Electromagnetismo II Semestre: 2015-1 TAREA 7: Solución Dr. A. Reyes-Coronado Problema 1 (15 pts.) Por: Jesús Castrejón Figueroa En 1987 J. J. Thomson descubrió el electrón midiendo el cociente entre la carga y la masa de los rayos catódicos (que son haces de electrones con carga q y masa m) de la siguiente manera: i) Primero pasó el haz de electrones a través de una región donde tenía un campo eléctrico E y campo magnético B perpendiculares entre sí, ambos uniformes y ambos perpendiculares a la dirección del haz de electrones, y entonces ajustó el campo eléctrico hasta que obtuvo una deflexión nula. Cuál es la velocidad es la velocidad de las partículas en términos de E y B? ii) Luego, Thomson apagó el campo eléctrico y midió el radio de curvatura R del haz deflectado por el campo magnético B. Cuál es la relación carga masa (q/m) de las partículas en términos de E, B y R? Solución: i) La fuerza que actúa sobre el electrón es nula por hipótesis, ésto es: F = e E e v B = 0. (1) Quitando el carácter vectorial de la ecuación anterior, tenemos que: E = vb, (2) y por lo tanto: v = E B. (3) ii) La fuerza magnética es igual a aquella que produce el movimiento circular del electrón, es decir: F B = e v B (4) = evb = mv2 R, de donde obtenemos: e m = v BR. (5) Sustituyendo el valor de la velocidad obtenido en i), se tiene: e m = E RB 2 (6) 1
Problema 2 (15 pts.) a) Un fonógrafo del siglo antepasado hace girar un disco cargado con una densidad estática de carga σ uniformemente distribuida. Si gira a una velocidad angular ω, calcula la densidad de corriente superficial K. b) Una esfera sólida uniformemente cargada, de radio R y de carga total Q, centrada en el origen de coordenadas y gira con una velocidad angular constante ω alrededor del eje z. Considerando que la velocidad angular y el radio R son las misma que la del planeta Tierra, y que la carga total es de 1 Coulomb, calcula la densidad de corriente volumétrica J en cualquier punto (r, θ, φ) dentro de la esfera. Solución: a) La densidad superficial de corriente viene dada por: sustituyendo el valor para la velocidad en cada punto, obtenemos: b) La densidad de volumétrica de corriente viene dada por: sustituyendo el valor de la densidad de corriente y de la velocidad, obtenemos: Problema 3 (15 pts.) J = K = σ v, (7) K = σωrê φ (8) J = ρ v, (9) 3Q 4πR 3 ωr sin θê φ (10) Dos alambres paralelos e infinitos, separados por una distancia d, tienen una densidad de carga lineal λ cada uno (ambos con el mismo signo), y se mueven ambos con una rapidez constante v como se muestra en la figura. Qué tan grande tendrá que ser la rapidez v para que la fuerza de atracción magnética cancele a la fuerza de repulsión eléctrica? Es razonable la velocidad que calculaste? (calcula numéricamente la velocidad empleando unidades de m/s). Nota: Griffiths nos advierte en una nota al pie que estarás tentado a buscar complicaciones en este problema (si has estudiado relatividad especial), que realmente no existen. Tanto λ como v están medidas en el sistema 2
de referencia del laboratorio, por lo que es un problema genuino de electro-magnetostática. Solución: La corriente equivalente en cada uno de los alambres es: La fuerza de atracción magnética esta dada por: i = λ v. (11) F B = L i B, (12) y campo magnético de un alambre sobre el otro, por ley de Ampére es (en magnitud): Por lo que la magnitud de la fuerza magnética es: B = µ 0i 2πd, (13) F B = µ 0i 2 L 2πd = µ 0L 2πd λ2 v 2. El campo eléctrico producido por un alambre sobre el otro es: (14) por lo que fuerza de repulsión eléctrica es: E = λ 2πε 0 d, (15) F E = λ λl. (16) 2πε 0 d Igualando las Eqs. (14) y (16), obtenemos: v = 1 ε0 µ 0 (17) que es igual a la velocidad de la luz c 3 10 8 m/s. Problema 4 (25 pts.) Un cilindro muy largo de radio R y una densidad volumétrica de carga ρ gira con una frecuencia ω alrededor de su eje. Calcula el campo magnético sobre su eje de simetría. Cómo cambiaría tu resultado si toda la carga estuviera concentrada en la superficie del cilindro? Solución: La corriente volumétrica J en el cilindro, es: J = ρ v = ρωrê φ, (18) notemos que la dirección de la corriente es azimutal, al igual que en un solenoide. En la Fig. 1 se muestra un circuito amperiano sobre una sección transversal del cilindro. El campo magnético fuera del cilindro es cero, ya 3
que estamos considerando que es de una longitud muy grande, mientras que el campo dentro es paralelo al eje. Uusando la ley de Ampére, tenemos: B dl = BL (19) y entonces: = µ 0 i = µ 0 ρω L R 0 r rdrdz = µ 0ρω 2 (R2 r 2 )L, µ 0 ρω 2 B (R2 r 2 )ê z r < R; = 0 r > R. (20) Figura 1: Circuito amperiano usado para calcular el campo magnético producido en una simetría cilíndrica por una corriente azimutal que depende del radio r. Si la carga es puramente superficial, entonces la corriente viene dada por: y entonces, usando el mismo circuito amperiano de la figura, tenemos: K = σωrê φ, (21) BL = µ 0 σωrl, (22) y el campo magnético es: µ 0 σωrê z r < R; B = 0 r > R. (23) 4
Problema 5 (30 pts.) El efecto Zeeman observado en el espectro de manchas solares revela la existencia de campos magnéticos intensos de 0.4 Tesla. Estos campos están asociados con distribuciones de corrientes en forma de disco del plasma cerca de la superficie del Sol. El disco de electrones tiene un radio aproximado de 107 m, rotando a una velocidad angular del orden de 3 10 2 radianes/segundo. El grosor del disco es muy pequeño comparado con el radio del mismo. a) Calcula la densidad superficial de electrones que se necesita para alcanzar 0.4 Tesla en el centro del disco. b) Calcula la corriente. Solución: a) El campo magnético en el centro de una espira circular con una corriente i, es: y la corriente K para el disco es: B = µ 0i 2R, (24) K = σωrê φ, (25) por lo que el campo en el centro del disco es: B = R 0 = 1 2 µ 0σωR. µ 0 σωrdr (26) 2r Despejando la densidad de carga, y tomando en cuenta que la densidad de electrones es η = σ/e, con e la carga del electrón, tenemos que: η = 2B (27) µ 0 ωre Introduciendo valores numéricos, se tiene que η = 1.29 10 29 electrones/m 2. b) Integrando la densidad de corriente K = σωr, obtenemos la corriente total sobre el disco: i = R 0 σωrdr = 1 2 σωr2, (28) sustituyendo el valor para la densidad de carga obtenido anteriormente, se tiene que: ( )( ) 2B 1 i = µ 0 ωr 2 σωr2, (29) (30) por lo que la corriente es: i = BR µ 0 (31) Introduciendo valores numericos, se tiene que i = 6.8 10 7 A. 5
Problema TORITO (20 pts.) Un solenoide (o bobina) está hecho enrollando dos capas de alambre de cobre del No. 14 y tiene una forma cilíndrica con diámetro R = 8cm. Tiene cuatro vueltas por centímetro en cada capa (n = 4 cm 1 ) y una longitud total l = 32cm. De tablas de datos se sabe que un alambre del No. 14 de cobre tiene un diámetro de 0.163cm y una resistencia ρ = 0.01 Ω/m a 75 C, por lo que el cable se va a calentar! Si el solenoide se conecta a una batería de 50V, calcula cuánto será el campo magnético en el centro del solenoide en teslas, y compara este valor con el campo magnético promedio terrestre. También calcula la potencia disipada en watts. Solución: La longitud total del cable es: por lo que la resistencia del alambre es: La corriente en el alambre es, por ley de Ohm: L = 2(2πR)(nl) (32) = 128.67 m, R = ρl (33) = 1.29 Ω. y el campo magnético es: i = V R = 38.85 A, B = µ 0 ni = 19.53 10 3 T (34) (35) En comparación, el campo magnético terrestre es de unos 5 10 5 T, unas 400 veces menor! La potencia disipada en forma de calor es: P = i 2 R = 1.94 10 3 W (36) 6