perfil a 1:1000; se ha multiplicado por dos la altura del perfil. 3. Se numeran con las cotas las líneas paralelas de forma ascendente. 4. Se levantan perpendiculares desde las intersecciones de la traza hasta la paralela correspondiente a su cota. Estas intersecciones son los puntos que unidos en orden definen el perfil. El perfil se puede realizar con una línea quebrada o, como en el ejemplo, adoptar forma de línea curva para dar más sensación de realidad. 1º de Bachillerato Página 9 de 9