ÍNDICE: 1.- Tipos de variables 2.- Tablas de frecuencias 3.- Gráficos estadísticos 4.- Medidas de centralización 5.- Medidas de dispersión REPASO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 1.- Tipos de variables La estadística es la parte de las matemáticas que se ocupa de los métodos para recoger, organizar, resumir y analizar datos, así como para sacar conclusiones válidas y tomar decisiones razonables basadas en tal análisis. A hacer un estudio de una determinada población, observamos una característica o propiedad de sus elementos o individuos. Por ejemplo, con los compañeros de clase, podemos estudiar el lugar donde viven, el número de hermanos, la estatura, etc. Cada una de estas características estudiadas se llama variable estadística. Por ejemplo: Primera variable: En qué vienen al colegio? Segunda Variable Cuántas personas viven en tu casa? El resultado de la primera variable puede ser: caminando, coche, moto, bicicleta, guagua,..este tipo de variable se llama cualitativa El resultado de la segunda variable puede ser: 2, 3, 4, 5,.. Este tipo de variable se llama cuantitativa Es decir, una variable se llama cuantitativa cuando toma valores numéricos y cualitativa cuando no los toma. Asimismo si dichos valores numéricos son aislados se denomina discreta, pero si vienen en forma de intervalo, continua. Una vez definidas las variables a estudiar tenemos que establecer cuál será la población a investigar. En algunos casos se trabaja con toda una población que es el conjunto formado por todos los elementos a estudiar, el cual puede llamarse conjunto completo. Otras veces no es posible trabajar con toda la población. Supongamos que debemos estudiar la altura de los niños que cumplen 10 años en el presente año. Nos damos cuenta que no podemos hacerlo con todos los cientos de miles de niños que cumplen 10 años en el país, lo que sería toda la población o conjunto completo. Podemos hacerlo con un grupo que sea manejable. O sea que vamos a usar una muestra. Queremos que esa muestra sea una buena representación de todo el conjunto. No podemos quedarnos con los más altos, porque en ese caso estaríamos deformando los resultados. Tampoco con los más bajos, ni siquiera con los que están en el medio. Tienen que estar todos mezclados.
Podemos ver que hacer un muestreo tiene varias dificultades. Hay que buscar una muestra que no le de preferencia a ninguna de las cualidades a estudiar. Tiene que ser lo más heterogénea posible, pensando siempre que sea una representación en pequeño de toda la población. Por lo tanto un muestreo consiste justamente en tomar una parte de un conjunto, estudiar una de sus características y tratar de analizar si con cuidado podemos extender los resultados y conclusiones a todo el conjunto, a toda la población estudiada. 2.- Tablas de frecuencias Cuando se han recogido los datos correspondientes a una variable estadística, hay que tabularlos; es decir, hay que confeccionar con ellos una tabla en la que aparezcan ordenadamente: Los valores de la variable que se está estudiando. El número de individuos de cada valor; es decir, su frecuencia. La frecuencia absoluta es el número de veces que se presenta un valor al estudiar una variable. Para hacer el recuento, se leen los datos uno a uno y se marca una señal en el correspondiente valor. Si las señales se agrupan, de cinco en cinco por ejemplo, es más fácil contarlas. EJEMPLO: Variable - Cuántas personas viven en tu casa? La tabla de frecuencia adopta, finalmente, el siguiente aspecto: x f 2 2 3 4 4 8 5 12 6 3 7 1 30 Cada valor tiene emparejada su frecuencia. Por ejemplo, solamente en la casa de un alumno viven 7 personas. Son 30 alumnos en total, puedes leerlo en la tabla?
3.- Gráficos estadísticos Cuando se hace un estudio estadístico se obtiene una gran cantidad de datos numéricos. Para tener una información clara y rápida de lo obtenido en el estudio se han creado las gráficas estadísticas. Hay muchos tipos de gráficas estadísticas. Cada una de ellas es adecuada para un estudio determinado, ya que no siempre se puede utilizar la misma para todos los casos. Las más comunes son: Diagrama de barras Se utiliza para representar los caracteres cualitativos y cuantitativos discretos. En el eje horizontal, o eje de abscisas, se representan los datos o modalidades; en el eje vertical o de ordenadas, se representan las frecuencias de cada dato o modalidad. Sobre el eje horizontal se levantan barras o rectángulos de igual base (que no se superpongan) cuya altura debe ser proporcional a la frecuencia que representan. Rápidamente podemos ver que el fútbol es el deporte preferido, por la longitud de la barra. Histograma Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados. En el eje vertical se representan las frecuencias, y en el eje horizontal los valores de las variables, normalmente señalando las marcas de clase, es decir, la mitad del intervalo en el que están agrupados los datos. Se utiliza cuando se estudia una variable continua, como franjas de edades o altura de la muestra, y, por comodidad, sus valores se agrupan en clases, es decir, valores continuos. Los histogramas son más frecuentes en ciencias sociales, humanas y económicas que en ciencias naturales y exactas. Y permite la comparación de los resultados de un proceso.
Diagrama de sectores También conocido como gráfico de torta o gráfico circular. Se representan los datos en un círculo, de modo que la frecuencia de cada valor viene dada por un trozo de área del círculo. Así, el círculo queda dividido en sectores cuya amplitud es proporcional a las frecuencias de los valores. Sirve para representar cualquier tipo de variable. Ejemplo: En la clase se realizó la siguiente encuesta: Qué libros prefieres leer? Los resultados se ordenaron en esta tabla Tipos de libros : De Misterio De Aventuras Historietas Total N de alumnos 15 9 6 30 Si queremos representar esta información en un gráfico de torta tenemos que realizar unos cálculos previamente. Como la medida de la superficie de cada sector es directamente proporcional a la medida del ángulo central, se hace una proporcionalidad directa entre la cantidad de alumnos que hay en el sector con respecto al total de alumnos y el ángulo del sector (la incógnita) con respecto al ángulo central de todo el círculo, o sea 360. Es decir. Para el sector de libros de misterio tenemos: 30 alumnos ---------------360 (todo el círculo) 15 alumnos --------------- incógnita (sector del círculo correspondiente a libros de misterio) Ángulo sector Misterio = 360 X 15 alumnos / 30 alumnos = 180 (la mitad del círculo) Ángulo sector Aventuras = 360 X 9 alumnos / 30 alumnos = 108 Ángulo sector Historietas = 360 X 6 alumnos / 30 alumnos = 72 Si sumamos la amplitud de los tres sectores nos tiene que dar el círculo completo: 180 + 108 + 72 = 360 Hist oriet as Mist erio Avent ura
4.- Medidas de centralización La estadística maneja gran cantidad de datos e intenta resumirlos en unos pocos representativos. Estos son los parámetros centrales. Los parámetros centrales más usados son: Media aritmética (símbolo x ) Mediana (símbolo Me) Moda (símbolo Mo) La media y la mediana sólo se pueden obtener en variables cuantitativas, mientras que la moda se puede obtener en variables cualitativas y cuantitativas. La media de varias cantidades, es la suma de todas las cantidades dividida entre el número de ellas. También se llama promedio. EJEMPLO: Cinco amigos cuentan las canicas que tienen cada uno. Son: 10, 15, 5, 17 y 8. La media de esas cantidades es: media = (10 + 15 + 5 + 17 + 8) / 5 = 11. Lo expresamos x = 11 El significado del resultado es claro: es lo que le tocaría a cada uno de los cinco si se juntaran todas las canicas y se repartieran por igual. Para hallar la media de los datos de una tabla de frecuencias correspondiente a una variable cuantitativa: Se multiplica cada dato por su frecuencia y se suman los resultados. La suma total se divide por la suma de todas las frecuencias. EJEMPLO: El número de hijos de las familias de alumnos se registró en la siguiente tabla: X = Nº hijos frecuencia x f 1 7 7 2 14 28 3 9 27 4 8 32 5 2 10 Suma 104 Media = 104 = 2. 6. Que generalmente escribimos x = 2. 6
Se llama mediana de un conjunto de datos numéricos al que ocupa el valor central. Para calcularla, ordenamos las cantidades de menor a mayor y elegimos la del medio. Si hay un número par de datos, la mediana es el promedio de los dos valores centrales. Ejemplo1: Estos son los pesos de 7 niños: 39 kg - 43 kg - 52 kg - 41 kg - 47 kg - 38 kg - 45 kg Ordenamos los valores: 38-39 - 41-43 - 45-47 - 52 De esta forma podemos visualizar el valor central. Y escribimos Me = 43 Ejemplo 2: Las notas de seis alumnos en una prueba son: 4-5 - 6-7 - 9 y 10 Como se trata de un número par de valores, tenemos que hallar el promedio de los dos centrales: 6 + 7 = 11---------- 11 / 2 = 6,5 este valor es la mediana. Y escribimos Me = 6.5 Ejemplo 3: El número de hijos que tienes parejas se muestran en la siguiente tabla, para determinar el la mediana, ampliamos con una columna más llamada frecuencia relativa y consiste en ir sumando las frecuencias anteriores de cada uno de los valores. Más sencillo es expresarla como porcentaje Nº hijos frecuencia 1 7 2 14 3 9 4 8 5 2 Nº hijos frecuencia F. acumulada F como % 1 7 7 17.5% 2 14 21 52.5% 3 9 30 75% 4 8 38 95% 5 2 100% La mediana es el primer valor que la variable que pasa del 50%, en este caso Me = 2. La moda es el valor que más se repite (o el intervalo en el caso de que la variable sea continua). En el ejemplo anterior donde se estudiaba el número de hijos, la moda es 2 puesto que es el valor que tiene más frecuencia (14). Es el único parámetro estadístico que tiene sentido calcular si la variable es cualitativa. Y escribimos Mo = 2
5.- Medidas de dispersión Vamos a considerar por ejemplo un alumno que ha sacado en dos exámenes la nota 5 y otro que ha sacado un 10 en uno y un cero en otro. Si le calculamos la nota media, en ambos casos es 5. Luego, la media no es un valor suficiente para tener una idea de cómo se comporta una población. Se hace necesario, poder medir si los datos están separados o juntos. Para ello, tenemos los parámetros de dispersión, los más usados son: El rango (también llamado recorrido) La varianza (símbolo: VAR) La desviación típica (símbolo: s) El rango es la medida más simple y consiste en restar los valores mayor y menor de la variable. En el ejemplo de los hijos, Rang = 5-1 = 4 La varianza y la desviación típica son conceptos muy relacionados y su cálculo no siempre es cómodo. En realidad, como definición, la varianza es el promedio de los cuadrados de las diferencias entre cada valor y la media de dichos valores. Veámoslo con el siguiente ejemplo: Cinco amigos cuentan las canicas que tienen cada uno. Son: 10, 15, 5, 17 y 8. La media de esas cantidades es: 11 (Está hecho en el apartado donde se explica la media) Ahora calculamos la separación de cada valor de la media (restamos de la media) 10 11 = -1 15 11 = 4 5 11 = -6 17 11 = 6 8 11 = -3 Los elevamos al cuadrado 1 16 36 36 9 Y sacamos la media de dichos resultados: (1 + 16 + 36 + 36 + 9 )/5= 19.6 Este valor se llama varianza y si le calculamos la raíz cuadrada 19.6 = 4. 43, el resultado se denomina desviación típica. Como resumen de la distribución estadística diremos que la media es 11 y la desviación típica es 4.43.
En el caso de que tengamos la variable agrupada en una tabla como en el ejemplo de la variable del número de hijos que analizamos anteriormente el proceso es aún más sencillo. Solo hay que añadir una columna más donde se calcule x 2 f como vemos en el ejemplo siguiente: El número de hijos de las familias de alumnos se registró en la siguiente tabla: X = Nº hijos frecuencia x f x 2 f 1 7 7 7 2 14 28 56 3 9 27 81 4 8 32 128 5 2 10 50 Suma 104 322 104 Media = = 2. 6 322 2 2 La Varianza se calcula: VAR = X = 8.05 2.6 = 1. 29 Y la desviación típica: s = 1.29 = 1. 14